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CAPÍTULO III

ANÁLISIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

RESUMEN.

Se obtienen las fuerzas estáticas equivalentes debido al sismo considerando el método estático equivalente y el método de torsión equivalente, que están descritos en el CEC - 2000. Es importante destacar la importancia de calcular la torsión debida a la excentricidad entre el centro de masas y el centro de rigidez más la torsión accidental, que son la base del método estático equivalente. Por fines didácticos, a la par de la teoría indicada, se realiza el análisis de una pequeña estructura, en la que se pone en práctica lo que se describe.

CAP. III

3.1.

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

DETERMINACIÓN DEL CORTANTE BASAL.

El cortante basal V de acuerdo al CEC - 2000, se determina con la siguiente ecuación:

V 

Z  I C W Rw   p  e

3.1

Donde: Z: Factor de zonificación sísmica. Es el coeficiente de la aceleración de la gravedad, indicada en el mapa de zonificación sísmica de la Figura 1.3 del Capítulo I. Según el CEC – 2000, se tiene los siguientes valores:

Zona Sísmica.

Factor Z.

I

0.15

II

0.30

III

0.35

IV

0.40

Tabla 3. 1. Valores del factor Z, en función del Mapa de Zonificación Sísmica que propone el CEC – 2000.

I: Coeficiente de importancia, descrito en la Tabla 1.4 del Capítulo I, mismo que esta en función del uso que va a tener la estructura.

Perfil de suelo tipo.

Descripción.

S

Ca

S1

Roca o suelo firme.

1.0

2.5

S2

Suelos intermedios.

1.2

3.0

S3

Suelos blandos y estratos profundos.

1.5

2.8

S4

Condiciones especiales de suelo.

2.0

2.5

Tabla 3. 2. Coeficientes de suelo S y coeficiente Ca, según el CEC - 2000.

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CAP. III

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

C: Coeficiente sísmico, definido en la Figura 4.1. Los valores de Ca y S, vienen indicados en Tabla 3.2.

Figura 3. 1. Coeficiente sísmico C, definido en el espectro sísmico elástico del CEC- 2000.

Nótese que la Tabla 3.2 es la misma en valores a la Tabla 1.1 indicada en el Capítulo 1, cuando se hablo del espectro elástico, por lo tanto la Figura 3.1 es otra forma de presentar el espectro elástico.

Rw: Factor de reducción de respuesta sísmica por comportamiento inelástico.

p y e: Factores que reducen el comportamiento no lineal, debido a irregularidades en planta y elevación. W: Carga sísmica reactiva, la misma que se obtiene únicamente en función de la carga muerta.

Es importante destacar que la Ecuación 3.1 representa el cortante mínimo debido a sismo.

47

CAP. III

3.2.

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

FUERZAS ESTÁTICAS EN CADA PISO.

La mayor parte de códigos consideran únicamente el primer modo de vibración para encontrar fórmulas simplificadas que permitan obtener las fuerzas estáticas equivalentes en cada uno de los pisos debido al sismo. La influencia de los modos superiores se acostumbra tomarlo en cuenta mayorando la fuerza del último piso mediante una fuerza Ft, de tal manera que las fuerzas en los pisos se obtiene con las siguientes ecuaciones:

n

V  Ft   Fi

3.2

Ft  0.07  T  V

3.3 

Fi 

3.4 

i 1

V  Ft   Wi  hi n

W  h i 1

i

i

Siendo: Wi: Peso reactivo del piso i. hi: Altura desde el nivel del suelo al piso i. T: Período de la estructura. V: Cortante basal.

El CEC - 2000, estipula que cuando el período de vibración es menor o igual que 0.7 segundos, la fuerza en el tope Ft será siempre menor a 0.25 del cortante basal.

Ft  0.25  V

3.3.

3.5 

EJERCICIO DE APLICACIÓN.

o

Se desea realizar un análisis sísmico estático, aplicando el CEC - 2000 a la

estructura indicada en la Figura 3.2. La misma que se encuentra en la zona sísmica 4 y sobre 48

CAP. III

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

un suelo tipo S3. Se considera que la carga muerta del primer piso es 500 kg/m2 y del segundo piso 450 kg/m2, mientras que la carga viva es 200 kg/m2 y 100 kg/m2 en el primer y segundo piso respectivamente. Se trata de una construcción destinada a vivienda. Se desea que el análisis sísmico se lo realice en sentido X.

Figura 3. 2. Estructura con la que se realizará el análisis sísmico estático en sentido X.

Para el análisis usar inercias agrietadas y un módulo de elasticidad E = 2173706.513 T/m2 tanto para vigas como para columnas; las dimensiones de las mismas se indican en la Figura 3.3.

Desarrollo:

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CAP. III

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Figura 3. 3. Geometría de los pórticos de la estructura indicada en la Figura 3.2.

Se tienen los siguientes datos:

Z = 0.4

( Valor de la Tabla 3.1 para la zona sísmica IV )

I = 1.0

( Valor de la Tabla 1.4 para la categoría 3 )

S = 1.5

( Valor de la Tabla 3.2 para un perfil de suelo S3 )

Ca =2.8

( Valor de la Tabla 3.2 para un perfil de suelo S3 )

Según el CEC – 2000, podemos calcular el período de vibración de una estructura, con la ecuación:

T  Ct  hn 4 3

3.6 50

CAP. III

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Donde: hn: Altura total del edificio. Ct: depende del tipo estructura, como se indica a continuación: Ct = 0.0853 para pórticos de acero. Ct = 0.0731 para pórticos espaciales de hormigón armado. Ct = 0.0488 para otras estructuras.

Entonces tenemos que:

T  0.0731  5.4  T  0.26 s.

0.75

Según el CEC - 2000:

1.25  S S T 1.25 1.51.5  C 0.26 C  8.83 C

pero C no necesita exceder el valor de Ca indicado en la Tabla 3.2.

C  Ca y Ca = 2.80

( Valor de la Tabla 3.2 para un perfil de suelo S3 )

entonces: C = 2.80 Por otra parte se va a considerar:

Rw = 10

( Valor de la Tabla 1.3 para tipología I )

p = 1

( Estructura regular en planta )

e = 0.9

( Estructura irregular en elevación )

Para calcular el peso reactivo W, tenemos: Carga muerta primer piso = 500 kg/m2. Carga muerta segundo piso = 450 kg/m2. 51

CAP. III

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Área primer piso = 36 m2. Área segundo piso = 20 m2. Entonces:

W   500 kg 2  36 m 2    450 kg 2  20 m 2  m m     W  27000 kg W  27 T Con lo obtenido podemos determinar fácilmente el cortante basal mínimo, aplicando la Ecuación 3.1.

V

Z  I C W Rw   p   e

0 .4  1 .0  2 .8  27 10 1.0  0.9 V  3.36 T V

Una vez que se tiene el cortante basal mínimo, procedemos a calcular las fuerzas estáticas en cada piso. Se obtuvo que el período de la estructura es de 0.26 s. y tal como se indica en el apartado 3.2, al ser este menor que 0.7 s. la fuerza en el tope se asume igual a cero T < 0.7s.



Ft = 0

Aplicando las Ecuaciones 3.3 y 3.4, en un cuadro que nos facilite el cálculo determinamos las fuerzas estáticas en cada piso:

Fi 

hi  Wi V  hi  Wi

Piso

hi

Wi [ T ]

hi . Wi [ Tm ]

1

2.7

18

4.86

1.68 T

2

5.4

9

4.86

1.68 T

27

9.72



Estas fuerzas se aplican en el centro de masas de cada piso, de la estructura. El centro de masas CM, es el lugar geométrico donde se considera esta concentrado todo el peso, aproximadamente coincide con el centro de gravedad. 52

CAP. III

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El centro de masa para plantas regulares se ubica en el centro geométrico de la misma, pero, cuando se trabaja con plantas irregulares o plantas con huecos, el centro de masas se lo ubica, dividiendo la planta en figuras geométricas regulares y en base a la posición y masa de cada una de esas figuras, se procede a calcular las coordenadas del centro de masas, usando el siguiente formulario:

X m m Y  m  m

X CM 

i

i

3.7

t

YCM

i

i

3.8

t

Donde: XCM: Distancia en X del CM con respecto a un punto tomado como origen. YCM: Distancia en Y del CM con respecto al mismo punto de referencia. Xi: Distancia en X desde el centro de masas de cada figura hasta el punto de referencia. Yi: Distancia en Y desde el centro de masas de cada figura hasta el punto de referencia. Mi: Masa de la figura i. Mt: Masa total de la losa (planta).

Para el ejemplo que desarrollamos, se indica a continuación los centros de masa y las fuerzas actuantes:

Figura 3. 4. Fuerzas aplicadas en el centro de masas de cada piso de la estructura mostrada en la Figura 3.2.

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CAP. III

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Interesa ahora, calcular las fuerzas en cada uno de los pórticos. Para ello es necesario presentar la teoría de análisis sísmico considerando pisos rígidos.

3.4.

ANÁLISIS CON PISO RÍGIDO.

Al considerar que la losa es rígida en su plano, se tiene tres grados de libertad por planta, estos son los corrimientos horizontales tanto en dirección X como en Y además de la rotación de piso. Normalmente estos grados de libertad se consideran en el centro de masas(1). En la Figura 3.5 se indican los grados de libertad para la estructura del ejemplo analizado.

Figura 3. 5. Sistema de coordenadas de piso Q - q.

El vector de coordenadas generalizadas para la estructura de la Figura 3.2 es el siguiente:

 q1     q2  q  q   3  q4   q5     q6  Donde: 

q1 : Componente de desplazamiento horizontal en sentido X del Piso 1. 54

CAP. III

3.5.

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

q2 : Componente de desplazamiento horizontal en sentido X del Piso 2.



q3 : Componente de desplazamiento horizontal en sentido Y del Piso 1.



q4 : Componente de desplazamiento horizontal en sentido Y del Piso 2.



q5 : Componente de torsión del Piso 1.



q6 : Componente de torsión del Piso 2.

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL.

Se define a la matriz de rigidez lateral KL a la matriz de rigidez que esta asociada a las coordenadas laterales de piso(3), esta se obtiene aplicando la condensación estática de la matriz de rigidez K, descrita en el numeral 2.1.4 del Capítulo II.

Figura 3. 6. Sistema de coordenadas laterales de piso P - p.

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CAP. III

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Por otra parte, se denomina sistema P-p a las coordenadas laterales de piso, donde P es el vector de cargas compuesto por las fuerzas horizontales que actúan en cada piso n, p es el vector de desplazamientos compuesto por los corrimientos laterales de cada piso. Con relación a la estructura indicada en la Figura 3.2, las coordenadas laterales son las indicadas en la Figura 3.6. La relación que hay entre estos dos vectores, viene dada por la matriz de rigidez lateral KL., según la siguiente expresión:

3.9

P  KL  p

3.6.

MATRIZ

DE COMPATIBILIDAD ENTRE COORDENADAS

LATERALES Y

LAS

COORDENADAS DE PISO.

Interesa encontrar el vector P a partir de las fuerzas en coordenadas de piso, para ello es necesario obtener la matriz de transformación de coordenadas A, la cual se define:

3.10 

p  Aq

Para encontrar la matriz A, se dibujaran las deformadas elementales qi, que corresponde a las coordenadas de piso y se miden los desplazamientos laterales p, en cada uno de los pórticos. Cada uno de los pórticos de una estructura tiene una matriz de compatibilidad de deformaciones A(i).

A

(i )

cos    

sin  

r1 

cos 

 sin 

rn

   

3.11

Donde: 

 : Ángulo que forma el pórtico i con el eje de las X.

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

ri : Distancia desde el origen de coordenadas hasta el pórtico i en el piso j. El signo de ri es positivo si la orientación positiva del pórtico i, rota con respecto al origen de coordenadas en sentido antihorario.

La matriz A(i), tiene n filas y 3 . n columnas, siendo n el número de pisos del pórtico i.

Figura 3. 7. Orden de las submatrices que conforman la matriz A(i).

Las columnas pueden particionarse cada n columnas, tal como se indica en el esquema de la Figura 3.7. Al subdividirse esta matriz se tendrían tres submatrices de orden n * n, la primera contiene cos a en la diagonal, la segunda sen a en la diagonal y la tercera está compuesta por los valores ri en la diagonal, empezando desde el primer piso hasta el último piso. Para los pórticos de la estructura indicada en la Figura 3.2, se tendrían las siguientes matrices A:

1 A(1)   0 1 A( 2 )   0

0 0 0  2 .0 0  1 0 0 0  2.0 0 0 0 2 .0 0  1 0 0 0 2.0

Para los pórticos 1 y 2, el valor de  es igual a cero grados (cos  = 1 y sen  = 0). Los valores de ri de ambos pisos se ilustra en la Figura 3.8.

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CAP. III

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Figura 3. 8. Valores y signos de ri para los pórticos 1 y 2 de la estructura indicada en la Figura 3.2.

Por otra parte, para los pórticos A, B y C, el valor de  es igual a noventa grados (cos  = 0 y sen  = 1) y los valores de ri de ambos pisos se ilustra en la Figura 3.9.

Figura 3. 9. Valores y signos de ri para los pórticos A, B y C de la estructura indicada en la Figura 3.2.

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CAP. III

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0 A( A )   0 0 A( B )   0

0 1 0  4 .5 0  0 0 0 0 0 0 1 0  0 .5 0  0 0 1 0  2.5

 0 0 1 0 4 .5 0  A( C )     0 0 0 0 0 2 .5  Debe notarse que la segunda fila de la matriz A(A) tienen solo ceros, esto se debe a que el pórtico A consta de un solo piso. El llenar de ceros es solo un artificio matemático para poder desarrollar las operaciones matriciales.

3.7.

MATRIZ DE RIGIDEZ ESPACIAL PARA ANÁLISIS CON PISO RÍGIDO.

En la Figura 3.5 se presentó el sistema de coordenadas de piso, al cual se denominó sistema Q – q. Donde Q es el vector de cargas generalizadas y q es el vector de coordenadas generalizadas. La relación entre estos dos vectores, viene dada por la matriz de rigidez en coordenadas de piso KE, también llamada matriz de rigidez espacial para el análisis sísmico(6).

Q  KE  q KE   A

(i )t

 KL  A (i )

(i )

3.12 3.13

3.7.1.EJERCICIO DE APLICACIÓN.

o

Determinar la matriz de rigidez KE, para la estructura indicada en la Figura 3.2.

Desarrollo:

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CAP. III

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Las matrices de compatibilidad de deformaciones A, son:

0   1 0 0 0  2 .0 A (1)   0  2.0  0 1 0 0  1 0 0 0 2 .0 0  A( 2 )     0 1 0 0 0 2 .0   0 0 1 0  4 .5 0  A( A)   0 0  0 0 0 0 0   0 0 1 0  0 .5 A( B )   0  2.5 0 0 0 1  0 0 1 0 4 .5 0  A(C )     0 0 0 0 0 2 .5  Las matrices de rigidez lateral para los pórticos de la estructura de la Figura 3.2, son los siguientes.

KL KL KL

(1)

( A)

(B)

 KL

( 2)

 6176.2  1991.5    1991.5 1050.4 

 772.87   KL

(c)

 5922.7  2108.8    2108.8 1114.9 

Al igual que se completo a la matriz A(A) con ceros, tal como se explico al final del apartado 3.6., la matriz KL(A) debe ser transformada en una matriz de 2 * 2, bajo el mismo artificio de cálculo, para que se pueda realizar las operaciones matriciales.



KL

( A)

772.87 0  0  0

Al aplicar la Ecuación 3.10, se obtiene KE:

0 .0 0 .0 0 .0 0 .0   12352.4  3983.0  3983.0 2100.8 0 .0 0 .0 0 .0 0.0    0 .0 0 .0 12618.3  4217.6 20213.0 0 .0  KE    0 .0  4217.6 2229.8  8435.2 0 .0   0 .0  0 .0 0 .0 20213.0  8435.2 186480.0  42292.0   0 .0 0 .0 0 .0  42292.0 22339.0   0.0 60

CAP. III

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La matriz de rigidez espacial KE, se particiona en las siguientes submatrices:

 K XX  K E   KYX  K X

K XY KYY KY

K X   KY  K 

3.14

Para el ejemplo analizado, estas submatrices son:

 12352.4  3983.0 K XX     3983.0 2100.8   12618.3  4217.6 K YY     4217.6 2229.8  20213.0  8435.2 KY   0.0   0 .0  20213.0 0.0 K Y     8435.2 0.0  186480.0  42292.0 K     42292.0 22339.0  El resto de submatrices son nulas, tal como se puede ver en la matriz KE de la estructura analizada.

3.8.

FUERZAS EN LOS PÓRTICOS.

Al trabajar con las submatrices indicadas en la Ecuación 3.11, la ecuación matricial 3.9 se transforma en:

Q  KE  q   QX   K XX     QY    KYX  Q   K X

K XY KYY KY

K X   q X     KY    qY  K   q 

3.15 

61

CAP. III

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

Donde: 

QX : Vector de fuerzas aplicadas en el centro de masas en sentido X. Para el ejemplo que se esta desarrollando, se tiene:

 Q  1.68 QX   1     Q2  1.68 

QY : Vector de fuerzas aplicadas en el centro de masas en sentido Y. Para el ejemplo, se tiene:

Q  QY   3  Q4  

Q : Vector de giros de torsión en cada piso. Para el ejemplo, se tiene:

Q  Q   5  Q6  

qX : Vector de desplazamientos horizontales en sentido X. Para el ejemplo, se tiene:

q  qX   1  q2  

qY : Vector de desplazamientos horizontales en sentido Y. Para el ejemplo, se tiene

q  qY   3   q4  

q : Vector de giros de torsión en cada piso. Para el ejemplo, se tiene

q  q   5   q6 

62

CAP. III

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

Al desarrollar la Ecuación 3.12, se tiene:

QX  K XX  q X  K XY  qY  K X  q QY  KYX  q X  KYY  qY  KY  q Q  KX  q X  KY  qY  K  q

3.16 3.17 3.18

Con estas notaciones, el procedimiento de cálculo para encontrar las fuerzas que actúan en los pórticos, a partir de las fuerzas que actúan en el centro de masas, es el siguiente:

1. Determinar el vector de cargas Q. 2. Obtener la matriz de rigidez espacial KE. 3. Calcular el vector de coordenadas q, resolviendo el sistema de ecuaciones presentado en 3.9.

Q  KE  q 4. Encontrar las deformaciones laterales en los pórticos, p.

3.19

p  A q 5. Finalmente, obtener las fuerzas P en cada pórtico.

3.20

P  KL  p

Para el ejemplo que estamos resolviendo, siguiendo con el procedimiento (paso III), tenemos que las submatrices KXY y KX son cero, entonces se puede trabajar con la Ecuación 3.13 que queda:

Qx  K XX  q X 1.68  12352.4  3983.0  q1       1.68  3983.0 2100.8  q2  Resolviendo el sistema, obtenemos:

 q1  0.10134  10 2 q    2  2  0.27210  10

m.  m. 63

CAP. III

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

Como ya se indico, estos son los desplazamientos horizontales en sentido X, en el centro de masas. Para el caso en que KXY y KX, sean diferentes de cero, el sistema de ecuaciones a resolver, es el siguiente:

 q1  1.68 q  1.68  2    q3   0 .0     KE     q4   0 .0   q5   0 .0       0.0   q6  Se tiene este caso (KXY y KX, diferentes de cero), cuando los pórticos no son ortogonales(5). Teniendo el vector de coordenadas q, procedemos a encontrar las deformaciones laterales en los pórticos (paso IV):

p (1)  A(1)  q Reemplazando valores y resolviendo el sistema, nos queda:

p (1)  A(1)  q

p (1)

 0.101 10  2   2  0.272  10   0   0 .0  1 0 0 0  2 .0     0  2 .0   0 .0 0 1 0 0    0 .0   0 .0  

 0.101 10  2 p (1)   2 0.272  10

m.  m.

Debe recordarse que estos desplazamientos ya son en los pórticos, tal como se indica en la Figura .3.10.

64

CAP. III

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

Figura 3. 10. Deformadas laterales en los pórticos 1 y 2 de la estructura indicada en la Figura 3.2.

Para terminar, las fuerzas P se obtienen multiplicando las deformaciones p por la matriz de rigidez lateral KL (paso V).

P

(1)

P

(1)

P

(1)

 KL

(1)

p

(1)

 6176.2  1991.5 0.10  10  2    2   1991.5 1050.4  0.27  10  0.84 T    0.84 T 

Lo mismo se hace con el pórtico 2. En este ejercicio estas fuerzas son iguales a las calculadas para el pórtico 1.

Figura 3. 11. Fuerzas horizontales obtenidas del análisis sísmico sin considerar torsión accidental, que actúan en los pórticos 1 y 2 de la estructura indicada en la Figura 3.2.

65

CAP. III

3.9.

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

TORSIÓN ACCIDENTAL.

Existe una serie de incertidumbres e hipótesis de cálculo, que se cometen en el análisis sísmico en general(4). Por ejemplo, el suponer que el material con el que se diseña la estructura sea isotrópico (que tenga las mismas propiedades mecánicas en todas las direcciones), lo cual en la realidad no es cierto. En el apartado anterior, se calculó en forma muy aproximada las fuerzas laterales que actúan en los pórticos, a partir del corte basal. Se trabajo únicamente con el primer modo de vibración, por esto todas estas aproximaciones de alguna forma hay que corregirlas y esto se lo hace con lo que se denomina torsión accidental. Las fuerzas indicadas en la Figura 3.11 deben ser mayoradas por la torsión accidental. Hay varias formas de calcular la torsión accidental, una de ellas es moviendo el centro de masas, otra es mediante la aplicación de un momento torsor. En este apartado se lo realiza de la primera forma y en el Capítulo V se lo realizará aplicando el momento torsor. El CEC – 2000, considera la torsión accidental moviendo el centro de masas un 5 % de la distancia de la dirección perpendicular al sentido de análisis. Se debe mover el centro de masas en los dos sentidos y considerar las acciones más críticas.

3.9.1.EJERCICIO DE APLICACIÓN.

Para la estructura de la Figura 3.2 encontrar las fuerzas que se generan en los pórticos por efecto de la torsión accidental. Realizar el análisis sísmico en sentido X.

Desarrollo:

o

Caso I:

Estamos considerando el sentido de análisis X, por lo tanto debemos mover el centro de masas un 5 % de la distancia de dirección Y, tal como se indica en la Figura 3.12. 66

CAP. III

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Figura 3. 12. Estructura de la Figura 3.2., analizado torsión accidental. Nótese que se desplaza el centro de masas (CM), un 5% de la dirección perpendicular al eje X (sentido de análisis).

Tenemos que:

KL

(1)

 KL

( 2)

 6176.2  1991.5    1991.5 1050.4 

Debemos definir las nuevas matrices A(1) y A(2) , ya que han cambian los valores de Ri, como se muestra en la Figura 3.13.

Figura 3. 13. Valores y signos de ri para los pórticos 1 y 2 de la estructura indicada en la Figura 3.2, considerando torsión accidental.

67

CAP. III

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Estas matrices nos quedan:

1 A (1)   0 1 A ( 2)   0

0 0 0  1 .8 0  1 0 0 0  1.8 0 0 0 2 .2 0  1 0 0 0 2.2

El vector de cargas no cambia, así que para el ejemplo tenemos (paso I):

1.68 T  Qx    1.68 T  Con esto, procedemos a calcular la matriz de rigidez espacial (paso II), empleando la Ecuación 3.10.

K E   A (i )t K L A (i ) (i )

0.00 0.00 2470.48  796.60   12352.40  3983.00  3983.00 2100.80 0.00 0.00  796.60 420.16    0.00 0.00 6695.57  2108.80  6439.27 5272.00  KE    0.00  2108.80 2229.80 1054.40 0.00   0.00  2470.48  796.60  6439.27 1054.40 67034.99  18727.32   420.16 5272.00 0.00  18727.32 22423.48    796.60 Continuamos calculando el vector de coordenadas q (paso III), mediante la aplicación de la Ecuación 3.9:

Q  KE  q 0.00 0.00 2470.48  796.60   q1  1.68  12352.40  3983.00 1.68  3983.00 2100.80 0.00 0.00  796.60 420.16  q2      0.0   0.00 0.00 6695.57  2108.80  6439.27 5272.00   q3      0 . 0 0 . 00 0 . 00  2108 . 80 2229 . 80 1054 . 40 0 . 00      q4   0.0   2470.48  796.60  6439.27 1054.40 67034.99  18727.32  q5        420.16 5272.00 0.00  18727.32 22423.48  q6   0.0    796.60

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CAP. III

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Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:

 1.01575  10 3   3   2.72692  10   1.93331  10  3  q 3   2.38413  10    1.1752  10  3    3   2.9372  10  Encontramos las deformaciones laterales en los pórticos, según la Ecuación 3.16.

p  A q (1)

(1)

Tenemos:

 1.01575  10 3   3   2.72692  10  0   1.93331  10  3  1 0 0 0  1.80 (1) p    0  1.80  2.38413  10  3  0 1 0 0   1.1752  10  3    3  2.9372  10  1.0369  10 1  (1) p  1  2.7798  10   1.01575  10  3   3   2.72692  10  0   1.93331  10  3  1 0 0 0 2.20 ( 2) p    0 2.20  2.38413  10  3  0 1 0 0   1.1752  10  3    3  2.9372  10  p

( 2)

9.8990  10  2   1   2.6623  10 

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CAP. III

ANÁLSIS SÍSMICO. MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE Y TORSIÓN ESTÁTICA.

Terminamos, obteniendo las fuerzas en cada pórtico, aplicando la Ecuación 3.17.

P P P P P P

 KL  p

(1)

(1)

(1)

 6176.2  1991.5 1.0369  101    1   1991.5 1050.4  2.7798 10  0.868 T    0.855 T 

(1)

(1)

( 2)

( 2)

( 2)

 KL

( 2)

p

( 2)

 6176.2  1991.5 9.8990  10 2    1   1991.5 1050.4   2.6623 10  0.812 T    0.825 T 

Estas fuerzas P aplicadas en cada pórtico, se las indica en la Figura 3.13.

Figura 3. 14. Fuerzas estáticas aplicadas en los pórticos analizados, considerando torsión accidental.

70

CAP. III

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o

Caso II:

Lo que hemos hecho hasta ahora, a sido realizar el análisis sísmico en sentido X desplazando el centro de masas hacia un lado para considerar la torsión accidental, pero para terminar con este análisis debemos mover el centro de masas hacia el otro lado, tal como se indica en la Figura 3.15 y volver a calcular las fuerzas en los pórticos.

Figura 3. 15. Fuerzas aplicadas en la estructura de la Figura 3.2, considerando torsión accidental. Nótese que se desplaza el centro de masas (CM), al lado contrario que el indicado en la Figura 3.12.

El procedimiento a realizarse es el mismo, y los resultados obtenidos son los que se indican en la Figura 3.16.

Finalmente, seleccionamos el caso más crítico. En este caso, la estructura de ejemplo es simétrica en el sentido X, por lo tanto después de comparar las figuras 3.14 y 3.16, concluimos que se puede seleccionar los resultados de cualquiera de estos dos casos.

Al considerar torsión accidental en una estructura irregular (como la del ejemplo pero en sentido Y), se tendrían fuerzas resultantes diferentes, dependiendo de la posición del centro de masas. Si se tuviera este problema, se seleccionaría el caso más crítico (sin comparar los pórticos independientemente, sino a la estructura en conjunto).

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CAP. III

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3.10. CONTROL DE LA DERIVA.

En el apartado anterior, antes de obtener las fuerzas P que actúan en los pórticos, determinamos las deformaciones laterales en los pórticos p. Estas deformaciones son los desplazamientos horizontales elásticos que tendrán los pórticos por acción de un sismo. Dentro de nuestro análisis, debemos considerar que para un sismo severo la estructura se comportará inelásticamente, por lo tanto debemos calcular los desplazamientos horizontales inelásticos.

Figura 3. 16. Fuerzas estáticas aplicadas en los pórticos 1 y 2, indicados en la Figura 3.14.

72

CAP. III

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Para esto, según el CEC – 2000, debemos multiplicar los desplazamientos elásticos por el factor de reducción de respuesta, tal como lo indica la siguiente ecuación:

pi  Rw   p  e  p

3.21

Una ves obtenidos los desplazamientos horizontales inelásticos, procedemos a calcular los desplazamientos horizontales relativos, esto se lo hace restando el desplazamiento horizontal inelástico del piso menos el desplazamiento horizontal inelástico del piso anterior. El desplazamiento horizontal relativo se lo conoce con el nombre de deriva i. Teniendo la deriva, podemos calcular la deriva de piso, que es igual a la relación que existe entre la deriva i y la altura de entrepiso Hi (del piso i).

Deriva de piso 

i Hi

3.22 

Finalmente para realizar el control de la deriva de piso, según el CEC – 2000, esta debe ser menor al 2%. Si alguna deriva de piso obtenida, resulta mayor a este valor, se debe repetir todo el diseño incrementando la dimensión de las columnas y vigas. En el ejercicio que estamos desarrollamos, seleccionamos el primer caso como el más crítico (recuérdese que el Caso I y el Caso II se diferencian por la posición del centro de masas y que al ser la estructura regular en el sentido X, se puede seleccionar cualquiera de los dos casos como el más crítico) y se comprueba el límite de la deriva de piso, en el siguiente cuadro:

Pórtico. Piso. 1 2

1 2 1 2

Desplazamiento Desplazamiento Desplazamiento Deriva de Elástico [m]. Inelástico [m]. relativo [m]. piso %. 0.0010 0.0028 0.0010 0.0027

0.0093 0.0250 0.0089 0.0240

0.0093 0.0157 0.0089 0.0151

0.35 0.58 0.33 0.56