Métodos Numéricos Con MATLAB - John Mathews, Kurtis Fink - 3ed

 

´ PONTIFICIA UNIVERSID UNIVERSIDAD AD CAT CATOLICA DE VALPARA ALPARA´ ISO. CONTROL CONTR OL 2

MAT-1198. C´ a alc l culo ul o Num´ Nu m´ eri rico co..

Segundo Semestre del 2018. En cada c´alculo alculo que realice utilice 4 decimales truncados. 1. (20 puntos) puntos) Determine   A   y   C  mediante una linealizaci´on on de datos, de tal manera Ax que la funci´on on   y  =  C e se ajuste a los datos (0, 1.5), (1, 2.5), (2, 3.5) y (3, 5.0). Hint: Use   ln(y) =  ln (C eAx) =  l ln n(C ) +  Ax Considerandoo Desarrollo.   Considerand

yˆi  =  ln (yi ), B  =  l  ln n(C ) podemos desarrollar la tabla sigu-

iente k

  yˆk   xk  ˆ yk   x2k 0.4054 0.0000 0

xk   yk 0 1.5

1 2 3 4 

1 2 3   6

k

2.5 3.5 5.0 12.5

0.9162 1.2527 1.6094 4.1837

0.9162 1 2.5054 4 4.8282 9 8.2498 14

que nos da el siguiente sistema de ecuaciones de 2 × 2 14A   + 6B   = 8.2498 6A   + 4B   = 4.1837 que tiene como soluci´on on   A  = 0.3948 y   B   = 0.4537, luego   C   =   eB = 1.574 5741. 1. As As´´ı llaa 0.3948x funci´ on on buscada es   y  = 1.5741e 2. Para la funci´on on   f (x) =

√ x  y los nodos   x  = 1, x  = 2, x  = 4, x  = 5: 0

1

2

3

(a) (10 puntos) Calcule Calcule las tablas de diferencias diferencias divid divididas idas para la funci´ oon n dada. Desarrollo.  La tabla de diferencias divididas queda de la siguiente forma: xk

1.0000 2.0000 4.0000 5.0000

 

f [xk ]   1.0000 1.4142 2.0000 2.2360

f [   ,   ]   f [   , ,   ]   f [   , , ,   ]

0.4142 0.2929 0.2360

  −0.0404   −0.0189

0.0053

(b) (10 puntos puntos)) Escrib Escribaa los polinom polinomios ios inter interpolad poladore oress de newton newton   P 1(x), P 2 (x) y P 3 (x),   que son los de utilizan los nodos   x0   y   x1 ;   x0 , x1 y   x2 ;   x0 , x1 , x2   y   x3 respectivamente.

•   P  (x) = 1.0000 + 0.4142(x − 1.0000) 1

  P 2 (x) = 1.0000 + 0.4142(x

1.0000) 0.0404(x 1.0000)(x 2.0000) ••   P 3(x) = 1.0000 + 0.4142(x−− 1.0000)−− 0.0404(x−− 1.0000)(x−− 2.0000) + 0.0053(x − 1.0000)(x − 2.0000)(x − 4.0000) 1

 

(c) (10 puntos) Determine Determine el error absoluto y relativ relativoo cometido en   x  = 2.5 para el polinomio de mayor grado. Desarrollo.

El √  valor aproximado por el polinomio es   P 3(2.5) = 1.5851 y el valor real es 2.5 = 1.5811, as as´´ı el error absoluto y relativo est´an an dado por   E ((22.5) = 0.0040 y   R(2.5) = 0.0025 respectivamente. 3. (10 puntos) Sea   A ∈   R. Utilizando Utilizando una funci´ funci´ oon n adecuada y el m´edoto edoto de NewtonRaphson deduzca la siguiente f´ormula ormula de recursi´on on 2 pk

−1

 pk   =

para aproximar

 +  p  A

2 k−1

3

√ 

  3

A.

√ 

  3

la funci´on on   f (x) =   x3 − A,   la cual tiene como ra´ ra´ız a A,   y aplicando el m´etodo etodo iterativo de Newton-Raphson tenemos t enemos que   f  (x) = 3x3 y por lo tanto la f´ormula ormula de recusi´oon n ser´ se r´ıa ıa Desarrollo.   Considere



 pk   =  p k−1

−

f ( pk )   =  p k−1 f  ( pk−1 )

−

 pk

−1

3 p2k

− A = 3 pk − pk −1

−1

2

2 p

3

3

3 −1

3 p2k

−1

−1

 +  A =

k

−1

 +

  A 2

 pk−1

3