Metodo Simplex.

PARTE I  1.  ¿E  ¿E n qué qu éf ases ases se puede pu ede descompon descompon er l a r esol esolu u ció ci ón de u n pr oblema obl ema de Pr ogr amaci ón  Lineal? 

Se puede descomponer en 3 fases principales que son: Planteamiento del Modelo La resolución del Problema El análisis económico de los Resultados. 2.  ¿Qu  ¿Qué é opti mi za y a que está estásu j eta l a Pr ogr amació amaci ón L i n eal? 

Optimiza la solución de problemas económicos en los que intervienen recursos limitados, sujeto a la satisfacción de demandas. 3.  ¿Qu  ¿Qué écondi cion ci ones es debe tener un probl ema par a que qu e sea considerado consi derado como un model model o  de Progr amación amación L in eal? 

Deben estar bien definidas las variables de decisión de manera que puedan expresadas simbólicamente. El problema debe tener bien definido las funciones objetivos y las restricciones, de forma que  puedan ser expresadas matemáticamente m atemáticamente como funciones lineales. 4.  ¿Qu  ¿Qué é caracterí car acterísticas i ntern nt ern as debe tener un probl pr oblema ema de Pr ogr amaci ón L i neal?  neal ?  Las variables deben ser de tipo lineal La función objetivo debe ser lineal

La relación de las variables debe ser de tipo lineal. 5.  ¿Qu  ¿Qué épasos se deben deben segui seguirr par a la for mu l ación de u n pr oble obl ema de Pr ogr amaci ón  Lineal? 

Comprensión del Problema: Es el proceso en el cual se asimila bien el problema, se debe leer  detalladamente su contenido e identificar el objetivos y parámetros.  Definición de las Variables de Decisión: En este paso se simbolizan todos los parámetros que formaran parte del modelo de programación lineal.  Formulación de la Función Objetivo: Se define la meta o el objetivo que se desea alcanzar.  Planteamiento de las Restricciones: Se plantean las restricciones de manera que se pueda observar claramente las condiciones con que se debe contar para la resolución de un problema, se debe destacar que todas la variables deben ser de tipo lineal. 6.  ¿Sobre  ¿Sobre qué qu é cri cr i teri ter i o se basan basan l os probl pr oble emas de maxi max i mi zació aci ón y mi ni mi zación? 

 Problema de Maximización: Una vez establecidos los recursos y la cantidad de actividades obtenibles por unidad de cantidad, se trata de determinar la combinación de actividades que  proporciona el mayor rendimiento de los recursos, recur sos, basados en el Criterio de Máxima Máx ima Utilidad.  Problema de Minimización: Dada una actividad específica, la relación entre cada uno de los recursos, especificaciones generales de la actividad y costo unitario de cada recurso, determinar  las cantidades necesarias de estas para obtener la cantidad con el máximo aprovechamiento de los recursos basados en el Criterio de Mínimo Costo Total.

PARTE II VERDADERO Y FA LSO. LSO. EXPLI QUE  1.

L a funci fu nci ón objetivo obj etivo es es in depe dependi ndi ente nt e de l as r estr icci ones 

(F)

Esta afirmación resulta ser falsa, ya que en un problema de  programación lineal con dos variables se tiene por finalidad optimizar ya sea maximizar o minimizar una función lineal, en la cual se encuentra la llamada función objetivo que está sujeta a una serie de restricciones que son un conjunto de condiciones que es preciso satisfacer, por lo que debe haber una interdependencia entre las variables que conforman la función objetivo con las restricciones.

2.

En progr pr ogramación amación li neal l as vari ables solo pu eden den ser ser posi posi tivas ti vas o cer cer o 

(V)

La metodología de la programación lineal requiere que todas las variables sean positivas, es decir mayores a cero, ya que en general para la mayoría de los problemas esto es real, debido a que no se querría obtener una solución que solicite la producción de menos dos cajas.

3.

Cualqui Cual quie er probl ema puede puede r educir se a un solo modelo modelo de progr amación amación li neal

(V) 

Se debe utilizar un modelo matemático matemático con representación válida de la problemática en estudio; sus relaciones deben ser lineales, que significa utilizar, sólo variables de primer grado en cada término. El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues debe cumplir que, tanto la función objetivo como todas las funciones de restricción, sean lineales. Además estos deben cumplir con las condiciones de proporcionalidad, aditividad, divisibilidad y certidumbre. 4.

Todas las r estr i cciones debe deben n expr esar esarsse en l a mi sma un idad de medició medici ón

(F ) 

 No es necesario que todas las restricciones estén expresadas en las mismas unidades de medición, es decir, una restricción puede estar expresada en dólares, en tanto que una segunda

restricción podría expresarse en horas, una tercera en libras, pies cuadrados o alguna otra unidad de medición. Las unidades de medición del segundo término de una restricción, es decir, del lado derecho del signo de igualdad o desigualdad, siempre deben ser iguales a las unidades de medición del  primer Término, o lado izquierdo de la restricción. restricción .

5.

L os pr pr oblemas con con per per iodos múl múl ti ples son son l os que que se se puede pueden plantear pl antear como modelos de  P.L cuando cuan do el proce pr ocesso de plan teamiento abarca diversos per per iodos

() 

Considera la situación de Schwim Manufacturing Company en donde la administración desea alcanzar varias metas. Ahora supondremos que la administración desea ordenar dichas metas en orden de importancia y que la meta más importante tiene prioridad absoluta sobre la siguiente meta más importante y así sucesivamente. Para lograr que las metas de baja prioridad se consideren solamente después de lograr las metas de alta prioridad, se clasifican las metas en k rangos y las variables de desviación asociadas con las metas, se les asigna un número prioritario Pj(j = 1,2,....,k). Los factores de prioridad satisfacen P1>>>P2>>>...Pj>>>Pj+1. Las relaciones de prioridad implican que la multiplicación por n, no importa que tan grande sea n, no puede hacer una meta de baja prioridad tan importante como una meta de alta prioridad (por ejemplo: Pj>nPj+1).

Ahora supongamos que la división de bicicletas de Schwim, además de lograr sus $600.00 de meta primaria de utilidad, desea utilizar completamente sus departamentos de ensamblaje y terminación durante la reorganización que se avecina. Esto es, como una meta secundaria, la división desea minimizar el tiempo ocioso. La formulación del modelo es: Minimizar Z = P1(d1- + d1+) + P2(d2-+d3-) s. a. 15x1+25x2 +d1- -d1+ = 600 x1 +3x2 + d2- -d2+ = 60 x1 +x2 +d3- -d3+ = 40 x1,x2,di-,di+ " 0 Donde: x1 = Número de bicicletas de 3 velocidades producidas por día x2 = Número de bicicletas de 10 velocidades producidas por día d1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida d1+ = cantidad por encima de la utilidad perseguida d2- = Tiempo ocioso diario en el departamento de ensamble d2+ = Tiempo extra diario en el departamento de ensamble d3- = Tiempo ocioso diario en el departamento de terminación. d3+ = Tiempo extra diario en el departamento de terminación.

 Nota: Puesto que d1- y d1+ se incluyen en la función objetivo, el modelo intentará lograr  exactamente la utilidad diaria perseguida de $600, minimizando tanto las desviaciones  positivas como las negativas. Con d2+ d3+ y eliminados de la función objetivo, sin si n embargo, el modelo no se preocupará del tiempo extra en el departamento de ensamble o terminación e intentará minimizar solamente el tiempo ocioso en estos departamentos. Debido a que la meta de utilidad perseguida es más importante que la meta de minimización del tiempo ocioso, a esta se le asigna prioridad P1 . El modelo intentará lograr esta meta hasta donde más le sea  posible antes de considerar la meta secundaria secunda ria de minimizar el tiempo ocioso de producción.

6.

L os pr oblemas obl emas en los l os cual es el obj etivo con siste en mezclar mezclar i ngr edientes bási cos par a  fabr icar productos fi nale nal es r efi nados se denomi denomi nan probl emas de dieta

(F ) 

(Stigler, 1945). Propuso el problema de dieta y concluyo que Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer  requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos.

7.

L os problemas pr oblemas de asi asi gnació gnaci ón ti t i enen como objetivo as asii gnar en for ma óptim óptim a re r ecur sos en  actividades 

(V)

Es un problema de programación lineal que tiene una manera especial de resolverse. Consiste en buscar la relación entre dos conjuntos, de forma que el rendimiento de dicha relación sea el óptimo posible.

8.

L os problemas pr oblemas de tr ansporte impl ican l a distri bució buci ón de bienes o se ser vici os a parti r de  un a ubi cación cación de oferta o al macenami macenami ento h acia di ver ver sas ubi caciones de deman demanda  da (V)

Es un problema similar al de la asignación con la diferencia de que no se asignan elementos de un conjunto a otro sino cantidades de producto que normalmente vienen representadas por costos de transporte. A diferencia del problema de asignación la matriz no tiene por que ser cuadrada, pueden existir mas destinos que orígenes, también pueden no coincidir las cantidades que se fabrican o almacenan con los pedidos que se reciben pudiendo estos ser menores o iguales

PARTE III. PROBLEMA El INURBE tiene 800 hectáreas de tierra del primera clase, pero no urbanizada, en un lago escénico al noreste de la ciudad. En el pasado se aplica la poca o ninguna regulación a nuevas urbanizaciones en torno al lago. Debido a la falta de servicio de drenaje, o desagüe para alcantarillado, se utilizan muchos tanques sépticos, la mayoría instalados en forma inadecuada. Con el paso de los años, la infiltración de los tanques sépticos ha provocado un grave problema de contaminación del agua. Para controlar la degradación de la calidad del agua, los funcionarios del municipio prestaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicables a todas las urbanizaciones que se proyecta construir en el futuro: a. Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, donde las unifamiliares constituyen cuando menos el 50% del total.

 b. Para limitar el número de tanques sépticos, se requieren tamaños de lote mínimo de 2,3 y 4 hectáreas, para casas de una, dos y tres familias. c. Se deben establecer áreas de recreo de una hectárea cada una, a razón de un área  por cada 200 familias. d. Con miras a preservar el ecosistema del lago, no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el jardín. El Presidente de INURBE estudia la posibilidad de urbanizar las 800 hectáreas que posee esta corporación en el largo. La nueva urbanización incluirá casas para una, dos y tres familias. Estima que el 15% del terreno ser utilizada en la apertura de calles y vías de acceso para servicios. Asimismo, calcula sus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales serán los siguientes.

Unidades Habitacionales

Ingreso neto por unidad ($)

Sencilla

Doble

Triple

10000

15000

20000

El costo de conexión del servicio de agua al área es proporcional al número de unidades que se construyen. Sin embargo, la comunidad considera que se deberá conectar a un costo mínimo de 100.000$ para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema acuífero más allá de su capacidad actual esta limitado a 200.000 galones por día durante un  período de consumo máximo, pico. Los datos que se presentan resumen el costo de conexión del d el servicio de agua y del consumo de esta, suponiendo una familia de tamaño medio.

Unidad habitacional Sencilla

Doble

Triple

Recreo

1000

1200

1400

800

400

600

840

450

Costo del servicio de agua  por unidad ($) Consumo de agua por  unidad (gal/dia)

Solución 

Analizando los enunciados, se tienen 800 Hectáreas, puesto como se estima que el 15% de ellas se usen para apertura de calles vías de acceso para servicios, entonces entonces nos queda 85% del total de 800 Hectáreas para la construcción de viviendas y zonas de recreo, es decir: 800x85% = 680 Hectáreas Definimos las variables:                                   

Ahora, planteando las ecuaciones o inecuaciones según los enunciados: 

Las viviendas unifamiliares serán cuando menos el 50% del total de viviendas, es decir:  

 

(        )    

 

(     )        

       

      



(1)

se requieren lotes de 2, 3 y 4 Hectáreas para casas de una, dos y tres familias respectivamente, en cuando al área en Hectáreas considerando además las áreas de recreo, esto significa:

            



(2)

se deben establecer áreas de recreo, un área de recreo por cada 200 familias, matemáticamente se representa así:      

        

Es decir:        

  

        

            



(3)

de la tabla 12, para los costos se considera un minimo de $ 100000, luego se tiene:                   

(4)



de la tabla 12, para el consumo de agua se considera un máximo de 200000 galones, luego se tiene:

               (5)



 por ultimo de la tabla 11, la función fun ción objetivo (Z) será la función ingreso neto por unidad habitacional, luego se tiene:

               

(6)

Las primeras 5 expresiones son las restricciones que derivan del planteamiento de los funcionarios del municipio y de las condiciones propias de la instalación-rentabilidad. La ultima ecuación es la función objetivo que en este caso será maximizada pues se pretende el ingreso neto máximo por unidad habitacional. Planteando formalmente el problema:

MAXIMIZAR:

               

SUJETO A LAS RESTRICIONES:       

(1)

            

(2)

            

(3)

(6)

                   (4)                (5)

Ahora, para utilizar el método simplex es necesario agregar variables de holgura las inecuaciones “menor o igual” y agregar variables de exceso y artificiales a las “igualdades” e inecuaciones “mayor o igual” quedando el sistema de restricciones de la siguiente forma:

              

(1)

               (2)                

(3)

                        (4)                  (5)

Penalizando la función objetivo con las variables artificiales y un número grande M, se tiene:

                           

6)

Despejando la función objetivo:

                              

Para eliminar las variables artificiales de la ecuación anterior, se realiza el sistema de ecuaciones siguiente con (1), (3) y (4):

                               ( (               ) (              ) (                       )

 ______________________________________________________  ____________________________ ______________________________________  ____________  (     )   (      )   ( (       )   (     )         

Reduciendo:

(      )   ( (     ) )    ( (     ) )   () )         

Se construye la matriz inicial con esta ecuación y las restricciones, en el archivo adjunto de Excel.

MÉTODO SIMPLEX 1. D escr escrii ba Br B r evemen evemente te la T é cni cn i ca Sim plex  pl ex 

El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. Es un procedimiento computacional para determinar soluciones básicas factibles para un sistema de ecuaciones y verificar las soluciones para asegurarse de que sean optimas. Este método pasa de una solución básica factible a otra, mejorando siempre la solución previa, hasta llegar a la optima. Además de ser eficiente, dicho método tiene otras ventajas. Es completamente mecánico (se utilizan matrices, operaciones elementales sobre renglones y aritmética básica). Asimismo, no implica el uso de geometría. Esto permite resolver problemas de programación lineal que tiene cualquier número de restricciones y variables. 2.  ¿E  ¿E n un pr oble obl ema de progr pr ogr amaci ón l i neal que f or ma deben deben tener l as r estr estr i ccion es par a  poder apl i car el mé mé todo tod o Simpl Sim plex?  ex? 

Todas las restricciones son ecuaciones con términos independientes no negativos. 3. En un cie y Expli Ex pli que la A pli cación cación del del Con cepto cepto de Optimal idad 

 Rango de Optimalidad: o intervalo de valores permisibles para permanecer óptimo, de un coeficiente de la función objetivo se calcula determinando un intervalo para el coeficiente de la función objetivo, en el cual la solución básica óptima se mantiene óptima asumiendo constantes

todos los otros datos del problema. Si el coeficiente cj se modifica y se mantiene al interior de este rango, la solución óptima sigue siendo óptima, pero al modificarse los cj el valor de la función objetivo Z*=cx* se modificará en consecuencia. 4.  ¿Qu  ¿Qué é ti po de matr mat r i z generan l as vari var i ables abl es bási cas?  cas? 

Las variables básicas iniciales deben tener una matriz de base asociada igual a la identidad. En muchas ocasiones, al introducir las variables de holgura en las restricciones se genera una matriz  básica identidad, que puede ser utilizada como base bas e inicial del algoritmo. 5. D escr escrii ba los l os Pasos Pasos o Etapas Et apas que qu e se se si si guen gu en en el M é todo tod o Sim plex  pl ex 

El Método Simplex se utiliza como un apoyo para interpretar la solución óptima, que es la solución matemática que dá la computadora. Para lograr esto, se presenta la metodología que sigue el Método Simplex en la solución manual de problemas de Programación Lineal ya sean de maximización o de minimización:  Igualar las restricciones del problema modelado: Se igualan las restricciones para tener la matriz identidad del problema. Esta matriz identidad es el punto de partida que utiliza el Método Simplex para solucionar el problema. Existen las siguientes reglas para hacer la igualación de las restricciones: Si se tiene una restricción menor o igual se agregará una variable de holgura (H). Si la restricción es mayor o igual se restará una variable de excedente (E) y se sumará una variable artificial (A). Si la restricción es una igualdad se sumará una variable artificial (A).

 Formar la "Tabla Inicial": Existen diferentes formatos de tablas que se pueden usar para el Método Simplex. Los formatos se diferencian solo en la colocación de los datos pero la esencia es la misma. Una vez definido el formato de la tabla, se mantendrá igual durante todo el desarrollo del  problema, independientemente de la etapa que se este haciendo.  Reconocer si la solución que da la Tabla es óptima, checando checand o el cumplimiento del "Criterio de Optimabilidad (Cj- Zj≤ 0)": El Método Simplex utiliza el Criterio de Optimabilidad para saber  si ya llegó a la solución óptima del problema. Si la tabla que se tiene no cumple con este criterio, se tendrá que seguir adelante con otras iteraciones, es decir, calculando más tablas hasta cumplirlo. El criterio de optimabilidad se enuncia en la forma siguiente:La solución será óptima sí y solo sí∆j≤ 0. Es decir, los valores del renglón de la∆j deben ser ceros o negativos. Un valor 

 positivo indica que la solución de la tabla no es óptima. Como el Método Simplex trabaja por  iteraciones (pasar de una tabla a otra hasta llegar a la solución óptima), es posible leer la solución que se tiene en cualquier tabla de las calculadas. Para leer la solución de una tabla que se haya calculado, es necesario ver dos columnas, la columna Base nos dará las Variables Básicas que forman la solución y la columna "Bi" nos dará el valor de estas variables. Cualquier variable no incluida en la base es una Variable no Básica con valor cero. Si la solución no es óptima, se debe: Calcular la "Nueva Tabla": hasta encontrar la solución óptima. Para calcular la nueva tabla se tiene que definir la “Variable de Entrada (VE), la "Variable de Salida (VS)", el "Pivote" y los

"Criterios de Ajuste" para los nuevos renglones. El "Criterio para definir la Variable de Entrada" es seleccionar la variable con el máximo valor del renglón.

Repetir el "Paso 3 y 4" hasta que la tabla calculada cumpla con el criterio de optimabilidad : optimabilidad : Si se cumple con el criterio de optimabilidad, entonces la solución de esa tabla es óptima, si no, se continua "iterando" es decir haciendo nuevas tablas hasta encontrar la solución óptima del  problema por lo que se repite nuevamente el paso 4.  Dar la "Solución Óptima" del problema: Esta solución óptima es una "solución matemática" que requiere ser interpretada. "Interpretar" la solución óptima del problema: problema: En la interpretación de la solución óptima, se debe ver si el problema tiene "variables discretas" o "variables continuas". Si se tienen variables discretas, al hacer la interpretación de la solución óptima del problema, se tendrá que dar en valores "enteros" haciendo los ajustes requeridos en la solución matemática obtenida. Si son variables continuas, la interpretación se hará directamente con los valores obtenidos sin hacer  ningún ajuste.

6.  ¿Cu  ¿Cuá ál es son l as Car acterísti cas de l as Var i ables abl es de H olgur ol gur a y E xceden xceden te? 

Variable de Holgura: Holgura: Es la cantidad de recursos no utilizado en el programa, cuya función  principal desde un punto de vista matemático es la de romper la inecuación o desigualdad llamada restricción, que se presenta en todo el problema de programación lineal. El coeficiente, o sea el costo de esta variable, será siempre cero. Los problemas que incluyen mas de dos variables están mas allá del alcance del método grafico bidimensional. Puesto que se requieren ecuaciones, el sistema de desigualdades lineales se debe convertir en un sistema de ecuaciones lineales. Esto se logra mediante la inclusión de una variable separada floja o de excedentes en cada desigualdad en el sistema.

Una desigualdad “menor que ó igual a” se puede convertir en una ecuación mediante la adicion de una variable floja s ≥ 0. Una desigualdad “mayor que ó igual a” se convierte en ecuación restándole una variable de

excedentes s ≥ 0 .

7. ¿Cuál es el el propó pr opóssi to de las var varii ables arti ar ti f i cial es en en l a solu solu ción de un problema pr oblema de  programació programación n li neal?  neal? 

Variable artificial: Es un artificio que permite la posibilidad de trabajar con el metodo simplex, pero dicha variable no interviene en la solución del problema, su valor variara dependiendo si se trata de un problema de minimización su valor será +M, en donde M es un valor tan grande como se desee.

8.  ¿Cu  ¿Cuan ando do un a Solu ció ci ón es I l i mi tada? E xpl i que  qu e 

Se considera una solución ilimitada cuando una o más variables y el valor de la función objetivo adquieren un valor ilimitado sin quebrantar las restricciones estructurales. Este tipo de soluciones no se suelen presentar en problemas de programación lineal reales, debido a que se  presenta por las siguientes causas:

Omisión de una o más restricciones Fallas en la modelación y solución Errores en los datos de entrada al método de solución

9.  ¿Cómo  ¿Cómo se obti ene u na soluci ol uci ón opti ma al r esol esolve verr u n pr oble obl ema de maxi max i mi zaci zaci ón? 

Una Solución Óptima es aquella solución básica posible que optimiza a la función objetivo, la función optima se obtiene cuando todos los elementos de la fila de la función objetivo son  positivos.

10. ¿Qu  ¿Qué é dif di f erenci a exis exi ste entr e l os pasos para par a r esol esolve verr u n pr oblema obl ema de maxi max i mi zació aci ón y  uno un o de mini mi ni miz mi zación?  ación? 

Si en lugar de maximizar, se trata de un problema de minimización, se sigue es mismo  procedimiento, pero cambiando el sentido sen tido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la función objetivo sea el mayor de los positivos, y finalizan las interacciones cuando todos los coeficientes de la fila función objetivo son negativos.

Té cni ca de Var i ables abl es A r ti f i cial cia l es 

Esta técnica muestra como puede obtenerse una solución básica factible inicial cuando las variables de holgura no proporcionan tal solución. En general este será el caso cuando al menos una de las restricciones es del tipo = o ≥. Se desarrollan para este propósito métodos basados en

el uso de variables artificiales.

Método “M” o “Método de Penalización”

Técnica de Dos Fases

Tecnica “M” 

Los pasos básicos de la técnica M son los siguientes:  Paso 1: Exprese el problema en la forma estándar determinada.  Paso 2: Agregue variables no negativas al lado izquierdo de cada una de las ecuaciones correspondientes a las restricciones de tipo = y ≥. Estas variables se denominan variables

artificiales y su adición hace que se infrinjan las restricciones correspondientes. Esta dificultad se elimina asegurando que las variables artificiales sean cero (= 0) en la solución final, siempre que exista solución del problema. Esto se logra asignando una penalización muy grande por unidad a estas variables en la función objetivo. Tal penalizado se designará como  – M para problemas de maximización y +M para problemas de minimización, M > 0.  Paso 3: utilice las variables artificiales en la solución básica inicial. Sin embargo, a fin de que la tabla inicial se prepare adecuadamente, la función objetivo deberá expresarse en términos de variables no  básicas únicamente. Esto significa que los coeficientes de las variables artificiales en la función objetivo deben ser 0, un resultado que puede lograrse sumando múltiplos adecuados de las ecuaciones de restricción al renglón objetivo.

 Paso 4: Proceder con los pasos regulares del método Simplex. Las variables artificiales brindan solo un artificio matemático para obtener una solución de inicio. El efecto de estas variables en la solución final se cancela por su alta penalización en la función objetivo.

Té cn i ca de dos d os f ases 

Una desventaja de la técnica M es el posible error de computo que podría resultar de asignar  un valor muy grande a la constante M. Para aliviar la dificultad, el nuevo método elimina el uso de la constante M resolviendo el problema en dos fases, estas dos fases se describen de la manera siguiente:

Fase 1: formula un nuevo problema reemplazando la función objetivo original por la suma de las variables artificiales. La nueva función objetivo entonces se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. Si el problema tiene un espacio factible el Valor mínimo de la nueva función objetivo será 0. Ahora pase a la fase dos. De otra manera, si al Valor mínimo es mayor a cero, el problema se termina con la información de que no existen soluciones factibles.

Fase 2: utilice la solución básica óptima de la fase uno como una solución de inicio para el  problema original. En este caso la función objetivo original se expresa en términos de de las variables no básicas utilizando las eliminaciones usuales de Gauss-Jordan.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Dowling, E.(1986)  Matemáticas para Economistas Series Schaum..Editorial McGraw Hill.  México. Taha, H (1995). Investigación (1995). Investigación de Operaciones. Operaciones. (5ta Ed. ) Editorial Alfaomega. Mexico