Método Newton Raphson Sistemas No Lineales
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Descripción: Se explica y se presentan ejemplos de Método Newton Raphson Sistemas No Lineales...
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M´ etodo de Newton-Raphson Ejemplos
M´etodo de Newton-Raphson para Sistemas No Lineales J. Armando Lara R. Ingenier´ıa Electr´ onica Instituto Tecnol´ ogico de L´ azaro C´ ardenas
Invierno 2011-2012
Armando Lara
An´ alisis Num´ erico
M´ etodo de Newton-Raphson Ejemplos
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1
M´etodo de Newton-Raphson Introducci´on Desarrollo del M´etodo
2
Ejemplos
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M´etodo de Newton-Raphson Introducci´on Desarrollo del M´etodo
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M´etodo de Newton-Raphson Introducci´on Desarrollo del M´etodo
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Ejemplos
M´ etodo de Newton-Raphson Ejemplos
Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Introducci´on
En el presente documento se presenta la construcci´on del m´etodo de Newton-Raphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales desde un punto de vista meramente matricial, haciendo uso primeramente del polinomio de Taylor hasta llegar a hacer uso de la matriz Jacobiana en cada una de las iteraciones. Posteriormente se desarrollan tres ejemplos de aplicaci´on del presente m´etodo.
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M´etodo de Newton-Raphson Introducci´on Desarrollo del M´etodo
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Ejemplos
M´ etodo de Newton-Raphson Ejemplos
Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
Considerense dos ecuaciones con dos incognitas f0 (x0 , x1 ) = 0 f1 (x0 , x1 ) = 0
(1)
cada una define una curva en el plano (¯ x = [x0 x1 ]T ∈ R2 ). Las soluciones a (1) son puntos de intersecci´ on de las dos curvas en 2 R . Denotaremos un punto de intersecci´ on por p¯ = [p0 P1 ]T ∈ R2 , el cual es ra´ız del sistema (1).
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo Suponiendo que x¯0 = [x0,0 x0,1 ]T es un punto inicial de aproximaci´on a la ra´ız p¯. Asumiendo que f0 y f1 son lo suficientemente suaves para procesar una expansi´on de series de Taylor de dos dimensiones, ∂f0 (x0,0 , x0,1 )(x0 − x0,0 ) ∂x0 ( ∂f0 1 ∂ 2 f0 (x0,0 , x0,1 ) + (x0,0 , x0,1 )(x1 − x0,1 ) + (x0 − x0,0 )2 ∂x1 2! ∂x20
f0 (x0 , x1 ) = f0 (x0,0 , x0,1 ) +
∂ 2 f0 (x0,0 , x0,1 ) (x0 − x0,0 )(x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ) ∂ 2 f0 (x0,0 , x0,1 ) + (x1 − x0,1 )2 + · · · ∂x21
+2
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M´ etodo de Newton-Raphson Ejemplos
Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
∂f1 (x0,0 , x0,1 )(x0 − x0,0 ) ∂x0 ( ∂f1 1 ∂ 2 f1 (x0,0 , x0,1 ) + (x0 − x0,0 )2 (x0,0 , x0,1 )(x1 − x0,1 ) + ∂x1 2! ∂x20
f1 (x0 , x1 ) = f1 (x0,0 , x0,1 ) +
∂ 2 f1 (x0,0 , x0,1 ) (x0 − x0,0 )(x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ) ∂ 2 f1 (x0,0 , x0,1 ) (x1 − x0,1 )2 + · · · + ∂x21
+2
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(2)
M´ etodo de Newton-Raphson Ejemplos
Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo las cuales tienen una forma m´ as comparta usando la notaci´on de vectores como ∂f0 (x¯0 ) ∂f0 (x¯0 ) f0 (¯ x) = f0 (x¯0 ) + (x0 − x0,0 ) + (x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ( 1 ∂ 2 f0 (x¯0 ) ∂ 2 f0 (x¯0 ) + (x0 − x0,0 )2 + 2 (x0 − x0,1 ) 2 2! ∂x0 ∂x1 ∂x0 ) ∂ 2 f0 (x¯0 ) 2 + (x1 − x0,0 ) + · · · ∂x21
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
∂f1 (x¯0 ) ∂f1 (x¯0 ) f1 (¯ x) = f1 (x¯0 ) + (x0 − x0,0 ) + (x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ( ∂ 2 f1 (x¯0 ) 1 ∂ 2 f1 (x¯0 ) 2 (x − x ) + 2 (x0 − x0,1 ) + 0 0,0 2! ∂x0 ∂x1 ∂x20 ) ∂ 2 f1 (x¯0 ) 2 + (x1 − x0,0 ) + · · · (3) ∂x21
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
Si x¯0 est´a cerca de p¯, entonces de (2) y (3), tenemos ∂f0 (x¯0 ) ∂f0 (x¯0 ) (p0 − x0,0 ) + (p1 − x0,1 ) 0 = f0 (¯ p) ≈ f0 (x¯0 ) + ∂x0 ∂x1 ( 1 ∂ 2 f0 (¯ x0 ) ∂ 2 f0 (¯ x0 ) 2 + (p0 − x0,1 )(p1 − x0,1 ) (p − x ) + 2 0 0,0 2 2! ∂x0 ∂x1 ∂x0 ) ∂ 2 f0 (¯ x0 ) + (p1 − x0,0 )2 · · · (4) ∂x21
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
∂f1 (x¯0 ) ∂f1 (x¯0 ) 0 = f1 (¯ p) ≈ f1 (x¯0 ) + (p0 − x0,0 ) + (p1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ( x0 ) ∂ 2 f1 (¯ x0 ) 1 ∂ 2 f1 (¯ 2 (p − x ) + 2 (p0 − x0,1 )(p1 − x0,1 ) + 0 0,0 2 2! ∂x0 ∂x1 ∂x0 ) ∂ 2 f1 (¯ x0 ) 2 + (p1 − x0,0 ) · · · (5) ∂x21
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo Si ignoramos los t´erminos de ´ ordenes m´ as altos (segundas derivadas y derivadas de mayores ´ ordenes), entonces obtenemos ∂f0 (¯ x0 ) ∂f0 (¯ x0 ) (p0 − x0,0 ) + (p1 − z0,1 ) ≈ −f0 (¯ x0 ), ∂x0 ∂x1 ∂f1 (¯ x0 ) ∂f1 (¯ x0 ) (p0 − x0,0 ) + (p1 − z0,1 ) ≈ −f1 (¯ x0 ). ∂x0 ∂x1 Para una notaci´on m´ as compacta, definimos fi,j = (¯ x0 ) =
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∂fi (¯ x0 ) ∂xj
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(6)
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo as´ı las ecuaciones (6) se convierten en
(p0 − x0,0 )f0,0 (¯ x0 ) + (p1 − x0,1 )f0,1 (¯ x0 ) ≈ −f0 (¯ x0 ),
(7)
(p0 − x0,0 )f1,0 (¯ x0 ) + (p1 − x0,1 )f1,1 (¯ x0 ) ≈ −f1 (¯ x0 ).
(8)
Multiplicando (7) por f1,1 (¯ x0 ), y multiplicando (8) por f0,1 (¯ x0 ). Extrayendo la segunda ecuaci´ on de la primera nos da
(p0 − x0,0 )[f0,0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) − f1,0 (¯ x0 )f0,1 (¯ x0 )] ≈ −f0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) + f1 (¯ x0 )f0,1 (¯ x0 ).
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(9)
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo Ahora multiplicando (7) por f1,0 (¯ x0 ), y multiplicando (8) por f0,0 (¯ x0 ). Extrayendo la segunda ecuaci´ on de la primera nos da (p1 − x0,1 )[f0,1 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) − f0,0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 )] ≈ −f0 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) + f1 (¯ x0 )f0,0 (¯ x0 ).
(10)
Ahora de (9) y (10), obtenemos −f0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) + f1 (¯ x0 )f0,1 (¯ x0 ) , f0,0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) − f0,1 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) −f1 (¯ x0 )f0,0 (¯ x0 ) + f0 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) p1 ≈ x0,1 + . f0,0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) − f0,1 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) p0 ≈ x0,0 +
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(11) (12)
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo Debemos asumir que el miembro derecho de (11) y (12) es la siguiente aproximaci´on a p¯.
x1,0
x1,1
−f0 f1,1 + f1 f0,1 ≈ x0,0 + , f0,0 f1,1 − f0,1 f1,0 x¯0 −f1 f0,0 + f0 f1,0 ≈ x0,1 + . f0,0 f1,1 − f0,1 f1,0 x ¯0
(¯ x1 = [x1,0 x1,1 ]T ), donde las funciones y derivadas est´an evaluadas en x ¯0 .
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(13)
(14)
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
Continuando este proceso para generar (¯ xn ) para n ∈ Z+ (as´ı en general x ¯n = [xn,0 xn,1 ]T ) de acuedo a −f0 (¯ xn )f1,1 (¯ xn ) + f1 (¯ xn )f0,1 (¯ xn ) xn+1,0 = xn,0 + , f0,0 (¯ xn )f1,1 (¯ xn ) − f0,1 f1,0 (¯ xn ) x¯0 −f1 (¯ xn )f0,0 (¯ xn ) + f0 (¯ xn )f1,0 (¯ xn ) xn+1,1 = xn,1 + . f0,0 (¯ xn )f1,1 (¯ xn ) − f0,1 (¯ xn )f1,0 (¯ xn ) x ¯0
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(15)
(16)
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
Ahora definimos f0 (xn,0 , xn,1 ) f0 (¯ xn ) F (¯ xn ) = = f1 (xn,0 , xn,1 ) f1 (¯ xn )
(17)
Tambi´en F
(1)
f0,0 (¯ xn ) f0,1 (¯ xn ) (¯ xn ) = = JF (¯ xn ), f1,0 (¯ xn ) f1,1 (¯ xn )
la cual es la Matriz Jacobiana JF evaluada en x ¯=x ¯n .
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(18)
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
Vemos que 1 [JF (¯ xn )]−1 = f0,0 (¯ xn )f1,1 (¯ xn ) − f0,1 (¯ xn )f1,0 (¯ xn ) f1,1 (¯ xn ) −f0,1 (¯ xn ) , −f1,0 (¯ xn ) f0,0 (¯ xn )
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(19)
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo as´ı que en notaciones de vectores (15) y (16) se convierten x ¯n+1 = x ¯n − [JF (¯ xn )]−1 F (¯ xn )
(20)
para n ∈ Z+ . Si x ¯n ∈ Rm (por ejemplo, si consideramos m ecuaciones con n inc´ognitas), entonces
f0,0 (¯ xn ) f1,0 (¯ xn ) .. .
f0,1 (¯ xn ) f1,1 (¯ xn ) .. .
··· ···
JF (¯ xn ) = fm−1,0 (¯ xn ) fm−1,1 (¯ xn ) · · ·
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f0,m−1 (¯ xn ) f1,m−1 (¯ xn ) .. .
, fm−1,m−1 (¯ xn ) (21)
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Introducci´ on Desarrollo del M´ etodo
Desarrollo del M´etodo
y
f0 (¯ xn ) f1 (¯ xn ) .. .
F (¯ xn ) = . fm−1 (¯ xn )
(22)
Por supuesto, x ¯n = [xn,0 xn,1 · · · xn,m−1 ]T ∈ Rm . Debemos notar que el m´etodo falla si JF (¯ xn ) es singular en x ¯n . Tal como en el caso de una dimensi´ on, el ´exito del m´etodo depende en la buena elecci´on de un punto inicial x ¯0 .
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M´ etodo de Newton-Raphson Ejemplos
Ejemplos Ejemplo 1.- Se requiere resolver 1 f0 (x0 , x1 ) = x0 − x20 − x21 = 0 4 2 f1 (x0 , x1 ) = x1 − x0 + x21 = 0.
(23)
Consecuentemente 1 f0 (¯ xn ) = xn,0 − x2n,0 − x2n,1 = 0 4 f1 (¯ xn ) = xn,1 − x2n,0 − x2n,1 = 0,
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(24)
M´ etodo de Newton-Raphson Ejemplos
Ejemplos cuyas derivadas son
f0,0 (¯ xn ) = 1 − 2xn,0 = 0, f1,0 (¯ xn ) = −2xn,0 1 f0,1 (¯ xn ) = − xn,1 , f1,1 (¯ xn ) = 1 + 2xn,1 . 2
(25)
V´ıa (15) y (16), las ecuaciones deseadas son xn+1,0 = xn,0 +
−(xn,0 − x2n,0 − 41 x2n,1 )(1 + 2xn,1 ) + (xn,1 − x2n,0 + x2n,1 )(− 21 xn,1 )
xn+1,1 = xn,1 +
(1 − 2xn,0 )(1 − 2xn,1 ) − xn,0 xn,1 −(xn,1 − x2n,0 + x2n,1 )(1 − 2xn,0 ) + (xn,0 − x2n,0 − 41 x2n,1 )(2xn,1 ) (1 − 2xn,0 )(1 − 2xn,1 ) − xn,0 xn,1 (26)
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, .
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Ejemplos
Si ejecutamos el proceso iterativo en (26), obtenemos x0,0 x1,0 x2,0 x3,0
= 0,8000 x0,1 = 0,500 = 0,9391 x1,1 = 0,5562 = 0,9193 x2,1 = 0,5463 = 0,9189 x3,1 = 0,5461
Con lo cual vemos que la respuesta es correcta en cuatro cifras decimales en solo tres iteracones.
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