metodos numericos ajustes

U NIVERSIDAD NACIONAL DE S A N C RISTÓBAL DE H UAMANGA FACULTAD DE I NGENIERÍA M INAS , G EOLOGÍA Y C IVIL

A NÁLISIS E STRUCTURAL R ESOLUCIÓN DEL  P RIMER  E XAMEN  PARCIAL

Alumno:

Código:

Docente:

............................................................ ..........................

CASAFR CASAFRANC ANCA A LUZA LUZA Jhonata Jhonatann . . 16110562

Ing. QUISPE AUCAPUCCLLA Nolbert Luis

Índice general Introducción   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción

Capítulo 0 1. 0 1. AJUSTE DE CUR CURV VAS

Págin inaa 2

1.1. Ajuste Ajuste de curvas curvas y práctica práctica en ingen ingeniería iería . . . . . . . . . . . . . 1.2. ANTECEDENT ANTECEDENTES ES MA MATEMÁ TEMÁTICOS TICOS   . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. 1.2. 1. Estadí Estadística stica simpl simplee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Reg Regresión resión por mínimo mínimoss cuadrados cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. 1.3 .1. REG REGRES RESIÓN IÓN LIN LINEAL EAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. 1.3. 2. Ajust Ajustee de una línea recta por mínim mínimos os cuadr cuadrados ados   . . . . . 1.3.3. 1.3. 3. Lineal Linealizació izaciónn de de relacion relaciones es no no lineales lineales . . . . . . . . . . . 1.3.4. 1.3. 4. REGR REGRESIÓ ESIÓN N POLIN POLINOMIA OMIAL L . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. REGRESIÓN LINEAL MÚL MÚLTIPLE TIPLE   . . . . . . . . . . . . 1.3.6. 1.3. 6. MÍNIM MÍNIMOS OS CU CUADRA ADRADOS DOS LINE LINEALES ALES EN GENE GENERAL RAL   . 1.3.7. 1.3 .7. REG REGRES RESIÓN IÓN NO LIN LINEAL EAL   . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 0 2. 0 2. S. C. C. CHAPRA CHAPRA Y R. P. CANAL CANALE E 2.1. 2.1. 2.2.. 2.2 2.3.. 2.3 2.4.. 2.4 2.5.. 2.5 2.6.. 2.6 2.7.. 2.7 2.8.. 2.8 2.9.. 2.9

Problema Proble ma 01 Proble Pro blema ma 02 Proble Pro blema ma 03 Proble Pro blema ma 04 Proble Pro blema ma 05 Proble Pro blema ma 06 Proble Pro blema ma 07 Proble Pro blema ma 08 Proble Pro blema ma 09

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1

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3 3 3 4 4 4 6 7 7 8 8

Página Pág ina 10 . . . . . . . . .

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11 12 15 16 16 17 18 19 20

II

Resumen

INTRODUCCÍON

Es común que los datos se dan como valores discretos a lo largo de un continuo. Sin embargo,quizás usted requiera la estimación de un punto entre valores discretos. Esta parte del libro escribe las técnicas para ajustar curvas a estos datos para obtener estimaciones intermedias. Además,usted puede necesitar la versión simplificada de una función complicada. Una manera de hacerlo es calcular valores de la función en un número discreto de valores en el intervalo de interés.Después,se obtiene una función más simple para ajustar dichos valores. Estas dos aplicaciones se conocen como ajuste de curvas. Existen dos métodos generales para el ajuste de curvas que se distinguen entre sí al considerar la cantidad de error asociado con los datos. Primero, si los datos exhiben un grado significativo de error o ?ruido?, la estrategia será obtener una sola curva que represente la tendencia general de los datos. Como cualquier dato individual puede ser incorrecto,no se busca intersecar todos los puntos. En lugar de esto,se construye una curva que siga la tendencia de los puntos tomados como un grupo. Un procedimiento de este tipo se llama regresión por mínimos cuadrados. Segundo, si se sabe que los datos son muy precisos, el procedimiento básico será colocar una curva o una serie de curvas que pasen por cada uno de los puntos en forma directa. Usualmente tales datos provienen de tablas. Como ejemplos se tienen los valores de la densidad del agua o la capacidad calorífica de los gases en función de la temperatura. La estimación de valores entre puntos discretos bien conocidos se llama interpolación.

Capítulo 1 Ecuaciones no Lineales

AJUSTE DE CURVAS

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1.1 Ajuste de curvas y práctica en ingeniería Su primer encuentro con el ajuste de curvas podría haber sido determinar valores intermedios a partir de datos tabulados (por ejemplo, tablas de interés para ingeniería económica, o tablas de vapor en termodinámica). En lo que resta de su carrera,usted tendrá frecuentes oportunidades para estimar valores intermedios a partir de tablas.

1.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS Los fundamentos matemáticos de la interpolación se encuentran en el conocimiento sobre las expansiones de la serie de Taylor y las diferencias finitas divididas que se presentaron en el capítulo 4. La regresión por mínimos cuadrados requiere además de la información en el campo de la estadística. Si usted conoce los conceptos de la media, desviación estándar, suma residual de los cuadrados, distribución normal e intervalos de confianza, puede omitir el estudio de las siguientes páginas y pasar directamente a la sección PT5.3. Si no recuerda muy bien estos conceptos o necesita de un repaso, el estudio del siguiente material le servirá como introducción a esos temas.

1.2.1. Estadística simple El estadístico de posición más común es la media aritmética y¯. La media aritmética de una muestra se define como la suma de los datos  y i  dividida entre el número de datos (n), o donde la sumatoria (y todas las sumatorias que siguen en esta introducción) va desde i = 1 hasta n. y¯ =



yi n

La medida de dispersión más común para una muestra es la desviación estándar (sy ) respecto de la media, sy =

 

S t

n

− 1

donde (S t ) es la suma total de los cuadrados de las diferencias entre los datos y la media, o S t  =



(yi

2

− ¯y)

La dispersión también se puede representar por el cuadrado de la desviación estándar, llamada la varianza: sy 2 =

S t

n  1

−

Se deberá observar que hay otra fórmula alternativa más conveniente, para calcular la desviación estándar, 2

sy =

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yi 2

 −  (

yi )2/n

n  1

−

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1.3 Regresión por mínimos cuadrados Cuando los datos tienen errores sustanciales, la interpolación polinomial es inapropiada y puede dar resultados poco satisfactorios cuando se utiliza para predecir valores intermedios. Una estrategia más apropiada en tales casos consiste en obtener una función de aproximación que se ajuste a la forma o a la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente en todos los puntos. Para dejar a un lado dicha subjetividad se debe encontrar algún criterio para establecer una base para el ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. Una técnica para lograr tal objetivo, llamada regresión por mínimos cuadrados, se analizará en este trabajo.

1.3.1.

REGRESIÓN LINEAL

El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajustar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos. La expresión matemática para la línea recta es: y = a 0 + a1 x + e

donde a0 ya1  son coeficientes que representan la intersección con el eje y y la pendiente, respectivamente, e es el error, o diferencia, entre el modelo y las observaciones. La estrategia que mejor nos conviene para los errores residuales consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal: n

S r =

2

ei =

i=1

1.3.2.

n

 

n

(yi,medida

i=1

− y

i, m´od elo )

2

=



(yi

i=1

− a − a x ) 0

1 i

2

Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados

Para determinar los valores de a0 y  a1 , se deriva con respecto a cada uno de los coeficientes: ∂S r = ∂a 0

 − −  − − −  −    −2

∂S r = ∂a 1

2

(yi

[(yi

 a0

 a0

 a1 xi )

 a1 xi )xi ]

Cuando asumimos un error cero tendremos: a1  =

n

xi yi n xi 2

xi yi  ( xi )2

− a  = y¯ − a x ¯ 0

1

donde  ¯y  y  ¯x son las medias de y y x, respectivamente.

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Error estándar del estimado. Una ?desviación estándar? para la línea de regresión se determina como sigue: sy/x  =

 

S r

n

− 2

La diferencia entre estas dos cantidades,S t − S r , cuantifica la mejora o reducción del error por describir los datos en términos de una línea recta en vez de un valor promedio. Como la magnitud de esta cantidad depende de la escala, la diferencia se normaliza a  S t  para obtener: r2 =

S t

− S 

r

S t

donde r2 se de determinación y r es el coeficiente de √ r2conoce como el coeficiente correlación( ) . En un ajuste perfecto,S r = 0 y r = r2 = 1, significa que la línea explica el 100 % de la variabilidad de los datos. Si r = r2 = 0  y S r = S t  el ajuste no representa alguna mejora. Una representación alternativa para r que es más conveniente para implementarse en una computadora es: r =

      −   −  n

n

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

xi 2

xi yi

− (

xi )(

 (

xi ) n

yi )

yi 2

 (

yi )2

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1.3.3. Linealización de relaciones no lineales Cambio de variables para linealizar los datos función y=f(x) Linealizacion Y=Ax+B A x

+ B

y=

D x+C 

y =

y = A x1  + B

y =

−1 (xy) + D C  C 

Cambios

X  = x1 , Y  = y

X  = xy, Y  = y C  = −1  , D = −B A A

y =

1 Ax+B

1 y

= Ax + B

X  = x, Y  =

1 y

y =

x Ax+B

1 y

= A x1 + B

X  = x1 , Y  =

1 y

y = A ln(x) + B

y = C eAx

ln(y) = Ax + ln(C )

y = C xA

ln(y) = A ln(x) + ln(C )

y = (Ax + B)−2

y = Cxe

y=

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y = A ln(x) + B

−Dx

L 1+Ce Ax

y−1/2 = Ax + B

ln( xy )

ln( Ly

=

−Dx + ln(C )

 − 1) = Ax + ln(C )

X   = ln(x), Y  = y

X  = x, Y  = ln(y) C  = e B

X   = ln(x), Y  = ln(y) C  = e B

X  = x, Y  = y −1/2

X  = x, Y  = ln( xy ) C  = e B , D = A

−

X  = x, Y  = ln( Ly C  = e B

 − 1)

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1.3.4. REGRESIÓN POLINOMIAL El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste de datos con un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de segundo grado o cuadrático: y = a 0 + a1 x + a2 x2 + e

En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es: n

2

 − − −   −  − − −   − − −  −  − − −   −  

S r =

yi

 a0

 a2 xi 2

 a1 xi

i=1

∂S r = ∂a 0

yi

2

 a0

 a1 xi

 a2 xi 2

∂S r = ∂a 1

2

x1 yi

 a0

 a1 xi

 a2xi 2

∂S r = ∂a 2

2

x1 2 yi

 a0

 a1 xi

 a2 xi 2

sy/x =

n

−

S r  (m + 1)

1.3.5. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Una extensión útil de la regresión lineal es el caso en el que y es una función lineal de dos o más variables independientes. Por ejemplo, y podría ser una función lineal de  X 1  y  X 1  , como en: y = a 0 + a1 x1 + a2 x2 + e n

2

 − − −    −  − − −  − − −  −  − − −  −                      S r =

yi

 a0

 a1 x1i

 a2 x2i 2

i=1

∂S r = ∂a 0

yi

2

 a1x1i

 a2 x2i 2

∂S r = ∂a 1

2

x1 yi

 a0

 a1 x1i

 a2x2i 2

∂S r = ∂a 2

2

x1 2 yi

 a0

 a1 x1i

 a2 x2i 2

n x1i x2i

x1i x2 1i x1i x2i

x2i x1i x2i x2 2i

sy/x =

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 a0

n

a0 a1 a2

−

=

yi x1i yi x2i yi

S r  (m + 1)

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1.3.6. 1.3.7.

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MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES EN GENERAL REGRESIÓN NO LINEAL

Hay muchos casos en la ingeniería donde los modelos no lineales deben ajustarse a datos. En el presente contexto, tales modelos se definen como aquellos que tienen dependencia no lineal de sus parámetros. Por ejemplo, f (x) = a 0 (1

− e

−a1 x

) + e

1.3.7.1. método Gauss - Newton Para ilustrar cómo se logra esto, primero se expresa de manera general la relación entre la ecuación no lineal y los datos, de la manera siguiente: yi = f (xi ; a0 , a1 ,...,am ) + ei

El modelo no lineal puede expandirse en una serie de Taylor alrededor de los valores de los parámetros y cortarse después de las primeras derivadas. Por ejemplo, para un caso con dos parámetros: ∂f (xi ) j ∂f (xi ) j ∆a0 + ∆a1 ∂a 0 ∂a 1 donde j = el valor inicial, j + 1 = la predicción,∆a0 = a0,j+1  a 0,j  . De esta forma, hemos f (xi ) j+1 = f (xi ) j  +

 −

linealizado el modelo original con respecto a los parámetros y obtenemos: yi

− f (x )

i  j

=

∂f (xi ) j ∂f (xi ) j ∆a0 + ∆a1 + e1 ∂a 0 ∂a 1

O en forma matricial:

{D} = [Z  ] {∆A} + {E } J 

donde:

[Z  j ] =

  

∂f 1 /∂a 0 ∂f 1 /∂a 1 ∂f 2 /∂a 0 ∂f 2 /∂a 1 . . . . . . ∂f n/∂a0 ∂f n /∂a 1

  

donde n = el número de datos y ∂f i /∂a k  = la derivada parcial de la función con respecto al k-ésimo parámetro evaluado en el i-ésimo dato. El vector D contiene las diferencia entre las mediciones y los valores de la función:

{D} = Ingenieria civil

   

y1 y2

yn

− f (x ) − f (x ) 1 2

−

. . .  f (xn )

   

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y el vector  ∆A contiene los cambios en los valores de los parámetros,

{∆A} =

   

   

∆a0 ∆a1 . . . ∆am

Si se aplica la teoría de los mínimos cuadrados lineales se obtienen las siguientes ecuaciones normales :



T 

{

[Z  j ] [Z  j ]



∆A  = [Z  j ]

}

T 

{D} ∆



Así, el procedimiento consiste en resolver para ∆A, que se utiliza para calcular valores mejorados de los parámetros, como en: a0,j+1  = a 0,j  + ∆a0 a1,j+1  = a 1,j  + ∆a1

Este procedimiento se repite hasta que la solución converge, es decir, hasta que

|ε |

a k





ak,j+1  ak,j = 100% ak,j+1

−

está por debajo de un criterio de terminación aceptable.

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Capítulo 2 Ecuaciones no Lineales

S. C. CHAPRA Y R. P. CANALE

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2.1 Problema 01 Utilice la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a: x 0 2 4 6 9 11 12 15 17 19 y 5 6 7 6 9 8 7 10 12 12 Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Haga una gráfica de los datos y la línea de regresión. Después repita el problema, pero ahora efectúe la regresión de x versus y, es decir, intercambie las variables. Interprete sus resultados. Solución:

La ecuación de la recta es: y = 0,35247x + 4,8515

Cambiando el orden de los datos y por x:

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la ecuación de la recta nueva sería: y = 0,91477x + 2,3741

Al dibujar simultáneamente las gráficas se ve que la primera parte es una pendiente más pronunciada que las segunda pero los puntos están a la misma distancia a la recta que en el segundo caso, se ve como si fuera como un espejo la recta al cambiar los puntos x por y.

2.2 Problema 02 Emplee la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a:

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x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 1.5 2 3 4 5 8 10 13 a) Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Grafique los datos y la línea recta. Evalúe el ajuste. b) Vuelva a hacer el cálculo del inciso a), pero use regresión polinomial para ajustar una parábola a los datos. Compare los resultados con los del inciso a). Solución:

La ecuación de la recta es: y = 1,4583x

− 2,0139

El error estándar es: 1.3067 El coeficiente de correlación es: 0.95622

Ahora hallamos la ecuación de la parábola:

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La ecuación para la parábola sería: y = 0,159x2

Al dibujar simultáneamente las gráficas se ve que la la ecuación de la parábola se acerca más al ajuste de curvas.

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2.3 Problema 03 Ajuste los datos siguientes con el modelo de potencias ( y = axb ). Use la ecuación de potencias resultante para hacer el pronóstico de y en x = 9. x 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20 y 13 11 8.5 8.2 7 6.2 5.2 4.8 4.6 4.3

Solución: La ecuación solicitada de la forma y = ax b es: y = 21,1458x−0,54029

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Para hallar el pronóstico de y en x=9: y = 21,1458(9)−0,54029 y = 6,4514

2.4 Problema 04 Ajuste a un modelo exponencial a : x 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.3 y 800 975 1500 1950 2900 3600 Grafique los datos y la ecuación tanto en papel milimétrico como en semilogarítmico. Solución: La ecuación solicitada de la forma y = ae b x es:

y = 546,5909(e)0,81865x

2.5 Problema 05 En vez de usar el modelo exponencial de base e , una alternativa común consiste en utilizar un modelo de base 10. y = α 5 10β

5

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x

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Cuando se usa para ajustar curvas, esta ecuación lleva a resultados idénticos que los de la versión con base e, pero el valor del parámetro del exponente (b). Use la versión con base 10 para resolver el problema 04(17.10) Además, desarrolle una formulación para relacionar β 1 = β 5 Solución: La ecuación solicitada de la forma y = a10b x es: y = 546,5909(10)0,35554x

Relacionando los exponenciales β 1 = β 5 tenemos: β 1  = k.β 5 0,81865 = k(0,35554) k = 2,302

Por lo tanto: β 1 = (2,302)β 5

2.6 Problema 06 Además de los ejemplos de la figura 17.10, existen otros modelos que se pueden hacer lineales con el empleo de transformaciones. Por ejemplo, y = α 4 xeβ

4

x

Haga lineal este modelo y úselo para estimar  α 4 y  β 4  con base en los datos siguientes. Elabore una gráfica del ajuste junto con los datos. Solución: La ecuación solicitada de la forma y = axe b x es:

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y = 1548,9486xe−0,059509x

2.7 Problema 07 Ajuste a una ecuación cubica: x 3 4 5 7 8 9 11 12 y 1.6 3.6 4.4 3.4 2.2 2.8 3.8 4.6

Solución: La ecuación solicitada de la forma y = ax 3 + bx2 + cx + d

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es: y =

3

 −11,4887x

+ 7,14382x2

− 1,04121x + 0,046676

2.8 Problema 08 Utilice regresión lineal múltiple para ajustar 0 1 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 1 2 1 2 1 2 y 15.1 17.9 12.7 25.6 20.5 35.1 29.7 45.4 40.2 Calcule los coeficientes, el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Solución: La ecuación resultante es: x1 x2

y = (7,773) x1

− (3,161) x2 + 14,852

Hallando el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación

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2.9 Problema 09 Después de una tormenta, se vigila la concentración de la bacteria E. coli en un área de natación: t(hrs) 4 8 12 16 20 24 c(CFU/100ml) 1590 1320 1000 900 650 560 El tiempo se mide en horas transcurridas después de finalizar la tormenta, y la unidad CFU es una ?unidad de formación de colonia?. Use los datos para estimar a) la concentración al final de la tormenta (t = 0), y b) el tiempo en el que la concentración alcanzará 200 CFU / 100 mL. Observe que la elección del modelo debe ser consistente con el hecho de que las concentraciones negativas son imposibles y de que la concentración de bacterias siempre disminuye con el tiempo. Solución: Debido a que disminuye la cantidad de bacterias y no hay cantidades negativas usaremos la expresion exponencial:y = ae b x. La ecuación resultante es: y = 1978,6287e−0,0532

Consecuentemente: La concentración en t=0 es 1978.6287

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El tiempo para alcanzar 200 CFU / 100 mL es: 43.08 d

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