Metodos Numericos Aplicados en Geomecanica

I.

MODELACION NUMERICA

El modelado numérico (a veces llamado modelación numérica) es una técnica basada en el cálculo numérico, utilizada en muchos campos de estudio (ingeniería, ciencia, etc) desde los años 60 para validar o refutar modelos conceptuales propuestos a partir de observaciones o derivados de teorías anteriores. Si el cálculo de las ecuaciones que representan el modelo propuesto es capaz de ajustar las observaciones, entonces se habla de un modelo consistente con las mismas, y se dice también que el modelo numérico que confirma las hipótesis (el modelo); si el cálculo no permite en ningún caso reproducir las observaciones, se habla de un modelo inconsistente con los datos y que refuta el modelo conceptual. A menudo, este término se utiliza como sinónimo de simulación numérica.

ORIGEN Los modelos científicos de la realidad se crean mediante modelado matemático. Un modelo matemático determina el conjunto de ecuaciones que gobiernan el sistema que se estudia y del cual se tienen observaciones metódicas. Tradicionalmente se intentaban encontrar soluciones analíticas a esas ecuaciones para validarlas (reproducir las observaciones) y para posibilitar su uso (p.e., predicción del comportamiento del sistema partiendo de un conjunto de parámetros y condiciones iniciales). Los modelos numéricos resultaron de utilizar los ordenadores con el mismo propósito: resolver las ecuaciones de un modelo matemático no de forma analítica sino numérica

OBJETIVO DE LA MODELACION NUMERICA La modelación numérica de los procesos geo-ingenieriles envuelve consideraciones diferentes de aquellas observadas en la modelación de materiales estructurales típicamente usados en la ingeniería civil. Cuando se analiza el comportamiento geo mecánico de estructuras construidas sobre o dentro de materiales geológicos (macizos rocosos) se debe tener en cuenta que los

resultados van a depender de la exactitud de los datos de entrada, provenientes de campo y laboratorio. En ciertas circunstancias es imposible acceder a todos los datos de campo en el sitio de las investigaciones, por lo que estos solamente podrán ser inferidos en forma indirecta El uso de la modelación numérica puede proporcionar una primera aproximación de la influencia de esa variabilidad de datos ingresados, y también predicen de forma aproximada el comportamiento geo mecánico. Como ya se mencionó, diferentes programas emplean diferentes formas de realizar el cálculo de soluciones para los mismos sistemas de ecuaciones. Programas como el Phase, FLAC, Abacus emplean el modelamiento con elementos finitos. Programas como el MAP 3D, Ex3D, Besol, emplean el modelamiento de elementos de borde. Los modelos numéricos no predicen la estabilidad, el tiempo de auto soporte, factor de seguridad

Es el análisis de los resultados del modelamiento numérico, lo que nos ayuda a INFERIR valores como factores de seguridad, probabilidad de falla, etc.

Siempre existen errores en el cálculo de los resultados, debido a valores inexactos de los parámetros de entrada; por tanto, para reducir los errores en los resultados debemos controlar los errores en los parámetros de entrada. 1. Geometría: Una estructura en la realidad es siempre 3D, por tanto, para reducir el error por geometría, se debe de aproximar en el modelo también en 3D. Una aproximación en 2D es aceptable siempre y cuando una de las dimensiones es muy superior a las otras 2, en este caso la sección es tomada de manera transversal a ésta (ejemplo: Un túnel de sección 4m x4m con más de 1km de largo) 2. Geología: Se debe de localizar los contactos litológicos con tanta precisión como sea posible, se tienen que tener en cuenta las estructuras geológicas principales (como fallas regionales). 3. Esfuerzos In-situ: Es preferible efectuar Ensayos In-situ para determinar la magnitud y la orientación de los esfuerzos. 4. Tipo de Modelo: Se debe de elegir entre modelos elásticos (mucho más simples y veloces) o modelos elastoplasticos (más complejos y de mayor manejo de variables) 5. Propiedades de los materiales: Cada litología debe contar con ensayos para la determinación de sus propiedades, de preferencia se debe de contar con varios ensayos tomados en diferentes ubicaciones y tiempos para un mismo tipo de roca de manera que se pueda realizar promedios ponderados y definir a anisotropía del material. Se debe evitar en lo posible la aproximación de valores en base a tablas o referencias. 6. Aproximación Numérica: Se debe de definir el grado de refinamiento con que se va a trabajar el modelo y de esa manera definir el tamaño promedio de los elementos que

intervienen en el cálculo. Elementos muy grandes generalizan valores en una gran área del macizo haciéndolo impreciso.

Limitaciones de la modelación numérica Un modelamiento numérico es solo una simulación, por tanto, nunca se tiene una certeza del 100% de los resultados. Para mejorar, el modelo debe ser refinado de manera constante. Se debe contrastar los resultados del modelo con los obtenidos en la realidad a lo largo del tiempo.

II.

METODOS NUMERICOS EMPLEADOS EN GEOMECANICA

Los métodos numéricos empleados en geo mecánica se dividen en dos categorías que son: Métodos de contorno: Únicamente el contorno del objeto de estudio en elementos y el interior del macizo rocoso es representado matemáticamente como un continuo infinito. Métodos de dominio: se discretiza el interior del macizo rocoso en elementos geométricamente simples a los que se le asigna las propiedades de macizo rocoso. Dentro

de estos métodos están: métodos de elementos finitos (MEF), métodos de las diferencias finitas (MDF), ambos se consideran el macizo rocoso como un continuo, también pertenece el método de elementos distintos (MED).

METODOS DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO A pesar de su complejidad el MEC esta llegando a ser cada vez mas popular porque es un método cuyo modelo matemático le hace de difícil comprensión , como se menciono anteriormente en este método se discretiza (dividir en pequeños elementos) la superficie del macizo rocoso por ser analizada. El MEC ha demostrado ser eficiente para modelar problemas homogéneos y linealmente elásticos, particularmente en tres dimensiones.

METODOS DE LOS ELEMENTOS DE DOMINIO Tenemos entre ellos: METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El MEF es el más usado y popular método numérico en las ciencias de la ingeniería. Su capacidad para resolver complejos problemas tenso-deformacionales ha hecho que sea atractivo en la comunidad de ingenieros de diversas ramas de la ingeniería. La aplicación del MEF en el diseño de proyectos de ingeniería civil y minería es principalmente un análisis de tensiones que conduce a la estimación de tensiones, deformaciones y desplazamientos inducidos por los procesos de excavación. Esta información proporciona importante guía hacia la evaluación ingenieril de la estabilidad, seguridad y economía del proyecto. Cuando aplicado en la ingeniería de rocas, el MEF consiste en discretizar el macizo rocoso que rodea una excavación en pequeños elementos conectados a través de nodos . En el

proceso se calculan los desplazamientos de los nodos y luego las tensiones en el interior de los elementos. METODOS DE LOS ELEMENTOS DISTINTOS Este método se caracteriza porque considera el macizo rocoso como un medio discontinuo en contraposición con el MEF, que considera el macizo rocoso como un medio continuo. El modelo matemático empleado por el MED requiere la repetida solución de ecuaciones de equilibrio dinámico para cada elemento, hasta que las leyes de contacto y condiciones de contorno sean satisfechas.

PRINCIPALES DIFERENCIAS ENTRE LOS METODOS METODOS DOMINIO(MEF,MDF,MED)

METODOS DE CONTORNO(MEC)

Requieren

esfuerzo

Requieren que el contorno del objeto de

computacional para la división del

estudio sea dividido elementos ,por lo que

macizo rocoso en elementos

el

un

mayor

esfuerzo

computacional

es

considerablemente menor Las condiciones de contorno deben

Dado que los métodos de contorno

estar alejadas de la superficie del

consideran el macizo rocoso como un

problema a ser estudiado, a fin de evitar

continuo infinito, las condiciones de

errores concernientes con la interacción

contorno

de la malla

especificadas en todo el macizo rocoso

pueden

ser

únicamente

III.

GENERALIDADES DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde hace varios siglos. El empleo de métodos de discretizado espacial y temporal y la aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o físicos es conocido desde antes. El concepto de elementos finitos parte de esa idea. Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la construcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretizado para determinar el volumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. En oriente también aparecen métodos de aproximación para realizar cálculos. Así el matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi de 3.1416. Actualmente el método se encuentra en una fase de gran expansión: es ampliamente utilizado en la industria y continúan apareciendo cientos de trabajos de investigación en este campo. Los ordenadores han aportado el medio eficaz de resolver la multitud de ecuaciones que se plantean en el MEF, cuyo desarrollo práctico ha ido caminando parejo de las innovaciones obtenidas en el campo de la arquitectura de los ordenadores. Entre éstas, además de permitir la descentralización de los programas de EF, ha contribuido a favorecer su uso a través de sofisticados paquetes gráficos que facilitan el modelado y la síntesis de resultados. Hoy en día ya se concibe la conexión inteligente entre las técnicas de análisis estructural, las técnicas de diseño (CAD), y las técnicas de fabricación.

INTRODUCCION AL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS  El método de los elementos finitos, es un procedimiento basado en técnicas computacionales, que puede ser usado para analizar estructuras y diferentes sistemas continuos. Es un método numérico versátil, y que es ampliamente aplicado para resolver problemas que cubren casi todo el espectro de análisis ingenieriles. Sus aplicaciones comunes, incluyen el comportamiento de sistemas estáticos, dinámicos y térmicos. Los avances en el hardware, han facilitado y aumentado la eficiencia del software de elementos finitos, para la solución de sistemas complejos de ingeniería sobre computadores personales.  Las aplicaciones del MEF van desde el análisis tenso-deformacional

de

automóviles, aeronaves, edificios, estructuras de puente, hasta análisis de los campos de flujo de calor, de fluidos magnéticos y de filtraciones. En la ingeniería geotécnica, el MEF ha sido aplicado con gran éxito en problemas de Mecánica de Suelos, Mecánica de Rocas e Ingeniería de Rocas.  El término “Elemento Finito” fue usado por primera vez en 1956 por Turner et al .Desde esta fecha hasta la presente se han escrito numerosos libros enfocando el problema el desde diferentes puntos de vista y aplicaciones.

IMPLEMENTACION DEL MEF La puesta en marcha de un programa de elementos finitos debe comenzar con un análisis de los objetivos.  Primero: es importante saber lo que se espera obtener como resultado de modelación numérica y cuáles son sus limitaciones.  Segundo: se requiere definir y juntar los datos de ingreso necesarios para el uso de un programa computacional .En la actualidad ,se encuentran disponibles una variedad de programas de elementos finitos ,cuyo grado de sofisticación ,facilidad de uso y costo varían considerablemente .El avance tecnológico ha permitido que

computadoras personales puedan fácilmente procesar análisis bidimensionales y tridimensionales  Tercero: la información obtenida debe ser analizada con propósitos ingenieriles

VISION GENERAL DEL MEF En el análisis bidimensional, la estructura bajo consideración es divida en elementos que pueden ser triangulares, rectangulares o regiones de cuatro lados, los que pueden ser rectos o curvos .Se asume que los elementos están conectados en ciertos puntos llamados nodos. Los nodos pueden estar localizados en los lados o en el interior de los elementos .A los elementos que tienen nodos en los lados así como en sus vértices se les denomina elementos parabólicos. Los elementos parabólicos se presentan como los mas populares y probablemente son los que menor tiempo computacional ocupan a la hora del proceso computacional .Las ecuaciones que describen la forma de los elementos son conocidas como funciones de forma La unión de varios elementos constituye la malla de elementos finitos .La configuración de la malla se realiza de forma arbitraria en dependencia de las necesidades del usuario, aunque en la práctica, se observa que mientras mayor es el número de elementos, mayor podrán ser el nivel de exactitud

PASOS PARA EL ANALISIS DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 1. Discretización o modelado de la estructura: La estructura es dividida en una cantidad finita de elementos, con ayuda de un preprocesador. Este paso es uno de los más cruciales para obtener una solución exacta del problema, de esta forma, determinar el tamaño o la cantidad de elementos en cierta área o volumen del elemento a analizar representa una ventaja del método, pero a la vez implica que el usuario debe estar muy conciente de esto para no generar cálculos innecesarios o soluciones erróneas. 2. Definir las propiedades del elemento: En este paso el usuario debe definir las propiedades del elemento.

3. Ensamblar las matrices de rigidez de los elementos: La matriz de rigidez de un elemento, consiste de coeficientes los cuales pueden ser derivados del equilibrio, residuos ponderados o métodos de energía. La matriz de rigidez del elemento se refiere a los desplazamientos nodales al ser aplicadas fuerzas en los nodos . El

ensamble de las matrices de rigidez, implica la aplicación de equilibrio para toda la estructura. 4. Aplicación de las cargas: Fuerzas externas concentradas o fuerzas uniformes y momentos son especificados en este paso.

5. Definir las condiciones de frontera: Las condiciones de apoyo deben ser dadas, por ejemplo, si el desplazamiento de ciertos nodos es conocido. Usando los elementos de la frontera se pueden determinar las reacciones en los mismos.

6. Solucionar el sistema de ecuaciones algebraicas lineales: La secuencial aplicación de los pasos descritos, conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas, donde los desplazamientos nodales son desconocidos.

7. Calcular los esfuerzos: El usuario puede entonces calcular los esfuerzos, reacciones, deformaciones u otra información relevante. El post-procesador ayuda a visualizar la salida en forma gráfica.