Métodos Multivariantes Del Control Estadístico de La Calidad

 

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS INGENIERÍA COMERCIAL

MÉTODOS MULTIVARIANTES DEL CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD  

UNIVERSITARIOS:   GRUPO: BOLO:   BOLO: ASIGNATURA:   ASIGNATURA: CALIDAD DOCENTE:   DOCENTE: MATERIA:   MATERIA:

MAMANI CHINO EBED ARIEL SANCHEZ CALLE LUIS FERNANDO 11 7 ECONOMIA DE LA PRODUCCION Y CONTROL DE LA LIC. JHONNY EDGAR MERCADO ROSSELL SEMINARIO TERMINAL II

ORURO – BOLIVIA   MÉTODOS MULTIVARIANTES DEL CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD 1. IN INTR TROD ODUC UCCI CIÓN ÓN.. Muchos no conocemos la definición exacta de lo que es Control de Calidad y Control Estadístico de la Calidad; antes de empezar a desarrollar el tema daré algunas defini def inicio ciones nes de Contro Controll de Calida Calidad, d, Con Contro troll Estadí Estadísti stico co de la Cal Calida idad, d, asp aspect ectos os generales de la Calidad y causas de la variación de la calidad, para luego presentar  como el caso Multivariado veremos la vigilancia del proceso mediante gráficos de

 

control T2 de Hotelling, MCUSUM y métodos MEWMA, como métodos para ser  usados en procesos de producción. Existen situaciones en las cuales es necesario el control simultáneo de 2 o más características de calidad para comprobar la calidad de un producto, este control simultáneo permite tener métodos para tener un nivel competitivo para enfrentarse a industrias modernas con métodos multivariados. ¿Qué es Control Estadístico de la Calidad (CEC)? 

Es una metodología orientada a la mejora de procesos productivos/servicios basada en la utilización de criterios estadísticos. Se miden características de calidad de un producto o servicio y se comparan con valores especificados, tomando las acciones correctivas cuando ambos valores no coinciden. El Control Estadístico de la Calidad en general nos permite reducir la variabilidad en los Procesos / servicios. La mejora de procesos/servicios lleva a la reducción del número de fallos y a la disminución de costes y ello permite: • Mejorar la competitividad de las empresas • Aumentar la calidad y por tanto la satisfacción del cliente y lo fideliza Es por ello que ejercitar nuevos métodos en un enfoque multivariado permitiría a las empresas afinar los controles de procesos y optimizar la calidad de los bienes y/o servicios. 2. GRAFICOS DE CONTROL MULTIVARIANTES En los procesos de producción actuales, para controlar la calidad de los productos es necesario vigilar más de una característica simultáneamente. Una primera posibilidad sería desarrollar métodos estadísticos de control para cada una de las características, es decir, aplicar técnicas de control de calidad univariantes de forma independiente. Sin embargo, sería imposible controlar el efecto de las interacciones entre las diversas variables, así como su variación a lo largo del tiempo; en términos estadísticos, se estaría obviando la información contenida en las covarianzas y su estabilidad. Con los gráficos multivariantes se busca lograr la estabilidad y mejorar la capacidad del proceso para disminuir la variación.  Además, el uso de acompañar varios gráficos univariantes altera el nivel de confianza de lo loss gráf gráfic icos os de co cont ntro rol.l. Así, Así, si anal analiz izam amos os dos dos va varia riabl bles es in inde depe pend ndie ient ntes es y distribuidas normalmente, la opción de representar gráficos individuales nos llevará a que la probabilidad de que exista una falsa alarma será (1 – α) · (1 – α), ya que ambas

 

variables deben de exceder sus límites de control, y si usamos los límites situados a tres desviaciones típicas esta probabilidad sería (0,0027).(0,0027) = 0,00000729. Igualmente, la probabilidad de que el gráfico indique correctamente que el proceso se encuentra bajo control es de ( 0,9973 )2=0,9946,modificando la estructura típica de los gráficos de control Shewhart. Obvi Ob viam amen ente te si el núme número ro de vari variab able less es ma mayo yor, r, el valo valorr de es esta ta prob probab abili ilida dad d disminuirá aún más. En general, estando bajo control, la probabilidad de cometer un error de tipo I si analizamos “p” características de calidad será de α , =1−( 1−α ) p  y la probabilidad de que todas las medidas caigan dentro de los límites de control es de ( 1− α ) p.

También la región de control ha de modificarse en un ambiente multivariante. Si manejamos dos variables independientes e intentamos controlar la calidad mediante dos gráficos univariantes, la región de control tendría la siguiente forma:

Si todas las observaciones caen dentro de la región de control (cuadro rallado en la figura 1), formada por los límites de control para cada una de las variables analizadas, se consideraría que el proceso está bajo control; por contra, si alguna observación cae fuera de esa región, el proceso se consideraría fuera de control y habría que analizar  sus causas. Sin Sin em emba barg rgo, o, la re repr pres esen enta taci ción ón de la re regi gión ón de cont contro roll pa para ra la lass do doss va vari riab able less analizadas de forma conjunta, en los gráficos tipo Shewhart tiene forma de elipse, cuya inclinación depende de la correlación existente entre las variables. Si éstas son independientes, la región de control va a tener la l a forma:

 

Si comparamos esta región de control con la anterior, podemos observar que existen zonas donde las observaciones están bajo control y que antes eran consideradas punt pu ntos os fu fuer era a de contr ontrol ol,, así así como como zo zona nass fuer fuera a de cont contro roll qu que e an ante tess no eran eran detectadas. Cuan Cu ando do la lass vari variab able less no son son in inde depe pend ndie ient ntes es,, la form forma a de la el elip ipse se de cont contro roll dependerá de la cuantía de la correlación y de su signo. Por ejemplo, para dos variables positivamente correlacionadas, la elipse de control será:

El uso de estas elipses de control presenta dos inconvenientes añadidos. El primero es que vamos a perder la secuencia temporal de las observaciones. El segundo está rela relaci cion onad ado o con con el núme número ro de va varia riabl bles es anal analiz izad adas as,, qu que e co comp mplilica ca ba bast stan ante te la estructura de correlación y la obtención de la región de control. De ahí que en la mayoría de los métodos de control multivariantes se recurra a la construcción de un estadístico resumen junto a sus límites de control para poder determinar si el proceso se encuentra o no bajo control estadístico, siguiendo una metodología similar a la utilizada con los gráficos univariantes.

 

El pri princi ncipal pal inc inconv onveni enient ente e qu que e presen presentab taban an est estos os método métodoss de co contr ntrol ol de ca calid lidad ad multivariantes era que los cálculos eran abundantes y requieren conocimientos de álgebra matricial, de ahí que la aplicación de estos gráficos de control multivariantes en las industrias haya sido lenta, aunque actualmente este problema está resuelto con la aparición de modernos ordenadores que desarrollan estos cálculos de una forma rápida y sencilla y que han posibilitado un mayor desarrollo e implantación de estas técnicas multivariantes dentro de las industrias como una herramienta de control de la calidad. Dentro de estas técnicas multivariantes, cabe destacar por su desarrollo y mayor uso tres grup grupos os:: méto método doss basa basado doss en dist distan anci cias as (T (T2 2 de Hote Hotellllin ing) g),, mé méto todo doss ME MEWM WMA A y métodos MCUSUM. 3. CONT CONTRO ROL LD DE E GRA GRAFI FICO CO T2 DE HOTELING .2

Hotelling ling se puede considerar considera r como la l a extensión mult multiva ivaria riante nte del gráfico gráfico de El gráfico T    de Hotel control Shewhart univariante. El estadístico T 2 es un escalar que combina información para la dispersión y media de las variables que estamos analizando. Si asu asumim mimos os una dis distrib tribuci ución ón no normal rmal multi multiva varirian ante te y se conocen los verdaderos parámetros de la distribución, es decir, conocemos el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas, el estadístico T 2 sigue una distribución chi-cuadrado. En el caso bivariante, bivar iante, este estadístico estadístico tendría la siguiente siguiente forma: 2

 x 0=

  n

σ  ( x´ − μ ) + σ  ( x´ − μ ) −2 σ   ( x´ − μ ) ( x´ − μ ) ]   [ σ  σ  − σ  2

2

2

2

1

2

12

2

2

1

1

2 1

2

2

2

12

1

1

2

2

Donde  x´ 1  y  x´ 2  son las medias muestrales muestrales de las respect respectivas ivas variab variables, les,  μ1  y  μ2 sus medias poblacionales, σ 1  y σ 2 las desviaciones típicas y σ 12  es la covarianza. Si estamos analizando mas de dos variables, el estadístico chi-cuadrado toma la siguiente forma: 2

γ 

−1

 x 0=n ( x´ i − μ )  Σ

( x´ i − μ ) (3.1 )

Donde  μ es el vector de medias,  Σ es la matriz de varianzas y covarianzas y “n” es el tamaño muestral. El limite superior de control se va a situar para un nivel de significación dado por  X 2( n , p ), y el límite inferior este situado en cero, ya que el estadístico no es negativo. Cuando los valores poblacionales no son conocidos, es necesario su estimación, dando origen al grafico T 2 de Hotelling. Con p variables y m muestras de tamaño n, la media y cuasivarianza muestral se calculan como:

 

 x´ jk =

k 

1

∑ x n =

ijk 

i 1

2

s jk =

{ ==

 j 1,2 , … .. , p k  1,2 , … . , m

k 

  1

∑ (  xx n −1 =

} }

{

− x´ijk  )2  j =1,2 , … .. , p ( 3.2 ) k = 1,2 ,… .. , m

ijk 

i 1

Donde  x ijk  es la i-esima observación en la j-esima característica de calidad en la muestra k. La cuasicovarianza entre dos características de calidad j y h se calcula para la muestra k como: Sijhk =

k 

  1

∑ ( x x n −1 =

{

 }

k =1,2 , … .. , m  x ihk − x´hk ) ( 3.3 ) − x´ jk ) ( x

ijk 

i 1

 j ≠ h

Con las expresiones anteriores podemos determinar la media y varianza para las m muestras y para las variables a través de las expresiones:  x´ = 2

 1

m

∑ x´   j=1,2 , … … .. , p

m k − 1

s j=

 jk 

m

 1

∑s m −

2

 j =1,2 , … … .. , p ( 3.4 )

 jk 

k  1

m

 1 S´ =  jk 

S  j ≠ h

m

∑ k − 1

 jhk 

Sustituyendo en la expresión (3.1), el estadístico T 2 queda: T  =n (  xx i− x´´ ) S 2

r

−1

( x x − x´´ ) (3.5 ) i

Para datos agrupados, el estadístico T 2 sigue una distribución F de Snedecor, por lo que los limites de control bajo los los supuestos usuales van a venir dados como:  LSC =

 p ( m −1 ) ( n −1 )  F  mn −n− p + 1 α , p,mn−m− p+ 1

 LIC =0 ( 3.6 )

 Así,í, pode  As podemo moss anal analiz izar ar si el pr proc oces eso o se se enc encue uent ntra ra ba bajo jo co cont ntro roll m med edia iant nte e lla a rep repre rese sent ntac ació ión nd de e llos os  junt nto o a di dich cho o llím ímite ite de co cont ntro rol.l. Cuan Cuando do el va valo lorr T 2para todas las muestras sea inferior  valores T 2 ju al LSC, el proceso se considera bajo control y, en caso contrario, que existe una anomalía que nos lleva a una situación fuera de control. Si bien la interpretación de los resultados era bastante sencilla en el caso univariante, en el caso multivariante la interpretación de estas señales fuera de control va a ser más compleja. El fin que perseguimos es detectar situaciones en las que el proceso presenta cambios moderados y una vez detectadas, determinar sus causas. En las técnicas multivariantes, determinar esa situación fuera de control es relativamente fácil, ya que el análisis es similar al caso univariante; pero determinar las causas que han provocado ese cambio será más complicado. Se han desarrollado algunas técnicas para ayudar en la interpretación de esas señales fuera de control, si bien, las más utilizada consiste en analizar 

 

gráficos de control univariantes correspondientes a cada una de las características de calidad y así int intent entar ar determ determina inarr qué caract caracterí erísti stica ca de ca calid lidad ad pro provoc voca a es esa a situac situación ión.. Est Este e cam camino ino presenta ciertos inconvenientes; el primero es que hay muchas variables y estas técnicas tienden a ser  tediosas por la cantidad de gráficos de control que analizar. La segunda, más importante, es que normalmente una señal fuera de control no es causada por una variable, sino más bien por  la interacción entre varias variables.  Así,í, por  As por e eje jemp mplo lo,, si est estam amos os a ana naliz lizan ando do dos dos car carac acte terí ríst stic icas as d de e cali calida dad d con con un una a al alta ta cor corre rela laci ción ón posi po sititiva va,, de debe bemo moss su supo pone nerr que que la lass medi medias as en ca cada da mu mues estr tra a pa para ra ca cada da un una a de la lass características deben tener una relación parecida, si no igual, respecto a la media del proceso

( x )  para cada variable. Es ddecir, ecir, si la media de la primera primera variable en una m muestra uestra supera a la  ´

media de dicha variable para el conjunto del proceso, debemos esperar que, en esa muestra, la media de la segunda variable también exceda a su media global. Si se observan movimientos en distinta dirección vamos a sospechar que el proceso probablemente se encuentre en una situación fuera de control, ya que habrá cambiado la correlación entre las variables. Esta anomalía no se detectaría con gráficos univariantes ya que no es debida a ninguna de las variables consideradas individualmente sino a la relación existente entre ellas. Si las dos desviaciones son en la misma dirección y una es mayor, esta situación se reflejará en el gráfico multivariante como una situación fuera de control y si analizamos los correspondientes gráficos univariantes podremos determinar a qué variable es debida esa situación. Por lo tanto, hay que desarrollar otra alternativa que sea más efectiva que el análisis univariante. En este sentido, Alt (1985) desarrolló gráficos de medias individuales con un control tipo Bonferroni que consiste básicamente sustituir en los límites de control establecidos para dichos número de falsas alarmas que ocurren gráficos Z α ∕   2 y Z α ∕   22 P   lo que nos va a permitir reducir el número cuando utilizamos simultáneamente muchos gráficos de control univariantes. Hayter y Tsui (1994) utilizaron un procedimiento de intervalos de confianza simultáneos tipo Bonferroni para cada una de las características de calidad. Estos intervalos de confianza son esencialmente unos sustitutos de los gráficos de control de media individuales y suelen ser más efectivos en la identificación de la característica de calidad que causa la señal fuera de control en los gráfic gráficos os mul multiv tivari ariant antes. es. La idea idea gen genera erall es con constr struir uir p int interv ervalo aloss (un (uno o par para a cad cada a característica de calidad) para cada muestra que produce una señal fuera de control en el gráfico de control multivariante. Este intervalo para el subgrupo j-ésimo y la característica de calidad i-ésima tendrá la siguiente forma:

 

 x´ i− t   α  2 p

 n ( n− 1)

S pi

√

√

m−1 m−1 m   ( 3.7 ) S pi   ≤ x´ i ≤ x´ i + t   α   n ( n− 1 ) mn mn 2  p

Donde:   x i es la media de la característica de calidad i-ésima para el conjunto del proceso.  



´

  S pi es la cuasidesviación típica muestral para la característica i-ésima. pi S

 “m” es el número de muestras que tenemos y “n” es el tamaño de cada muestra m   x i es la media de la característica i-ésima en la muestra j-ésima en la que se ha  

´

detectado una situación fuera de control. Si el valor de la media de la variable en esa muestra no se encuentra dentro de ese intervalo, entonces el valor de la característica de calidad debe ser investigado para las m muestras. Si se detecta una causa asignable, la muestra debe ser eliminada para todas las variables y habrá que volver a calcular el límite superior de control correspondiente. El problema de este procedimiento aparece a la hora de determinar el nivel de significación que vamos a utilizar para esos intervalos de confianza. Cuando el número de variables que manejamos no es muy elevado, es conveniente utilizar un nivel de confianza de 0,01. Si la media muestral no se sale de ningún intervalo habrá que sospechar que el motivo de la variación está en la estructura de correlación de las variables. Ot Otro ro proc proced edim imie ient nto o pa para ra in inte terp rpre reta tarr es esas as se seña ñale less fuer fuera a de co cont ntro roll co cons nsis iste te en la descompos desc omposición ición del esta estadístic dístico o T 2 de forma que nos mida la influencia de cada una de las variables. Si T 2es el valor del estadístico, y T 2( i) es su valor para todas las variablesdel proceso excepto la i-ésima, podemos calcular un indicador de la la contribución de la variable i-ésima sobre el conjunto de la siguiente forma: 2

2

ⅆ i=T  −T  (i)

Cuando aparece una situación fuera de control en un gráfico de control multivariante es conveniente calcular esta contribución para cada una de las variables y centrar nuestra atención en aquellas variables cuya contribución sea superior. Existen también otras técnicas, menos usuales en la práctica, para interpretar la señal de fuera de control. Por ejemplo, Jackson (1980) propone una basada en representar componentes principales en lugar de las variables originales, con el posible problema de interpretación de esos resultados cuando no sea fácil encontrar el significado de dichas componentes. Murphy (1987) recomienda un método que consiste en desarrollar un procedimiento basado en un análisis discriminatorio que nos permite agrupar las observaciones en grupos; y en Mason, Tracy y Young (1996) se propone una descomposición del estadístico T 2 de una forma más compleja que la anterior.

 

Por lo tanto es conveniente no utilizar estas técnicas de control multivariantes de forma aislada sino más bien complementadas por alguna de estas técnicas de análisis de señales fuera de contro con troll des descri critas tas que no noss van van a permit permitirir una interp interpret retaci ación ón más cla clara ra de los resul resultad tados os obtenidos. Este gráfico, igual que el Shewhart univariante, es sensible a grandes cambios en los datos, pero per o cu cuand ando o la sal salida ida de contro controll pro provoc voca a una ac acumu umulac lación ión de variac variacion iones es de mag magnit nitud ud moderada, esta técnica no es eficaz. Habría que recurrir a la extensión multivariante de otras técnicas de control desarrolladas para solucionar este mismo problema en el caso univariante. Dentro de éstas cabe destacar lo que se conoce como MCUSUM y MEWMA, que son la extensión multivariante de los gráficos de control CUSUM y MEWMA respectivamente. 4. CONTRO CONTROL LD DE E GRAF GRAFICO ICO EWM EWMA A El gráfico EWMA (Exponentially Weighted Moving Average), o gráfico de medias móviles con pesos exponenciales, fueron introducidos en 1971 por Wortham y Ringer, una vez más para suplir la deficiencia de los gráficos Shewart en detectar determinados alejamientos del proceso de su estado de control. Esta necesidad surgió de las empresas de procesos químicos. Tales procesos, ante la presencia de causas asignables, veían modificados sus parámetros generalmente de una manera muy lenta y de modo gradual, no a saltos. Cuando tal hecho ocurría, la aplicación de gráficos Shewart era insensible a tales cambios o, en el mejor de los casos, de efectos muy retardados. El gráfico EWMA posee “memoria”, pero ésta es de diferente naturaleza que la de los gráfic grá ficos os CUS CUSUM. UM. Mie Mientr ntras as que es estos tos últ último imoss da daban ban igual igual peso peso a cua cualqu lquier  ier  instante en el pasado, lo que se denomina “memoria de elefante”, los primeros dan pesos a los datos de una manera exponencia exponencial:l: contribuyendo contri buyendo en mayor cantidad al presente y cada vez menos cuanto más alejados están en el pasado, lo que se denomina “memoria humana”. Este hecho queda plasmado en la figura:

 

FIG.11.5 Pesos en los datos en la interpretación en el presente t ,, para  para gráficos:

Una Un a ca cara ract cter erís ístitica ca qu que e di dife fere renc ncia ia a los los gráf gráfic icos os EW EWMA MA del del rest resto o es qu que e la interpretación del gráfico se hace en función al comportamiento esperado del proceso en el instante siguiente. Para ver estos puntos definamos primero el estadístico a utilizar en el gráfico EWMA, este es una media, pero con pesos exponenciales. exponenciales. 2

3

 EWMA = y t +1= λ y t + λ ( 1− λ ) y t −1+ λ ( 1− λ )  y t −2 + λ ( 1− λ ) + … … … .

Tal es esta tadí díst stic ico o de depe pend nde e de los datos anterior anteriores es a través de un peso que decrece de forma exponencial. exponencial. Operando con con la anterior expresión: expresión:

 [

 y t +1= λ y t + λ ( 1− λ )  λ  λ y t −1+ λ (1 − λ )  y t − 2 + λ ( 1− λ )  y t −3 + … … … ..

]

 y t +1= λ y t + λ ( 1− λ ) y t   y t +1= y t + λ ( y t − y t )

Por lo tanto se llega a la expresión:  y t +1= y t + λ et  En ella, a  y t +1 

se le denomina “predicción” para el instante t +1 +1 hecha en el instante

-1 hecha para t y el t , y puede obtenerse a partir de la “predicción” en el instante t -1 “error de predicción”, corregida por un factor de  λ . Hay que entender que este estadístico así construido no predice el valor que se va a obtener obte ner en

el

proc proceso eso, puesto que el valor previsto para observaciones

independientes de un proceso en estado de control es la media. En cambio, es un valor que acumula la información del pasado, permitiendo así detectar pequeños cambios graduales en la media del proceso. Así, si el proceso está afectado únicamente por causas comunes, el estadístico  y t +1  se obtendrá por suma de datos 2 independientes distribuidos según una ley normal de parámetros  N   (( μ  μ , σ  )  y, por lo

 

tanto,  y t +1 seguirá una distribución normal con:  E [ y t +1 ] = λE [ y t  ] + λ ( 1 − λ ) E [ y t −1 ] + λ ( 1− λ )  E [ y t − 2 ] + λ ( 1− λ )  E [  yy t −3 ] 2

 E [ y t +1 ] = μ

∞

3

∑=  λ ( 1− λ ) = μ k 

k  0

2

V  [ y ^

t + 1

2

2

2

4

2

6

]= λ V  [ y  ]+ λ ( 1− λ ) V  [ y ]+ λ (1 − λ ) V  [ y ] + λ ( 1− λ ) V  [ y − ]+ …

V  [ [ y t +1 ] =σ   λ 2

^

t − 1

t 

∞

2

∑= ( 1− λ )

2 k 

=σ 2

k  0

t −2

t  3

  λ 2 − λ

(

 )

2   λ  μ , σ  , podemos utilizar los límites Es decir, al ser  y t +1  distribuido según una  N   μ 2− λ ^

de control definidos por :  Limite superior = μ + 3 σ   Limite central = μ  Limite inferior = μ− 3 σ 

√−  λ

2  λ

√−  λ

2  λ

y construir así el gráfico de control EWMA. En él representaremos las predicciones  y t +1 para el tiempo t +1. +1. Si se detecta alguna de las anomalías descritas en el apartado de gráficos X-R medidas oportunas en el tiempo t .  Además, recomendamos añadir en el gráfico EWMA las observaciones originales del proceso, con sus límites correspondientes, correspondientes, ya que que así, no se pierde las referencias reales de la característica de calidad bajo estudio; permite calcular de una manera sencilla los valores del EWMA,  y t +1, en cada instante. La sensibilidad los gráficos EWMA para detectar cambios en el proceso depende del valo alor que ado adopt pte e  λ . Si  λ 1, el valor de EWMA depende totalmente de las observaciones más recientes y el comportamiento del gráfico es similar al del gráfico Shewart. Sin embargo, conforme λ =0 se da más peso al comportamiento histórico del proceso, y en tal caso estamos acercándonos al tratamiento de los gráficos CUSUM. Aunque la elección de  λ  es libre y a juicio del investigador, si se usan los gráficos EWMA para aplicarlos sobre procesos que en estado de control generan observaciones que se pueden considerar independientes,  λ   será seleccionado seleccionado en func función ión del cambio que se desea detectar.

 

Para aquellos procesos que en “estado de control” generan datos dependientes, bien porque las causas asignables no se pueden eliminar o bien porque las mediciones se toman muy seguidas, por ejemplo, cuando se realizan lecturas automáticas, no se recomienda la aplicación de estos gráficos, sino una variante de estos.

5. GRÁFIC GRÁFICOS OS D DE E CONTR CONTROL OL MCUS MCUSUM UM Todas las gráficas de control examinadas hasta ahora se conocen como diagramas de control de Shewhart. El mayor inconvenie inconveniente nte de tales diagramas es que en ellos se utiliza solamente información respecto al proceso contenida en el último punto graficado, y se omite cualquier información dada por toda la sucesión de puntos. Naturalmente que se han aplicado otros criterios a las gráficas de Shewhart, como pruebas para corridas, uso de límites de advertencia, etc., con los cuales se trata de incorporar información del conjunto de puntos completo en el procedimiento de decisión. Sin embargo, estos criterios adicionales reducen la sencillez y la facilidad de interpretación del diagrama de Shewhart. Se ha propuesto el diagrama de control de suma acumulativa o diagrama CUSUM (del inglés cumulative sum) como una alternativa para la gráfica de control de Shewhart. Incorpora directamente toda la información de la sucesión de valores muéstrales, graficando las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muéstrales respecto de un valor objetivo. Por ejemplo, supóngase que se obtiene mues mu estr tras as de tama tamaño ño n ≥ 1, y qu que e

x es el prom promed edio io de la ii-és ésim ima a mu mues estr tra. a.

Entonces, siμ0 es el valor objetivo de la media del proceso, la gráfica de control de suma acumulativa se formará graficando la cantidad; k 

Sk 

  x    i

0

i  1 1

en función del número k de la muestra. Sk recibe el nombre de suma acumulativa hasta la k-ésima muestra inclusive. Los diagramas de suma acumulativa son más eficaces que los de Shewhart para detectar pequeños cambios en el proceso, pues combinan información de varias muestras. Además, son particularmente eficaces para muestras de n  1 esto hace del diagrama de control de suma acumulativa un candidato apropiado para el uso con mediciones automáticas de cada pieza y el control en línea, utilizando una computadora directamente en el sitio de trabajo. Existen dos aproximaciones distintas para extender el gráfico CUSUM al caso multivariante; una es un análisis de forma simultánea de varios procedimientos CUSU CU SUM M univ univar aria iant ntes es y el ot otro ro co cons nsis iste te en real realiz izar ar un una a mo modi dififica caci ción ón de es ese e

 

esquema CUSUM obteniendo una aproximación para procesos multivariantes. Por  lo tanto, el primer método consistiría en reducir esas observaciones multivariantes a un escalar y elaborar un CUSUM y el segundo método consistirá en elaborar un MCUSUM directamente para las observaciones observaciones de las distintas variables. Healy (1987) elaboró un método MCUSUM diseñado de forma que detectara los camb ca mbio ioss lo más más rá rápi pida dame ment nte e po posi sibl ble, e, teni tenien endo do al mism mismo o tiem tiempo po el mejo mejor  r  comportamiento posible en términos del recorrido medio de racha (ARL). Elaboró una extensión de los resultados de Woodall y Ncube (1985) para introducir un gráf gráfic ico o MC MCUS USUM UM dete determ rmin inad ado o como como un una a co comb mbin inac ació ión n liline neal al de va vari riab able less univariantes. Esta extensión es la aplicación de un CUSUM a los valores T 2 obtenidos. Otro procedimiento, propuesto por Croiser (1988), consiste en la aplicación de un gráf gr áfic ico o CU CUSU SUM M sobr sobre e la ra raíz íz cu cuad adra rada da de es esos os va valo lore ress T2 T2,, as asíí co como mo la combinación multivariante de gráficos Shewhart y gráficos CUSUM elaborados para esas raíces cuadradas de los valores T2. Estos métodos propuestos son procedimientos que se utilizan para detectar cambios en el vector de medias en varias direcciones, recogiendo el resultado de varios gráficos CUSUM univariantes para cualquiera de las variables analizadas. Uno de los gráficos MCUSUM con mejor comportamiento en términos de ARL fue desarrollado por Pignatiello y Runger (1990) y está basado en: MCl i  max C i 

C i .

C i  i

i

C 

 C

 ( x 0

C  k .n ;0

i

i 



)

 j i ni 1

n ni 11 i 



1

Si .MCl i 11  0 en.otro.caso

 

dond do nde e MC MC1 1 es el es esta tadí díst stic ico o qu que e va vamo moss a util utiliz izar ar po post ster erio iorm rmen ente te para para inte intent ntar  ar  determinar el estado del proceso, Ci es el módulo de Ci estandarizado, Ci es la suma acumulada multivariante, ni es el número de muestra correspondiente a cada muestra que vamos incorporando incorporando y “k” es un valor de referenc referencia ia dependie dependiente nte solame solamente nte de la magnitud de la distancia entre la media cuando el proceso se encuentra bajo control y la media cuando el proceso está fuera de control. Como vimos en el caso univariante, este valor “k” es considerado normalmente como ½. La forma de interpretar este gráfico de control MCUSUM es similar al caso univariante: habrá que representar gráficamente cada uno de los valores del estadístico calculado y habrá que fijar un límite de control para poder determinar si el proceso se encuentra bajo control o fuera de control. 6. Dise Diseño ño d de e Ex Experim perimentos entos en e ell CEC CEC Entendemos por experimento al cambio en las condiciones de operación de un sistema o proceso, que se hace con el objetivo objetivo de medir el efec efecto to del cambio en una o varia variass variables del producto. Ello nos permite aumentar el conocimiento acerca del sistema o del proceso. Asimismo, en entendemos tendemos por “dise “diseño ño de un experimento” la planificació planificación n de un conjunto de pruebas experimentales, de forma que los datos generados puedan analizarse estadísticamente para obtener conclusiones válidas y objetivas acerca del problema establecido. En un experimento es muy importante su reproducibilidad, es decir, poder repetir el experimento. Ello nos proporciona una estimación del error experimental y permite obtener una estimación más precisa del efecto medio de cualquier factor.

¿Qué características de calidad se van a medir? ¿Qué factores controlables deben incluirse en el experimento? experimento? ¿Qué niveles debe usar cada factor?

 

¿Qué diseño experimental es el adecuado? Veamos algunas definiciones importantes importantes en el diseño de experimentos experimentos:: Unidad experimental: Es experimental:  Es la muestra de unidades que es necesario producir en una condición para obtener una medición o dato representativo. Unidad a la cual se le aplica un solo tratamiento (que puede ser una combinación de muchos factores) en una reproducción del experimento. Variables de respuesta: Es respuesta:  Es la característica del producto cuyo valor interesa mejorar  mediante el diseño de experimentos.  Una variable independiente. En la mayoría de las investigaciones se trata con Factor: Una Factor: más de una variable independiente y con los cambios que ocurren en la variable independiente, cuando varia una o mas de las variables independient independientes. es. variables del proceso que se puede pueden n fijar en un punto o Factores controlabl c ontrolables: es:   Son variables en un nivel de operación. Factores no controlables:  controlables:   Son variables que no se pueden controlar durante la operación normal del proceso. Factores estudiados: estudiados:   Son las variables que se investigan en el experimento para observar cómo afectan o influyen en la variable de respuesta. Confusión: Dos Confusión:  Dos o más efectos se confunden en un experimento si es posible separar  sus efectos, cuando se lleva a cabo el subsecuente análisis estadísti estadístico. co. Error aleatorio: Es aleatorio:  Es la variabilidad observada que no se puede explicar por los factores estudiados; y resulta del pequeño efecto de los factores no estudiados y del error  experimental. Error expe experime rimental ntal::   Co Comp mpon onen ente te del del er erro rorr alea aleato tori rio o qu que e re refl flej eja a los los er erro rore ress del del experimentador en la planificación y ejecución del experimento. Aleatoriz Alea torizació ación: n: Consiste en hacer experimentos en orden aleatorio; este principio aumenta la posibilidad de que el supuesto de independencia de los errores se cumpla.  Asignaci  Asig nación ón al azar de trat tratamie amiento nto a las unid unidades ades expe experimen rimentales tales.. Una suposici supo sición ón frec frecue uent nte e en los los mo mode delo loss es esta tadí díst stic icos os de dise diseño ño de ex expe peri rime ment ntos os en qu que e las las observ obs ervaci acione oness o los err errore oress en ellas ellas están están distr distribu ibuido idoss indep independ endien ientem tement ente. e. La aleatorización aleatorizació n hace válida esta suposición. Repetición:: Es correr más de una vez un tratamiento o combinación de factores Repetición Bloqueo:   Es nulificar o tomar en cuenta en forma adecuada todos los factores que Bloqueo: pueden afectar la respuesta observada. Distribución de las unidades experimentales en

 

bloque blo ques, s, de manera manera que las uni unidad dades es den dentro tro de un bloque bloqueo o sea sean n rel relat ativa ivame mente nte homogéneas, de esta manera, la mayor parte de la variación predecible entre las unidades queda confundida con el efecto de los bloques. Tratamiento o combinación de tratamientos: tratamientos:   Conjunto particular de condiciones

experimentales que deben imponerse a una unidad experimental dentro de los confines del diseño seleccionado. El error aleatorio describe la situación de no llegar a resultados idénticos con dos unidades experimentales tratadas idénticamente y refleja: 

Errores de experimentació experimentación n



Errores de observación



Errores de medición



Variación del material experimental (esto es, entre unidades experimentales)



Efectos combinados de factores extraños que pudieran influir las características en estudio, pero respecto a los cuales no se ha llamado la atención en la investigación.

El error aleatorio puede reducirse: 

Usando material experimental más homogéneo o por estratificación cuidadosa del material disponible.



Utilizando información proporcionada por variables aleatorias relacionadas



Teniendo más cuidado al dirigir y desarrollar el experimento



Usando un diseño experimental muy eficiente

¿Qué es el Diseño de Experimentos?

En el ca camp mpo o de la inge ingeni nier ería ía ci civi vill re resu sult lta a ex exttra raño ño el conc concep epto to de “d “dis iseñ eño o de

 

experimentos”. Lo asociamos al campo del control de la calidad y de los laboratorios, pero no tenemos en cuenta que muchas herramientas avanzadas en productividad, mejora de procesos, toma de decisiones y productividad empresarial se basan en este campo del control estadístico de la calidad. Veamos en esta entrada, una pequeña aproximación al concepto. El diseño de experimentos (DOE) es una técnica estadística que permite identificar y cuantificar las causas de un efecto e fecto dentro de un estudio experimental de forma que con

el mí míni nimo mo nú núme mero ro de pr prue ueba bass se co cons nsig iga a ex extr trae aerr info inform rmac ació ión n útil útil pa para ra ob obte tene ner  r  conclusiones que permitan optimizar la configuración de un proceso o producto.  Aunque  Aunq ue el dise diseño ño de expe experime rimentos ntos come comenzó nzó a apli aplicar carse se en el camp campo o de la agri agricult cultura, ura, hoy en día tiene muchas aplicaciones en otros campos, en el que se puede incluir la ingeniería civil. Por ejemplo, ejemplo, en control de calidad y en diseño de productos y procesos industriales y en todo tipo de ciencias experimentales. experimentales. Se puede decir que el diseño de experimentos ocupa un papel crucial en la industria y en la investigación experimental en nuestros días. En un diseño diseño exp experi erimen mental tal se ma manip nipula ulan n del delib ibera eradam dament ente e una o más var variab iables les,, vinculadas a las causas, para medir el efecto que tienen en otra variable de interés. El diseño experimental prescribe una serie de pautas relativas qué variables hay que manipular, de qué manera, cuántas veces hay que repetir el experimento y en qué orden para poder establecer con un grado de confianza predefinido la necesidad de una presunta relación de causa-efecto. Los pasos básicos a seguir en el diseño de experimentos son los siguientes: 1. Fija Fijarr un cro crono nogr gram ama a qu que e de defi fina na cuá cuáll va a se serr la lista lista de pr prue ueba bass a re real aliz izar ar.. También debemos definir nuestros objetivos, los cuales deben ser claros y se deben aproximar a una realidad alcanzable. 2. Escog Escoger er los factores factores a anali analizar, zar, es dec decir, ir, aque aquellos llos par parámet ámetros ros que van a afect afectar  ar  tanto directa como indirectamente a nuestra actividad (el proceso o producto que querem quer emos os op opti timi miza zar) r),, sien siendo do es esto toss los los qu que e no noss va van n a ma marc rcar ar los los lími límite tess alcanzables. 3. Dise Diseñar ñar el plan de pru pruebas, ebas, es este te plan vari variará ará en func función ión del núm número ero de fact factores ores que hayamos considerado. En este punto hay que ser ambicioso y no descartar  cualquier posible experimento por raro que parezca, pues puede que algunos de ellos estén comunicados entre sí y su interacción deba ser tenida en cuenta a la

 

hora de tomar decisiones. Una vez realizadas las pruebas, los resultados obtenidos permiten extraer conclusiones acerca de qué factores influyen más en los resultados y cómo se debe configurar  nues nu estr tra a ac acti tivi vida dad d pa para ra alca alcanz nzar ar los los ob obje jeti tivo voss pr prop opue uest stos os.. Ad Adem emás ás,, si se us usan an herram her ramien ientas tas inf inform ormáti áticas cas pod podrem remos os obtene obtenerr una fun funció ción n de reg regres resión ión que nos relacione los resultados de la actividad en función de los factores considerados, con ella ella pod podrem remos os hac hacer er int interp erpola olaci cione oness y cal calcu cular lar virtu virtual almen mente te qué res result ultado ado ten tendrá drá nuestra actividad para cualquier combinación de factores posibles.  Algunos  Algu nos de los l os ttipos ipos de d diseñ iseños os d de e experime exp erimentos ntos son los sigu siguient ientes: es:  

Diseño unifactorial Diseño por bloques aleatorizados



Diseño por cuadrados latinos



Diseños factoriales



Diseños anidados



Diseños cruzados anidados



Diseños factoriales 2^k

GLOSARIO -

MUESTRA: Es un subconjunto de casos o individuos de una población.

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COVARIANZA: Es el valor que refleja en que cuantía dos variables aleatorias

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varían de forma conjunta respecto a sus medias. ESTIMACION ESTADISTICA: Es u proceso mediante el que establecemos que

 

valor debe tener un parámetro según deducciones que realizamos a partir de estadísticos. -

CHI-C HI-CU UADR DRA ADA DA:: Si Sirv rve e para para so som met eter er a pr pru ueba eba hip ipó óte tesi siss ref efer eriida dass a distribuciones de frecuencias.

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GRAFICOS UNIVARIANTES: El análisis estadístico que opera con datos referentes a un una a so sola la va vari riab able le o di dist stri ribu buci ción ón de fr frec ecue uenc ncia iass y pr pret eten ende de de dete term rmin inar ar su suss propiedades estadísticas.

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DISTR DISTRIB IBUCI UCIONE ONES S DE FR FRECU ECUENC ENCIA IAS: S: son son tabla tablass en que se dis dispon pone e las modalidades de la variable por filas. En las columnas se dispone el número de ocurrencias por cada valor, porcentajes, etc. La finalidad de las agrupaciones en frecuencias es facilitar la obtención de la información que contienen los datos.

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BIBLIOGRAFIA -

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SHIKAWA, K. (1994): “Introducción al Control de Calidad”. Díaz de Santos.