Método Root Locus
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MÉTODO ROOT LOCUS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Química y Textil Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426 Profesor: Celso Montalvo
1
Polos, Ceros y Ganancia Estática
Cualquier Función de Transferencia puede expresarse como una división de polinomios. Los polinomios pueden expresarse como el producto de factores que incluyen las raíces de los polinomios. Se denomina polos a las raíces del denominador. Se denomina zeros a las raices del numerador. El coeficiente K se denomina Ganancia Estática.
CELSO MONTALVO
b0 s m b1s m1 ... bm1s bm G(s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an
G( s)
K ( s z1 ) ( s z2 ) (...) ( s zm ) ( s p1 ) ( s p2 ) (...) ( s pn )
2
El Lugar de las Raíces U
Un Sistema de Control en Lazo Cerrado con Retroalimentación típico se muestra aquí: La Función de Transferencia ante perturbaciones del proceso se describe como:
+
Kc R
Operando, la Ecuación Característica es:
Según el Análisis de Estabilidad estudiado en el Método de Routh, el sistema mostrado sería inestable si alguna de sus raíces es positiva. Podemos evaluar la estabilidad del sistema para cada valor de Kc si graficamos su ecuación:
CELSO MONTALVO
1 3s 1
1 2s 1
C
-
5
1 C ( s) 2s 1 U ( s) 1 1 1 Kc 5 3s 1 2s 1 1
Kc 5 3s 1 2s 1
1
Kc 5 0 3 s 1 2 s 1
6s 2 5s (1 5Kc) 0 5 52 4 6 (1 5 Kc) r1,2 26
Recordar que para un proceso de 2do Orden 1 2 r1,2 j para 1 3
El Lugar de las Raíces
La figura muestra la gráfica de las raíces r1 (azul) y r2 (verde). Para la raiz r1:
Para Kc = 0, r1 = -0.5. Para 1/120 > Kc > 0, -0.5 < r1 < -5/12 En estos casos r1 es real. Para Kc > 1/120, r1 es complejo, pero la parte real es constante y la parte imaginaria crece hacia arriba. La raiz r2 es simétrica pero sus valores también se encuentran al lado izquierdo del eje imaginario. En ningún caso las raices pueden tomar valores positivos, por lo tanto este sistema es estable para cualquier valor de Kc.
Imaginary Axis
1
0.5
Root Locus
x, y
Kc
9 5 12 , 12
2 3
1 2 r1,2 j
0
-0.5
-1 -1
-0.5
0 Real Axis
0.5
1
5 52 4 6 (1 5 Kc) r1,2 26 5 1 r1,2 1 120 Kc 12 12
cos()
1 2
2
2
La gráfica de las raices de la ecuación característica en el plano imaginario es el lugar de las raíces ó Root Locus.
CELSO MONTALVO
4
El Lugar de las Raíces U
Si el Transmisor tiene retraso de 1er Orden el nuevo Diagrama es: La Función de Transferencia ante perturbaciones del proceso es: La Ecuación Característica es:
La obtención de las raíces para polinomios de 3r orden ó mayor no es fácil algebraicamente y debe procederse a métodos numéricos, y al uso de computadoras ó poderosas calculadoras.
CELSO MONTALVO
+
Kc R
-
1 3s 1
1 2s 1
C
5 0.1s 1
1 C (s) 2s 1 U ( s) 1 1 5 1 Kc 3s 1 2s 1 0.1s 1 1
Kc 5 3s 1 2s 1 0.1s 1
1
Kc 5 0 3 s 1 2 s 1 0.1 s 1
0.6s 3 6.5s 2 5.1s (1 5Kc) 0
5
El Lugar de las Raíces
La figura muestra la gráfica de las raíces r1 (azul), r2 (verde) y r3 (rojo). Usando métodos numéricos se halla: Existen tres raíces y tres ramas. Dos raices son complejas conjugadas y sus gráficas son simétricas al eje real. La raiz r1 empieza en r1 = -10 para Kc = 0 y crece sobre el eje real negativo hacia al crecer Kc. La raiz r2 inicia en r2 = -1/2 para Kc = 0, luego crece por el eje real hasta r2 = -5/12 y de allí sigue como raíz compleja hasta el infinito. Para Kc 10.85 la parte real de la raiz r2 se vuelve positiva y el sistema es inestable. La raiz r3 tiene gráfica simétrica a r2.
CELSO MONTALVO
4 3 2
Imaginary Axis
Root Locus
5
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -12
-10
1
-8
-6 -4 Real Axis
-2
0
1
2
Kc 5 0 3s 1 2s 1 0.1s 1
0.6s 3 6.5s 2 5.1s (1 5Kc) 0
La raiz r3 inicia en r3 = -1/3 para Kc =0; crece sobre el eje real hacia r3 = -5/12, luego se hace compleja hacia el infinito. Cruza el eje imaginario para Kc = 10.85 6
Reglas para Graficar
1.
2.
s 1 1 + Nos referimos a la Función de Kc 2 s 1 s 1 s s 1 R Transferencia en Lazo Abierto, 1 expresada en polos y ceros. 0.5s 1 El número de Ramas es igual al 1 s2 1 número de polos en la ecuación FTLA Kc 1 2 0.5s 1 2 s 1 s 1 s s 1 característica. [5 polos]. Las ramas ó lugares de las raíces (loci) parten de polos y terminan 0.5 ( s j )( s j ) 2 en ceros. Si el Nº de ceros es FTLA Kc s 0.5 1 3 1 3 s 2 s 1 s j menor que el de polos, la s 2 2 j 2 2 diferencia es el Nº de ramas que irán al infinito. Las raices ( s j )( s j ) repetidas producen ramas FTLA Kc s 0.5 s 1 s 1 3 j s 1 3 j s 2 repetidas. [5 polos - 2 ceros 2 2 2 2 = 2 ramas al infinito].
CELSO MONTALVO
2
2
7
Reglas para Graficar
Ubicar en el gráfico los polos y ceros. Un punto del Eje Real Negativo es parte de una rama si la suma de polos y ceros a su derecha es impar. Las ramas entran y salen del Eje Real en ángulos de ± 90º. Un punto de salida ó entrada al Eje Real cumple la ecuación:
Imaginary Axis
3.
El gráfico del Lugar de las Raíces se muestra con colores para cada rama
4.
1 1 s p s z i j
1 1 s 0.5 s 1
Root Locus 3
1
3 1 3 j; j; 2 2 2 2
1
0
-1
-2
Ceros: +j,-j -3 -2.5
1 s
1
Polos: 2 ; 1; 2
2
1 3 2 2
-2
-1.5
-1 Real Axis
1
s
1 3 2 2
-0.5
0
0.5
1 1 1 s2 s j s j
Raíces Iterando: 0.297±1.2j; -1.629; -0.625±0.67j; -0.7137 ( s j )( s j ) FTLA Kc 1 3 1 3 s 0.5 s 1 s j s j s 2 2 2 2 2 CELSO MONTALVO
8
Reglas para Graficar Root Locus
Las ramas que van al infinito tienen asíntotas espaciadas en ángulos 360º/(p-z), formando ángulos 180º(2k+1)/(p-z) respecto al eje real (k = 0, 1, 2 ...). 360º 120º 52
180º (2k 1) 60º (2k 1) 52 60º ,180º ,300º
Las asíntotas parten desde el Eje Real del Centro de Gravedad dado por: 1 CG
p z i
pz
j
2
1
Imaginary Axis
5.
3
120º 60º
0
120º
120º
-1
-2
-3 -2.5
-2
-1.5
-1 Real Axis
-0.5
0
0.5
1 3 1 3 1 j j 2 j j 2 2 2 2 2 CG 1.5 52
( s j )( s j ) FTLA Kc 1 3 1 3 s 0.5 s 1 s j s j s 2 2 2 2 2 CELSO MONTALVO
9
Root Locus 3 System: G Gain: 29.3 Pole: -0.00119 + 2.72i Damping: 0.000437 Overshoot (%): 99.9 Frequency (rad/sec): 2.72
2
Imaginary Axis
1
0
-1
System: G Gain: 5.63 Pole: -0.000155 - 0.78i Damping: 0.000199 Overshoot (%): 99.9 Frequency (rad/sec): 0.78
-2
-3 -2.5
-2
CELSO MONTALVO
-1.5
-1 Real Axis
-0.5
0
0.5
10
Reglas para Graficar U
1.
2.
Nos referimos a la Función de Transferencia en Lazo Abierto, expresada en polos y ceros. El número de Ramas es igual al número de polos en la ecuación característica. [3 polos]. Las ramas ó lugares de las raíces (loci) parten de polos y terminan en ceros. Si el Nº de ceros es menor que el de polos, la diferencia es el Nº de ramas que irán al infinito. Las raices repetidas producen ramas repetidas. [3 polos - 1 cero = 2 ramas al infinito].
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1 Kc 1 0.5s
+
R
0.03 s 1
1 2s 1
C
-
0.5s 1 0.03 1 FTLA Kc 0.5s s 1 2s 1
1 s 2 0.03 2 FTLA Kc s s 1 s 1 2 0.03 s 2 2 FTLA Kc s s 1 s 1 2
11
Reglas para Graficar
3.
4.
El gráfico del Lugar de las Raíces se muestra con colores para cada rama Ubicar en el gráfico los polos y ceros. Un punto del Eje Real Negativo es parte de una rama si la suma de polos y ceros a su derecha es impar. Las ramas entran y salen del Eje Real en ángulos de ± 90º. Un punto de salida ó entrada al Eje Real cumple la ecuación: 1
1
s p s z i
j
El punto de salida se halla iterando en el rango s = [pi, pi+1] Iterando se obtienen las raíces -0.227369, -0.81096, -2.71167. Sólo vale la 1era.
CELSO MONTALVO
Polos: 0, -1, -1/2
Ceros: -2
0.03 s 2 2 FTLA Kc 1 s s 1 s 2
1 1 1 1 s s 1 s 1 s 2 2
12
Reglas para Graficar 5.
Las ramas que van al infinito tienen asíntotas espaciadas en ángulos 360º/(p-z), formando ángulos 180º(2k+1)/(p-z) respecto al eje real (k = 0, 1, 2 ...). 180º (2k 1) 90º (2k 1) 3 1 90º , 270º
360º 180º 3 1
Las asíntotas parten desde el Eje Real del Centro de Gravedad dado por: CG
p z i
j
pz
+0.25
0.03 s 2 2 FTLA Kc 1 s s 1 s 2
1 0 1 2 2 CG 0.25 3 1
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13
Reglas para Graficar 6.
Las ramas salen de un polo pc complejo conjugado al ángulo: m n 1 180º 2k 1 ( pc zi ) ( pc p j ) q i j c
k 0,1,..., q 1
( pc xi ) es
el ángulo desde pc a xi. q es el orden del polo si existe (s+p)q Las ramas llegan a un cero complejo conjugado v al ángulo: n m 1 180º 2k 1 ( zd p j ) ( zd zi ) v j id
k 0,1,..., v 1
0.03 s 2 2 FTLA Kc 1 s s 1 s 2
En el ejemplo no hay polos ni ceros complejos. Los ángulos de salida son 0º ó 180º. Ej. Para el polo 0, = 180ºx1 + 0º - 0º - 0º = 180º Para el polo –1/2, = 180ºx1 + 0º - 0º -180º = 0º
CELSO MONTALVO
14
Reglas para Graficar El valor de Kc al cruzar el eje imaginario (pasando a inestable) se obtiene por el método de Routh. 0.03 s 2 2 0 1 Kc s s 1 s 1 2 3 3 0.03 s3 s 2 s Kc s 2 0 2 2 2 3 0.03 1 s3 s 2 Kc s 0.03Kc 0 2 2 2 1 3 2 1 0.03 Kc 2 6 0.03Kc
1 0.03 Kc 2 2 0.03Kc
Root Locus
4 3
Kc = 100
2
Imaginary Axis
7.
1 0 -1 -2 -3 -4 -2.5
-2
-1.5
-1 -0.5 Real Axis
0
0.5
0.03 s 2 2 FTLA Kc 1 s s 1 s 2
El valor de Kc sobre el eje imaginario es Kc = 100
CELSO MONTALVO
15
Reglas para Graficar Reemplazando en el polinomio el valor de Kc por 100 y el de s por j:
3 0.03 1 (j )3 (j ) 2 100 (j ) 0.03 100 0 2 2 2 3 2 3 3 2 j 0 2
Igualando la parte real a 0 se obtiene: 3 2 3 0 2 2
Entonces, las ramas cruzan el eje imaginario en 2 j y 2 j
CELSO MONTALVO
3
2j
2
Imaginary Axis
3 0.03 1 s3 s 2 Kc s 0.03Kc 0 2 2 2
Root Locus
4
1 0 -1 -2 -3 -4 -2.5
-2
-1.5
-1 -0.5 Real Axis
0
0.5
0.03 s 2 2 FTLA Kc 1 s s 1 s 2
16
Aplicaciones del Método Root Locus
El Método Root Locus puede usarse para evaluar el efecto de la variación de parámetros de control en la estabilidad del sistema. Ubicando el punto de operación en el plano imaginario, mientras más alejado esté el punto del eje imaginario el sistema será más estable. Mientras más alejado se encuentre del eje real, el sistema será más oscilatorio. Aproximando un sistema de orden superior a uno de 2do orden, el factor es igual al arco cuyo coseno es el ángulo desde el punto 0 hasta el punto de operación. La ordenada imaginaria es la frecuencia a Kc max.
CELSO MONTALVO
Root Locus
2
Más Oscilatorio Más Overshoot 1 Más rápido
(Re,Im)
1.5
Imaginary Axis
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2
Más Estable -1.5
-1 Real Axis
-0.5
0
cos()
Re2 Im2 1 2
* Valor para asentamiento de ¼: = 77.56º; = 0.21545
17
Ubicación de un punto de Operación
Este Proceso es estable para cualquier Kc. El proceso tiene 3 ramas, por tanto tiene 3 raíces. Un punto de operación (un valor de Kc) se representa por 3 puntos (3 raíces) en el plano imaginario. La Estabilidad se compara usando la raíz más cercana al eje imaginario.
Root Locus 1.5
Kc=100 1
Kc=50
0.5 Imaginary Axis
Kc=50
Kc=1
0
Kc=100
Kc=1
Kc=1
-0.5
Kc=50
-1
Kc=100 -1.5 -1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8 Real Axis
-0.6
-0.4
-0.2
0
¿Para qué valor de Kc es más estable? ¿Para qué valor de Kc es más oscilatorio? ¿más overshoot? ¿Qué tan oscilatorio es para Kc = 1?
CELSO MONTALVO
18
Puntos de Operación Punto A: K = 3.2 = 0.442 = 0.807 Ov = 0.213
Punto B: K = 0.18 > 0.707 = 0.455 Ov = 0
Punto C: K = 0.021 > 0.707 = 0.264 Ov = 0
La referencia es la raíz más a la derecha Notar el cambio del overshoot al crecer K G ( s)
Root Locus
( s 0.5 j )( s 0.5 j ) ( s 2)( s 1.5)( s 1)( s 0.25)
2
A 1.5
1
A Imaginary Axis
0.5
0
B
C
C C
B
-0.5
B
B
C A
-1
-1.5
-2 -2.5
A -2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
Kc = 3.2
CELSO MONTALVO
Kc = 0.18
Kc = 0.021
19
Ubicación de Polos y Zeros
La ubicación de Polos y Zeros en el Plano Complejo determina la estabilidad del proceso y la forma de la Respuesta Transitoria. Para la siguiente Función en Lazo Cerrado: Polo Inestable K s a Im FTLC s b s c Polos Estables El valor de los polos no depende de Re K. El sistema será estable si los Zero Negativo polos son negativos, inestable si la Zero Positivo parte real de algún polo es positivo. +2
+1
-11 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
+1
-1
+2
-1 -2
Tampoco dependen del valor de los zeros. El sistema será estable si los polos son negativos aún cuando los zeros sean positivos. La Respuesta Transitoria de la función anterior es: Step Response
1 FTLC (t ) [(a b)ebt (a c)e ct ] c b
Los zeros positivos generan respuesta inversa pero estable.
0.8
0.6
FTLC
0.4
Amplitude
1
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
CELSO MONTALVO
4 s 1 s 2 s 3
-0.8 0
FTLC
4 s 1 s 2 s 3 0.5
1
1.5 Time (sec)
2
2.5
3
20
Ubicación de Polos y Zeros
Amplitude
Para la siguiente Función en Lazo Abierto: K s a FTLA s b s c La Función en Lazo Cerrado es: K s a K s a s b s c FTLC K s a s 2 (b c K ) s (bc K a ) 1 s b s c FTLC
K s a
Step Response 1 0 -1 -2
FTLA
-3 -4
4 s 1 s 2 s 3
-5 -6 -7 -8
FTLA
-9 -10 0
1
2
4 s 2 s 2 s 3 3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
(b c K ) (b 2 c 2 K 2 2bK 2cK ) (2bc 4aK ) (b c K ) (b 2 c 2 K 2 2bK 2cK ) (2bc 4aK ) s s 2 2
El sistema es estable si los polos son negativos. Como se ve, el valor de los polos depende de K y del valor de los zeros en la FTLA. Así, un zero positivo podría generar un sistema inestable. Aún si la FTLC es de 1er o 2do orden, un zero positivo en Lazo Abierto podría generar un sistema inestable en Lazo Cerrado. Un zero positivo no hace inestable al sistema en lazo abierto pero afecta su estabilidad (lo puede hacer inestable) en lazo cerrado.
CELSO MONTALVO
21
Ventajas y Desventajas
El Método Root Locus permite conocer fácilmente la forma de la respuesta dinámica del sistema en lazo cerrado. Con el uso de computadoras es fácil su uso en el diseño de sistemas de control basados en control proporcional. Permite evaluar la estabilidad en forma gruesa, pero no permite evaluar un margen de seguridad, a menos que se suponga que el sistema se aproxima a uno de 2do Orden. El efecto del cambio en la ganancia no es uniforme y depende de cada sistema. Para evaluarlo hay que calcular para cada Kc propuesto. No puede usarse con sistemas que tienen tiempo muerto. En tal caso debe usarse una Aproximación de Padé.
EJEMPLO CELSO MONTALVO
22
FIN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Química y Textil Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426 Profesor: Celso Montalvo
23
Uso de la HP 50g
Factorización de la expresión: @×3.Factor FACTOR '1/ X 1/ X 1 1/ X 1/ 2 1/ X 2 '
1 1 1 1 s s 1 s 1 s 2 2
` 4 X 3 15 X 2 12 X 2 0 2 X 1 X 2 X 1 X
En la HP50g: PROOT([4,15,12,2]) ` [-0.227369, -0.810962, -2.711668]
Se escoge la raíz que cae sobre una rama.
CELSO MONTALVO
24
Uso de la HP 50g
Expansión para uso de método de Routh: @×1.Collect
COLLECT '1 K 0.015 X 2 / X / X 1 / X 1/ 2 '
0.03 s 2 2 0 1 Kc 1 s s 1 s 2
` X 3 1.5 X 2 0.015K 0.5 X 0.03K 0 X 3 0.015 X 2 5 X
Coeficientes: 1 0.015 K 0.5 1.5 0.03K b1 c1
b1 COLLECT ' 1.5 0.015K 0.5 0.03K /1.5' b1 0.005K 0.5 c1 0.03K K
CELSO MONTALVO
0.5 100 0.005
25
Uso de la HP 50g
3 0.03 1 s 3 s 2 Kc s 0.03Kc 0 2 2 2
Cruce del eje imaginario:
3 0.03 1 (j )3 (j ) 2 100 (j ) 0.03 100 0 2 2 2
@×1.Collect
COLLECT ' Xi ^ 3 3/ 2 Xi ^ 2 1/ 2 100 3/ 2 /100 Xi 100 3/100'
`
ó
0, 1 X 3 1.5 X 2 0, 2 X 3 0
1.5
2
3 3 2 i 0
1.5 3 0 2
2
Obtención de la parte real:
!´9Complex `1.Re RE 0, 1 X 3 1.5 X 2 0, 2 X 3 1.5 X 2 3 1.52 3 0 2
CELSO MONTALVO
26
Ejemplo Calcular el Kc máximo, la última frecuencia y el valor de cuando Kc es la mitad del valor máximo. Solución: 2 4 s 1 1
+
4( s 1) 2s 2 2s 1
2 0.2s 1
Kc
R -
1 0.1s 1
FTLA Kc 2 0.2 s 1 0.1 s 1 2 s 2 s 1
s 1 24 FTLA Kc 1 1 1 1 0.2 2 0.1 s 5 s j s j s 10 2 2 2 2 s 1 FTLA Kc 200 1 1 1 1 s 5 s j s j s 10 2 2 2 2 1. 2.
Hay 4 polos, 1 cero. Habrán 4 ramas, tres irán al infinito. +2
Im
+1
-11 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
+1
-1 -1
+2
Re
-2
CELSO MONTALVO
27
Ejemplo (cont) FTLA K
s 1
1 1 s 5 s 2 2
1 1 j s 2 2
+
j s 10
4( s 1) 2s 2 2s 1
2 0.2s 1
Kc
R -
1 0.1s 1
3. Un punto del eje real es parte de una rama si a su derecha hay suma impar de polos y ceros. 4. Las ramas entran y salen del eje real en ángulos de 90º y los puntos de entrada y salida cumplen: 1 1 1 1 1 s 5 s 1 1 j s 1 1 j s 10 s 1 2 2 2 2
Las raíces son:-0.3355; -1.8923-0.7185j; -1.8923+0.7185j; -7.8798. +2
Ninguna raíz cae en rango válido para ramas, ninguna rama entra ó sale del eje real.
CELSO MONTALVO
Im
+1
-11 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
+1
-1 -1
+2
Re
-2
28
Ejemplo (cont) FTLA K
s 1
1 1 s 5 s 2 2
1 1 j s 2 2
+
j s 10
-
1 0.1s 1
5. Las ramas al infinito tienen asíntotas espaciadas por 360º/(p-z), formando ángulos 180º(2k+1)/(p-z). 360º 120º 4 1
4( s 1) 2s 2 2s 1
2 0.2s 1
Kc
R
180º (2k 1) 60º ;180º ;300º 4 1
Las asíntotas parten del Centro de Gravedad: 1 1 1 1 5 j j 10 1 2 2 2 2 CG 5 4 1
+2
Im
+1
-11 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
+1
-1 -1
+2
Re
-2
CELSO MONTALVO
29
Ejemplo (cont) FTLA K
s 1 1 1 s 5 s 2 2
1 1 j s 2 2
+
j s 10
2 0.2s 1
Kc
R -
1 0.1s 1
6. Las ramas salen de los polos al ángulo:
4( s 1) 2s 2 2s 1
m n 1 180º 2 k 1 ( p z ) ( pc p j ) c i q i j c
k 0,1,..., q 1
El ángulo de salida desde el polo conjugado es –. Para el polo -1/2+j/2 los ángulos son: 1 j 1 j 1/ 2 No hay ceros disponibles, 1 arctg 1 45° 2 2 2 2 1/ 2 las dos ramas irán a las 19 j 1 j 1/ 2 2 arctg 10 3.01° asíntotas pendientes. 2 2 2 2 9 j 1 j 5 2 2 2 2 1 j 1 j j 2 2 2 2
19 / 2 1/ 2 3 arctg 6.34° 9 / 2 1 4 arctg 90° 0
1 180º 0 1 45º 3.01º 6.34º 90º 1 125.65º
+2
Im 125.65°
+1
-11 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
+1
-1 -1
+2
Re
-2
CELSO MONTALVO
30
Ejemplo (cont) FTLA K
s 1 1 1 s 5 s 2 2
1 1 j s 2 2
+
j s 10
2 0.2s 1
Kc
R
4( s 1) 2s 2 2s 1
-
1 0.1s 1
Las dos ramas faltantes pueden trazarse en forma aproximada: 7. La rama azul corta el eje j = 0 cuando: +8
+7
s 1 0 1 K s 5 s 2 s 1/ 2 s 10
s 5 s 2 s 1/ 2 s 10 K s 1 0 s 4 16s 3 65.5s 2 K 57.5 s K 25 0 Usando Routh:
+6 +5 +4 +3 +2
Im 125.65°
+1
-11 -10
1 65.5 K 25 16 K 57.5 b1 K 25 b1 61.90625 K /16 c1 0.0625K 2 42.3125K 3159.61 c1 61.90625 K /16
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
+1
-1 -1
+2
Re
-2
Los valores de K resultan K
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