Metodos Numericos ejercicios resueltos

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN ESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA CURSO: METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA GEOLOGICA PROF. Ph.D. EDWIN M. PINO VARGAS I SEMESTRE 2015

1er EXAMEN PARCIAL DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA GEOLOGICA 1) Un ingeniero planifica la extracción extracción de material en tres canteras canteras para una construcción construcción 3 específica. La composición de cada cantera y los requerimientos (m ) de la obra en las próximas tres semanas es la siguiente: CANTERAS

3

PORCENTAJES DE Ar ena

Gr a va Fi na

Gr a va Gr ues a

Ca nter a 1

25

40

35

Ca nter a 2

55

30

Ca nter a 3

30

25

MATERIALES

REQUERIMI REQUERIMI ENTOS ENTOS (m ) Sema na 1

Sema na 2

Sema na 3

Ar ena

3800

4900

290 0

15

Gr a va Fi na

4600

6000

360 0

45

Gr a va Gr ues a

4500

5800

350 0

El ingeniero debe determinar la cantidad de metros cúbicos de material que debe extraer de cada cantera semanalmente, usar métodos matriciales (6 puntos). 2) El desplazamiento de una estructura estructura está definido por la siguiente siguiente ecuación para una una vibración amortiguada . Donde k=0,5 y w=3. Se pide: a) Graficar la función y determinar en forma aproximada el tiempo transcurrido para para que el desplazamiento disminuya a 6. Para graficar hágalo en un rango de 0 a 0,40 para “t” con tamaño de paso de t de 0,05. (3 puntos). b) Utilice el método de Newton Raphson Raphson para determinar el tiempo transcurrido transcurrido para que el desplazamiento disminuya a 6. (3 puntos). ………. Algoritmo de Newton Raphson. 3) Calcular el tiempo de enfriamiento de una bola bola que está a 800°K y se deja enfriar enfriar en el aire hasta una temperatura de 600°K. Suponiendo que el calor se pierde solamente debido a la radiación, la ecuación diferencial de la temperatura de la bola está dada: dT  dt 

2,2067 10

 

12



T 

4



8



8110 …… Usar: …… Usar: un paso h=60 segundos

Se pide: a) Calculo del tiempo de enfriamiento usando usando RK-1. (4 puntos). b) Graficar la curva curva de enfriamiento enfriamiento según datos datos dados. (1 puntos). c) Escriba un programa programa en MATLAB para la solución del problema. (3 puntos).

SIN DOCUMENTOS DE CONSULTA

SOLUCION PROBLEMA 1 CANTERAS

PORCENTAJES DE Arena

Grava Fina

Grava Gruesa

Cantera 1

25

40

35

Cantera 2

55

30

15

Cantera 3

30

25

45 3

MATERIALES

REQUERIMIENTOS (m ) Semana 1

Semana 2

Semana 3

Arena

3800

4900

2900

Grava Fina

4600

6000

3600

Grava Gruesa

4500

5800

3500

Sea Xi la cantidad de material extraído de la cantera i, con i =1, 2 y 3. El sistema de ecuaciones a resolver es:

0,25 X1 + 0,55 X2 + 0,30 X3 = b1 0,40 X1 + 0,30 X2 + 0,25 X3 = b2 0,35 X1 + 0,15 X2 + 0,45 X3 = b3 SEMANA 1

X1

X2

X3

bi

0.25

0.55

0.30

3800

0.40

0.30

0.25

4600

0.35

0.15

0.45

4500

-2.438

5.063

-1.188

8681.25

X1

2.313

-0.188

-1.438

1456.25

X2

1.125

-3.875

3.625

2762.50

X3

X1

X2

X3

bi

0.25

0.55

0.30

4900

0.40

0.30

0.25

6000

0.35

0.15

0.45

5800

-2.438

5.063

-1.188

11543.75

X1

2.313

-0.188

-1.438

1868.75

X2

1.125

-3.875

3.625

3287.50

X3

X1

X2

X3

bi

0.25

0.55

0.30

2900

0.40

0.30

0.25

3600

0.35

0.15

0.45

3500

-2.438

5.063

-1.188

7000.00

X1

2.313

-0.188

-1.438

1000.00

X2

1.125

-3.875

3.625

2000.00

X3

SEMANA 2

SEMANA 3

SOLUCION PROBLEMA 2 a) Graficando la función t

f(t)

0.00

2.00000

0.05

1.71487

0.10

1.26995

0.15

0.68307

0.20

-0.02564

0.25

-0.83429

0.30

-1.71980

0.35

-2.65848

0.40

-3.62661

b) Aplicando Newton Raphson Reemplazando k=0,5 y w=3 en la función:

Derivando la función:

Estableciendo el Algoritmo de Newton Raphson:

Iteración

t

f(t)

f´(t)

1

0.50000

-5.55928

-18.86476

2

0.20531

-0.10716

-15.45888

3

0.19838

-0.00095

-15.18383

4

0.19831

0.00000

-15.18131

5

0.19831

0.00000

-15.18131

El valor final de t=0,1983.

SOLUCION PROBLEMA 3 dT  dt  T (t 



0)

12



2,2067 10

 



T 

4



8

8110



800 K 

h=60

a) Calculo del tiempo de enfriamiento usando RK-1 Solución RK1 Tiempo

T

K1

K2

K3

K4

0

800.00000

-53.15940

-46.30337

-40.88041

-43.22836

60

756.68177

-42.33333

-37.67658

-33.85669

-35.23848

120

721.18200

-34.74330

-31.41511

-28.61055

-29.48138

180

691.40419

-29.18431

-26.70976

-24.58101

-25.15994

240

665.95948

-24.97023

-23.07152

-21.41128

-21.81296

300

643.88809

-21.68565

-20.19099

-18.86670

-19.15529

360

624.50347

-19.06636

-17.86454

-16.78806

-17.00152

420

607.30012

-16.93731

-15.95356

-15.06434

-15.22615

480

591.89665

-15.17847

-14.36089

-13.61613

-13.74138

540

577.99925

-13.70514

-13.01671

-12.38540

-12.48412

600

565.37744

-12.45601

-11.86968

-11.32890

-11.40795

El tiempo para que la bola llegue a los 600 °K debe estar entre 420 y 480 segundos, podemos estimar que es 450 °K aproximadamente.

b) Graficar la curva de enfriamiento según datos dados.

c) Programa MATLAB %PLACA CALENTADA METODO RUNGE-KUTTA clear, clc format short dt=60; Tf=600; T(1)=800; a=-2.2067E-12; for i=1:Tf K1(i)=dt*a*(((T(i))^4)-81E8); K2(i)=dt*a*(((0.5*K1(i)+T(i))^4)-81E8); K3(i)=dt*a*(((0.5*K2(i)+T(i))^4)-81E8); K4(i)=dt*a*(((K3(i)+T(i))^4)-81E8); T(i+1)=T(i)+(1/6)*(K1(i)+2*K2(i)+2*K3(i)+K4(i)); y(i)=T(i); end w=1:Tf; plot(w,y) grid xlabel('TIEMPO TRANSCURRIDO (seg)') ylabel('TEMPERATURAS(°K)' ) title('CURVA DE TEMPERATURAS RUNGE-KUTTA' ) h = legend('temperaturas calculadas',1);