METODO SIMPLEX - Trabajo Analisis

PROGRAMACIÓN LINEAL EJEMPLO N° 01 Una empresa minera que procesa mineral mediante el método de flotación, desea establecer la cantidad de cada concentrado que debe obtener durante el mes con el objeto de maximizar sus utilidades netas económicas. Las consideraciones que se establecen para este fin son los siguientes:  No puede asignarse más de 720 horas mensuales de tiempo de operación de la planta de procesamiento.  Todos los costos variables de producción, deben cubrirse con el efectivo disponible para el mes de operación, que es de $16,560, siendo el costo fijo de $ 3,000.

 Satisfacer los compromisos del comprador de la demanda mínima de los concentrados: 30 TM de concentrado de Pb, 55 TM de concentrado de Zn y 32 TM de concentrado de Cu.  Los ingresos económicos brutos generados por la comercialización de los concentrados son de: $60/TM para el concentrado de Pb, $64/TM para el de Zn y $50/TM para el de Cu.  El costo de producción variable del concentrado de Pb es de $48/TM, del Zn es de $ 43/TM y del Cu es de $28/TM.  Los Tiempos promedio para producir los tres concentrados son de: 3.5 horas/TM, 2.5 horas/TM y 2.0 horas/TM, respectivamente.

Establecimiento de las variables de decisión:  x1 = Tonelaje de concentrado de Pb que debe producirse durante el mes.  x2 = Tonelaje de concentrado de Zn que debe producirse durante el mes.  x3 = Tonelaje de concentrado de Cu que debe producirse durante el mes. Determinación de la Función Objetivo: De acuerdo al planteamiento del problema, lo que se desea es tener la mayor rentabilidad del proceso, que mostrado de un modo matemático sería: Z = c1x1 + c2x2 + c3x3. Donde:  Z = Medida objetiva del comportamiento (Función Objetivo) 

Ci = Variables

del

sistema

sujetas

a control (variables

controlables o de decisión). 

xi =Variables del sistema que no están sujetas a control (variables incontrolables o ambientales).

Función Objetivo: Max Z = c1x1 + c2x2 + c3x3. Donde: 

Ci = Utilidad neta que se genera por la producción de los concentrados y es igual a la utilidad bruta menos los costos de producción variables del proceso.



xi = Producción de

los

obtenidos durante el proceso.

diferentes

tipos

de concentrados

Por tanto: c1 = 60 – 48 = 12 c2 = 64 – 43 = 21 c3 = 50 – 28 = 22 Función Objetivo: Max Z = 12x1 + 21x2 + 22x3. Restricciones de Producción: 

3.5x1, sería el número total de horas mensuales que se requiere para procesar el concentrado de Pb.

 2.5x2, sería el número total de horas mensuales que se requiere para procesar el concentrado de Zn. 

2.0x3, sería el número total de horas mensuales que se requiere para procesar el concentrado de Cu. 3.5x1 + 2.5x2 + 2.0x3 ≤ 720

Restricciones Económicas: 

Costo total = Costo Variables + Costo Fijo



Costo Variable = Costo Total – Costo fijo



Costo Variable = 16,560 – 3000 = 13,560 48x1 + 43x2 + 28x3 ≤ 13,560

Compromisos de Demanda: 

x1 ≥ 30



x2 ≥ 55



x3 ≥ 32

Función Objetivo:

Max Z = 12x1 + 21x2 + 22x3. Sujeto a:

3.5x1 + 2.5x2 + 2.0x3 ≤ 720 48x1 + 43x2 + 28x3 ≤ 13,560 x1

≥ 30 x2

≥ 55 x3 ≥ 32

No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda para todas las variables. RESOLUCION POR EL METODO SIMPLEX 1.1 MODELIZANDO EL PROBLEMA: Max Z = 12x1 + 21x2 + 22x3. Sujeto a: 3.5x1 + 2.5x2 + 2.0x3 ≤ 720 48x1 + 43x2 + 28x3 ≤ 13,560 x1

≥ 30 x2

≥ 55 x3 ≥ 32

1.2 ESTANDARIZACION DEL MODELO: Max Z = 12x1 + 21x2 + 22x3. Sujeto a: 3.5x1 + 2.5x2 + 2.0x3 + S4 = 720 48x1 + 43x2 + 28x3 +S5 x1

+S6+A1 x2

+S7+A2

= 13,560 = 30 = 55

x3 +S8 +A3 = 32 1.3 CONTRUCCION DEL TABLERO INICIAL:

Aplicación operaciones matriciales (OME)

De donde: X1 = 30, X2=55 y X3 =238.75 Max Z = 12X1 + 21X2 + 22X3 Max Z = 12(30) + 21(55) + 22(238.75) Max Z = US$ 6767.50

EJEMPLO N° 02: Una empresa minera tiene cuatro unidades productivas que explotan minerales de plomo, cobre, zinc y plata. Los costos operativos en cada unas de estas minas son las siguientes:  Mina 1: US$ 800.00/TM

Mina 3: US$ 600.00/TM

 Mina 2: US$ 400.00/TM

Mina 4: US$ 500.00/TM

Las consideraciones que se establecen para este fin son los siguientes:  En la Mina 1 la ley promedio establecida en lbs./TM, es de 10 para el plomo, 3 para el cobre, 8 para el zinc y 2 para la plata y la ley mínima proporcional promedio de estos cuatro elementos es de 5 lbs./TM.  En la Mina 2 la ley promedio establecida en lbs./TM, es de 90 para el plomo, 150 para el cobre, 75 para el zinc y 175 para la plata y la ley mínima proporcional promedio de estos cuatro elementos es de 100 lbs./TM.  En la Mina 3 la ley proporcional establecida en lbs./TM, es de 45 para el plomo, 25 para el cobre, 20 para el zinc y 37 para la plata y la ley mínima proporcional promedio de estos cuatro elementos es de 30 lbs./TM.  En la Mina 4 la ley proporcional establecida en lbs./TM, es de 30 para el plomo, 25 para el cobre, 18 para el zinc y 12 para la plata y la ley mínima proporcional promedio de estos cuatro elementos es de 20 lbs./TM. Determinar el porcentaje que debe provenir de cada una de las cuatro minas de modo que se minimicen los costos operativos de la empresa.

Establecimiento de las variables de decisión:  X1 = Porcentaje proveniente de la Mina 1.  X2 = Porcentaje proveniente de la Mina 2.  X3 = Porcentaje proveniente de la Mina 3.  X4 = Porcentaje proveniente de la Mina 4. Determinación de la Función Objetivo: De acuerdo al planteamiento del problema, lo que se desea es tener la mayor rentabilidad del proceso, que mostrado de un modo matemático sería:

Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 Donde: 

Z = Medida objetiva del comportamiento (Función Objetivo)



ci = Variables

del

sistema

sujetas

a control (variables

controlables o de decisión). 

xi = Variables del sistema que no están sujetas a control (variables incontrolables o ambientales).

Función Objetivo: Min Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 Donde: 

ci = Costo unitario que se genera por la producción del mineral en cada una de las unidades operativas de la empresa en discusión



xi = Porcentaje de producción que debe obtenerse de cada una de las minas.

Por tanto: c1 = 800.00

c3 = 600.00

c2 = 400.00

c4 = 500.00

Función Objetivo: Min Z = 800x1 + 400x2 + 600x3 + 500x4 Sujeto a: 10x1 +

3x2 + 8x3 +

2x4  5

90x1 + 150x2 + 75x3 + 175x4  100 45x1 + 25x2 + 20x3 + 37x4  30 30x1 + 25x2 + 18x3 + 12x4  20 x1 +

x2 + x3 + x1, x2, x3, x4

x4 

=

1

=

1

0

RESOLUCION POR EL MÉTODO SIMPLEX 1.1 MODELIZANDO EL PROBLEMA Min Z = 800x1 + 400x2 + 600x3 + 500x4 Sujeto a: 10x1 +

3x2 + 8x3 +

2x4  5

90x1 + 150x2 + 75x3 + 175x4  100 45x1 + 25x2 + 20x3 + 37x4  30 30x1 + 25x2 + 18x3 + 12x4  20 x1 +

x2 + x3 + x1, x2, x3, x4

x4 

0

1.2 ESTANDARIZACION DEL MODELO: Min Z = 800x1 + 400x2 + 600x3 + 500x4 Sujeto a: 10x1 +

3x2 + 8x3 +

2x4 -S1+A1 =5

90x1 + 150x2 + 75x3 + 175x4 -S2+A2 = 100 45x1 + 25x2 + 20x3 + 37x4 -S3+A3 = 30 30x1 + 25x2 + 18x3 + 12x4 -S4+A4 = 20 x1 +

x2 + x3 + x4 +A5 = x1, x2, x3, x4



0

1.2 CONSTRUCCION DEL TABLERO INICIAL:

1

Al haber alcanzado la solución de Z* = 0, se continua en la siguiente fase, copiando el tablero final (Tabla VI), pero ya no se trabajan con las columnas de las variables artificiales (A1, A2, A3, A4, A5) y seguimos desarrollando con el método simplex como a continuación se muestra.

De donde: X1=0.2593, X2=0.7037, X3=0.0370 y X4=0 Min Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4 Min Z = 800(0.2593) + 400(0.7037) + 600(0.037) + 500(0) Min Z = US$ 511.11 EJEMPLO N° 03 En una planta de procesamiento metalúrgico inicial de minerales metálicos, se producen dos tipos de concentrados: de plomo y de zinc. Su precio de venta es de US$ 80.00/TM y US$ 60.00/TM, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 2 y 3 trabajadores para procesar cada producto, y de 5,000.00 y 2,000.00 dólares en materiales e insumos por cada 1,000 TM producidas semanalmente. La empresa ha establecido disponer semanalmente de un máximo de 30 trabajadores y 10,000.00 dólares para materiales e insumos. Se pide realizar la formulación de la programación lineal de este proceso, de modo que se maximicen los beneficios económicos que se generan.

Establecimiento de las variables de decisión:



x1 = Tonelaje de concentrado de plomo.



x2 = Tonelaje de concentrado de zinc.

Función Objetivo: Max Z = c1x1 + c2x2 Donde: 

ci = Precio de venta de los concentrados procesados.



xi = Producción de cada uno de los concentrados.

Por tanto: 

c1 = 80.00 x 1000 = 80,000.00



c2 = 60.00 x 1000 = 60,000.00

Función Objetivo: Max Z = 80,000x1 + 60,000x2 Restricciones de Producción: Personal: 2x1 + 3x2 ≤ 30 Económicas: 5,000x1 + 2,000x2 ≤ 10,000

Función Objetivo: Max Z = 80,000x1 + 60,000x2 Sujeto a: 2x1 +

3x2 ≤

30

5,000x1 + 2,000x2 ≤ 10,000 x1, x2 

0

RESOLUCION POR EL METODO GRAFICO 3.1 Definición matemática del problema: Max Z = 80000X1 + 60000X2 Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≤ 30………..R.E. (1) 5000X1 + 2000X2 ≤ 10000….R.E.(2) X1, X2 ≥ 0 3.2 Representación grafica de restricciones estructurales:

3.3 Trazo de función objetivo:

Z = 800000X1 + 60000X2 0 = 80000X1 + 60000X2

3.4 Solución propiamente:

3.5 Solución aparente: X1 = 0

X2 = 5

Max Z = 80000X1 + 60000X2 Max Z =80000(0) + 60000(5) Max Z =US$300000 3.6 Solución real: Para el problema tenemos: X1 =0 5000X1 + 2000X2 ≤ 10000……….R.E.(2) X2 =5 Max Z = 80000X1 + 60000X2 Max Z = 80000(0) + 60000(5) Max Z = US$300000 RESOLUCION POR EL METODO SIMPLEX: 2.1 Modelación del problema: Max Z = 80000X1 + 60000X2 Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≤ 30………..R.E. (1) 5000X1 + 2000X2 ≤ 10000….R.E.(2) X1, X2 ≥ 0

3.2 Estandarización del modelo en cuestión: Max Z = 80000X1 + 60000X2 Sujeto a: 2X1 + 3X2 + X3 = 30………..R.E. (1) 5000X1 + 2000X2 + X4 = 10000….R.E.(2) X1, X2 ≥ 0 TABLERO I

3.4 aplicación de las operaciones matriciales: Generar la matriz aumentada:

TABLERO II

TABLERO III

De esta manera encontramos la solución básica factible: Zj = US$300000 Entonces: Max Z = US$300000 EJEMPLO Nº 04 Una compañía que explota yacimientos carboníferos, tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbón antracítico de alta calidad, 2 toneladas de carbón bituminoso de calidad media y 4 toneladas cisco carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dólares y los de la mina B a 200 dólares. Realizar la formulación de la programación lineal que permita determinar el tiempo en días que deben operar dichos yacimientos para optimizar el costo del proceso de explotación. Matematización del problema:

Variables instrumentales:



x = Número de días trabajados en la mina A



y = Número de días trabajados en la mina B

Función Objetivo: Min Z = 150x + 200y Sujeto a: x + 2y ≥ 70 2x + 2y ≥ 130 4x + 2y ≥ 150 x,

y 

0

RESOLUCIÓN POR EL METODO GRAFICO:

Donde:

X = 60 y Y = 5 Reemplazando en la función objetivo; tenemos: Min Z = 150(60) + 200(5) Min Z = 10000 RESOLUCION POR EL METODO SIMPLEX: Función Objetivo: Min Z = 150x + 200y + 0S1 + MA1 +OS2 + MA2 + OS3 + MA3 Sujeto a: x + 2y –S1 + A1 + 0S2 + 0A2 + 0S3 + 0A3 = 70 2x + 2y + 0S1 + 0A1 - S2 + A2 + 0S3 + 0A3 = 130 4x + 2y + 0S1 + 0A1 + 0S2 + 0A2 – S3 + A3 = 150 x,

y 

0 TABLA 1

TABLA 2

TABLA 3

TABLA 4

EJEMPLO N° 05 Una empresa minera que opera por métodos subterráneos debe explotar tres (03) tajeos en forma continuada para obtener la máxima rentabilidad en esta unidad productiva. Las consideraciones técnico económicas que se establecen son las siguientes:  En el Cuadro N° 01 se visualizan las leyes de los elementos metálicos en los diferentes tajeos, así como los precios actuales de los elementos metálicos que componen el mineral:  El tiempo de las operaciones mineras para obtener una TM de cada tajeo frente a las leyes mínimas predispuestas, están en la proporción de 3:4:2, respectivamente; debiendo trabajarse en dos guardias de 12 horas cada una.

 La explotación económica de la mina en discusión es de 300 TMD.  Los costos de producción representan el 60 % de los ingresos brutos generados, predisponiéndose que la cobertura de la operación en cada tajeo es de US $ 25.00/TM.

CUADRO N° 01 LEYES DEL MINERAL

TAJEO

Pb (%)

Ag (onzt/tc)

Zn (%)

1

12

10

8

2

15

6

5

3

4

5

2

PRECIO

US$1.16/lb.

US$34.25/ozt

US$1.13/lb.

Valorización del mineral por tajeo:

VALOR BRUTO DEL MINERAL DE TAJEO

MINA(US$/TM) Ag 211.42 126.85 105.71

Pb 171.85 214.82 57.28

1 2 3

TOTAL Zn 111.61 69.75 69.75

494.88 411.42 232.75

Valor neto del mineral de mina:

CONSIDERACIONES ECONOMICAS DEL MINERAL (US$/TM) COSTO DE

TAJEO

VALOR BUTO

PRODUCCION

VALOR NETO

1

494.88

296.93

197.95

2

411.42

246.85

164.57

3

232.75

139.65

93.10

Establecimiento de las variables de decisión: x1 = TMD del tajeo N° 01. x2 = TMD del Tajeo N° 02. x3 = TMD del Tajeo N° 03. Función Objetivo: Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 Donde: ci = Precio neto del mineral de mina. xi = Producción del tajeo. Por tanto: c1 = 197.95

c3 = 93.10 c2 = 164.57

Función Objetivo:

Z = 197.95x1 + 164.57x2 + 93.10x3 Restricciones de Producción: De Procesamiento: x1 + x2 + x3 ≤ 300 Tiempo: 3x1 + 4x2 +2x3 ≤ 24 Económicas: 296.93x1 + 246.85x2 + 139.65x3 ≤ 25.00x300 296.93x1 + 246.85x2 + 139.65x3 ≤ 7,500.00 Función Objetivo: Max Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 Sujeto a: x1 3x1

+ +

x2

+

x3 ≤ 300

4x2 + 2x3 ≤ 24

296.93x1 + 246.85x2 + 139.65x3 ≤ 7500 x1,

x2,

x3 

0

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX: Función objetivo:

Max Z = 197.95X1 +164.57X2 +93.10X3

Sujeto a: X1 + X2 + X3 ≤ 300 3X1 + 4X2 +2X3 ≤ 24 196.93X1 + 246.85X2 +139.65X3 ≤ 7500 X1 , X2 ,X3 ≥ 0 Tabla simplex Nº1:

Tabla simplex Nº2:

Cálculos realizados: 300 - (1x8) =292

7500 - (296.93x8) =5124.56

1 - (1x1)

296.93 - (296.93x1) =0

=0

1 - (1x4/3) =-1/3

246.85 - (296.93x4/3) =147.873

1 - (1x2/3)= 1/3

139.65 – (296.93x2/3) =-58.303

1 - (1x0) =1

0 - (296.93x0) =0

0 - (1x1/3)=-1/3

0 - (296.93x1/3) = -98.98

0 - (1x0) =0

1 – (296.93x0) = 1

Entonces reemplazando los valores en la función objetivo original se tiene: Función objetivo:

Max Z = 197.95X1 +164.57X2 +93.10X3 Z = 197.95(8.00) + 164.57(0) +93.10(0) Z= 1 583.600

Esto significa que se va a obtener la máxima rentabilidad de 1 583.600 dólares . Y para eso se debe de extraer 8 TMD en el tajeo 1 EJEMPLO N° 06

La Empresa Minera Ayanes S. A. Dispone de $210,000.00 para invertir en la bolsa de minerales. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Se decide invertir un máximo de $130,000.00 en las del tipo A y como mínimo $60,000.00 en las del tipo B. Además se dispone que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? DEFINICION MATEMATICA DEL PROBLEMA: Función Objetivo: Max Z = 0.10X1 + 0.08X2 Sujeto a: X1

+

X2 ≤ 210,000

X1

≤ 130,000 X2 

X1

≤

60,000

2 X2

REPRESENTACION GRAFICA DE LAS RESTRICCIONES: X1

+

X2 ≤ 210,000

SI :X1 = 0; X2 = 210000 SI :X2 = 0; X1 = 210000 X1 = 130,000 X2 = 60,000

TRAZANDO LA PENDIENTE:

0.10X1 + 0.08X2 = 0 0.08X2 = 0.10X1 X2 / X1 = -5/4 m = tg Ѳ = - 5/4 Ѳ= arctg(- 5/4) Ѳ = 51 0 (Angulo negativo en sentido horario) Suplemento: 180 0 -510 = 129 0( Angulo positivo en sentido anti horario)

SOLUCION PROPIAMENTE DICHA: 

SOLUCION PROPIAMENTE DICHA: De acuerdo ala grafica X1 =130000 X2 =78000

Significa que la cantidad que se invierte en acciones del tipo A es exactamente 130000$ y en acciones de tipo B es aproximadamente 78000$ para generar una máximo interés anual total a:

Max Z = 0.10*1300001 + 0.08*78000 = 19240$ 

SOLUCION REAL: X1 + X2 =210,000 X1

= 130,000

X1 =130000 X2 =80000 Significa que la cantidad que se invierte en acciones del tipo A es exactamente 130000$ y en acciones de tipo B es aproximadamente 80000$ para generar una máximo interés anual total a: Max Z = 0.10*1300001 + 0.08*80000 = 19400$

COMPROBACION: Reemplazando valores en cada restricción: X1

+

X2 ≤ 210,000

130,000+80,000 ≤ 210,000

(cumple la condición H=0, es decir la inversión planificada de la empresa en la bolsa de minerales es igual a lo real) •

X1

≤ 130,000

130,000 ≤ 130,000

(cumple la condición H=0, es decir la inversión maxima de las acciones de tipo A planificada de la empresa en la bolsa de minerales es igual a lo real) •

X2 

60,000

80,000 

60,000

(cumple la condición H=20,000; es decir la inversión de las acciones de tipo B es de 20,000$ mas al mínimo proyectado que es 60,000$) •

X1

≤

2 X2

130,000 ≤

160,000

(cumple la condición H=30,000; es decir la inversión de las tipo A es menor que el doble de las de tipo B, lo proyectado es igual a lo real)

S0LUCION POR EL MÉTODO SIMPLEX: Max z = 0.1X1 + 0.08X2 + 0X3 + 0X4+ 0X5 + 0X6 + Mq1 X1

+

X2 + x3

X1

= 210,000.00

130,000.00

X2 -

60,000.00 X1

–

2x6

+

x6

0

TABLA1 C

0.10

0.08

0

0

0

0

-M

Cb

Xb

bi

X1

X2

X5

X3

X4

X6

Q1

0

X3

210000

1

1

0

1

0

0

0

210000

0

X4

130000

1

0

0

0

1

0

0

130000

0

X6

0

1

-2

0

0

0

1

0

∞

M

Q1

60000

0

1

-1

0

0

0

1

∞

Zj

0

M

-M

0

0

0

M

ZjCj

-0.10

M -0.08

-M

0

0

0

2M

TABLA2 Cj

0.10

0.08

0

0

0

0

-M

Cb

Xb

bi

X1

X2

X5

X3

X4

X6

Q1

0

X3

80000

0

1

0

1

-1

0

0

80000

X1

130000

1

0

0

0

1

0

0

∞

0

-2

0

0

-1

1

0

65000

0

1

-1

0

0

0

1

60000

Zj

0.1

M

-M

0

0.1

0

M

ZjCj

0

M0.08

-M

0

0.1

0

2M

0.1 0

X6

M

Q1

-130000 60000

Cj

0.10

0.08

0

0

0

0

-M

Cb

Xb

bi

X1

X2

X5

X3

X4

X6

Q1

0

X3

20000

0

0

1

1

-1

0

0

20000

X1

130000

1

0

0

0

1

0

0

∞

0

0

-2

0

-1

1

2

5000

0

1

-1

0

0

0

1

-60000

0.08

0.08

0

0.1

0

0.08

0

0.08

0

0.1

0

0.08 +M

0.1 0

X6

0.08

X2

-10000 60000

Zj

0.1

ZjCj

0

Cj

0.10

0.08

0

0

0

0

-M

X6

Q1

Cb

Xb

bi

X1

X2

X5

X3

X4

0

X3

15000

0

0

0

1

-1.5

X1

130000

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0.5

-0.5

0

1

0

0

0.5

-0.5

0.08

0

0

0.14

0.04

0

0

0.14

0.04 0

M

0.1 0

X5

0.08

X2

5000 65000

Zj

0.1

ZjCj

0

0

0

0.5

1

0

0 -1 0

Cb 0 0.1 0 0.08

Cj Xb X6 X1 X5 X2 Zj Zj-

bi 30000 130000 20000 80000

0.10 X1 0 1 0 0 0.1 0

0.08 X2 0 0 0 1 0.08 0

0 X5 0 0 1 0 0 0

0 X3 2 0 1 1 0.08 0.08

0 X4 -3 1 1 1 0.18 0.18

0 X6 1 0 0 0 0 0

Cj

Cb 0 0.1 0 0.08

Cj Xb X3 X1 X5 X2 Zj Zj-

-M Q1 1 0 -0.5 0.5 0.04 0.04 +M

bi 15000 130000 5000 65000 18200

0.10 X1 0 1 0 0 0.1 0

Cj

0.08 X2 0 0 0 1 0.08 0

0 X5 0 0 1 0 0 0

0 X3 1 0 0 0 0

0 X4 -1.5 1 0.5 0.5 0.14

0

0.14

0 X6 0.5 0 -0.5 -0.5 0.04 0.04

1) Según los cálculos obtenemos las variables de decisión. X1 = 130000 X2 = 65000

-M Q1 1 0 -1 0 0 M

X3 = 15000 Zj = 18200

Ejercicio Nº07 Una empresa minera explota un yacimiento polimetálico utilizando el método de cielo abierto, es necesaria la explotación de tres bancos al mismo tiempo, para obtener la máxima rentabilidad de esta unidad productiva. Las consideraciones técnico económicas que se establecen son las siguientes: 1. Las leyes del mineral y los precios actuales de los metales comprendidos en el mineral, se establecen del modo siguientes:  El elemento plomo tiene 8% en el banco 1, 12% en el banco 2 y 6% en el banco 3. El precio actual del plomo es de $0.98/lb.  El elemento zinc tiene 6% en el banco 1, 4% en el banco 2 y 3% en el banco 3. El precio actual del zinc es de $0.95/lb.  El elemento plata tiene 9 onzt/tc en el banco 1, 5 onzt/tc en el banco 2 y 2 onzt/tc en el banco 3. El precio actual de la plata es de $35.00/onzt. 2. El tiempo de las operaciones mineras para obtener una TM de cada banco frente a las leyes mínimas predispuestas, están en la proporción de 4:2:3, respectivamente; debiendo trabajarse en dos guardias de 12 horas cada una. 3. La explotación económica de la mina en discusión es de 5,000 TMD. 4. Los costos de producción representan el 65 % de los ingresos brutos generados, predisponiéndose que la cobertura de la operación en cada tajeo es de 35.00/TM. CUADRO N° 01 BANCO

LEYES DEL MINERAL

US $

Pb (%)

Ag (onzt/tc)

Zn (%)

1

8

9

6

2

12

5

4

3

6

2

3

PRECIO

US$0.98/lb.

US$33.00/ozt

US$0.95/lb.

CUADRO N° 02 VALORIZACION DEL MINERAL POR TAJEO VALOR BRUTO DEL MINERAL DE BANCO

TOTAL

MINA(US$/TM) Pb

Ag

Zn

1

96.79

183.33

70.37

350.50

2

145.19

101.85

46.91

293.95

3

72.59

40.74

35.19

148.52

CUADRO N° 03

VALOR NETO DEL MINERAL DE MINA

BANCO

CONSIDERACIONES ECONOMICAS DEL MINERAL (US$/TM) COSTO DE VALOR BUTO

PRODUCCION

VALOR NETO

1

350.50

227.82

122.67

2

293.95

191.07

102.88

3

148.52

96.54

51.98

Establecimiento de las variables de decisión: X1 = TMD del Banco N° 01. X2 = TMD del Banco N° 02. X3 = TMD del Banco N° 03. Función Objetivo: Max Z = 122.67X1 + 102.88X2 + 51.98X3 Sujeto a: X1 4X1

+

X2

+

+ 2X2

X3 ≤

5,000

+ 3X3 ≤

24

227.82X1 + 191.07X2 + 51.98X3 ≤ 175,000.00 X1,

X3

X2,

0

MAXZ = 122.67X1 + 102.88X2 + 51.98X3 X1 +

X2 +

X3

4X1 +

2X2 +

3X3

+ X4 = 5000 +X5

= 24

227.82X1 + 191.07X2 + 51.98X3+X6

= 175000

TABLA1 Cb 0 0 0

CJ Xb X4 X5 X6 Zj Zj Cj

Bi 5000 24 175000 0

122.67 X1 1 4 227.821 0 -122.67

102.88 X2 1 2 191.07 0 -102.88

51.98 X3 1 3 51.98 0 51.98

0 X4 1 0 0 0 0

0 X5 0 1 0 0 0

0 X6 0 0 1 0 0

5000 6 768.15

TABLA2 CJ Cb Xb 0 X4 122.67 X1 0 X6 Zj Zj Cj

122.67 Bi X1 4994 0 6 1 173633.08 0 0

102.88 X2 0.5 0.5 77.16

122.67 61.34 0 -41.54

51.98 X3 0.25 0.75 -

0 X4 1 0 0

118.89 92 0 40.02 0

0 X5 -0.25 0.25 56.96

0 X6 0 0 1

9988 12 2250.30

30.67 0 30.67 0

TABLA3 Cb 0

CJ Xb X4

102.88 X2 0 X6

122.67 X1 -1

Bi 4988

12 2 172707.16 -54.32

Zj 1234.56 Zj -

205.76 83.09

102.88 X2 0

51.98 X3 -

0 X4 1

0 X5 -0.5

0 X6 0

1 0

0.0833 0.6667 -

0 0

0.5 0 18.38 1

102.88 0

170.33 68.59 16.61

0 0

51.44 0 51.44 0

Cj Según los cálculos obtenemos las variables de decisión.  Numero de toneladas métricas de mineral que se debe de extraer del banco X1 = 0  Numero de toneladas métricas de minerales que se debe extraer del banco X2 = 12  Numero de toneladas métricas de minerales que se debe extraer del banco De lo ya establecido y comprobado remplazamos nuestros valores a la función objetiva de maximización. MAX = 122.67X1 + 102.88X2 + 51.98X3

MAX = 122.67*0 + 102.88*12 + 51.98*0 EJEMPLO N° 08 En una planta de procesamiento por el método de flotación de minerales polimetálicos, se producen dos tipos de concentrados: de plomo y de cobre, las consideraciones que se establecen son los siguientes: 1. La ley de cabeza con que ingresa el elemento plomo es de 9%, mientras que el elemento secundario en el concentrado de plomo es la plata que tiene una ley de cabeza de 6 onzt/TM. El precio actual del plomo es de $0.98/lb y de la plata es de $33.00/onzt. 2. La ley de cabeza del cobre es de 1.5 %. El precio de este elemento es de $3.80/lb. 3.

Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 4 trabajadores para procesar cada producto, y de US$ 5,000.00 y US$ 2,000.00 en materiales e insumos por cada 1,000 TM producidas semanalmente.

4. La planta de procesamiento del mineral ha determinado la presencia semanal de un máximo de 60 trabajadores y $10,000.00 para materiales e insumos. 5. Los costos de operación en ambos casos representan el 60% de los ingresos brutos generados. Realizar la formulación de la programación lineal de este proceso, de modo que se maximice la rentabilidad del mismo. Establecimiento de las variables de decisión:  X1 = Tonelaje de concentrado de plomo.  X2 = Tonelaje de concentrado de zinc. Función Objetivo: Max Z = c1X1 + c2X2 Donde: ci = Utilidad neta de los concentrados procesados. Xi = Producción de cada uno de los concentrados.

Por tanto: c1 = 87.91 c2 = 28.15 Establecimiento de las variables de decisión:  X1 = Tonelaje de concentrado de plomo.  X2 = Tonelaje de concentrado de zinc. Función Objetivo: Max Z = c1X1 + c2X2 Donde: ci = Utilidad neta de los concentrados procesados. Xi = Producción de cada uno de los concentrados. Por tanto: c1 = 87.91 c2 = 28.15

Establecimiento de las variables de decisión:  X1 = Tonelaje de concentrado de plomo.  X2 = Tonelaje de concentrado de zinc. Función Objetivo: Max Z = c1X1 + c2X2 Donde: ci = Utilidad neta de los concentrados procesados. Xi = Producción de cada uno de los concentrados. Por tanto: c1 = 87.91 c2 = 28.15

Función Objetivo: Max Z = 87.91x1 + 28.15x2 Restricciones de Producción:  Personal: 

0.003x1 + 0.004x2 ≤ 60

 Económicas: 5.00x1 + 2.00x2 ≤ 10,000.00 Función Objetivo: Max Z = 87.91X1 + 28.15X2 Sujeto a: 0.002X1 + 0.003X2 ≤ 5.00X1 + 2.00X2 x1,

x2



30

≤ 10,000 0

Solución por el Método Gráfico

Para R1 x1

0

20000

x2

15000

0

Para

R2 x1

0

2000

x2

5000

0

Haciendo la gráfica

R1 2

R2

La región acotada será

Analizando los Puntos Punto 1 (0,0) Z1 =0 Punto 2 (0,5000)

Z2 =140750 Punto 3 (2000,0) Z3 =175820 Punto 4 (1000,2500) Z3 =158285

Al ser el Punto 3 el punto más alejado de la región tenemos que Max Z = 175820

Método Simplex: Max Z = 87.91x1 + 28.15x2 + 0 x3+ 0 x4 Sujeto a :



0.003x1 + 0.004x2+ 0 x3 ≤ 60

………….(R1)



5.00x1 + 2.00x2 + 0 x4 ≤ 10,000.00 ………….(R2)



Ec

B

Z

x1

0

Z

1

-87.91 -28.15

1

x3

0

2

x4

0

0.003 0.004

x2

x3

x4

LD

0

0

1

60

0 0

5 2

1

10000 0

0

Z

1

0 7.014

0 35.164

175820

1

x3

0

x1

0

0 -3/5000

54

2

0 7/2500 1 2/5

0 1/5

Máx Z = 17582

2000