Métodos de Demostración

 

Activi Ac tividad dad 2: Método Métodos s de demo demostra stración ción

I. Realiza las siguientes demostraciones

1. Demuestra que si el triángulo rectángulo XYZ de catetos   x   e   y  e hipotenusa   z  tiene   tiene de área z2

4  ,

entonces es isosceles.

Demostración :

Se sabe que el área de un triángulo es:   b×2 h , luego, tomando   x  como base y   y  como altura se tiene: A=   z4  , entonces A=   xy 2  , por hipótesis se tiene que A= z   =   xy 2 4 z 2   =  xy z 2 = 2xy También se tiene que al ser un triángulo rectángulo con catetos   x  e   y, e hipotenusa   z  z 2 =  x 2 + y 2 , por el teorema de Pitágoras. Igualando las dos últimas ecuaciones se tiene: x2 + y 2 = 2xy 2

2

2

x22 + y 2 2xy2  = 0 2xy +  y = 0 x

− −

Resolviendo la ecuación cuadrática para   x  se tiene: x  =

√ 

(−2y )2 −4y 2 2 2 4y −4y 2 2

  −(−2y )±

√ 

  2y ±

x  = x  =   22y x  =  y , esto es dos de los lados del triángulo dado son iguales,

por lo tanto es un triángulo isosceles. 2. Demuestra que la suma de los cuadrados de los   n   primeros números naturales es igual a n(n+1)(2n+1) 6   . Demostración : Se tiene que demostrar que: n+1) 12 + 22 + 32 +  + n2 =   n(n+1)(2 6 Por inducción matemática: Para   n  = 1  se tiene: 12 =   1(1+1)(2(1)+1) 6   1(2)(2+1) 1= 6   1(2)(3) 1= 6 1 =   66 1=1 por lo que la fórmula es válida para   n  = 1 Ahora supongamos que es válida para   n  =  k  y demostremos que vale para   n  =  k  + 1  · · ·

2

2

2

1 +2 +3 +

 k 2

 · · ·

 +

k

2

  k(k+1)(2k+1)

2

k

6 k +1) + (  + 1) = =   k(k+1)(2 + ((k +  + 1) 1) 2 por la validez para   n  =  k    + 6 k +1) =   k(k+1)(2k+1)+6( 6 2

1

 

k+1)]   factorizando   k + 1 =   (k+1)[k(2k+1)+6( 6   (k+1)(2k +k+6k+6)   desarrollando = 6 =   (k+1)(2k6 +7k+6) k+3)   factorizando =   (k+1)(k+2)(2 6 k+1)+1] =   (k+1)[(k+1)+1][2( 6 Por lo que la fórmula es válida para   n  =  k  + 1 2

2

3. Demuestra la negación del siguien siguiente te enunciado: la suma de dos números compuestos siempre siempre es un número compuesto. Demostración : La negación de la oración es: No es cierto que la suma de dos números compuestos siempre es un número compuesto, es decir existen al menos dos números compuestos cuya suma no sea un número compuesto: sean 9 y 4, entonces 9 + 4 = 13 y puesto que 13 es un número primo, se concluye nuestra aseveración. 4. Demuestra que para cada entero   n, que si 5 si  5 n + 3 es 3  es par, entonces   n  es impar. Demostración : Se puede demostrar por la contrarréciproca, esto es: Si   n  no es impar entonces 5 entonces  5 n + 3 no 3  no es par, para todo entero   n. Ya que   n  no es impar se tiene que   n = 2m + 1 para 1  para   m  cualesquier entero, luego 5n + 3 = 5(2m + 1) + 3 = 5(2m + 1) + 3 = 10m + 5 + 3 = 10m + 8 = 2(5m + 4) Puesto que   m  es cualquier entero, entonces sea   p  = 5m + 4, 4, entonces 5n + 3 = 2 p esto es,  es,   5n + 3 no 3  no es par, como se quería demostrar.

 

       

5. Demuestra que si   n   Z, entonces,   n2 3  es múltiplo de 4. Demostración : n2 3  es múltiplo de 4 si puede encontrarse un   k  tal que: n2 3 = 4k Supongamos Supongam os que   n2 3  no es múltiplo de 4, por tanto tampoco es divisible por 2, luego sea   n  = 2 p + 1, 1, con   p  cualesquier entero, entonces 2 3 = (2 p + 1)2 3 n = 4 p2 + 4 p + 1 3 = 4 p2 + 4 p 2 = 2(2 p2 + 2 p 1) = 2m por lo que nuestro supuesto es falso y se tiene que   n2 3  es múltiplo de 4.

 ∈

− −

−

− − − − −

−

−

6. Demuestra que ( x)(F x) Demostración :   ¬

∃

 ⇒ (∀x)(F x →  Gx) 2

 

( x)(F x)

¬

∃

 ⇒ (∀x)( F x) ⇒ (∀x)( F x ∨ Gx) ⇒ (∀x)(F x → Gx) ¬

¬

Como se quer quería ía demos demostrar trar..

3

 

Bibliografía Ayres, F. (1991).  Algebra moderna . McGraw Hill. Bochensky, J. M. (1976).  Compendio de lógica matemática . PARANINFO. Burgos, A. (1973).   Iniciación a la lógica matemática . Selecciones Científicas. Suppes, P., y Hill, S. (1988).  Primer curso de lógica matemática . Editorial Reverté Colombiana.

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