Metodo Simplex Matricial

 Notas del Método Simplex Simplex

Investigación Investigación de Operaciones Operaciones I

TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX EL MÉTODO SIMPLEX

Es un procedimiento general para encontrar la solución óptima a problemas de Programación Lineal. Este método logra la solución óptima en un número finito de pasos, la demostración de esto es lo que se pretende realizar.

Para el desarrollo de éste método son necesarias algunas definiciones: Solución:  Cualquier conjunto de variables  x  j   que satisfacen las restricciones del  problema  problema (  Ax = b ). Solución factible: Cualquier solución que satisface la no-negatividad de las restricciones ( x  j ³ 0 ).

Solución básica:  En un sistema de m   ecuaciones lineales con n   variables  Ax = b ( m < n ) cuyo rango  R ( A) = m ; una solución es obtenida haciendo n - m   variables igual a cero y resolviendo para las m   variables restantes, siempre y cuando el determinante de los coeficientes de estas m  variables no seas cero. Las m   variables se llaman variables básicas (la solución resultante a este sistema, se le llama solución  básica). Solución básica factible: Es una solución básica en la cual todas las m  variables básicas son mayores o iguales que cero (  x  j ³ 0 ).

Degeneración:  Una solución básica  Ax = b   es degenerada si una o más variables  básicas son son iguales a cero cero (más de n - m  variables iguales a cero).

Procedimiento del Método Simplex para la Forma For ma Matricial Primero Partiendo de un problema de Programación Lineal que se encuentra en la forma estándar, se determinan las matrices

A, b, B, C j, CB, y XB Donde: A es la matriz de coeficientes de las variables en las restricciones  b es el lado lado derecho de las restricciones restricciones (limitaciones (limitaciones ) B es la matriz que proporciona la Solución Inicial Básica Factible y esta formada por las columnas de las variables básicas, es decir aquellas que están en solución. C j son los coeficientes de las variables en la función objetivo CB son los coeficientes de las variables básicas en la Función Objetivo. XB son los valores de las variables básicas que dan la solución al problema.

Segundo

Se obtiene B Inversa ( B -1  ). Ya sea por el Método de Cofactores o por el Método de

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Gauss-Jordan

Tercero Se obtiene XB, donde  X  B =  B -1b  Z  = C  B X  B

Cuarto Determinar la variable que entra en la base de solución Se obtienen los Z j-C j para las variables No-básicas donde  Z   j = C  B Y  j

y

Y  j =  B

-1

-

a  j

Las Y j de las variables básicas forman las columnas de la matriz identidad y las Z  j-C j de las variables básicas son cero. Las Y j  son las columnas actualizadas a las transformaciones de renglón de la matriz A  para generar la columna de la matriz identidad que aporta la columna de la variable que entra en solución. Para un problema de Maximización Entra la variable que tenga el más negativo Z j-C j y se alcanza la solución óptima cuando todos los valores sean positivos en el análisis de Z  j-C j

Para un problema de Minimización Entra la variable que tenga el más positivo Z j-C j y se alcanza la solución óptima cuando todos los valores sean negativos en el análisis de Z  j-C j C j-Z j es el beneficio que se tendrá en Z por cada unidad de valor que tenga la variable que entra en solución (X r )

Quinto Determinar la variable que sale de solución Se analiza cada columna de las variables No-básicas junto con el valor de las variables  básicas XB. Sale de solución aquella variable que tenga el

æ  X  Bi

 ö æ  X   X   ö , donde Y ir  > 0 ÷÷ =  Minçç  B1 ,  B 2 ,....., donde Y ir  > 0 ÷÷ , è  Y ir   ø è  Y 1r  Y 2 r   ø donde r corresponde a la columna de la variable que entra en la solución  Minçç

Sexto La columna de la variable que entra en solución deberá aportar la columna de la matriz identidad.

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æ  X   ö En la matriz B la columna de la variable que tuvo el  Minçç  Bi ÷÷ abandona la base de è  Y ir   ø solución y entra en su lugar la columna de la variable r.

Séptimo Regresar al paso 2, hasta que se cumpla el criterio de optimización, considerado en el  paso 4.

Ejemplo: Forma canónica Max  Z  = 5 x1 + 3 x 2 , sujeto a : 3 x1 + 5 x 2 £ 15 5 x1 + 2 x 2 £ 10  x1 , x 2 ³ 0

Forma estándar  Max  Z  = 5 x1 + 3 x 2 , sujeto a : 3 x1 + 5 x 2 +  x 3 5 x1 + 2 x 2

= 15 +  x 4 = 10

 x1 , x 2 , x 3 x 4 ³ 0 y  x 3 , x 4 son variables de holgura

C  j = [5 3 0 0] é3 5 1 0 ù  A = ê ú Dado ë5 2 0 1û que las columnas de a 3 y a 4   forman las columnas de la matriz identidad (  x 3  y  x 4  son variables básicas), hacemos que:

é15ù b=ê ú ë10û

b1 = a 3 y b2 = a 4

é1 0 ù ú ë0 1 û

 B = ê

é1 1  x B =  B - b = ê ë0

é15ù ¬  x 3 =  x B1 = 1úû êë10úû êë10úû ¬  x 4 =  x B 2 0ù é15ù

é1  B -1 = ê ë0

0ù

1úû

 x1 =  x 2 = 0

El valor de la función objetivo  Z   es: é15ù  Z  = C  B xB = [0 0]ê ú = 0 ë10û Analizando la variable que entra en solución:

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é1 0ù é3ù é3ù ¬  y11 1  y 1 =  B - a1 = ê ú ê ú = ê ú ë0 1û ë5û ë5û ¬  y 21 é1 0ù é5ù é5 ù ¬  y12 -1  y 2 =  B a 2 = ê ú ê ú = ê ú ë0 1û ë2û ë2û ¬  y 22  z 1 = C  B y1

= [0

 z  j - c j < 0 se toma el  z  j

é3ù

0]ê ú = 0

ë5û

 z 2 = C  B y 2

 z1 - c 1 = 0 - 5 = -5

= [0

é5 ù

0]ê ú = 0

ë 2û

 z 2 - c 2 = 0 - 3 = -3

- c  j  más negativo. Así, la variable entrante será  x1 .

Analizando la variable que sale de solución:

ì x Bi

üï ïþ

ìï x B1 xB 2 üï ì15 10 ü ì10 ü  x 4 Min  y , , 0 > = í ý í , ý=í ý¬ rj  y y ïî  yrj  y rj ïþ î 3 5 þ î 5 þ  y 21 îï 1 j 2 j Será el valor de la variable entrante en la solución en la tabla siguiente, por lo que  x 4

 x Br 

= Min ïí

, yrj > 0ý = Min

sale de solución. (Donde r es la fila en cuestión y j corresponde a la variable que entra en solución.) y el próximo valor  Z   ( Z   mejorada) será:

ˆ =  Z  +  x 4 (c - z ) = 0 + 10 (5 - 0) = 10  Z  1 1  y 21 5

- z  j  es una razón de cambio, por cada unidad que tenga la variable entrante a la solución, la función objetivo se verá mejorada en c  j - z  j  unidades. el c  j

ahora si b1 = a 3  y b2

= a1  tenemos: é1 3ù  B = ê ú ë 0 5û

é1 -1  x B =  B b = ê ë0

é1 1  B - = ê ë0

- 3 5ù é15ù é9 ù ¬  x 3 =  x B1 = 1 5 úû êë10úû êë2úû ¬  x1 =  x B 2

- 3 5ù 1 5 úû  x 2 =  x 4 = 0

El valor de la función objetivo  Z   es:  Z  = C  B xB = (0

é9 ù 5)ê ú = 10 ë 2û

Analizando la variable que entra en solución:

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é1 1  y 2 =  B - a 2 = ê ë0

- 3 5ù é5ù é19 5ù ¬  y12 = 1 5 úû êë2úû êë 2 5 úû ¬  y 22

é1 -1  y 4 =  B a 4 = ê ë0

- 3 5ù é0ù é- 3 5ù ¬  y 14 = 1 5 úû êë1 úû êë 1 5 úû ¬  y 24

é19 5ù é - 3 5ù [ ] , = = = 5]ê 2 0 5  z c y 4 4  B ú ê 1 5 ú =1 2 5 ë û ë û  z 2 - c 2 = 2 - 3 = -1,  z 4 - c 4 = 1 - 0 = 1 se toma nuevamente aquella variable que tenga el  z  j - c  j más negativo,  z 2 = c B y 2 = [0

correspondiendo a  x 2  salir de solución. Se analiza ahora la variable que abandonará la solución;

ì 9 ü ì 9 ü  x 3 2 , ,  y ij > 0ý = í = Min í ý¬  y rj 19 5 2 5 19 5 î þ î þ  y12

 x Br 

 por lo que  x 3 sale de solución. y el próximo valor de  Z   ( Z   mejorada) será:  x 235  Zˆ = Z + 2 (c2 - z2 ) = 10 + 45 19 (3 - 2) = 19  y12  Nuevamente continuando con este proceso iterativo, ahora haciendo b1 tenemos:

é5 3ù ú ë2 5û

 B = ê

é 5 19 ë - 2 19

 x B =  B -1 b = ê

y

é 5 19 1  B - = ê ë- 2 19

= a 2  y b2 = a1 ,

- 3 19ù 5 19 úû

- 3 19 ù é15 ù é 45 19 ù ¬  x 2 =  x B1 , = 5 19 úû êë10 úû êë 20 19 úû ¬  x1 =  x B 2

 x 3 =  x 4 = 0

Ahora el valor de la función objetivo es:

æ 45 / 19 ö

÷÷ = 235 / 19  Z  = C  B xB = (3 5) çç 29 / 19 è   ø Analizando la variable que entra en solución:

é 5 19 - 3 19ù é1ù é 5 19 ù ¬  y13  y 3 =  B a 3 = ê ú ê0ú = ê- 2 19ú ¬  y 2 19 5 19 ë ûë û ë û 23 -1

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é 5 19 1  y 4 =  B - a 4 = ê ë- 2 19

- 3 19ù é0ù é- 3 19ù ¬  y14 = 5 19 úû êë1 úû êë 5 19 úû ¬  y 24

é 5 19 ù ú = 15 19 - 10 19 = 5 19 ë- 2 19û

 z3 = C  B y3 = [3 5] ê

é - 3 19ù ú = - 9 19 + 25 19 = 16 19 5 19 ë û

 z 4 = C  B y4 = [3 5] ê

 z 3 - c 3 = 5 19 - 0 = 5 19

 z 4 - c 4 = 16 19 - 0 = 16 19

encontramos que como todos los valores de  z  j

- c  j   son

mayores que cero, entonces

ninguna otra variable entrará en solución ya que ésta es óptima. Así la solución óptima será:

 Z  = C  B x B = [3  por lo que  x 2 y  x1   son variables básicas función objetivo es óptima (  Z  * =

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235 19

é45 19ù ú = 235 19 20 19 ë û é45 19ù  x B = ê ú , ya que 20 19 ë û

5]ê

con estos valores la

).

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