MÉTODOS ENERGÉTICOS

MÉTODOS ENERGÉTICOS OBJETIVO GENERAL Comprender las hipótesis básicas y la aplicación de los métodos energéticos en el análisis de estructuras.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Evaluar analítica y experimentalmente la energía de deformación de un resorte. Verificar Verificar experimentalmente el principio de trabajo real. Verificar Verificar experimentalmente el teorema de d e deflexiones recíprocas de ax!ell y "etti.

FUNDAMENTO TEÓRICO #os conceptos de trabajo y energía son ampliamente usados en ingeniería. $maginemos una  bomba %ue contribuye con energía al sistema hidráulico de un edificio manifestándose esta energía en forma de presión y haciendo hacien do subir al agua hasta cierta altura gastando para ello cierta cantidad de energía. &l llegar su máxima altura el agua ha perdido su energía cinética  pero ad%uiere energía potencial 'debido a su posición( por lo %ue puede seguir moviéndose a lo largo de la tubería. #a energía del sistema nunca se perdió) solamente se transformó y siempre se encontró latente para reali*ar un trabajo. +ea una estructura sujeta a una fuer*a externa P  externa P  en  en un punto determinado. +i en ese punto la estructura sufriera una deformación producida por alguna otra fuer*a) permaneciendo la carga original constante) el trabajo de la fuer*a P  fuer*a P  en  en la estructura es el producto de dicha carga por la deformación ',igura -a(. En caso c aso de %ue la deformación d eformación fuera producida por la fuer*a P  fuer*a P  ',igura  ',igura -b() en el rango linealelástico) el área bajo la curva esfuer*odeformación es un triángulo y la pe ndiente representa la rigide* de la estructura) es decir) d ecir) la resistencia %ue opone ésta a ser deformada. &l sobrepasar el límite elástico) la respuesta de la estructura es no lineal y su rigide* cambia) ca mbia) pero el área bajo la curva esfuer*odeformación seguirá representado el trabajo externo producido por la fuer*a P  fuer*a P . #as fuer*as internas desarrolladas en una estructura cuando ésta responde a una fuer*a o carga aplicada y sus deformaciones producen trabajo para tratar de restituir la configuración inicial de la estructura. Este trabajo) denominado trabajo interno) se considera positivo y es conocido también como energía de deformación interna de una estructura) definiéndose como la capacidad de d e las fuer*as internas 'esfuer*os( de hacer trabajo a través de las deformaciones en la estructura. /bservando la ,igura -b) se puede ver %ue la curva esfuer*odeformación de cual%uier estructura es similar a la de un resorte) por lo cual los conceptos de trabajo y energía de

deformación pueden de manera simple ser ejemplificados a partir del comportamiento de un resorte) como más adelante se demostrará.

Figura 1 Trabajo externo debido a las cargas actuantes sobre una estructura.

0or definición) trabajo es el producto punto de una fuer*a por el despla*amiento producido  por ésta) '-( donde1 W= 2rabajo reali*ado por la fuer*a aplicada.  F= ,uer*a aplicada.  s= 3espla*amiento producido por la fuer*a aplicada. θ  = &ngulo

inscrito entre las líneas de acción de la fuer*a y el despla*amiento producido

 por esta. +i tenemos un resorte ideal como el de la ,igura 4 y aplicamos una fuer*a %ue produce un despla*amiento del punto x0 al punto x1) el trabajo reali*ado por dicha fuer*a es1

En la fórmula anterior) la relación trabajoenergía de deformación de un resorte %ueda expresada al ser el trabajo producido por la fuer*a igual a la diferencia entre la energía inicial y la energía final de deformación en el resorte. 5raficando fuer*a contra

despla*amiento) el área bajo la recta limitada entre x0 y x1 representa el trabajo producido  por la fuer*a.

Figura 2 Gráfica de fuerza vs. desplazamiento para el resorte acotado entre x0 y x1.

#a relación trabajoenergía es claramente entendible si relacionamos el concepto trabajo con la +egunda #ey de 6e!ton. Esta ley establece %ue la fuer*a aplicada a una partícula de masa determinada produce una aceleración constante en dirección de la fuer*a aplicada. /bservemos la ,igura 7.

Figura 3 Cuerpo sobre el que se aplican fuerzas coplanares y se desplaza un ∆ x.

0odemos enunciar %ue1 '4( donde1 W= 2rabajo reali*ado por el sistema de fuer*as.  F  R= ,uer*a resultante. ∆ x

= 3espla*amiento resultante.

& su ve*) utili*ando la +egunda #ey de 6e!ton1 '7(

donde1  F= ,uer*a actuante. m= asa del cuerpo. a= &celeración constante producto de la fuer*a aplicada. Como la aceleración es constante y el movimiento es rectilíneo en este caso) pode mos sustituir el producto α ∆ x resultante de sustituir la Ecuación 7 en la Ecuación 4 por1

'8(

'9( #a fórmula anterior confirma lo %ue inicialmente se planteó1 El trabajo efectuado no es sino la diferencia entre la energía cinética final y la energía cinética inicial de la partícula. En todo tipo de estructuras la relación %ue existe entre trabajo y energía se puede conceptuali*ar de manera sencilla1 #os elementos estructurales están dise:ados para soportar cargas. &l estar estos elementos trabajando bajo la acc ión de estas) surgirán en ellos deformaciones. 3ado el caso de la viga en cantiliver presentada en la ,igura 8) el trabajo reali*ado sobre este sistema se almacena en forma de energía de deformación. &parentemente la viga no sufrió más %ue un despla*amiento pero si imaginamos la magnitud de la fuer*a %ue se re%uiere para poder deformar una viga de concreto) podremos tener una idea de los esfuer*os internos %ue se generaron en dicha viga. +i conocemos tanto las dimensiones de la viga como las cargas %ue act;an sobre ella podremos determinar despla*amientos y por lo tanto el trabajo externo es conocido. &plicando el principio de conservación de la energía se puede establecer %ue1 El trabajo realizado por un sistema de  fuerzas aplicadas a una estructura es igual a la energía de deformación almacenada en la estructura

Figura 4 iga en cantiliver sujeta a la acci!n de cargas.

Existen varias mecánicas para poder determinar el trabajo reali*ado sobre una estructura. 0ara ejemplificar lo %ue es el principio del trabajo real consideremos una estructura estática en la cual act;a sistema externo de fuer*as ! 3ebido a este sistema de fuer*as dentro del cuerpo en cuestión se generarán resultantes internas de esfuer*o " %ue actuarán en e%uilibrio con el sistema de fuer*as externo. Este sistema de fuer*as puede ser el %ue realmente esté actuando sobre la estructura o un sistema virtual unitario definido por nosotros. 0ermitamos %ue la estructura se deforme y sufra despla*amientos externos # y despla*amientos internos 'deformaciones unitarias( d . El principio del trabajo real se aplicaría en este caso enunciando %ue el trabajo reali*ado por el sistema de fuer*as externo ! a través de sus despla*amientos # debe ser igual en magnitud al trabajo reali*ado por las fuer*as internas " reflejadas por las deformaciones d

#as suposiciones del principio son las siguientes1 o

o

o

o

#as fuer*as ! y " se mantienen constantes durante los despla*amientos # y d #as líneas de acción de las fuer*as ! y " se mantienen constantes con respecto a la estructura no deformada. #as fuer*as ! y " deben estar en e%uilibrio) pudiendo estar estos sistemas compuestos de cual%uier combinación de momentos y fuer*as) correspondiéndoles un sistema de fuer*as interno con esfuer*os d e flexión) corte) torsión y axiales. #as deformaciones externas a las %ue llamamos # pueden ser determinadas solo a través de las deformaciones d ) llamándosele a esta condición compatibilidad de deformaciones

En la ,igura 9 se grafica el comportamiento fuer*adeformación de una estructura correspondiendo a una situación elástica. El área bajo la curva delimitada por la vertical ∆1 representa la energía real de deformación W i almacenada en la estructura) esta energía fue producida por el trabajo externo real de la estructura provocado por fuer*as y despla*amientos reales. El área arriba de la curva delimitada por la recta hori*ontal P 1 representa la energía complementaria real W$ i. 2eniendo a la estructura en e%uilibrio  podemos adicionar una deformación virtual pe%ue:a 'inexistente realmente( la cual  provocará trabajo adicional. Este trabajo adicional será independiente de la historia de carga de la estructura %uedando definido como1

Energía virtual de deformación Energía virtual complementaria de deformación El principio del trabajo real) cuyos principios fueron arriba ex puestos) se aplica exclusivamente en sistemas elásticos) conservativos.

Figura 5 Gráfica de la estructura y de su energ"a complementaria y de deformaci!n.

El teorema del ingeniero italiano "etti se presentó en -