Metodo Matricial PDF

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVE HUANCAVELICA LICA FACULTAD DE INGENIERIA MINAS CIVIL AMBIENTAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Tema: “ METODO METODO DE RIGIDEZ EN PORTICOS Y VIGAS ”  ” 

CARRERA PROFESIONAL:

INGENIERIA CIVIL

SEMESTRE:

VIII CICLO.

DOCENTE:

Ing. PALOMINO VARGAS, Hair   .

ESTUDIANTE: QUISPE INGA, Edson Mayk

LIRCAY – 2017

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DEDICATORIA  A Vicente y Aurora, mis padres,  por darme todo lo está a su su alcance para ser un profesional.

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INTRODUCCION  Hay dos formas de analizar las estructuras utilizando métodos métodos matriciales. El método de la rigidez, r igidez, es un método de análisis del desplazamiento. Para analizar las estructuras también puede emplearse un método de fuerza, llamado método de la flexibilidad. Existen varias razones para ello, la más importante es que el método de la rigidez puede usarse tanto para analizar estructura estructurass estáticamente determinados como indeterminados. indeterminados. El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido), la forma de la barra (recta, curvada) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamien acoplamiento to que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos. Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas).

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INDICE

Pág.

Dedicatoria

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Introducción

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METODO DE LA RIGIDEZ EN VIGAS Matriz de la rigidez de la viga-elemento

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Matriz de rigidez de la viga-estructura

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Aplicación del método de la rigidez al análisis de vigas

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Problema N° 01

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ANALISIS DE MARCOS PLANOS UTILIZANDO EL METODO DE LA RIGIDEZ

Matriz de rigidez del marco-elemento

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Matrices de transformación transformación del desplazamie desplazamiento nto y de las fuerzas

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Matriz rigidez global marco-elemento

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Problema N° 02

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CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

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METODO DE LA RIGIDEZ EN VIGAS 1.1. MATRIZ DE LA RIGIDEZ DE LA VIGA-ELEMENTO La matriz rigidez para un componente de viga o un elemento que tenga una sección transversal constante y este referenciado al sistema de coordenadas coordenadas locales x’, y’, z’, (fig. N° 01). El origen

de las coor ddenadas enadas se localiza en el extremo “cercano” N, y el eje x’ positivo se extiende hacia el extremo “lejano” F. hay dos reacciones en cada extremo del elemento, que consisten en las

fuerzas cortantes y en los elementos flectores. Estas cargas actúan en las direcciones coordenadas positivas. positivas. En particular los momentos y son positivos en sentido antihorario. Los desplazamientos lineales y angulares asociados con estas cargas también siguen esta esta misma convención de signos positivos.

Fig. N° 01 convención de signos positivos

DEZPLAZAMIENTO EN y’. y’. Cuando se impone un desplazamiento positivo mientras se evitan posibles desplazamientos, se crean fuerzas cortantes y momentos de flexión resultantes como

(fig. N° 02). Cuando se impone las fuerzas cortantes y momentos flexionantes necesarios necesarios son como se muestran en la (fig. N° 03). los que se muestran en la

Fig. N° 02 desplazamiento en y'

Fig. N° 03 desplazamiento en y'  

ROTACIONES EN z’. Si se impone una rotación positiva mientras se evitan todo los otros desplazamientos posibles, las fuerzas cortantes y los momentos requeridos para la deformación se muestran en la (fig. N° 04). Cuando se

impone, las cargas resultante resultantess son como se muestra en

la (fig. N° 05).

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Fig. N° 04

Fig. N° 05 

Por superposición, si se suman los resultados anteriores anteriores de las figuras (fig. N° 04), (fig. N° 05), las cuatro relaciones de carga-desplazamiento resultantes para el elementó pueden expresarse en forma matricial como:

Ecuación N° 01

Estas ecuaciones también pueden escribirse de manera abreviada como:  =  

Ecuación N° 02

La matriz simétrica K en la ecuación N° 01 se conoce como la matriz de rigidez del elemento. Los 16 coeficientes de influencia Kij que la componen representan los desplazamientos del elemento por la fuerza cortante y por el momento flexionante. Físicamente estos coeficientes representan la carga sobre el elemento cuando este experimenta un desplazamiento unitario especifico, mientras todos los otros desplazamientos son iguales a cero, el elemento estará sometido únicamente las cuatro cargas indicadas indicadas en la primera columna de la matriz K. de manera similar, las otras columnas de la matriz K son las cargas de element elementoo para los desplazam desplazamientos ientos unitarios identificados mediante mediante los números de código de los grados de llibertad ibertad que aparecen arriba de la columnas. Con base en el desarrollo se han satisfecho tanto el equilibrio como la compatibili compatibilidad dad de los desplazamientos. desplazamientos.

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1.2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA VIGA-ESTRUCTURA Una vez que se han encontrado todas las matrices de rigidez de los elementos, es necesario ensamblarlas en la matriz de rigidez de la estructura K. este proceso depende de conocer primero la ubicación de cada término de la matriz de rigidez de los elementos. Aquí las filas y columnas de cada matriz de rigidez K (ecuación N° 01) se identifica por los dos números de código en el extremo cercano del elemento N, seguidos por los del otro extremo F. Por lo tanto, al ensamblar las matrices cada elemento debe colocarse en la misma ubicación de ña matriz K. de esta manera, K tendrá un orden que de será igual de al libertad. número de código cuando mayor asignado la viga, puesto que este representa el total grados También, hay variosa elementos conectados a un nodo, sus coeficientes de influencia de la rigidez del elemento tendrán la misma posición en la matriz K y por lo tanto deben sumarse algebraicamente para determinar el coeficiente de influencia de la rigidez nodal para la estructura. Esto es necesario porque cada coeficiente representa la resistencia de la estructura nodal en una dirección particular (y’ o z’) cuando se produce un desplazamiento unitario (y’ o z’) ya sea en le ismo

nodo o en otro. 1.3. APLICACIÓN DEL METODO DE LA RIGIDEZ AL ANALISIS DE VIGAS Después de determinar la matriz de rigidez de la estructura, las cargas en los nodos de la viga pueden relacionarse con los desplazamientos si se utiliza la ecuación de rigidez de la estructura.  =    Aquí Q y D son matrices columna que representan tanto las cargas conocidas y desconocidas como los desplazamientos. Al hacer la partición de la matriz de rigidez en los elementos conocidos y desconocidos de la carga y el desplazamiento, se tiene.

Que al expandirla genera las dos ecuaciones    = 11  + 12       = 21  + 22   

 

Ecuación N° 03

Ecuación N° 04 

Los desplazamientos desconocidos   se determinan a partir de la primera pr imera de estas ecuaciones. Si se usan estos valores, pueden calcularse las reacciones de apoyo    para la segunda ecuación. CARGAS INTERMEDIAS INTERMEDIAS.. Para su aplicación, es importante que los elementos de la viga estén libres de carga en toda su longitud. Esto es necesario puesto que la matriz de rigidez de cada elemento se desarrolló solamente para cargas aplicada en sus extremos, (Vea la Fig. N° 01). Sin embargo, es frecuente que las vigas soporten una raga distribuida y esta condición requiere modificacioness para poder realizar el análisis matricial. modificacione Para manejar este caso, se usara el principio de la superposición de una manera similar a la empleada para las armaduras. Para mostrar su aplicación, considere el elemento de viga con longitud L de la (Fig. N° 06) el cual esta sostenido a la carga uniforme distribuida w . primero se aplicaran los momentos de extremo fijo y las reacciones sobre el elemento, los cuales se usaran en el método de la rigidez, (Fig. N° 07). Se hará referencia a estas cargas como una matriz 7

 

columna 0 . Después se aplicaran las cargas distribuidas y sus reacciones (Fig. N° 08). Las carga reales en la viga se determinan al sumar estos resultados. Las reacciones de extremo fijo para otros casos de carga se dan en el interior de la contraportada. Además de resolver problemas implican cargas laterales de este tipo, este método también puede usarse para resolver problemas problemas relacionados con los cambios de temperatura o errores de fabricación.

Fig. N° 06 cargas reales

=

Fig. N° 07 cargas sobre las juntas de un elemento con extremos fijos

+ 

Fig. N° 08 cargas y reacciones reales sobre un elemento fijamente apoyado

FUERZAS DEL ELEMENTO. La fuerza cortante y el momento en los extremos de cada elemento de la viga pueden determinarse a partir de la ecuación N° 02 y al añadir cualesquier reacciones de extremo fijo 0 , si el elemento está sometido a una carga intermedia. Se tiene  =  + 0  

Ecuación N° 05

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ANALISIS DE MARCOS PLANOS UTILIZANDO EL METODO DE LA RIGIDEZ

2.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL MARCO-ELEMENTO La matriz de rigidez para un elemento de marco prismático con referencia al sistema de coordenadas locales x’, y’, z’, (Fig. N° 09). Aquí el elemento está sometido a las cargas

axiales, cargas cortantes y a los momentos flexionantes en sus extremos cercano y lejano, respectivamente. Estas cargas actúan en las direcciones coordenadas positivas, junto con sus desplazamientos desplazamientos asociados. Como el caso de las vigas, v igas, los momentos son positivos en sentido antihorario.

Fig. N° 09 convención de signos

Por superposición, al sumar estos resultados, las seis relaciones resultantes de cargadesplazamientoo para el elemento se pueden expresar en forma matricial como: desplazamient

Ecuación N° 06

O en forma abreviada como:

 = ′  

Ecuación N° 07

La matriz de rigidez del elemento k’ se compone de treinta y seis coeficientes de influencia

que representan físicamente la carga sobre el elemento cuando este se encuentra sometido a un desplazamiento unitario especificado. En concreto, cada columna c olumna de la matriz representa las cargas de los elementos para desplazamientos unitarios identificados por los grados de libertad que enlista encima de las columnas. Con base en el ensamble, se han satisfecho el equilibrio y la compatibilidad compatibilidad de desplaza desplazamiento. miento. 13

 

2.2. MATRICES DE TRANFORMACION DEL DEZPLAZAMIENTO Y DE LAS FUERZAS Se debe tener la capacidad de la cargas internas del elemento q y las deformaciones d, de las coordenadas locales x’, y’, z’, a las coordenadas globales x, y, z, por esta razón se

requieren matrices de transforma transformación. ción. DEZPLAZAMIENTO. Considere el elemento de un MATRIZ DE TRANSFORMACION DEL DEZPLAZAMIENTO. marco que se muestra en la (Fig. N° 10). Aquí se observa que un desplazamiento en coordenadas globales   crea desplazamientos en coordenadas locales.

Fig. N° 10

  =  cos  

  = − cos  

Asimismo, un desplazamiento en coordenadas globales  (Fig. N° 11) crea los siguientes desplazamientoss en coordenadas desplazamiento coordenadas locales.

Fig. N° 11 

  =  cos  

  =  cos  

Por último, como los ejes z’ y z son coincidentes, es decir están dirigidos hacia afuera de la

correspondiente nte   alrededor página, una rotación   respecto a z genera una rotación correspondie de z’. Por lo tanto.  

  =    De manera similar, si sobre el extremo lejano del elemento elemento se imponen desplazamie desplazamientos ntos globales   en la dirección de x,   en la dirección Y y una rotación   las ecuaciones de transformación resultantes son, respectiv r espectivamente. amente.

  =  cos  

  = − cos  

  =  cos   14

  =  cos  

 

 =    cos   representan los cosenos directores cos   ,    = co Si se considera que    = co de los elementos, puede escribirse la superposición ón de los desplazamie desplazamientos ntos en forma matricial como:

Ecuación N° 08

O bien  = 

Ecuación N° 09

Por inspección,osTdtransforma seisPordesplazamientos desplazamie D globales y, z, en seis desplazamientos desplazamient locales x’, los y’, z’. tanto, T sentos conoce como lax,matriz delos transformación del desplazamient desplazamiento. o. MARTIZ DE TRANSFORMACION DE LA FUERZA. Si ahora se aplica cada componente de carga sobre el extremo cercano del elemento, es posible determinar la forma de transformar los componentes de carga de las coordenadas locales a las globales. Al aplicar   de la (Fig. N° 12), se puede ver que.

Fig. N° 12

   =  cos  

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   =   cos  

 

Si se aplica  (Fig. N° 14). Entonces sus s us componentes son: 

Fig. N° 13 

   = − cos  

   =   cos  

Por último, como   es colineal con   se tiene

   =    De manera similar, las cargas en los extremos de       generaran los siguientes componentes respectivos:

   =  cos      = − cos  

   =  cos      =  cos  

   =    cos   ,    = co cos   se Al ensamblar estas ecuaciones en forma matricial con    = cos obtiene:

Ecuación N° 10 

 =    

Ecuación N° 11

Aquí, como se dijo antes,    transforman las seis cargas de elemento expresados con coordenadas locales en las seis cargas expresadas con coordenadas globales. MARCO-ELEMENTO   2.3. MATRIZ RIGIDEZ GLOBAL MARCO-ELEMENTO Los resultados de la sección anterior se combinaran ahora con el fin de determinar la matriz de rigidez de un elemento que relacione las cargas globales Q con los desplazamientos globales D. para ello, se sustituye la ecuación N° 09 (d=TD) en la ecuación N° 07 (q=k’d). Se tiene. 16

 

 = ′  

Ecuación N° 12

Aquí las fuerzas q de los elementos están relacionados con los desplazamientos globales D. al sustituir este resultado en la ecuación N° 11(  =    ) se obtiene el resultado final.

 =   ′  

 

Ecuación N° 13

O bien

 = 

 

Donde:

 =   ′  

Ecuación N° 14

Aquí K representa la matriz de rigidez global del elemento. Su valor puede obtenerse en forma general utilizando las ecuaciones N° 06, N° 08, N° 10 y al realizar las operaciones matriciales. Con esto se obtiene el resultado final.

Ecuación N° 15 

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CONCLUSIONES

Existen varias razones para utilizar el método de la rigidez para ello, la más importante es usarse tanto para analizar estructuras indeterminadas y determinadas. El método de la rigidez, es un método de análisis del desplazamiento desplazamiento.. Para analizar las estructuras también puede emplearse un método de fuerza, llamado método de la flexibilidad. En cuanto a la elección de cubiertas cabe resaltar que este trabajo se presente los materiales comúnmente utilizados utilizados para techumbre techumbres, s, pero no todos se pueden emplear en cubiertas que serán sostenidos para una armadura, la idea principal de las armaduras es aligerar el peso del techado y aumentar el espacio entre apoyos es decir cubrir grandes claros sin necesidad de colocar apoyos intermedios, podríamos decir que estos caos la mejor opción sería usar materiales ligeros como son los distinto típicos del laminas ssean ean metálicas, asbesto-cemento, policarbonato, policarbonato, acrílico incluso madera.

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BIBLIOGRAFIA

Arguelles Alvares, R. (1985). Calculo de Estructuras. Sección de Publicacio Publicaciones, nes, E.T.S. ing. Montes de Madrid   Ing. Diego Curasma, Wladimir. Análisis Matricial de Estructura Estructurass  Tena Colunga, Arturo. Análisis de Estructuras con Métodos Matriciales. Edición, Primera. Editorial, Limusa. México 2007.  ENSIDESA (197). Manual para el Cálculo de estructuras. Publicaciones Ensidesa. 

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