Metodos Numericos en Geotecnia

 

CONCEPTOS BÁSICOS DEL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS INTRODUCCIÓN El método de diferencias finitas se ha utilizado tradicionalmente para ecuaciones de difusión, como por ejemplo la ecuación de flujo de agua en medio poroso. En cambio, tiene menos utilidad para las ecuaciones de equilibrio de tensiones. Por ello, para explicar este método se utilizará la ecuación de flujo de agua en medio poroso saturado.

ECUACIÓN DE FLUJO EN DIFERENCIAS FINITAS Se considera la siguiente ecuación de flujo en régimen estacio estacionario nario::

∂  ∂h   ∂  ∂h    K +  K y  = −W    ∂ x   x ∂x      ∂y  ∂y   Para obtener la ecuación correspondiente a una celda C (centro) (centro)   se tomará el esquema de la figura adjunta ende el la que  N, S, norte, sur, este y oeste celda C. C. E,   W son las celdas contiguas, respectivamente, al

 N W

C

E

S Celdas para el balance en la celda C  para  para el método de diferencias finitas.

Las derivadas del nivel piezométrico h respecto a x a x se  se obtienen como: h h h −h − ∂h ∂h   = C  W    =  E  C    ∆ x ∆ x ∂ x WC  ∂ x CE  donde ∆ x es  x  es la anchura de la celda. Usando las dos derivadas anteriores se puede calcular la derivada del flujo, es decir:

∂   ∂h    T    = T  ∂ x    x ∂ x  C   x

∂h ∂h − ∂ x CE  ∂ x W C  = T  x ∆ x

h E  − 2hC  + hW 

∆ x 2

 

donde se ha supuesto que T  x es constante en CE  y  y WC . Si no fuese así bastaría escribir:

 

∂h ∂h − T  x ∂ x WC  T  xCE (h E  − hC ) − T  xWC (hC  − hW  ) ∂ x CE  ∂   ∂h   = =  T    = ∆ x 2 ∆ x ∂ x    x ∂ x  C    CE  CE  WC  WC  T  x h E  − (T  x + T  x )hC  + hW T  x = ∆ x 2 T  x

que, como se puede observar, permite considerar la heterogeneidad heterogeneidad del medio.

Para la derivada en e n la dirección vertical análogamente se obtiene:

∂   ∂h    T    = T  y ∂ y    y ∂ y    C 

∂h ∂h − ∂ y CN  ∂ y SC  h − 2 hC  + hS    = T  y  N  ∆ y ∆ y 2

donde se ha supuesto que T  y  es constante en CN   y y SC .

Finalmente al substituir todos los pasos intermedios en la ecuación general de flujo resulta: T y h N

− ∆2 yhC2 + hS + Tx hE − 2∆hxC2 + hW  = −W   

Esta forma se puede trasformar multiplicando por ∆ x, ∆ y  y:: T x

h E − hC

∆ x

∆y + T x

hW

h −h h −h − hC ∆y + Ty N C ∆x + Ty S C  ∆x = −W ∆x ∆y   ∆x ∆y ∆y

que representa el balance sobre la celda C   ya que puede observarse que se suman los caudales entrantes (flujo×anchura) y se iguala a la variación de almacenamiento menos el término de recarga (W (W tiene unidades de volumen de agua recargada por unidad de area y por unidad de tiempo).

Representación típica de un dominio bidimensional bidimensional mediante diferencias finitas.

 

que como puede observarse son adimensionales. El último paso es realizar el ensamblaje y pasar a la resolución del sistema de ecuaciones:

Ah = b   Siendo A una matriz de coeficientes, h el vector de incógnitas y b el término independiente.

CONDICIONES DE CONTORNO Una vez que se ha construido el sistema de ecuaciones algebraicas basado en la ecuación diferencial y en las celdas, hay que imponer condiciones de contorno. Pueden ser de nivel piezométrico constante o de caudal constante.  Nivel fijo o conocido  conocido  Se puede incorporar de dos formas diferentes. La primera consiste en suprimir la ecuación de la celda donde quiere imponerse el nivel fijo. Una vez hecho esto, para eliminar la columna correspondiente hay que pasar los términos que tengan el nivel ahora conocido al segundo miembro del sistema de ecuaciones. La segunda forma consiste en añadir un caudal a la ecuación de la celda en la que se desea imponer el nivel conocido calculado mediante la ecuación: QC  = α  ( hC   − H )   donde α  sea suficientemente grande como para que hc → H. Es preciso indicar que el nivel impuesto puede ser variable en el tiempo, es decir,  H=H(t) y  H=H(t)  y por tanto se trata de nivel conocido aunque no fijo.

Caudal Fijo o conocido  conocido  Se trata de imponer que QC =Q =Q lo que se consigue simplemente sumando este caudal a la ecuación de la celda C, C, por  por ejemplo: T x

h E − hC

∆y + T x

∆ x = −W ∆ x ∆ y + Q

hW

− hC ∆x

∆ y + Ty

hN − hC

∆ x + Ty

∆y

hS − hC 

∆y

∆x  

(Q> Q>0 0 equivale a bombeo de agua del acuífero y Q