METODO INDUCTIVO 2

APTITUD MATEMÁTICA

JOHNNY GUEVARA PINEDA

MÉTODO INDUCTIVO

EL MÉTODO INDUCTIVO crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización del comportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones. Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógica podría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una condición adicional, su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto.

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 3

1

9 triángulos = 3

2 3

En el problema:

1

2 3

2 20 = 400 triángulos

Caso General

...

18 19 20

Casos Particulares Razonamiento Inductivo Ejemplo 1 ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

1

2

2

Ejemplo 2 Hallar la suma de las cifras del resultado de :

E  (999...995)2 101 cifras

3

Resolución: Analizando por partes, tenemos Resultado

18 19 20

9 52



9025

19  7



990025

297

99900025

397

99900025

497

1

99 5 2 2

999 5 2 

Resolución:

Suma de cifras

3

9999 5 2 

Analizando por partes, tenemos:

4

Cantidad de cifras “9”

Caso 1

2

1 triángulo = 1 1 Caso 2

(999. . .99 5) 

 100  9  7  907

100 cifras

Ejemplo 3 1 2

2

4 triángulos = 2

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA KEPLER

Calcular:

R  1  2  4  8  16  ... 40 sumandos

PAG – 1 .

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JOHNNY GUEVARA PINEDA

Resolución

1

SEBA : 4 letras

sumando ; R  1

1

S

1

2 1

E

2 sumandos; R  1  2

B

B

2

2 1

A

3 sumandos; R  1 2  4    3

E

 8 formas  2 3

B

A

A

A

En el problema:

2 1

4 sumandos; R  1 2  4   8 4

SEBASTIAN : 9 letras

2 1

–1 8

2 = 256 formas

40 sumandos ;R  1 2 4 8 .......     2

40

Ejemplo 5

1

Ejemplo 4 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"?

¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?

S E B A S T I A N

T I

T

A N

Fig.1

A S

I

A N

B A

S

T

A N

A S

I

E B

T

N

I A

N

I A

N

Resolución

N

N

Fig. 1

3 puntos de = 3 1 = 3 (1) contacto 1 2 2

1 S : 1 letra

Fig. 2 0

1 SE: 2 letras S  2 formas 2 1 E E

SEB: 3 letras

9 puntos de = 33 = 3 (1+2) contacto 2 3 2

18 puntos de = 3 6 = 3 (1+2+3) contacto 3 4 2

Fig. 3

(1 + 2 + 3 +...+ 20) = 630

1

20  21 2

S E E

Fig.20

Resolución

A

Cuando la palabra tiene:

S  1 formas 2

Fig.3

T

I A

Fig.2

S

 4 formas 2 2

B B B ACADEMIA PREUNIVERSITARIA KEPLER

Fig. 20

PAG – 2 .

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PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

E  (111 . . .111) 2 9 cifras

a) 81 d) 49

b) 100 e) 121

c) 64

02. Hallar la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión:

E  (100 . . .005)

05. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INGRESO"? I N N G G G R R R R E E E S S O a) 16 d) 20

b) 9 e) 8

I

2

G

Fig. 2

G

E

c) 10

b) 240 e) 210

I N

G R

E S

O

G R

E

E

S O

S O

b) 180 e) 210

O c) 200

07. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INGRESO"? (Las letras están simétricamente distribuidas). I

a) 190 d) 200

G

E

a) 190 d) 220

I N

R

S O

Fig. 3

I N

R

... Fig. 1

I N

03. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 20?

c) 14

06. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INGRESO"?

105 cifras

a) 11 d) 12

b) 24 e) 30

I N

c) 420

N G

G R

R E

04. ¿Cuántos rombos hay en total en la figura mostrada?

E S

S O

a) 10 d) 8

b) 7 e) 9

O

c) 11

08. ¿De cuántas maneras diferentes puede ir una persona de P a Q utilizando siempre el camino más corto? P

1 2 3 a) 784 d) 1025

b) 1000 e) 981

28 29 30 c) 900 Q

a) 960 d) 462 ACADEMIA PREUNIVERSITARIA KEPLER

b) 832 e) 924

c) 321 PAG – 3 .

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09. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a B sin retroceder en ningún momento? (Solamente se puede ir en la dirección Este – Sur) A

b) 334 e) 300

c) 360

10. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "TUMEJOROPCIÓN"? T U M E

J

J O R O

P C

P C I O

;

O

11. Hallar la suma total del siguiente arreglo: 1 2 3 4  12 2 3 4 5  13 3 4 5 6  14 4 5 6 7  15      12 13 14 15  23 b) 1728 e) 1804

c) 1624

12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "AMOR"? O R

O

O R

M

a) 40 d) 36

O

b) 41 e) 28

R O

M O

R

R

M A

O R

R

M

c) 16

; P2

P1

c) 180

R

b) 18 e) 40

C

b) 240 e) 210

R

c) 450

14. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "RAZONAR"? R A A Z Z Z O O O O N N N A A R

I

N

a) 1608 d) 1526

b) 100 e) 200

P C

I

100 cifras

15. ¿Cuántos palitos serán necesarios para formar la figura de la posición 10, siguiendo la secuencia mostrada?

J O

O

111. . .111  222. . .222 200 cifras

a) 20 d) 32

U

E

a) 120 d) 360

M

a) 300 d) 900

B

a) 380 d) 390

13. Calcular la suma de las cifras del resultado de M:

a) 220 d) 380

b) 280 e) 420

2

M  (666. . .666) 6n cifras

a) 18n d) 45n

b) 27n e) 54n

2

E  (333. . .334) 21 cifras

a) 127 d) 130

b) 128 e) 125

c) 129

18. Hallar la suma de cifras de:

E  (999. . .999)

2

100 cifras

R

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA KEPLER

c) 36n

17. Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar:

R

c) 32

c) 320

16. Calcular "M" y dar como respuesta la suma de sus cifras.

O R

P3

a) 1800 d) 720

b) 900 e) 1080

c) 180 PAG – 4 .

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19. Hallar la suma de las cifras del producto P :

M  222. . .22  999. . .998 101 cifras

a) 700 d) 909

24. Calcular la suma total de todos los elementos del siguiente arreglo numérico: 3 6 9 12  60

6 9 12 15  63 9 12 15 18  66 12 15 18 21  69      60 63 66 69  117

101 cifras

b) 707 e) 808

c) 709

20. Hallar la suma de las cifras del resultado de: a) 39000 d) 27000

1010101 . . . 101 19 61 cifras

a) 520 d) 480

c) 290

R  200 1000...007  999...993  49 201 cifras

21. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá leer la palabra "CALLADO"? C A L D O

D O

a) 52 d) 50

L

L A

D

b) 2 e) 3

O

b) 48 e) 49

c) 1

C O M P U T O M P U T A M P U T A D P U T A D O U T A D O R T A D O R A

A D

O

a) 4 d) 5

200 cifras

26. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "COMPUTADORA"?

A

A

c) 24000

25. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

b) 320 e) 310

A

b) 48000 e) 36000

D O

O

c) 44

22. Calcular el valor de "S", si:

a) 252 d) 290

b) 256 e) 280

c) 280

" n " sumandos

S

1 3  3 5  5  7  . . .  n

a) n d) n 2

2

2

2

2

1  2  3 . . . n b) 4 e)

c) 4n 2

n 2

23. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

27. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"? S S S E E E B B B A A A S S S T T T I I I A A A N N N a) 17 d) 38

b) 23 e) 47

c) 30

28. ¿Cuántas cerillas se utilizan para formar la figura 50?

200 199 198

a) 1600 d) 1800

4

b) 1598 e) 1634

3 2

1

Fig. 1 Fig. 2

c) 1799

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA KEPLER

Fig. 3

a) 2550 d) 2500

b) 1225 e) 2450

c) 5100 PAG – 5 .

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29. Un papel se dobla de la siguiente forma: 1ero

1

2do

3

3 ro

7

nº

?

33. ¿De cuántas formas distintas se lee "ESPERANZA", uniendo círculos consecutivos en el siguiente arreglo?

E S S P P P E E E E R R R R R A A A A N N N Z Z A

¿Cuántos dobleces tendrá la enésima vez? a) 2n  1

b) 2n  1

d) 2n  3

e) 2n  2

c) n2  1 a) 81 d) 70

30. Si una persona desea viajar de A a B por los caminos representados por líneas y solamente puede desplazarse hacia arriba o hacia la derecha.

b) 75 e) 64

c) 35

34. En la siguiente secuencia gráfica, hallar el número total de cuadrados de la figura 60.

B

Fig.1 ,

Fig.2

,

Fig.3 , ........

A

¿De cuántas formas diferentes podría hacer dicho viaje? a) 41 d) 51

b) 46 e) 56

c) 48

a) 120 d) 240

b) 200 e) 241

c) 100

35. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

31. Hallar la suma total en el siguiente arreglo numérico: 1 3 5 7

   

3 5 7 9

   

5 7 9 11

   

7 9 11 13

   

... ... ... ...

   

19 21 23 25

 19  21  23  25  ...  37

a) 3780 d) 1650

b) 1700 e) 1500

32. ¿De cuántas maneras se "TRILCE"? T T R R I I I L L L C C C E E a) 75 d) 80

b) 65 e) 70

c) 1900

20 19 18

a) 77 d) 87

3 2 1

b) 76 e) 79

36. ¿Cuántos palitos construcción?

c) 88 hay

en

la

siguiente

puede leer la palabra R

I

L

L C

E

1 2 3 c) 50

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA KEPLER

a) 199 d) 399

18 19 20 b) 275 e) 299

c) 349 PAG – 6 .

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37. ¿Cuántos triángulos del mismo tamaño como máximo se podrán formar al unir los centros de los círculos en la figura 20?

43. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra "RECONOCER" si se pueden repetir letras? N

O C

Fig.1

Fig.2

a) 512 d) 361

b) 400 e) 441

R

c) 484

38. Hallar la suma de las cifras del resultado de: E  999.........999  12

a) 128 d) 288

E

b) 360 e) 540

S

I

a) 30 d) 28

b) 3n + 1 e) 3(n – 1)

M   999....94 

200

C

F(1)

c) 187

a) 4200 d) 5100

; F(2)

D I O S D I O S 3 D I O S 4 D I O S

b) 299 e) 888

C

E

S

I A

C

I

c) 32

999...9984 100...016  256

b) 20 e) 100

101 cifras

c) 60

46. ¿Cuántos rombos del tamaño y forma indicada (uniendo los centros de 4 circunferencias) se pueden contar en la figura mostrada?

c) 4800

10

a) 68 d) 301

A

S

;

42. Halle el total de palabras "DIOS" que hay en el siguiente arreglo literal: 2

I

J

F(3)

b) 4600 e) 3600

1

E

100 cifras

a) 10 d) 70

41. ¿Cuántos arcos de 60º se formarán en la figura 40, al unir los centros de los círculos?

;

R c) 216

b) 14 e) 52

2

20 cifras

b) 270 e) 190

R

45. Calcular:

40. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

a) 90 d) 810

R

44. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra "JESSICA"?

39. Hallar la suma de las cifras del resultado de: M  666....666  35

a) 3n d) 3(n + 2)

E

b) 256 e) 258

c) 630

" n" cifras

C E

R

50 cifras

a) 900 d) 450

C

E

Fig.3

O

D I O S

c) 92

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA KEPLER

1 2 3 a) 4750 d) 4851

b) 4949 e) 3749

98 99 100 c) 4951

47. En la figura se muestran m filas y m columnas de anillos entrelazados. Si el número total de puntos de intersección es 140. Hallar: m PAG – 7 .

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APTITUD MATEMÁTICA

3 4

2

1

JOHNNY GUEVARA PINEDA A

m M

1 2

O R

3

R

R

R O M A

b) 10 e) 12

c) 9

a) 224 d) 292

48. ¿De cuántas maneras se puede leer "RADAR", uniendo letras vecinas? R

R

R

A

R

A

R R

A

D

A

R

A

R

A

R R

b) 81 e) 234

R R R

c) 324

a) 3600 d) 4900

T T R

I R T

T R I L C L T R I L C I

b) 127 e) 185

c) 63

c) 1176

51. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la expresión "AMORAROMA"? (Las letras están simétricamente distribuidas)

a) 696 d) 729

R

O E

C N C R

E O O E

R C C C R

E E E E

b) 3540 e) 3200

R R R R R

c) 4200

c) 28

b) 781 e) 700

c) 821

55. La suma del número de triángulos de la figura " n  1 " y el número de cuadriláteros de la figura "n – 1" es:

Fig. 1

a) 4n + 1 d) n

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA KEPLER

C

O

R

Y EEE SSSSS SSSSSSS I I I I I I I I I CCCCCCCCCCC A AAAAAAAAAAAA

I R T

50. ¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de 50 rectas secantes? b) 1200 e) 1225

E

C

E

b) 29 e) 31

I R T

T R I L C I T O T I C L

E

C

999  1000  1001  1002  1

I R T

T I C L

E

R

54. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "YESSICA"?

I R T

T R I L C I C L

E

53. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

a) 30 d) 32

I R T L

c) 272

52. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer en forma continua la palabra RECONOCER pudiéndose repetir letras? R

T R T T R I

b) 360 e) 320

R

49. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "TRILCITO"?

a) 1275 d) 1220

R

O M

a) 11 d) 8

a) 255 d) 230

A

R

m

R

A

O

a) 182 d) 243

O

R A

4

M O

Fig. 2

b) 4n e) 4 + n

Fig. 3

c) 2n + 1

PAG – 8 .

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56. En el siguiente arreglo numérico, hallar "x"

1

2

3

3

5 8

4

5

7 12

20

18

9

19 37

16

59. Calcular el valor de "R", si:

20

(n  2) (n  1)

R

39

(n  2) 

76

n

(n  1) 

28

3

48

2

3 2

1 1

x a) 21  216

b) 42  218

d) 21  217

e) 42  217

c) 23  218

57. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

20 19

4 3 2

a) 107 d) 117

b) 97 e) 96

2

a) 3100 d) 3400

3

4

5

b) 2600 e) 2550

n3 n 1 n3 e) n2 b)

c)

n5 n3

60. ¿Cuántos puntos de tangencias hay en la siguiente figura?

1

c) 77

1 2

58. Calcule el número de rombos con sólo un cuadrado pequeño en su interior, que se forman al unir los centros de todos los cuadrados de la figura siguiente:

1

n2 n 1 n3 d) n4 a)

1 2

a) 660 d) 661

3 b) 680 e) 650

20 21 c) 690

100 101 102 103

c) 2500

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Claves 01.

a

31.

c

02.

b

32.

c

03.

e

33.

d

04.

c

34.

e

05.

d

35.

a

06.

c

36.

d

07.

d

37.

b

08.

e

38.

d

09.

b

39.

a

10.

b

40.

e

11.

b

41.

c

12.

e

42.

a

13.

a

43.

b

14.

a

44.

b

15.

e

45.

a

16.

e

46.

d

17.

a

47.

a

18.

b

48.

c

19.

b

49.

a

20.

e

50.

e

21.

b

51.

c

22.

b

52.

a

23.

a

53.

c

24.

c

54.

d

25.

c

55.

a

26.

a

56.

e

27.

e

57.

e

28.

c

58.

c

29.

b

59.

d

30.

d

60.

e

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PAG – 10 .

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