Metodo Dos Elementos Finitos Em - Luiz Eloy

Método Dos Elementos Finitos em Análise de Estruturas Luiz Eloy Vaz

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Sumário Capa Folha de rosto Obrigado por adquirir e ste e -book Cadastro Copyright Agrade cime ntos Pre fácio Capítulo 1. Introdução

Capítulo 2. Fundame ntos mate máticos 2.1 Aproximação De Funções 2.2 Integração Numérica 2.3 Representação Paramétrica De Um Quadrilátero

Capítulo 3. A e volução do mé todo dos de slocame ntos 3.1 Método Básico 3.2 Método Clássico 3.3 Método Da Análise Matricial 3.4 Método De Castigliano 3.5 Princípio Dos Deslocamentos Virtuais 3.6 Método Da Mínima Energia Potencial Total 3.7 Método De Rayleigh-Ritz 3.8 O MEF Para Vigas 3.9 O Método Dos Resíduos Ponderados De Galerkin 3.10 Generalização Do MEF

Capítulo 4. Proble mas de e stado plano 4.1 Introdução 4.3 Elementos Da Família Serendipity

4.4 Elementos Da Família De Lagrange 4.5 Exemplos De Problemas De Estado Plano

Capítulo 5. Sólidos de re volução ou axissimé tricos 5.1 Introdução 5.2 Elemento Da Família Serendipity De 4 Nós 5.3 Exemplo De Sólido De Revolução, Placa Circular Vazada

Capítulo 6. Sólidos tridime nsionais 6.1 Introdução 6.2 Elemento Tetraedro 6.3 Elemento Hexaedro 6.4 Exemplo De Barra Tracionada Modelada Com Sólido Tridimensional, Elemento Hexaedro

Capítulo 7. Placas à fle xão 7.1 Introdução 7.2 Teorias De Placa À Flexão 7.3 Elemento Retangular De Placas À Flexão Pela Teoria De Kirchhoff 7.4 Elemento Da Família Serendipity Pela Teoria De Mindlin

7.5 Exemplos De Placa À Flexão

Capítulo 8. Análise de e stabilidade 8.1 Introdução 8.2 Obtenção Da Carga Crítica Em Pilares Via Solução Das Equações Diferenciais 8.3 Método Aproximado De Rayleigh-Ritz Para Cálculo Da Carga Crítica Em Pilares 8.4 MEF Para O Cálculo Da Carga Crítica Em Pilares 8.5 MEF Para Cálculo Da Carga Crítica Em Placa À Flexão 8.6 Exemplos De Análise De Estabilidade Por Elementos Finitos

Capítulo 9. Análise dinâmica de e struturas 9.1 Introdução 9.2 Equação De Equilíbrio Em Análise Dinâmica 9.3 Matriz De Massa Do Elemento De Viga 9.4 Matriz De Massa Do Elemento Triangular CST 9.5 Matriz De Massa Do Elemento Serendipity Quadrilateral De 4 Nós 9.6 Frequências E Modos De Vibração Naturais 9.7 Matrizes De Amortecimento

9.8 Análise Modal De Estruturas Para Vibrações Forçadas 9.9 Análise Dinâmica Por Algoritmo De Integração Direta 9.10 Exemplos De Análise De Vibrações Livres

Capítulo 10. Análise com comportame nto não line ar do mate rial 10.1 Sistema De Equações De Equilíbrio Não Linear 10.2 Solução De Sistemas De Equações Não Lineares 10.3 Exemplo De Aplicação Em Treliça 10.4 Análise Não Linear Detalhada Da Treliça 10.5 Análise Não Linear Alternativa 10.6 Exemplo De Análise Não Linear Da Treliça Com A Formulação Do Item 10.6

Índice de figuras Re fe rê ncias bibliográficas

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Se rviço de Ate ndime nto ao Clie nte 0800-0265340 sac@e lse vie r.com.br ISBN 978-85-352-3929-4 ISBN (ve rsão e le trônica): 978-85-352-6655-9 Nota: Muito ze lo e té cnica foram e mpre gados na e dição de sta obra. No e ntanto, pode m ocorre r e rros de digitação, impre ssão ou dúvida conce itual. Em qualque r das hipóte se s, solicitamos a comunicação ao nosso Se rviço de Ate ndime nto ao Clie nte , para que possamos e sclare ce r ou e ncaminhar a que stão. Ne m a e ditora ne m o autor assume m qualque r re sponsabilidade por e ve ntuais danos ou pe rdas a pe ssoas ou be ns, originados do uso de sta publicação. CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte Sindicato Nacional dos Editore s de Livros, RJ

V495m Vaz, Luiz Eloy Mé todo dos e le me ntos finitos e m análise de e struturas / Luiz Eloy Vaz. – Rio de Jane iro: Else vie r, 2011. Inclui bibliografia

ISBN 978-85-352-3929-4 1. Mé todo dos e le me ntos finitos. 2. Te oria das e struturas. 10-5751 CDD: 620.0015 CDU: 62

Agradecimentos Aos me us pais, Milton e Alice , pe lo amor e carinho. A e le s, o me u re conhe cime nto pe lo e xe mplo, pe la firme orie ntação e por não te re m poupado e sforços para me proporcionar uma boa formação. À minha e sposa Re gina, e nge nhe ira como e u, que e m importante s mome ntos da minha vida profissional não he sitou e m sacrificar te mporariame nte se us e studos e sua carre ira para me acompanhar no doutorado na Ale manha e no pós-doutorado no País de Gale s. Se m sua ge ne rosidade e apoio e ste livro não e xistiria. A e la, minha gratidão e amor. Aos me us me stre s da graduação e pós-graduação. Na graduação da UFRJ, me stre s como os profe ssore s José Luiz Cardoso, Ignacio de Loyola Be ne dicto Ottoni e Be njamin Ernani Dias de spe rtaram me u inte re sse pe la análise e pe lo proje to de e struturas. No me strado da Coppe /UFRJ, os profe ssore s Fe rnando Luis Lobo Carne iro e Fe rnando Ve nâncio Filho aguçaram me u inte re sse pe la pe squisa. Me u agrade cime nto e spe cial ao profe ssor Ve nâncio que me iniciou no Mé todo dos

Ele me ntos Finitos e abriu me us olhos para a sua e norme pote ncialidade . Aos profe ssore s José Olive ira Pe dro, John Argyris e Erne st Hinton, que me re ce be ram, re spe ctivame nte , para um e stágio no Laboratório Nacional de Enge nharia Civil de Lisboa, para o doutorado na Unive rsidade de Stuttgart e para o pós-doutorado na Unive rsidade de Wale s e m Swanse a, minha profunda gratidão. Ele s foram fundame ntais para o me u amadure cime nto acadê mico. Um e spe cial carinho e u guardo pe lo profe ssor Kaspar Willam, da Unive rsidade de Stuttgart, pe la de dicada orie ntação e apoio durante a minha te se de doutorado. Hoje , o profe ssor Kaspar Willam é profe ssor na Unive rsidade de Boulde r, no Colorado. Aos me us cole gas e parce iros e m co-orie ntaçõe s e proje tos de pe squisa. De vido à varie dade dos te mas de me u inte re sse e por te r trabalhado e m trê s importante s unive rsidade s, como a PUC-RJ, a UFRJ e a UFF, e le s são nume rosos e de pe rfil dive rsificado. Não posso de ixar de citar os profe ssore s Eurípe de s do Amaral Vargas Jr., Luiz Fe rnando Martha, Marta de Sousa Lima Ve lasco e Giuse ppe Guimarãe s Barbosa, da PUC-Rio, os profe ssore s Se rgio Hampshire , Claudia Eboli e José He rskovits, da UFRJ, a profe ssora Silvana Maria Bastos Afonso, da UFPE, e , mais re ce nte me nte , o Profe ssor Emil Sanche s, da UFF. Ele s ajudaram a ampliar me us horizonte s ao de spe rtar me u inte re sse por novos te mas de pe squisa. Ao Ivan Me ne ze s, coorde nador de proje tos do Te cgraf PUC-Rio e me u e x-orie ntando de me strado.

Sua cuidadosa le itura dos manuscritos e valiosas suge stõe s o tornam praticame nte um coautor do livro. Ao Paul Ante zana, pe la compe te nte colaboração na e dição do te xto. Aos me us alunos de graduação e pós-graduação e me us orie ntandos de me strado e doutorado. Ele s foram o grande ince ntivo para me u contínuo apre ndizado e cre scime nto acadê mico. Suas dúvidas e que stioname ntos me forçaram a compre e nde r os conce itos com mais profundidade e clare za e a procurar um ape rfe içoame nto didático. A todos os re fe ridos e a muitos outros que não foram citados, me u since ro “muito obrigado”. Espe ro que e ste livro e ste ja à altura da valiosa contribuição de todos. À e ditora Else vie r, e spe cialme nte a André Ge rhard Wolff e Vane ssa Vilas Bôas Hugue nin, pe la confiança de positada no me u trabalho e pe la oportunidade de publicar e sta obra.

Prefácio Este livro surgiu das notas de aulas que pre pare i para a disciplina Método dos Elementos Finitos que ve m se ndo ministrada por mim há ce rca de 10 anos para alunos de graduação da e spe cialidade de e struturas do curso de Enge nharia Civil da Escola Polité cnica da UFRJ. Ao se r indicado para le cionar a disciplina me de pare i com a dificuldade de e scolhe r um livro-te xto. Os mate riais disponíve is propunham-se a se r uma e xce le nte fonte de consulta para que m já conhe cia o mé todo, mas não uma fe rrame nta para iniciar um aluno de Enge nharia que se inte re ssasse pe lo te ma. Algumas ve ze s, e le s usavam conhe cime ntos mate máticos que não e ram do domínio dos alunos de graduação — como cálculo variacional — para apre se ntar o te ma; outras ve ze s, por se re m muito e xte nsos e de talhados, dificultavam a compre e nsão da e ssê ncia do mé todo. Esta obra te m a inte nção de forne ce r ao le itor, se ja e le um aluno de graduação, de pós-graduação ou um e nge nhe iro e m um prime iro contato com o assunto, um

te xto compre e nsíve l para aque le s que tive ram uma formação básica na áre a de análise de e struturas. Por formação básica ne ssa áre a conside ro conhe cime ntos e m análise de e struturas hipe re státicas, re sistê ncia dos mate riais e fundame ntos da te oria da e lasticidade . Alguns conhe cime ntos mate máticos que são tratados nos cursos básicos de Enge nharia, mas, e m ge ral, não com a profundidade ne ce ssária ao e studo do mé todo, como inte gração numé rica, são re vistos no início do livro. Estou conve ncido de que a vasta difusão do uso de computadore s nos proje tos de Enge nharia e a grande disponibilidade de programas come rciais para análise de e struturas pe lo Método dos Elementos Finitos tornam o e nsino do mé todo nos cursos de graduação indispe nsáve l. Este livro pre te nde se r uma e strada me nos sinuosa e íngre me para todos aque le s que pre te ndam e ntrar no unive rso dos e le me ntos finitos.

CAPÍTULO 1

Introdução O Mé todo dos Ele me ntos Finitos (MEF) para a análise de e struturas ganhou proje ção inte rnacional a partir de me ados dos anos cinque nta do sé culo XX com os trabalhos inde pe nde nte s e quase simultâne os do profe ssor John Argyris, que trabalhava no Impe rial Colle ge e m Londre s, e de um grupo de e nge nhe iros da Boe ing lide rados pe lo profe ssor Ray W. Clough. No e ntanto, um trabalho sobre o proble ma de torção de Saint-Ve nant do mate mático ale mão Richard Courant, publicado e m 1943, é conside rado até hoje o pione iro do mé todo. Na é poca e m que foi publicado, e sse trabalho não te ve , todavia, grande re pe rcussão. Talve z e sse fato possa se r atribuído ao pouco ape lo dos mé todos numé ricos e m um mome nto e m que a indústria de computadore s e stava e m fase e mbrionária. Não se pode , contudo, falar do de se nvolvime nto e da divulgação do mé todo se m citar o prof. O. C. Zie nkie wicz que trabalhou de sde 1961 no campus de Swanse a da Unive rsidade do País de Gale s, no Re ino Unido. Se u livro publicado e m 1967, intitulado “The

Finite Ele me nt Me thods for Engine e ring” ficou conhe cido no me io acadê mico como “The Book”. O livro criou uma le gião de se guidore s do mé todo e m todo o mundo. No Brasil, a prime ira te se sobre o MEF foi de fe ndida na Coppe -UFRJ, e m 1970. Ela foi apre se ntada pe lo e nge nhe iro Alce bíade s Vasconce los e foi de se nvolvida e m parte no Laboratório de Enge nharia Civil de Lisboa. Alce bíade s de se nvolve u um programa para a análise de e struturas de e stado plano com o uso do e le me nto triangular CST, re solve u alguns proble mas a cuja solução se che ga por me io da Te oria da Elasticidade e comparou os re sultados obtidos pe lo programa com os forne cidos pe la Te oria da Elasticidade . O prime iro curso sobre o mé todo foi ministrado també m na Coppe -UFRJ pe lo profe ssor Fe rnando Ve nâncio Filho e m 1971. O MEF foi um de se nvolvime nto natural da formulação e m de slocame ntos da análise matricial de e struturas re ticuladas impulsionado pe lo cre scime nto do uso de computadore s nas unive rsidade s, ce ntros de pe squisa e na grande indústria. A se me lhança e ntre os dois mé todos consiste no uso comum dos conce itos de matriz de rigide z de e le me nto, montage m (assembly, e m inglê s) da matriz de rigide z da e strutura a partir da contribuição das matrize s de rigide z dos e le me ntos e do conce ito de cargas e quivale nte s nodais. O MEF distingue -se do se u pre cursor pe la sua maior ge ne ralidade e por suas raíze s nos mé todos de e ne rgia e nos mé todos aproximados. A análise matricial de

e struturas re ticuladas siste matizou o mé todo clássico dos de slocame ntos e unificou a me todologia para a análise de dife re nte s tipos de e struturas re ticuladas, tais como tre liças planas e e spaciais, vigas e gre lhas e pórticos planos e e spaciais. O MEF, poré m, foi be m mais alé m, e le pode se r usado para se formular tanto proble mas de análise de e struturas re ticuladas, como també m de e struturas contínuas bi e tridime nsionais. Sua ge ne ralidade não parou por aí, sua aplicação, que se iniciou e m análise e stática de e struturas de comportame nto line ar e lástico, foi e ste ndida à análise e stática de e struturas com não line aridade física e ge omé trica e à análise dinâmica de e struturas. Ele també m saiu da e sfe ra da análise de e struturas e pe ne trou e m outras áre as, como a e nge nharia ge oté cnica, a inte ração fluido-me cânica e as análise s de fluxo té rmico e hidráulico. Na áre a de análise de e struturas, a formulação do MEF pode se r fe ita a partir do Princípio da Mínima Ene rgia Pote ncial Total, do Mé todo de Re síduos Ponde rados ou do Princípio dos De slocame ntos Virtuais. Ele usa os conce itos de “discre tização” do contínuo e de “matriz de inte rpolação” que forne ce os de slocame ntos e m um ponto no inte rior do e le me nto e m função de se us de slocame ntos nodais. O te rmo discre tização se re fe re a um mode lo com um núme ro finito (discrete, e m inglê s) de incógnitas (de slocame ntos nos nós do mode lo) para a análise de me ios contínuos e m contraposição a uma análise com um núme ro infinito de variáve is como as fe itas pe la Te oria da

Elasticidade que usam funçõe s contínuas, ou se ja, com infinitas incógnitas como solução. Hoje e m dia, e xiste m inúme ros programas come rciais altame nte sofisticados que faze m os mais dive rsos tipos de análise pe lo Mé todo dos Ele me ntos Finitos, tais como o SAP, o Ansys, o Abaqus, o Nastran e tc. No De partame nto de Me cânica Aplicada e Estruturas da Escola Polité cnica da UFRJ, e stá e m de se nvolvime nto o siste ma Salt sob a coorde nação do profe ssor Silvio de Souza Lima. O programa te m sido largame nte utilizado na e laboração de dive rsos trabalhos de fim de curso de alunos do de partame nto. No Te cgraf, na PUC-Rio, há o siste ma Mtool com ge rador automático de malhas. Em minha opinião, a difusão do uso do MEF nas e mpre sas e unive rsidade s tornou obrigatória a introdução de um curso sobre o mé todo nas disciplinas de graduação e m e nge nharias civil, me cânica, naval e ae ronáutica. Este livro te m como obje tivo se rvir de base para a disciplina “Introdução ao Mé todo dos Ele me ntos Finitos” que se ria ministrada e m um curso de graduação e m Enge nharia Civil na ê nfase de Estruturas. O mate rial é ade quado para um curso de 16 se manas com 3 horas se manais. O Capítulo 2 faz uma re visão aprofundada de alguns fundame ntos mate máticos já vistos no ciclo básico de Enge nharia ne ce ssários ao longo do curso, como inte gração numé rica. O Capítulo 3 mostra a e volução do Mé todo dos

De slocame ntos, de sde as formulaçõe s clássicas para e struturas re ticuladas até o MEF, visto como uma e volução do Mé todo de Rayle igh-Ritz. O Capítulo 4 trata das formulaçõe s do mé todo para a análise de e struturas planas, apre se ntando as formulaçõe s do e le me nto CST, de e le me ntos das famílias Se re ndipity e de Lagrange . O Capítulo 5 apre se nta formulaçõe s do mé todo para análise de sólidos axissimé tricos ou sólidos de re volução, mostrando as formulaçõe s de alguns e le me ntos, como o Triangular de trê s nós e e le me ntos da família Se re ndipity. O Capítulo 6 aborda formulaçõe s do mé todo para análise de sólidos tridime nsionais, de se nvolve ndo as formulaçõe s de alguns e le me ntos, como o e le me nto te trae dro e o he xae dro. No Capítulo 7, são e studados e le me ntos para a análise de placas à fle xão, como o e le me nto re tangular, base ado na Te oria de Kirchhoff, próprio para a análise de placas de lgadas e os e le me ntos da família Se re ndipity, base ados na Te oria de Mindlin e apropriados à análise de placas e spe ssas. O Capítulo 8 trata do proble ma do cálculo do fator de carga crítica e m e struturas. Formulaçõe s da matriz de rigide z ge omé trica são apre se ntadas para e struturas de pórticos planos e de placas, assim como e xe mplos numé ricos. O Capítulo 9 conte mpla o e studo de análise dinâmica e m e struturas. É apre se ntada a formulação para se obte r as fre quê ncias e os modos próprios de e struturas

e m vibraçõe s livre s a partir da matriz de rigide z e da matriz de massa consiste nte para alguns e le me ntos finitos. A obte nção da matriz de amorte cime nto també m é tratada. Finalme nte , são e studadas a análise modal e a análise por algoritmo de inte gração dire ta de Ne wmark de e struturas subme tidas a vibraçõe s forçadas. Exe mplos re fe re nte s a todos os ite ns são apre se ntados. O Capítulo 10 aborda a análise de e struturas com comportame nto não line ar do mate rial. O conce ito de matriz de rigide z tange nte é apre se ntado e um e xe mplo é re solvido com o uso do Mé todo de Ne wtonRaphson. Espe ro com e sse te xto facilitar o apre ndizado de sse apaixonante e re volucionário te ma que é o Mé todo dos Ele me ntos Finitos. Prof. Luiz Eloy Vaz

Profe ssor titular e m Análise de Estruturas pe la UFRJ até 2008 Profe ssor adjunto da UFF a partir de 2009

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CAPÍTULO 3

A evolução do método dos deslocamentos O Mé todo dos Ele me ntos Finitos (MEF) tratado ne ste livro pe rte nce à família do Mé todo dos De slocame ntos ou Mé todo da Rigide z onde de slocame ntos são e scolhidos como incógnitas. Todos os me mbros de ssa família se caracte rizam por te r como e quação fundame ntal a e quação de e quilíbrio cujas incógnitas são de slocame ntos ge ne ralizados. Ente nde m-se aqui por de slocame ntos ge ne ralizados, grande zas cine máticas, tais como, de slocame ntos line are s, rotaçõe s e tc. Os me mbros de ssa família formam uma árvore ge ne alógica, com novos mé todos ge rados a partir dos mé todos mais antigos. De ce rta mane ira, a e volução do mé todo ao longo do te mpo se gue as le is da e volução de Darwin, com mutação e se le ção. Os novos me mbros da família de sse s mé todos he rdam as caracte rísticas de se us ante ce ssore s, mas sofre m pe que nas mudanças que só são be m suce didas se fore m be m adaptadas às condiçõe s e xiste nte s. Um

e xe mplo disso é que a Análise Matricial de Estruturas (AME) e o MEF só tive ram larga ace itação quando os computadore s atingiram uma fase de e le vado grau de de se nvolvime nto, ape sar de e ste último te r surgido ante s de ssa fase . Este capítulo procura mostrar como se de u a e volução do Mé todo dos De slocame ntos, de sde as prime iras formulaçõe s até o MEF. É surpre e nde nte ve rificar como as mudanças conce ituais são pe que nas e m comparação ao e norme cre scime nto do pote ncial do mé todo.

3.1 Método básico A análise de e struturas usa trê s e quaçõe s básicas, nome adame nte e quaçõe s de compatibilidade , de e quilíbrio e constitutivas, també m chamadas de re lação te nsão-de formação. O mé todo dos de slocame ntos caracte riza-se por usar a e quação de e quilíbrio como e quação fundame ntal, ou se ja, aque la de onde são obtidas as incógnitas primárias do proble ma, a partir das quais, todas as outras re spostas se rão obtidas. As incógnitas primárias são os de slocame ntos por me io dos quais é possíve l obte r de formaçõe s, te nsõe s, re sultante s de te nsõe s e tc. O mé todo básico da família do mé todo dos de slocame ntos consiste e m manipular as trê s e quaçõe s básicas da análise de e struturas de modo a colocar todas as informaçõe s disponíve is nas e quaçõe s

de e quilíbrio com de slocame ntos livre s como incógnitas. O núme ro de de slocame ntos livre s é chamado de grau de libe rdade da e strutura. Ne ste ite m e e m outros que se gue m, a e strutura apre se ntada na Figura 3.1 é utilizada para ilustrar a re solução do mé todo. Trata-se de uma tre liça plana simple s com quatro barras e dois graus de libe rdade , os de slocame ntos horizontal e ve rtical do nó C.

FIGURA 3.1

As

Treliça com 2 graus de liberdade.

e quaçõe s

de

compatibilidade

re lacionam

grande zas cine máticas, ne sse caso os de slocame ntos nodais livre s d1 e d2 na dire ção horizontal e ve rtical com alongame ntos/e ncurtame ntos δi das barras i. Os de slocame ntos são supostos positivos com os se ntidos indicados na Figura 3.1. Os alongame ntos se rão conside rados positivos e os e ncurtame ntos ne gativos. As e xpre ssõe s para osδi das quatro barras são obtidas proje tando-se os de slocame ntos nodais nas dire çõe s das barras, assim:

(3.1)

A se gunda e quação de compatibilidade re laciona os alongame ntos/e ncurtame ntos das barrasδi com as de formaçõe s longitudinais εi. Da re sistê ncia dos mate riais:

(3.2) Como os comprime ntos das barras são:

(3.3)

Che ga-se a:

Para e fe ito de simplificação, a le i constitutiva (3.4) usada ne sse trabalho se rá a le i de Hooke , Assim, para cada barra, i vale :

(3.5) Ou, e m te rmos de e sforços normais Ni,

(3.6) Onde E é o módulo de e lasticidade do mate rial, A, a áre a de se ção transve rsal (as duas grande zas

supostas constante s para todas as barras), Ni o e sforço normal e Li o comprime nto da barra i. Substituindo-se para cada barra i, δi dado e m (3.1) e m (3.6), obté m-se :

(3.7)

As e quaçõe s de e quilíbrio são obtidas para as dire çõe s horizontal e ve rtical no nó C. Os se ntidos das forças axiais Ni que atuam nas barras i, são admitidos a princípio como de tração. Para se e scre ve r as e quaçõe s de e quilíbrio, vale m, no e ntanto, os se ntidos indicados na Figura 3.2.

FIGURA 3.2

Equilíbrio do nó C.

As e quaçõe s de e quilíbrio são: Na dire ção horizontal:

Na dire ção ve rtical:

(3.8)

Substituindo-se as e xpre ssõe s (3.7) e m (3.9) e manipulando-as, obté m-se :

(3.9)

A e xpre ssão (3.10) é a e quação (3.10) fundame ntal do mé todo dos de slocame ntos para a análise da tre liça plana da Figura 3.1. Matricialme nte , e la pode se r re e scrita como:

Cuja solução é :

(3.11)

(3.12) Com os de slocame ntos d1 e d2 é possíve l obte r agora todas as re spostas da e strutura e m te rmos de alongame nto/e ncurtame nto, na e xpre ssão (3.1), de formaçõe s, e m (3.4), te nsõe s, e m (3.5), e e sforços normais Ni, e m (3.7). Tais valore s e stão indicados a se guir:

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

3.2 Método clássico O mé todo clássico é e sse ncialme nte o me smo que o mé todo básico. Sua contribuição foi no se ntido de siste matizar, ou se ja, organizar, ou ainda criar uma me todologia que possa se r aplicada da me sma forma a todas as e struturas. O mé todo usa os conce itos de e stados auxiliare s e de supe rposição de e fe itos. Inicialme nte , de ve m-se ide ntificar os graus de libe rdade da e strutura. Em se guida, um e stado auxiliar j é criado para cada grau de libe rdade impondo-se um valor unitário para o grau de libe rdade dj, e nquanto os outros são mantidos nulos.

Re sultante s das forças inte rnas re siste nte s que atuam nas barras apare ce m nas dire çõe s dos graus de libe rdade . A força inte rna na dire ção i de vido ao de slocame nto unitário na dire ção do grau de libe rdade dj é chamada de coe ficie nte de rigide z k ij. Alé m disso, um e stado auxiliar 0 é criado para as cargas atuante s com todos os graus de libe rdade mantidos fixos. As forças re sultante s que atuam nos nós na dire ção do grau de libe rdade dj ne sse e stado são de nominadas cargas nodais fj. Como os e stados auxiliare s não são autoe quilibrados o e quilíbrio é conse guido com a supe rposição de e fe itos. Assim, somando-se os produtos das forças inte rnas re sultante s (nas dire çõe s dos graus de libe rdade ) corre sponde nte s a cada e stado auxiliar j por dj, a soma de ve se r igual às forças aplicadas (nas dire çõe s dos graus de libe rdade ) no e stado auxiliar 0. Em te rmos físicos, isso significa que os de slocame ntos que surge m na dire ção dos graus de libe rdade dj de ve m se r tais que as forças inte rnas e quilibre m as forças aplicadas. A aplicação das ide ias de scritas no e xe mplo do ite m 3.1 ajuda a e sclare ce r o mé todo. Estado auxiliar 1, d1 = 1.

FIGURA 3.3 treliça.

Termos k11 e k21 da matriz de rigidez da

Estado auxiliar 2, d2 = 1.

FIGURA 3.4 treliça.

Termos k21 e k22 da matriz de rigidez da

Para se obte r os coe ficie nte s k ij (força inte rna re sultante na dire ção i de vida a um de slocame nto unitário na dire ção j) proce de -se da se guinte mane ira: inicialme nte , calculam-se os alongame ntos/e ncurtame ntos das barras dij (alongame nto/e ncurtame nto na barra i de vido a um de slocame nto unitário na dire ção do grau de libe rdade dj) de forma análoga ao que foi fe ito para se obte r os

alongame ntos/e ncurtame ntos e m (3.1). Para o e stado auxiliar 1.

(3.17)

Para o e stado auxiliar 2.

(3.18)

Utilizando-se a re lação constitutiva é possíve l calcular os e sforços normais nas barras Nij (e sforço normal na barra i de vido a um de slocame nto unitário na dire ção do grau de libe rdade dj) com uma e xpre ssão análoga a (3.6).

(3.19) Assim: Para o e stado auxiliar 1.

(3.20)

Para o e stado auxiliar 2.

(3.21)

Os coe ficie nte s de rigide z k ij (e sforço na dire ção i para um de slocame nto unitário na dire ção j) são calculados utilizando-se as e quaçõe s de e quilíbrio no nó C. Assim, das e quaçõe s de e quilíbrio na dire ção horizontal e ve rtical da Figura 3.5, da corre sponde nte a d1 = 1 obté m-se , re spe ctivame nte , os coe ficie nte s k 11 e k 21. Para o e stado auxiliar 1, Figura 3.5a.

(3.22)

Para o e stado auxiliar 2, Figura 3.5b.

(3.23)

O e stado auxiliar 0, forne ce :

(3.24)

FIGURA 3.5

Forças no nó C para d 1 = 1 e d 2 = 1.

A supe rposição de e fe itos, que de ve garantir o e quilíbrio das forças re siste nte s e aplicadas, pode agora se r e scrita como:

(3.25) ou com os valore s da e strutura se ndo analisada:

A e xpre ssão (3.26) é idê ntica à e xpre ssão (3.26) (3.11), como não pode ria de ixar de se r. De sse modo, as re spostas das e struturas obtidas pe lo mé todo básico dadas pe las e xpre ssõe s de (3.12) a (3.16) se rão as me smas.

3.3 Método da análise matricial 3.3.1 Formulação Da Análise Matricial A análise matricial de e struturas re ticuladas siste matizou as ope raçõe s mate máticas da análise de e struturas faze ndo uso da álge bra matricial que ope ra com ve tore s e matrize s. Ela introduziu dive rsos conce itos novos na análise de e struturas. Toda a siste matização se base ia na ide ia de siste ma local e siste ma global de coorde nadas. Com e sse conce ito de finido, é possíve l e stabe le ce r matrize s de rigide z de

e le me nto nos siste mas local e global, assim como ve tore s de forças nodais de e le me nto nos siste mas local e global. A partir das contribuiçõe s das matrize s de rigide z e dos ve tore s de forças nodais de e le me nto no siste ma global, pode -se montar a matriz de rigide z be m como o ve tor de forças nodais da e strutura. De slocame ntos nodais també m são de finidos nos siste mas local e global. Uma e quação de e quilíbrio da e strutura no siste ma global forne ce os de slocame ntos nodais. Uma ve z obtidos os de slocame ntos nodais da e strutura, as forças atuante s nas e xtre midade s dos e le me ntos pode m se r de te rminadas. O siste ma local de coorde nada é de finido quando se e scolhe os nós inicial e final do e le me nto. Na Figura 3.6, os nós 1 e 2 são, re spe ctivame nte , o nó inicial e o nó final do e le me nto ou barra. O e ixo x local fica e ntão de finido na dire ção da barra e com se ntido positivo de 1 para 2. O e ixo y é pe rpe ndicular a x, com o ve tor do se ntido positivo faze ndo 90 graus a partir de x no se ntido anti-horário. O siste ma global dado pe los e ixos X e Y é de finido usualme nte da se guinte mane ira: X te m dire ção horizontal e se ntido positivo da e sque rda para a dire ita, e Y te m dire ção ve rtical e se ntido positivo de baixo para cima. O siste ma global não é obrigatoriame nte o de finido ante riorme nte , pode ndo se r e scolhido outro que se ja mais conve nie nte .

FIGURA 3.6 local.

Graus de liberdade no sistema global e

A e strutura de tre liça plana tratada até aqui te m dois graus de libe rdade por nó. Ao nó 1 são associados os de slocame ntos 1 e 2 e ao nó 2, os de slocame ntos 3 e 4. A Figura 3.6 indica os se ntidos positivos dos 4 compone nte s do ve tor de de slocame ntos dl, no siste ma local, e dg, no siste ma global. O ângulo a de fine a rotação do e ixo da barra e m re lação ao siste ma global. Associados aos ve tore s de de slocame ntos, são criados també m os ve tore s de forças nodais f l, no siste ma local, e f g, no siste ma global. Os ve tore s dos de slocame ntos de e le me nto no

siste ma local dl e global dg pode m se r re lacionados pe la matriz de rotação R, como indicado a se guir:

Ou, sucintame nte :

(3.27)

(3.28) Como o trabalho é um e scalar que inde pe nde do siste ma de coorde nadas, e le de ve se r o me smo nos siste mas local e global.

(3.29) (3.30) Substituindo (3.28) e m (3.30), obté m-se :

(3.31)

(3.32) As e xpre ssõe s (3.28) e ((3.32)) formam o princípio da contragradiê ncia que pode se r e nunciado como: “Se uma matriz transforma de slocame ntos globais e m locais, sua transposta transforma forças locais e m globais.” A matriz de rigide z do e le me nto de tre liça plana no siste ma local para o e le me nto m, Kl,m é dada e m (3.33). Ela é obtida da de finição dos coe ficie nte s de rigide z k l,m(ij). O coe ficie nte k l,m(ij) significa a força na dire ção do de slocame nto local i para um de slocame nto unitário aplicado na dire ção do de slocame nto local j, mante ndo os outros de slocame ntos locais nulos.

(3.33)

Onde Em é o módulo de e lasticidade do mate rial, Am a áre a da se ção transve rsal e Lm o comprime nto da barra

m. A e quação de e quilíbrio da barra que re laciona de slocame ntos, forças e a matriz de rigide z no siste ma local de coorde nadas é dada por:

Ou, sucintame nte :

(3.34)

(3.35) A matriz de rigide z do e le me nto m no siste ma global de coorde nadas pode se r obtida como e xplicado a se guir. Substituindo-se (3.28) e m ((3.35)), obté m-se :

(3.36) Pré -multiplicando-se ambos os lados de (3.36) por , che ga-se a:

(3.37) Usando (3.32), obté m-se :

(3.38) Onde ,

(3.39) A partir da matriz de rigide z e das forças nodais de cada e le me nto k no siste ma global é fe ita e ntão a montage m da matriz de rigide z K e das forças nodais f globais da e strutura e m função da cone xão e ntre os e le me ntos (incidê ncia), obte ndo-se a e quação de e quilíbrio global da e strutura.

(3.40) Se ndo d os de slocame ntos da e strutura no siste ma global de coorde nadas. Uma ve z obtido d, é possíve l calcular os de slocame ntos nodais de cada e le me nto no siste ma global local

e girar e sse s de slocame ntos para o siste ma via (3.28) e calcular as forças de e xtre midade

finais e m cada e le me nto no siste ma local

via (3.35).

3.3.2 Aplicação Da Análise Matricial A aplicação das ide ias de scritas no e xe mplo do ite m 3.1 ajuda a e sclare ce r o mé todo. A tre liça plana e studada ne sse ite m é re produzida mais uma ve z na Figura 3.7.

FIGURA 3.7

Treliça plana com 2 graus de liberdade.

O se ntido positivo do e ixo local x das barras é de finido como: Barra 1: do nó A para o nó C; Barra 2: do nó B para o nó C; Barra 3: do nó D para o nó C; Barra 4: do nó E para o nó C (Figura 3.8).

FIGURA 3.8 barras.

Sistemas de coordenadas locais das

Os comprime ntos Lm da barra m são: e . As matrize s Rm das quatro barras são:

,

Usando a e xpre ssão (3.39) para se obte r as (3.41) matrize s de rigide z de e le me nto no siste ma global e

somando ape nas os te rmos re fe re nte s às duas últimas linhas e colunas de cada matriz (isso se e xplica porque os nós iniciais de todas as barras e stão vinculados e , portanto se us de slocame ntos são nulos), obté m-se a matriz de rigide z da e strutura no siste ma global K re lativa aos dois graus de libe rdade do nó C, dada e m (3.42). A e quação de e quilíbrio da e strutura é a me sma já obtida e m (3.26), o que conduz aos me smos re sultados.

(3.42)

3.4 Método de Castigliano O Mé todo de Castigliano é assim chamdo e m home nage m ao se gundo te ore ma de Carlo Albe rto Castigliano, que , e m 1873, de monstrou que a de rivada da e ne rgia de de formação de uma e strutura e m re lação ao de slocame nto di é igual a força e xte rna da e strutura na me sma dire ção. A de monstração foi fe ita

para e struturas com comportame nto line ar e lástico, mas e la é válida també m para mate riais e lásticos não line are s. Ne sse ite m, a de monstração se rá e ste ndida a e struturas de mate rial e lástico não line ar. Esse te ore ma re pre se ntou um importante passo no de se nvolvime nto da análise de e struturas porque e le mostrou um novo caminho, base ado e m te ore mas de e ne rgia, para se formular um mé todo para análise de e struturas. Esse caminho le vou ao MEF.

3.4.1 Energia De Deformação Para e fe ito de simplificação, a apre se ntação do Se gundo Te ore ma de Castigliano se rá fe ita aqui para o caso particular de uma e strutura de tre liça. Ne sse tipo de e strutura, some nte uma compone nte de de formação e de te nsão atua no e le me nto de barra, nome adame nte , a de formação e a te nsão normal longitudinal, ou se ja, trata-se de um proble ma unidime nsional para e fe ito da re lação te nsão x de formação. Se ja a re lação te nsão x de formação apre se ntada na Figura 3.9. A solicitação e xte rna le vou a te nsão atuante até o valor final que corre sponde à de formação final na barra m da tre liça.

FIGURA 3.9 barra m.

Energia de deformação específica U0 da

A e ne rgia de de formação e spe cífica é de finida como:

na barra m

(3.43) O adje tivo “e spe cífica” de ve -se ao fato de se r, e m te rmos de unidade s, trabalho por unidade de volume .

A e ne rgia de de formação da barra m, um, é obtida inte grando-se no volume da barra.

(3.44) Para se obte r a e ne rgia de de formação U re lativa a toda a tre liça, somam-se os Um de todas as barras, de 1 a nb, onde nb é o núme ro de barras da e strutura.

(3.45) Onde é a de formação final da barra m. Como a de formação final da barra, de pe nde do alongame nto/e ncurtame nto longitudinal final da barra , como e xpre sso e m (3.2), que , por sua ve z, de pe nde dos de slocame ntos nodais finais das e xtre midade s da barra no siste ma global de coorde nadas como e xe mplificado e m (3.4), a e xpre ssão (3.45) pode se r re e scrita como:

(3.46)

Onde n é o núme ro de graus de libe rdade da e strutura de tre liça. A e ne rgia de de formação da e strutura corre sponde fisicame nte à e ne rgia armaze nada na e strutura quando e la se de forma, caso não haja pe rda de e ne rgia, ou se ja, para um siste ma conse rvativo. Essa e ne rgia é re sponsáve l pe la volta da e strutura a sua configuração inicial, ante s da aplicação das cargas, quando e stas são re tiradas da e strutura.

3.4.2 Trabalho Externo O trabalho e xte rno total W e m uma e strutura de tre liça plana pode se r obtido somando-se os trabalhos e xte rnos W i re fe re nte s aos graus de libe rdade i da e strutura.

Onde n, como ante riorme nte , é o núme ro (3.47) de graus de libe rdade da e strutura. A Figura 3.10 e sclare ce .

FIGURA 3.10 liberdade i.

Trabalho externo associado ao grau de

3.4.3 Segundo Teorema De Castigliano Substituindo doravante a notação do de slocame nto final por d para e fe ito de simplificação, a e ne rgia de de formação (3.46) e o trabalho e xte rno (3.47) e m uma e strutura de tre liça plana, como visto nos ite ns 3.4.1 e 3.4.2, pode m se r e scritos como uma função do ve tor dos de slocame ntos nodais finais da e strutura no siste ma global de coorde nadas d com n compone nte s. Expandindo-se W(d) e m sé rie de Taylor até o te rmo de prime ira orde m, é possíve l e xpre ssar o incre me nto

de W(d) como:

(3.48)

Proce de ndo-se da me sma mane ira para U(d), obté m-se :

(3.49)

(3.50)

Pe lo princípio da conse rvação de e ne rgia (3.51) e m siste mas conse rvativos, todo trabalho e xte rno re alizado é armaze nado na e strutura e m te rmos de e ne rgia de de formação. Assim, o incre me nto de trabalho e xte rno é igual ao incre me nto de e ne rgia de

de formação, logo:

(3.52) Ou se ja,

(3.53) Ou, ainda, para uma variação arbitrária δd,

(3.54) O te ore ma da inte gral de Ne wton diz que :

(3.55) Logo, utilizando-se e sse te ore ma, pode -se e scre ve r:

Onde , como foi re de finido no início de sse (3.56) ite m, di e m (3.56) é o valor final da variáve l de slocame nto nodal ui e f i é a força final associada ao de slocame nto di. Com o uso de (3.54) e (3.56), obté m-se finalme nte a e xpre ssão do Se gundo Te ore ma de Castigliano:

(3.57) Ou, grupando-se todas as e quaçõe s (3.59) corre sponde nte s aos n graus de libe rdade e m uma só e quação:

(3.58) Obse rva-se que o te rmo à e sque rda da e xpre ssão (3.58) corre sponde ao ve tor das forças inte rnas re siste nte s, doravante de nominado f r(d), e o te rmo à dire ita, corre sponde ao ve tor das forças solicitante s, doravante de nominado f s.

(3.59) A e xpre ssão (3.59) forne ce um mé todo de análise de e struturas de nominado Mé todo de Castigliano. A e xpre ssão forne ce n e quaçõe s que pe rmite m obte r as n incógnitas do proble ma, ou se ja, os n de slocame ntos nodais di, i = 1, ..., n. Se a e strutura tive r um comportame nto line ar, as e quaçõe s (3.59) forne ce m um siste ma de n e quaçõe s algé bricas line are s, caso o comportame nto se ja não line ar, n e quaçõe s não line are s são obtidas. O siste ma de n e quaçõe s não line are s pode se r re solvido, por e xe mplo, pe lo mé todo de Ne wton-Raphson para se obte r as n incógnitas do proble ma, ou se ja, os n de slocame ntos nodais di, i = 1, ..., n. A aplicação do mé todo na análise da tre liça plana da Figura 3.1 ajuda a e sclare ce r as e xpre ssõe s de scritas ante riorme nte .

3.4.4 Aplicação Do Método De Castigliano A le i de Hooke para mate riais line ar-e lásticos pe rmite e scre ve r:

(3.60) A e ne rgia de de formação e spe cífica U0 pode se r

e scrita e m função da de formação final da barra m. Empre gando-se novame nte a notação para re pre se ntar o valor final da grande za εm, che ga-se a:

A e ne rgia de de formação Um para a barra m vale :

(3.61)

Usando as e quaçõe s de compatibilidade (3.62) para a tre liça da Figura 3.1 de scritas e m (3.1) e abandonando mais uma ve z, para e fe ito de simplificação, o sobre scrito – para re pre se ntar valore s finais das variáve is, obté m-se :

(3.63)

E as e xpre ssõe s dos comprime ntos das barras dadas e m (3.3), pode m-se e scre ve r:

(3.64)

(3.65)

(3.66)

Usando-se (3.46) para se obte r a e ne rgia de de formação total da e strutura, obté m-se :

Aplicando-se agora a e xpre ssão (3.57) do Se gundo Te ore ma de Castigliano, obté m-se :

(3.67)

(3.68)

(3.69)

Ou, ainda,

(3.70)

Que é idê ntica a (3.26).

(3.71)

3.5 Princípio dos deslocamentos virtuais 3.5.1 Incrementos Da Energia De Deformação O princípio dos trabalhos virtuais se rá de monstrado ne ste ite m para e struturas de tre liça. Uma barra de tre liça m é carre gada até que a de formação final se ja atingida como indicado na Figura 3.11. A te nsão atuante corre sponde nte é ( ). A e ne rgia de de formação e spe cífica produzida na barra é . Imagine agora que um incre me nto de te nsão δσm se ja aplicado à barra a partir de . Um incre me nto de de formação δεm corre sponde nte ocorre na barra.

FIGURA 3.11 Incremento de energia de deformação específica DU0,m da barra m.

O incre me nto total da e ne rgia de de formação e spe cífica Δ corre sponde nte à aplicação de δσm pode se r e scrito como:

ou,

(3.72)

onde

(3.73)

(3.74) (3.75) Os te rmos e são de nominados incre me nto de prime ira e de se gunda orde m de , re spe ctivame nte . O te rmo de prime ira orde m corre sponde à áre a do re tângulo ve rtical hachurado re pre se ntado na Figura 3.11. O te rmo de se gunda orde m corre sponde à áre a do triângulo maior na me sma figura. A áre a e m cinza corre sponde ao e rro come tido no cálculo do incre me nto total erro . Como a e ne rgia de de formação da barra m da tre liça Um é obtida pe la inte gração no volume da barra da e ne rgia de de formação e spe cífica, obté m-se :

(3.76)

Logo,

ou

(3.77)

onde

(3.78)

(3.79)

(3.80) A e ne rgia de de formação de toda e strutura com m barras pode se r obtida somando-se a e ne rgia de de formação de todas as barras, assim:

(3.81) Logo,

ou

(3.82)

(3.83) onde

(3.84)

(3.85) As e xpre ssõe s (3.84) e (3.85) pode m se r ge ne ralizadas para o caso e m que há várias compone nte s de te nsão, por e xe mplo, σx, σy e τxy, e de de formação, por e xe mplo, εx, εy e γxy atuando e m um

e le me nto infinite simal do e le me nto m da e strutura com n e le me ntos. Ne sse caso pode -se e scre ve r:

(3.86)

(3.87) Onde σm, δσm e δεm re pre se ntam, re spe ctivame nte , os ve tore s das compone nte s de te nsão atuante s, dos incre me ntos das compone nte s de te nsão atuante s e dos incre me ntos das compone nte s de de formação no e le me nto m.

3.5.2 Incrementos Do Trabalho Externo Os incre me ntos do trabalho e xte rno pode m se r obtidos pe lo raciocínio análogo ao de se nvolvido no ite m ante rior para a e ne rgia de de formação. Uma força é aplicada e m um dado grau de libe rdade i até produzir um de slocame nto final re pre se ntado na Figura 3.12. A força

como atuante

corre sponde nte

e xte rno

à

é

. O

trabalho

produzido corre sponde nte ao grau de libe rdade i é W i. Imagine agora que um incre me nto de força δf i é aplicado à força . Um incre me nto de de slocame nto δdi ocorre no grau de libe rdade corre sponde nte .

FIGURA 3.12

Incremento de trabalho externo DWi.

O incre me nto total do trabalho e xte rno ΔW i corre sponde nte à aplicação de δf i no grau de libe rdade i pode se r e scrito como:

ou

(3.88)

(3.89) onde

(3.90) (3.91) Os te rmos e são de nominados re spe ctivame nte incre me nto de prime ira e de se gunda orde m de W i. O te rmo de prime ira orde m corre sponde à áre a do re tângulo ve rtical hachurado re pre se ntado na Figura 3.12. O te rmo de se gunda orde m corre sponde à áre a do triângulo maior na me sma figura. A áre a e m cinza corre sponde ao e rro come tido no cálculo do incre me nto total erroW i. O trabalho e xte rno corre sponde nte a toda a tre liça

com n graus de libe rdade pode se r obtido somando-se o trabalho e xte rno de todos os graus de libe rdade , assim:

(3.92) Logo,

ou, ainda,

(3.93)

(3.94) onde ,

(3.95) (3.96) As e xpre ssõe s (3.95) e (3.96) pode m se r e scritas

usando-se ve tore s:

(3.97) (3.98) Onde , δd e δf re pre se ntam, re spe ctivame nte , os ve tore s das forças solicitante s nodais finais, dos incre me ntos dos de slocame ntos nodais e dos incre me ntos das forças nodais.

3.5.3 Formulação Do Princípio Dos Deslocamentos Virtuais O princípio dos de slocame ntos virtuais base ia-se no princípio de conse rvação de e ne rgia. Se u e nunciado é o se guinte : “Para toda e strutura, o incre me nto de prime ira orde m da e ne rgia de de formação é igual ao incre me nto de prime ira orde m do trabalho e xte rno.” A aplicação do princípio não se limita a siste mas conse rvativos. Mate maticame nte , e le pode se r e xpre sso por:

(3.99) Para o caso ge ral e m que há várias compone nte s de te nsão e de formação atuando e m um e le me nto infinite simal de um e le me nto m de uma e strutura com n e le me ntos, a e xpre ssão (3.99) pode se r e scrita como:

(3.100) As grande zas δε m e δd e m (3.100) são cine máticas, virtuais e compatíve is e nquanto que as grande zas e são ditas e státicas, re ais e e m e quilíbrio. O te rmo virtual é sinônimo de pote ncial, ou se ja, pode vir a aconte ce r, não re al. As grande zas δε m e δd e stão re lacionadas por e quaçõe s de compatibilidade já que as compone nte s de δd produze m as compone nte s de δε m. As grande zas re ais e e stão re lacionadas por e quaçõe s de e quilíbrio já que as te nsõe s re ais são produzidas pe las forças re ais

.

3.5.4 Exemplo Da Aplicação Do Princípio Dos Deslocamentos Virtuais Inicialme nte se rão de duzidas as e quaçõe s de compatibilidade e ntre as de formaçõe s virtuais δεm das

barras m e os de slocame ntos virtuais nodais δdi dos graus de libe rdade i. As e xpre ssõe s são análogas às e xpre ssõe s (3.4), substituindo-se as grande zas re ais por grande zas virtuais.

As te nsõe s re ais são e xpre ssas e m (3.101) função dos de slocame ntos re ais. Elas pode m se r obtidas por me io de novas e xpre ssõe s (3.4) multiplicadas pe lo modo de e lasticidade E para transformar de formação e m te nsão pe la le i de Hooke .

Substituindo (3.101) e (3.102) na e xpre ssão (3.102) (3.100) e inte grando-se no volume de cada barra, ou se ja, multiplicando-se por A Lm, pois as te nsõe s são constante s no volume de cada barra m, e conside rando que o te rmo à dire ita e m (3.100) vale P δd1, che ga-se a:

Como δd1 e δd2 são arbitrários, de ve -se te r:

(3.103)

(3.104) (3.105) Ou, matricialme nte ,

que é , de novo, a me sma e xpre ssão (3.26) (3.106) que conduz aos me smos re sultados ante riore s e m te rmos de de slocame ntos nodais di nos graus de libe rdade i e de me smos alongame ntos/e ncurtame ntos δm, de formaçõe s εm, te nsõe s σm e e sforços normais Nm nas barras m conforme obtido no ite m 3.1.

3.6 Método da mínima energia potencial total 3.6.1 Energia Potencial Total

A e ne rgia pote ncial total Π(d) é de finida para siste mas conse rvativos como:

(3.107) Onde U(d) é a e ne rgia de de formação da e strutura, como de finido e m (3.44) e (3.46), e W p(d) é o trabalho pote ncial das forças e xte rnas, dado por:

(3.108) Novame nte , os sobre scritos –, utilizados para re pre se ntar valore s finais das variáve is são re tirados para e fe ito de simplificação. Em siste mas conse rvativos, U(d) é a e ne rgia que traz a e strutura de volta à configuração inicial caso as forças e xte rnas se jam re tiradas da e strutura. W p(d) é o trabalho pote ncial, ou se ja, aque le que se ria re alizado caso a e strutura voltasse a sua configuração inicial e as cargas pe rmane ce sse m atuando sobre e la. Assim, Π(d) é a e ne rgia total ne ce ssária para traze r de volta a e strutura a sua configuração inicial com as cargas atuando sobre e la.

3.6.2 O Princípio Da Mínima Energia Potencial Total

O princípio da mínima e ne rgia pote ncial total e nuncia que os de slocame ntos d de uma e strutura e m e quilíbrio e stáve l tornam mínima a e ne rgia pote ncial total da e strutura. Em outras palavras, uma e strutura que e stá e m e quilíbrio e stáve l se de formou de modo a gastar o mínimo de e ne rgia pote ncial total. Mate maticame nte , a condição de prime ira orde m de mínimo de uma função é dada por:

(3.109) Ao combinar as e xpre ssõe s (3.58), (3.59), (3.107) e (3.109) pode -se e scre ve r:

Obse rve que a e xpre ssão (3.110) é (3.110) idê ntica à e xpre ssão (3.59). Isso significa que os de slocame ntos da e strutura e m e quilíbrio e stáve l d satisfaze m a e quação de e quilíbrio (3.59) e minimizam a e ne rgia pote ncial total. Quando se usa a e xpre ssão (3.110) para obte r os de slocame ntos d da e strutura, dizse que a e strutura foi calculada pe lo mé todo da mínima e ne rgia pote ncial total.

3.6.3 Aplicação Do Princípio Da Mínima Energia Potencial Total A e ne rgia de de formação total da e strutura foi obtida no ite m 3.4.4, (vide e xpre ssão (3.68)), ou se ja:

A e ne rgia pote ncial total é dada por:

(3.111) Aplicando o princípio da mínima e ne rgia pote ncial total, obté m-se :

ou

(3.112)

As e xpre ssõe s (3.112) e (3.113) são, (3.113) re spe ctivame nte , idê nticas às e xpre ssõe s (3.67) e (3.68) e conduze m à me sma solução e m te rmos de de slocame ntos d1 e d2, be m como de alongame ntos/e ncurtame ntos, de formaçõe s, te nsõe s e e sforços normais que de pe nde m de d1 e d2.

3.7 Método de Rayleigh-Ritz O mé todo de Rayle igh-Ritz re pre se ntou um grande passo na e volução do mé todo dos de slocame ntos, pois contribuiu de cisivame nte para o apare cime nto do MEF. O mé todo de Rayle igh-Ritz é , na e ssê ncia, o mé todo do princípio da mínima e ne rgia pote ncial total, mas, a pe que na modificação introduzida ne sse último pe rmitiu um grande avanço. Para uma me lhor compre e nsão do mé todo, o e xe mplo da tre liça usado até aqui vai se r substituído por um novo e xe mplo de análise de uma viga e m balanço re pre se ntada na Figura 3.13.

FIGURA 3.13

Viga em balanço de inércia variável.

Para faze r a análise da viga da Figura 3.13 pe lo mé todo do princípio da mínima e ne rgia pote ncial total é pre ciso, inicialme nte , obte r a e xpre ssão para a e ne rgia de de formação de uma viga. A viga, supostame nte , de ve satisfaze r a hipóte se de Be rnoulli (1705), a qual conside ra que “se çõe s transve rsais re tas pe rmane ce m planas e normais à tange nte ao e ixo fle tido da viga”. O de slocame nto ve rtical do e ixo da viga ao longo do comprime nto é de scrito pe la função ν(x). Da re sistê ncia dos mate riais, sabe -se que a de formação longitudinal ε(x,y) no ponto da se ção x e cota y é dada por:

(3.114) Se ndo,

(3.115) A e ne rgia de de formação e spe cífica de um mate rial line ar e lástico com módulo de e lasticidade E, é dada por:

Para um ponto da se ção x e cota y da viga à fle xão:

(3.116)

(3.117) A e ne rgia de de formação da viga pode se r obtida por:

ou

(3.118)

(3.119) onde L é o comprime nto da viga e I o mome nto de iné rcia da se ção da viga, dado por:

(3.120) Como no e xe mplo e m e studo, a iné rcia da se ção varia ao longo do comprime nto, a e ne rgia pote ncial total da viga pode se r obtida por:

Obse rvando a e xpre ssão (3.121), ve rifica- (3.121) se que a e ne rgia pote ncial total da viga Π é função da função que de scre ve a de formação do e ixo da viga ν(x), ainda de sconhe cida. Uma função de função é de nominada um funcional. Esse proble ma dife re radicalme nte do proble ma re solvido no ite m 3.6.3, quando a e strutura a se r re solvida e ra uma tre liça e Π, dado e m (3.111), e ra uma função das variáve is d1 e d2. Do ponto de vista mate mático o proble ma ante rior da tre liça e ra um proble ma de minimização de uma

função de duas variáve is. O proble ma da viga é um proble ma de minimização de um funcional da função ν(x). Trata-se agora de e ncontrar a função ν(x) e não mais ape nas as variáve is d1 e d2 que minimizam Π. Esse é um proble ma clássico de cálculo variacional, e sua solução e stá fora do e scopo de ste livro. Como e ntão re solve r o proble ma da viga à fle xão? É aqui que surge a ide ia básica do mé todo de Rayle ighRitz: a função ν(x) que re pre se nta a e lástica da viga é de scrita por uma função aproximadora. As funçõe s aproximadoras de ve m satisfaze r as se guinte s condiçõe s: a) De ve m se r funçõe s polinomiais ou trigonomé tricas que satisfaçam às condiçõe s de contorno e m de slocame nto da viga. b) De ve m te r de rivadas contínuas até a orde m n-1, se ndo n a maior orde m de de rivação da função no funcional Π (no caso n = 2). c) De ve m se r de finidas e m todo o domínio do proble ma. A solução “e xata” para o de slocame nto d na e xtre midade livre da viga da Figura 3.13 é 1875. Primeira tentativa: A prime ira função aproximadora adotada é um polinômio de se gundo grau.

(3.122)

Vale obse rvar que a função satisfaz às condiçõe s de contorno e m de slocame nto do proble ma:

(3.123) (3.124) Substituindo

(3.125) na e xpre ssão (3.121), e inte grando-se , che ga-se a:

(3.126) Vale obse rvar que agora Π é uma função do parâme tro α 1 e não mais da função ν(x). Isso significa que o proble ma a se r re solvido é um proble ma de mínimo de função e não mais de mínimo de um funcional. Essa é a contribuição do mé todo aproximado de Rayle igh-Ritz. Aplicando-se agora o princípio da mínima e ne rgia pote ncial total, o qual afirma que a configuração de formada minimiza a e ne rgia pote ncial total de uma

e strutura e m e quilíbrio e stáve l, obté m-se :

(3.127) logo

(3.128) e , portanto,

(3.129) Obse rva-se que o e rro no cálculo de d e m re lação à solução e xata é muito grande :

(3.130) Da re sistê ncia dos mate riais sabe -se que :

(3.131)

Assim, no tre cho (a),

(3.132) A Figura 3.14 compara os mome ntos da (3.133) solução aproximada e da solução corre ta (viga isostática). Os mome ntos são constante s ao longo de x nos dois tre chos porque ν(x) é uma função do se gundo grau.

FIGURA 3.14 Diagrama de momentos na viga associado a ν(x) definido em (3.128).

Observação: a solução é ruim tanto e m te rmos de de slocame ntos quanto e m te rmos de mome ntos. A aproximação dos mome ntos é ainda pior porque e la é

obtida de de rivadas de funçõe s aproximadoras. Segunda tentativa: No proble ma e studado a solução é muito simple s porque a viga é isostática. No caso de uma viga altame nte hipe re stática de vários vãos com iné rcias dife re nte e m cada vão e cargas distribuídas, a solução não é trivial e não e stará disponíve l para se sabe r se a solução aproximada é boa ou não. Ne sse caso, o proce dime nto a se guir é usar uma função aproximadora mais “rica” e ve rificar a mudança na re sposta. Quando, ao se re finar a solução, a re sposta não me lhora significativame nte , a solução ante rior já pode se r conside rada boa. Na se gunda te ntativa, a função aproximadora é um polinômio do te rce iro grau dado por:

(3.134) Vale obse rvar que a função satisfaz às condiçõe s de contorno e m de slocame nto (3.123) e rotação (3.124). Substituindo

(3.135) e m (3.121) e inte grando-se , che ga-se a:

Vale obse rvar que P agora é uma função (3.136) dos parâme tros α 1 e α 2. Aplicando-se o princípio da mínima e ne rgia pote ncial total, obté m-se :

(3.137)

(3.138) Que forne ce ,

(3.139) Logo,

(3.140)

(3.141) Usando-se (3.131), che ga-se a:

(3.142)

(3.143)

(3.144)

A comparação e ntre os mome ntos da (3.145) solução aproximada e da solução e xata (viga isostática) e stá apre se ntada na Figura 3.15.

FIGURA 3.15 Diagrama de momentos na viga associado a ν(x) definido em (3.140).

Observações: 1) A solução me lhorou significativame nte e m te rmos de de slocame ntos, mas continua ruim e m te rmos de mome ntos. Não é coincidê ncia que o de slocame nto na e xtre midade livre se ja infe rior ao da solução e xata, pois a aproximação torna a e strutura mais rígida. 2) O proble ma na de scontinuidade no diagrama de mome ntos na solução aproximada continua. A de scontinuidade aconte ce porque ν(x) e , conse que nte me nte , sua se gunda de rivada, é contínua no domínio e nquanto que a rigide z EI é de scontínua e m x = 5. 3) O proble ma ide ntificado re ve la uma limitação do mé todo de Rayle igh-Ritz que é o de trabalhar com ape nas uma função contínua no domínio. Para se supe rar o proble ma é pre ciso usar duas funçõe s, uma no tre cho (a) e outra no tre cho (b), impondo condiçõe s de continuidade e m x = 5

para ν(x) e para sua prime ira de rivada e m re lação a x, mas, libe rando a curvatura para se r de scontínua. Terceira tentativa: Se rão usadas duas funçõe s cúbicas aproximadoras, uma para o tre cho (a) e outra para o tre cho (b):

(3.146) Vale obse rvar que a função νa (x) satisfaz (3.147) às condiçõe s de contorno e m de slocame nto de finidas e m (3.123) e (3.124). Alé m disso, se rão impostas as se guinte s condiçõe s de continuidade e m x = 5.

(3.148) (3.149) Essas duas condiçõe s pe rmite m re duzir o núme ro de parâme tros incógnitos de 6 para 4. Os parâme tros α 5 e α 6, por e xe mplo, pode m se r e scritos e m função dos outros parâme tros.

Aplicando-se o princípio da mínima e ne rgia pote ncial total, obté m-se :

(3.150)

(3.151)

(3.152)

(3.153) É possíve l obte r os parâme tros a 1, a 2, a 3 e a 4 que , substituídos e m (3.146) e (3.147), forne ce m:

(3.154)

Nota-se que

(3.155)

(3.156) é a solução e xata para o de slocame nto na e xtre midade livre . O diagrama de mome ntos corre sponde nte s às e xpre ssõe s (3.154) e (3.155) també m é e xato. Observações: a) O uso de duas funçõe s aproximadoras νa (x) e νb(x) pe rmitiu obte r a solução e xata do proble ma porque foi possíve l re pre se ntar a de scontinuidade que e xiste na de rivada se gunda da função e lástica e m x = 5. O proce dime nto usado na te rce ira te ntativa foi o de me lhorar a pre cisão da solução usando duas funçõe s aproximadoras, uma para cada tre cho da viga, e m ve z de continuar a aume ntar o grau do polinômio da função ν(x) no domínio de 0 a L. Me smo usando um polinômio do quarto grau para ν(x) não se pode obte r a solução e xata

porque have rá ainda uma de scontinuidade na se gunda de rivada de ν(x) o causará uma de scontinuidade no diagrama de mome nto, uma ve z que há uma de scontinuidade na rigide z EI da viga. b) Posto como e stá, o mé todo de Rayle igh-Ritz ainda não é um mé todo dos de slocame ntos, no se ntido clássico, porque as incógnitas não são os de slocame ntos. c) Com o uso de duas funçõe s no domínio o mé todo de u um grande passo para se aproximar do mé todo dos e le me ntos finitos. Na ve rdade o domínio foi “discretizado” e m dois subdomínios, ou e le me ntos. d) Para transformar de finitivame nte o mé todo de Rayle igh-Ritz no MEF, o mé todo de Rayle igh-Ritz pre cisa substituir as incógnitas a i pe los graus de libe rdade da e strutura di.

3.8 O MEF para vigas A ide ia básica do mode lo de e le me ntos finitos para a e strutura consiste e m usar funçõe s aproximadoras, de scritas e m subdomínios ou e le me ntos finitos, para de scre ve r os campos de de slocame nto da e strutura. A me lhora da solução de ve se r obtida com o uso de mais subdomínios ou e le me ntos e não ape nas com o uso de polinômios de mais alto grau. Para siste matizar as ope raçõe s mate máticas do proble ma, as funçõe s

aproximadoras de ve m se r de scritas e m cada subdomínio por funçõe s de inte rpolação pre viame nte de finidas. Para o tre cho de viga de comprime nto L que , poste riorme nte , se rá de nominado e le me nto finito de viga, re pre se ntado na Figura 3.16, e scre ve -se , inicialme nte , a função aproximadora de te rce iro grau e m função dos parâme tros do polinômio α i, i = 1, ..., 4.

FIGURA 3.16

Elemento finito de viga.

(3.157) Para se e scre ve r a função aproximadora e m função

dos de slocame ntos nodais, as se guinte s condiçõe s de contorno são impostas de acordo com a Figura 3.17:

FIGURA 3.17 Funções de forma ou de interpolação do elemento finito de viga.

(3.158)

Ou, matricialme nte ,

A solução de (3.159) forne ce os α i e m (3.159) função dos de slocame ntos nodais di. Substituindo os α i obtidos da solução de (3.159) e m (3.157), che ga-se a:

se ndo,

(3.160)

(3.161)

As funçõe s são de nominadas funçõe s de inte rpolação de viga. Qualque r função ν(x) que de scre va a e lástica de um tre cho de viga pode se r e scrita e m função das funçõe s ϕi(x). As funçõe s de inte rpolação de viga tê m um significado cine mático que é comum a todas as funçõe s de inte rpolação de todos os e le me ntos finitos: “ϕi(x) re pre se nta o campo de de slocame ntos no inte rior do e le me nto para di = 1 mante ndo-se todos os outros de slocame ntos dj = 0, j ≠ i.” Na Figura 3.17, onde as quatro funçõe s de viga fi(x) e stão re pre se ntadas, pode -se constatar e ssa proprie dade das funçõe s de inte rpolação. Para ilustrar o uso das funçõe s de inte rpolação de viga ϕi(x) na análise de uma viga, o e xe mplo da Figura 3.17 se rá re analisado com o uso de ssas funçõe s de inte rpolação.

Obse rvando que se de ve usar L = 5 (comprime nto de cada tre cho) nas e xpre ssõe s de ϕi(x) para se obte r as funçõe s νa (x) e νb (x), pode -se e scre ve r para a viga da Figura 3.18:

FIGURA 3.18 Graus de liberdade da viga em balanço modelada por 2 elementos finitos.

(3.162)

Conside rando as duas funçõe s distintas (3.163) νa (x) e νb(x), re spe ctivame nte nos tre chos (a) e (b), e inte grando-as e m x de 0 a L = 5 e m cada tre cho (subdomínio do tre cho ou e le me nto finito) e

obse rvando-se que a força P atua no se ntido ne gativo da dire ção de d3 , pode -se e scre ve r a e xpre ssão da e ne rgia pote ncial total Π(d1, d2, d3, d4) como:

Substituindo na e xpre ssão (3.166) EIa , EIb e (3.164) P pe los se us valore s numé ricos, e fe tuando as inte grais e usando o princípio da mínima e ne rgia pote ncial total como de scrito e m (3.109), obté m-se :

ou,

(3.165)

Se ndo K a matriz de rígide z da viga, d o (3.166) ve tor dos de slocame ntos nodais e f o ve tor das cargas nodais. Essa solução é “e xata” e coincide com a última solução obtida para o mé todo de Rayle igh-Ritz.

(3.167) Para se obte r o siste ma de e quaçõe s e quivale nte ao siste ma (3.165), mas para ape nas um e le me nto de comprime nto L e rigide z EI, faze ndo uso das funçõe s de inte rpolação de viga ϕi(x) e com os de slocame ntos nodais de di conforme de scrito na Figura 3.17, re pe te -se o proce dime nto de scrito a partir de :

Se guindo os me smos passos ante riore s com Π(d1, d2, d3, d4) dado agora por:

Che ga-se a:

(3.168)

(3.169)

Obse rve que a matriz K obtida e m (3.170) (3.170) é a me sma matriz de rigide z do e le me nto de viga da análise matricial de e struturas e que o te rmo Kij pode se r obtido de :

(3.171)

3.9 O método dos resíduos ponderados de galerkin Como visto no ite m ante rior, quando e xiste um funcional e um corre sponde nte princípio de mínimo associado a um dado proble ma de e nge nharia, o MEF pode se r formulado com as funçõe s que re pre se ntam os campos incógnitos de scritas por funçõe s de inte rpolação de variáve is nodais.

Alte rnativame nte , as e quaçõe s do MEF pode m se r obtidas dire tame nte das e quaçõe s dife re nciais do proble ma. A vantage m de sse e nfoque é que o mé todo pode se r aplicado a uma gama de proble mas para os quais não há um funcional disponíve l. Se ja um proble ma unidime nsional re pre se ntado pe la e quação dife re ncial dada a se guir, onde u(x) é uma função incógnita no domínio do proble ma.

(3.172) Com as condiçõe s de contorno dadas por:

(3.173) Uma função aproximadora ua (x) que aproxima u(x) no domínio do proble ma e que conte nha n parâme tros incógnitos pode se r e scrita como:

(3.174) Onde Ni(x) são as funçõe s de inte rpolação das variáve is nodais di que passam a se r as incógnitas do proble ma. Matricialme nte , a e xpre ssão (3.176) pode se r

re e scrita como:

(3.175) A e xpre ssão (3.175) re pre se nta a função aproximadora aplicada e m um subdomínio ou e m um e le me nto no MEF. Ao usar (3.175), o campo u(x) e stá se ndo re pre se ntado por um e le me nto ape nas. A opção de usar some nte um e le me nto no domínio é fe ita aqui ape nas para simplificar a apre se ntação do mé todo dos re síduos ponde rados, mas não é uma limitação do mé todo. Em ge ral, vários e le me ntos pode m se r usados para re pre se ntar o campo das funçõe s incógnitas. Quando se substitui a função aproximadora ua (x) dada e m (3.175) na e xpre ssão (3.172), a e xpre ssão não de ve satisfaze r a igualdade e m todo o domínio do proble ma forne ce ndo o que se costuma chamar de função re síduo R(x) da solução.

(3.176) Os me lhore s valore s de di são aque le s que re duze m a função re síduo R(x) de uma forma inte gral no domínio do proble ma. Como, no e ntanto, há n incógnitas di para o proble ma, são ne ce ssárias n e quaçõe s para obtê -las. Uma mane ira de se obte r as n e quaçõe s é usar n funçõe s de ponde ração W i(x) e ,

conse que nte me nte , n e quaçõe s da forma:

(3.177) A e xpre ssão (3.177) é a e quação fundame ntal do mé todo dos re síduos ponde rados. No mé todo de Gale rkin usa-se :

(3.178) Ou se ja, as funçõe s de ponde ração W i(x) são iguais às funçõe s de inte rpolação Ni(x).

3.9.1 Exemplos De Aplicação Do Método De Galerkin 3.9.1.1 Equação de equilíbrio de uma barra de treliça Se ja a barra de tre liça tracionada com áre a da se ção transve rsal A e módulo de e lasticidade do mate rial E re pre se ntada na Figura 3.20.

FIGURA 3.19

Barra tracionada.

FIGURA 3.20 Funções de interpolação do deslocamento longitudinal u(x).

A e quação de e quilíbrio das forças horizontais para um e le me nto dx da barra é dada por:

ou

(3.179)

(3.180) A le i de Hooke forne ce :

(3.181) E a e quação de compatibilidade :

(3.182) logo, substituindo (3.182) e m (3.181) e , e m se guida, (3.181) e m (3.180), che ga-se a:

(3.183)

Que re pre se nta a e quação dife re ncial do proble ma no domínio 0 ≤ x ≤ L. A solução de e quaçõe s dife re nciais conduz a dois tipos de proble ma, nome adame nte : proble ma de valor de contorno e proble ma de valore s iniciais. O proble ma de valor de contorno só ne ce ssita da e spe cificação das condiçõe s de contorno para sua solução, e nquanto o de valore s iniciais pre cisa també m das condiçõe s iniciais das variáve is de finidas no e spaço do te mpo. A e xpre ssão (3.183) re pre se nta um proble ma de valor de contorno. As condiçõe s de contorno naturais de sse proble ma são:

(3.184) (3.185) Se ja o campo u(x) aproximado pe la função de inte rpolação ua (x) dada por:

Se ndo as funçõe s de inte rpolação dadas por,

(3.186)

(3.187)

(3.188) Os de slocame ntos u1 e u2 são os dois parâme tros incógnitos. A Figura 3.20 ilustra as funçõe s de inte rpolação N1(x) e N2(x) da função aproximadora ua (x). Ne sse caso, a e xpre ssão (3.176) vale :

ou

(3.189)

(3.190) Onde cada sobre scrito vírgula re pre se nta uma de rivada da função e m re lação a x. O mé todo de Gale rkin forne ce duas e quaçõe s:

A de rivada do produto de duas funçõe s f(x) e g(x) e m re lação a x, vale :

logo,

Inte grando os dois lados de (3.193) de 0 a L, obté m-se :

ou

(3.191)

(3.192)

(3.193)

(3.194)

A e xpre ssão (3.195) é conhe cida na (3.195) mate mática como té cnica de inte gração por parte s. Se jam:

(3.196) Conside rando (3.196), (3.191) e (3.195), che ga-se a:

Examinando-se a prime ira parce la dire ita de (3.197) e conside rando que :

à

(3.197)

(3.198)

(3.199) Obté m-se , para i = 1:

E, para i = 2:

A se gunda parce la à dire ita de (3.197) pode se r re e scrita como:

onde ,

(3.200)

(3.201)

(3.202)

(3.203) Conside rando agora (3.200), (3.201) e (3.202), é possíve l re e scre ve r (3.197) na forma matricial como:

(3.204) onde K, d e f são, re spe ctivame nte , a matriz de rigide z do e le me nto de tre liça no siste ma local de coorde nadas, o ve tor dos de slocame ntos nodais e o ve tor das cargas nodais, dados por:

O siste ma de e quaçõe s line are s (3.205) algé bricas dado e m (3.204) re pre se nta as e quaçõe s de e quilíbrio de uma barra de tre liça no se u siste ma local.

3.9.1.2 Equações de equilíbrio de uma barra de viga A e quação dife re ncial de e quilíbrio de uma viga se m cargas atuante s é dada por:

(3.206) E é o módulo de e lasticidade do mate rial da viga, I é o mome nto de iné rcia da se ção transve rsal e ν(x) a função que de scre ve os de slocame ntos transve rsais

da viga. As condiçõe s de contorno naturais do proble ma são:

(3.207)

(3.208)

(3.209)

(3.210) Usando-se a função aproximadora dada e m (3.168),

Onde as funçõe s de inte rpolação ϕi(x) são as que

e stão de scritas e m (3.161) e re pe tindo-se o proce dime nto análogo ao que foi adotado no ite m ante rior, ou se ja, aplicando-se o mé todo de Gale rkin, é possíve l che gar a um siste ma de e quaçõe s line are s algé bricas que re pre se nta as e quaçõe s de e quilíbrio de uma barra de viga, se ndo agora o e le me nto Kij da matriz de rigide z dado por:

(3.211) Obse rva-se que a e xpre ssão dada e m (3.211) coincide com o re sultado obtido e m (3.171) para o coe ficie nte de rigide z Kij obtido pe lo MEF.

3.10 Generalização do MEF 3.10.1 Formulação Geral Do MEF O MEF de scrito no ite m ante rior se rá ge ne ralizado ne sse ite m de modo que e le possa se r aplicado també m a e struturas contínuas bi e tridime nsionais. Inicialme nte , as se guinte s hipóte se s são introduzidas para o contínuo: a) O contínuo é ide alizado como formado por e le me ntos com dife re nte s formas ge omé tricas, como triângulos, quadriláte ros, te trae dros e tc.

(os e le me ntos finitos), ligados por alguns nós situados no contorno. b) Matrize s de inte rpolação para o e le me nto m (matriz Nm),cujos te rmos são funçõe s conhe cidas como funçõe s de inte rpolação ou de forma, que forne ce m os campos de de slocame nto (ve tor um) no inte rior dos e le me ntos e m função dos de slocame ntos nodais do e le me nto dm, ou se ja, um = Nm dm. c) O ve tor das de formaçõe s no inte rior dos e le me ntos (ve tor σm) pode se r obtido por de rivação dos campos de de slocame ntos um e m re lação às coorde nadas do siste ma ge rando a e xpre ssão εm = Bm dm. d) As te nsõe s no inte rior dos e le me ntos (ve tor σm) são obtidas a partir das de formaçõe s por me io de re laçõe s constitutivas. Para um corpo homogê ne o e um mate rial de comportame nto line ar e lástico, é possíve l de finir ape nas uma matriz constitutiva C que re laciona as de formaçõe s a as te nsõe s no e le me nto por σm = C εm. Para mate riais isotrópicos, os te rmos da matriz C de pe nde m ape nas dos se guinte s parâme tros me cânicos do mate rial: E, módulo de e lasticidade longitudinal e ν, coe ficie nte de Poisson. e ) Uma matriz de rigide z (matriz Km) e um ve tor de cargas e quivale nte s nodais fm para o e le me nto pode m se r obtidos a partir das matrize s ge radas

Nm, Bm e C. f) As matrize s de rigide z e as cargas nodais e quivale nte s de cada e le me nto são combinadas ade quadame nte de forma a montar a matriz de rigide z global Kg e o ve tor global de cargas nodais fg da e strutura. g) Os de slocame ntos globais são calculados da e quação de e quilíbrio global da e strutura Kg dg = fg. A partir do ve tor dos de slocame ntos global da e strutura dg é possíve l re cupe rar de slocame ntos nodais de cada e le me nto dm, e , e m se guida, os calcular todas as re spostas da e strutura e m te rmos de de formaçõe s e te nsõe s e m qualque r ponto da e strutura faze ndo uso das e quaçõe s ante riore s. A e xpre ssão da matriz de rigide z para um e le me nto finito pode se r obtida por me io da e xpre ssão (3.100) do princípio dos de slocame ntos virtuais ge ne ralizado. Ela e stá re pe tida a se guir, mas e m uma forma mais ge ral para que os ve tore s das forças volumé tricas q, supe rficiais p e das forças nodais f, possam se r conside rados na formulação do proble ma. Alé m disso, conside ra-se que a e strutura possui ape nas um e le me nto, de modo que se adota nb = m = 1 e m (3.100).

As inte grais e m V1 e Γ1 significam, (3.212) re spe ctivame nte , inte grais no domínio e no contorno do e le me nto 1. Nas e xpre ssõe s a se guir, se rá abandonado o sube scrito 1 re fe re nte ao único e le me nto por que stão de simplicidade . Le ndo com ate nção os ite ns de (a) a (h) de scritos ante riorme nte , as se guinte s e xpre ssõe s pode m se r e scritas re lativas às grande zas virtuais:

(3.213) (3.214) Para as grande zas re ais, as e xpre ssõe s são

(3.215) (3.216) (3.217) Substituindo as e xpre ssõe s de (3.213) a (3.217) na e xpre ssão (3.212), che ga-se a:

Por se r arbitrário, o ve tor dos (3.218) de slocame ntos virtuais nodais transposto δdt que apare ce nos dois lados da e xpre ssão (3.215) pode se r e liminado da e quação, o que re sulta e m:

(3.219) onde

(3.220)

(3.221)

(3.222)

Nas e xpre ssõe s me ncionadas, K é a matriz de rigide z do e le me nto, fq o ve tor das forças nodais e quivale nte s às cargas de volume , fp o ve tor das forças nodais e quivale nte s às cargas de supe rfície e f o ve tor das forças nodais propriame nte ditas. Uma ve z calculado d e m (3.219), u, ε e σ, pode m se r obtidos pe las e xpre ssõe s (3.215), (3.216) e (3.217), re spe ctivame nte .

3.10.2 Critérios De Convergência Do MEF As funçõe s de inte rpolação ou funçõe s de forma da matriz de inte rpolação N são como funçõe s aproximadoras do mé todo de Rayle igh-Ritz. A dife re nça e ntre as duas funçõe s e stá nos parâme tros incógnitos. Enquanto no mé todo de Rayle igh-Ritz os parâme tros incógnitos são coe ficie nte s ge ne ralizados, no MEF, e le s são os de slocame ntos nodais. Nos dois mé todos, todavia, as funçõe s te ntam aproximar as soluçõe s “e xatas”. No mé todo de Rayle igh-Ritz, me lhore s soluçõe s são obtidas quando se usam polinômios de mais alto grau ou uma sé rie trigonomé trica com mais te rmos como funçõe s aproximadoras. No MEF, re sultados mais pre cisos são e spe rados quando se usa uma malha mais re finada de e le me ntos. Não pode mos e sque ce r, todavia, que e m ambos os casos as soluçõe s são aproximadas. Uma e strutura mode lada por e le me ntos finitos é uma

e strutura, e m ge ral, mais rígida que a e strutura re al porque as funçõe s aproximadoras usadas para re pre se ntar os campos de de slocame nto, na maioria das ve ze s, não conse gue m re produzir o campo re al de de slocame ntos. Assim, e las impõe m re striçõe s à livre de formação da e strutura de modo que e la possa minimizar sua e ne rgia pote ncial total. Para garantir que as soluçõe s convirjam para a solução “e xata” no MEF alguns crité rios de ve m se r satisfe itos na sua e scolha. Ante s de apre se ntar os crité rios de conve rgê ncia a se re m satisfe itos para que a solução aproximada via MEF convirja para a solução “e xata”, é conve nie nte falar de completidade de um polinômio. Um polinômio f(x,y) no e spaço bidime nsional se rá utilizado para e sclare ce r o conce ito de completidade de um polinômio. O triângulo de Pascal mostrado na Figura 3.21 ilustra os te rmos de um polinômio comple to do te rce iro grau.

FIGURA 3.21 Triângulo da Pascal com os termos do polinômio completo p(x,y).

O polinômio dado a se guir é um polinômio incomple to do te rce iro grau, pois não possui todos os te rmos do polinômio comple to, ou se ja:

Para que se ja comple to e le de ve ria te r (3.223) també m os te rmos x2y e yx2. Se ja ϕ(x,y,z) uma função aproximadora que de scre ve o campo de de slocame ntos de um e le me nto e P(ϕ(x,y,z)) a e ne rgia pote ncial total de uma e strutura mode lada com e le me ntos formulados com e ssas funçõe s. Suponha que Π(ϕ(x,y,z)) conte nha de rivadas de orde m m de ϕ(x,y,z). Para que a solução se aproxime da solução e xata da e strutura quando se re fina a malha com e sse s e le me ntos, alguns crité rios pre cisam se r satisfe itos. Esse s crité rios, de nominados crité rios

de conve rgê ncia, são os se guinte s: Critério 1: de ntro de cada e le me nto, a função aproximadora ϕ(x,y,z) pre cisa conte r um polinômio comple to de grau m. Critério 2: na fronte ira e ntre e le me ntos, de ve have r continuidade ϕ(x,y,z) e de suas de rivadas até a orde m m − 1. Critério 3: se ja uma malha de e le me ntos subme tida a condiçõe s de contorno compatíve is com valore s constante s de qualque r das de rivadas de orde m m de ϕ(x,y,z). Então, quando a malha é re finada, cada e le me nto de ve re produzir e ssas de formaçõe s constante s. O crité rio 1 asse gura que ϕ se rá contínua de ntro do e le me nto e é ne ce ssário (mas ne m se mpre suficie nte ) para garantir a satisfação do crité rio 3. O crité rio 2 é satisfe ito para qualque r malha para e le me ntos compatíve is (conforming elements). Ele me ntos incompatíve is (nonconforming elements) de ve m se tornar compatíve is com o re finame nto da malha. Muitos e le me ntos be m suce didos de placa à fle xão são incompatíve is com re lação às rotaçõe s na fronte ira para malhas pouco re finadas, mas tornam-se compatíve is com o re finame nto da malha. O crité rio 3 é satisfe ito para a grande maioria dos e le me ntos. Ele pode se r usado para te star os crité rios 1 e 2 no que se de nomina “Patch te st” na lite ratura.

3.10.3 Montagem Da Matriz De Rigidez

Global E Do Vetor Global De Cargas Equivalentes Nodais O MEF he rdou da análise matricial de e struturas re ticuladas a té cnica de montage m da matriz de rigide z global da e strutura a partir da contribuição das matrize s de rigide z local de cada e le me nto da malha. Isso foi possíve l porque no mode lo de e le me ntos finitos, assim como na análise matricial de e struturas, a e strutura é re pre se ntada por e le me ntos cone ctados e ntre si por me io de nós. Na análise matricial de e struturas, os e le me ntos são barras com dois nós nas e xtre midade s, no mé todo dos e le me ntos finitos, e le s são polígonos ou polie dros e os nós e stão e m ge ral no contorno (normalme nte nos vé rtice s) dos e le me ntos. As palavras polígono, poliedro e vértice são usadas aqui de forma livre , uma ve z que alguns e le me ntos pode m te r lados curvos ou supe rfície s late rais curvas. Há també m a possibilidade de have r nós no inte rior do e le me nto e m alguns e le me ntos finitos, mas e sse caso també m se adapta be m à té cnica de montage m. Duas ide ias básicas são utilizadas para a montage m da matriz de rigide z global: a) Associar a cada nó da e strutura graus de libe rdade que de pe nde m do núme ro do nó. Em análise de e struturas bidime nsionais, por e xe mplo, cada nó te m dois graus de libe rdade , nome adame nte de slocame nto horizontal (e ixo x) e de slocame nto ve rtical (e ixo y). Ao nó de núme ro i na e strutura são, normalme nte , associados os graus de

libe rdade 2i – 1, na dire ção horizontal, e 2i, na dire ção ve rtical. Para e struturas tridime nsionais e m que cada nó te m trê s graus de libe rdade associados, re spe ctivame nte , aos e ixos x, y e z, os de slocame ntos do nó i são associados aos graus de libe rdade 3i – 2, 3i – 1 e 3i. A Figura 3.22 e sclare ce .

FIGURA 3.22 Graus de liberdade associados ao nó i no triângulo e no tetraedro.

b) Associar a nume ração local dos nós e m cada e le me nto à nume ração global dos nós a níve l global, ou se ja, da e strutura. A associação da nume ração local dos nós do e le me nto com a nume ração global dos nós da e strutura é fe ita pe la matriz de incidê ncia Inc. A matriz Inc indica como o e le me nto se cone cta com a e strutura.

Supondo-se que o mode lo da e strutura te m ne e le me ntos e que cada e le me nto te m n nós, a matriz de incidê ncia te ria ne colunas e n linhas. Se ja o e le me nto triangular de núme ro m com trê s nós nos vé rtice s do e le me nto com nume ração local 1, 2 e 3 no se ntido antihorário (no próximo capítulo se rá mostrado porque se nume ram os nós do e le me nto triangular de ssa mane ira). A e scolha de qual se rá o nó 1 é arbitrária, mas, uma ve z de finido, as posiçõe s dos outros dois ficam de te rminadas pe la re gra do se ntido anti-horário. Na malha de e le me ntos finitos da e strutura os nós corre sponde nte s tê m nume ração 10, 12 e 15, por e xe mplo. Para e sse e xe mplo, a coluna m da matriz Inc te ria 10, 12 e 15 na prime ira, se gunda e te rce ira linha, re spe ctivame nte , como indicado a se guir:

A Figura 3.23 ilustra a re lação e ntre as (3.224) nume raçõe s local e global dos nós do e le me nto.

FIGURA 3.23 Relação entre as numerações local e global dos nós do elemento m.

Com a re gra (a) os graus de libe rdade do e le me nto (local) e global se riam os indicados na Figura 3.24.

FIGURA 3.24 Relação entre os graus de liberdade local e global do elemento m.

Com as re gras (a) e (b) é possíve l agora criar uma e xpre ssão que re laciona os 6 graus de libe rdade no siste ma local com os 6 graus de libe rdade do siste ma global para os 3 nós do e le me nto m que se rão armaze nados na matriz de ponte iros dg cujo e le me nto dg i,m re pre se nta o grau de libe rdade na dire ção global corre sponde nte ao grau de libe rdade do e le me nto i = 1,..,6 do e le me nto m = 1,...,ne, ou se ja:

(3.225)

Usando os valore s de incidê ncia Incde finidos na coluna m da e xpre ssão (3.224), a e xpre ssão (3.225) passa a armaze nar os se guinte s valore s:

(3.226)

Os valore s corre sponde nte s aos graus de libe rdade globais da e xpre ssão (3.226) são os valore s re pre se ntados na Figura 3.25.

Com os graus de libe rdade do siste ma global armaze nados na matriz dg pode -se proce de r a montage m siste mática da matriz de rigide z global Kg a partir das contribuiçõe s das matrize s dos e le me ntos no siste ma local Ke como indicado a se guir:

Obse rva-se que , pe la e xpre ssão (3.227), o

(3.227)

te rmo da matriz de rigide z local do e le me nto m da Figura 3.25, por e xe mplo, se rá somado ao te rmo K20,29 da matriz global. Vale notar que e sse me smo te rmo da matriz de rigide z global pode re ce be r contribuiçõe s de outros e le me ntos da malha e por isso a rigide z global de ve se r acumulada com as contribuiçõe s das matrize s de rigide z do siste ma locais dos e le me ntos. Analogame nte , o ve tor global de cargas nodais e quivale nte s fg de ve se r acumulado com as contribuiçõe s dos ve tore s das cargas e quivale nte s nodais que atuam no e le me nto fe pe la e xpre ssão.

(3.228)

CAPÍTULO 4

Problemas de estado plano 4.1 Introdução Estruturas de e stado plano ou chapas são e struturas bidime nsionais, ou se ja, aque las e m que uma dime nsão, de nominada e spe ssura t, normalme nte me dida na dire ção do e ixo z do siste ma de coorde nadas carte siano, é muito me nor do que as outras duas me didas nas dire çõe s dos e ixos x e y do plano xy como indicado na Figura 4.1. As forças atuante s ne ssas e struturas age m també m no plano xy. Exe mplos de e strutura de e stado plano e m E nge nharia Civil são as vigas-pare de e uma fatia de e spe ssura constante de uma barrage m de gravidade ou de um muro de arrimo.

4.1.1 Equações De Compatibilidade Os campos de de slocame nto de ssas e struturas são u(x,y) e υ(x,y), re spe ctivame nte nas dire çõe s dos e ixos x e y como mostra a Figura 4.1.

FIGURA 4.1 Chapa plana de espessura t com plano médio no plano xy.

As compone nte s do ve tor de de formaçõe s de inte re sse ne sse proble ma são εx, εy e γxy, nome adame nte de formaçõe s longitudinais nas dire çõe s dos e ixos x e y e a de formação de distorção no plano xy. As e quaçõe s de compatibilidade são dadas por:

(4.1)

Ou, matricialme nte ,

(4.2)

ou, sucintame nte ,

(4.3) Onde ε é o ve tor das de formaçõe s, L a matriz ope radora de de rivação e u o ve tor dos de slocame ntos.

4.1.2 Equações constitutivas Existe m dois tipos de e struturas planas: as que e stão e m e stado plano de te nsão e as que e stão e m e stado plano de de formação. As e struturas e m e stado plano de te nsão caracte rizam-se por apre se ntare m te nsão normal nula, σz = 0, na dire ção do e ixo z normal ao plano xy onde se localiza sua supe rfície mé dia. As de formaçõe s associadas à dire ção do e ixo z são livre s, ne sse caso, εz ≠ 0. As e struturas e m e stado plano de de formação, ao contrário, tê m de formação impe dida na dire ção do e ixo z, εz = 0, e te nsõe s normais, σz ≠ 0. 4.1.2.1 Estado plano de tensão As compone nte s de te nsão que caracte rizam um e stado plano são σx, σy e τxy, re spe ctivame nte , a te nsão normal na dire ção x, a te nsão normal na dire ção y e a te nsão cisalhante . Dois parâme tros são suficie nte s para de scre ve r o comportame nto me cânico das e struturas e m e stado plano, caso e las te nham um comportame nto isotrópico e line ar e lástico, que são o módulo de e lasticidade longitudinal E e o coe ficie nte de Poisson ν. Se um e le me nto infinite simal dxdy de uma e strutura e m e stado plano de te nsõe s no plano xy e stive r subme tido ao se guinte e stado de te nsão longitudinal σx

≠ 0 e σy = τxy = 0, ou se ja, a um e stado uniaxial de te nsão na dire ção x, e stando a e strutura livre para se de formar e m todas as dire çõe s, e la irá se alongar na dire ção x se gundo a le i de Hooke :

(4.4) E e ncurtar-se na dire ção y, se gundo o e fe ito de Poisson:

(4.5) De vido à proprie dade de isotropia e de comportame nto line ar e lástico do mate rial, que pe rmite a supe rposição de e fe itos, caso o e stado de te nsão se ja σx ≠ 0 e σy ≠ 0, ou se ja, um e stado biaxial de te nsõe s, obté m-se :

(4.6)

Se o e le me nto e stive r subme tido a dois binários de te nsõe s cisalhante s que , por condiçõe s de e quilíbrio, de ve m se r autoe quilibrados como re pre se ntado na Figura 4.2, se us ângulos re tos irão fe char ou abrir de :

FIGURA 4.2 Representação da deformação por cisalhamento.

(4.7) O

parâme tro

G

é

de nominado

módulo

de

e lasticidade transve rsal e de pe nde de E e ν como indicado a se guir:

(4.8) As re laçõe s matricialme nte :

constitutivas

ou, sucintame nte ,

pode m

se r

e scritas

(4.9)

(4.10) Onde D é a matriz de e lasticidade re fe re nte ao e stado plano de te nsão. A inve rsa da matriz D re laciona o ve tor das te nsõe s com o ve tor das de formaçõe s:

(4.11) A e quação (4.11) re pre se nta o que se chama de le i de Hooke ge ne ralizada, pois e la re pre se nta uma ge ne ralização para o caso de e stado plano de te nsão da le i de Hooke unidime nsional. Ne ssa e quação, C = D−1 é de nominada matriz constitutiva para o e stado plano de te nsão, dada por:

(4.12)

4.1.2.2 Estado plano de deformação Como visto ante riorme nte , o e stado plano de de formação é caracte rizada por, σz ≠ 0 e εz = 0, logo, a partir de :

(4.13)

E, conside rando εz = 0, obté m-se :

(4.14) Substituindo (4.14) nas duas prime iras e quaçõe s (4.13), obté m-se :

ou, ainda, matricialme nte :

(4.15)

ou, sucintame nte ,

(4.17) Multiplicando ambos os lados da e xpre ssão (4.17) por D−1 = C, che ga-se a uma e quação análoga à e xpre ssão (4.11) onde a matriz C é agora de nominada matriz constitutiva para uma e strutura e m de e stado plano de formaçõe s, dada por:

4.2 Elemento Triangular De Deformação Constante

(4.18)

O e le me nto triangular de 3 nós re pre se ntado na Figura 4.3 é chamado na lite ratura de triângulo de de formação

constante (CST, constant strain triangle) por razõe s que se rão e xplicadas mais adiante .

FIGURA 4.3

Elemento CST (constant strain triangle).

Os campos de de slocame nto que de scre ve m os de slocame ntos no inte rior do e le me nto são polinômios line are s e m x e y da forma:

(4.19)

ou, matricialme nte ,

ou, sucintame nte ,

(4.20)

(4.21) A e scolha de polinômios line are s de 3 te rmos com 6 coe ficie nte s incógnitos a i, 3 para cada campo de de slocame nto, pode agora se r justificada pe las 6 condiçõe s de contorno a se guir:

(4.22)

que pode m se r re e scritas usando-se a e xpre ssão (4.19), ou se ja:

ou, sucintame nte ,

(4.23)

ou

(4.24) (4.25)

onde o ve tor d conté m os de slocame ntos nodais, ou se ja:

(4.26)

Substituindo a e xpre ssão (4.25) e m (4.21), obté m-se :

(4.27) ou, ainda,

(4.28) Se ndo que ,

(4.29) A matriz N(x, y) te m a forma:

Obse rvando-se as e quaçõe s (4.28) e (4.30) é possíve l e scre ve r:

(4.30)

(4.31)

onde , ui e υ i são os de slocame ntos nodais re lativos aos e ixos x e y, re spe ctivame nte . As funçõe s de inte rpolação Ni(x,y) são dadas por:

onde a variáve l área re pre se nta a áre a do (4.32) e le me nto triangular cuja e xpre ssão pode se r obtida pe lo se guinte de te rminante dado:

(4.33)

De ve -se te r o cuidado de nume rar os nós do e le me nto no se ntido anti-horário para que o re sultado da e xpre ssão (4.33) se ja positivo. Como visto ante riorme nte , a matriz de rigide z de um e le me nto finito qualque r pode se r obtida por:

(4.34)

onde B é a matriz de compatibilidade cine mática que transforma de slocame ntos nodais e m de formaçõe s no inte rior do e le me nto

(4.35) e C é a matriz constitutiva que transforma o ve tor de de formaçõe s ε e m ve tor de te nsõe s σ para o mate rial de comportame nto line ar e lástico (le i de Hooke ) e a inte gral é e fe tuada no volume do e le me nto.

(4.36) Substituindo u(x, y) e υ(x, y) dado e m (4.31) e m (4.3), obté m-se :

(4.37) onde L é a matriz ope radora de de rivação de finida e m (4.3). A e xpre ssão (4.37) pode se r re e scrita como:

(4.38) o que pe rmite concluir que para o e le me nto e m que stão, a matriz B é obtida aplicando-se a matriz

ope radora de de rivação L à matriz N(x, y),

(4.39) re sultando e m:

onde Ni(x, y),x e Ni(x, y),y re pre se ntam a (4.40) de rivada de Ni(x,y) e m re lação à x e y, re spe ctivame nte , e e stão e xplicitadas a se guir:

(4.41)

A matriz de rigide z é dada por:

(4.42) no caso de a e spe ssura t se r constante na áre a do e le me nto. Ne sse conte xto, a inte gração da matriz de rigide z é trivial de vido ao fato de a matriz B se r constante , ou se ja, inde pe nde nte de x e y para o e le me nto e m que stão, o que pe rmite re e scre ve r (4.42) como:

(4.44) Caso a e spe ssura t não se ja constante no inte rior do e le me nto e la pode se r re pre se ntada por uma inte rpolação dos valore s nodais t i analogame nte àque la adotada para os campos de de slocame nto.

(4.44) Ne sse caso, se ria ne ce ssário re corre r a uma inte gração numé rica para e fe tuar a inte gração. Uma alte rnativa à inte gração numé rica, que forne ce bons re sultados, se ria adotar uma e spe ssura mé dia igual a um te rço da soma dos valore s nodais. Para e struturas e m e stado plano de de formação adota-se t igual a uma unidade de comprime nto.

4.3 Elementos da família Serendipity Um e le me nto finito é dito isoparamé trico quando as me smas funçõe s de inte rpolação são usadas para inte rpolar não ape nas grande zas cine máticas (de slocame ntos), como é usual nos e le me ntos conve ncionais, mas també m as grande zas

ge omé tricas (no caso coorde nadas). A família de sse s e le me ntos é chamada de família Serendipity, uma re fe rê ncia ao conto pe rsa infantil Os três príncipes de Serendip. Esta história conta as ave nturas de trê s príncipe s do Ce ilão, atual Sri Lanka, que viviam faze ndo de scobe rtas ine spe radas, cujos re sultados e le s não e stavam procurando re alme nte . Graças à sua capacidade de obse rvação e sagacidade , de scobriam “acide ntalme nte ” a solução para dile mas impe nsados. Essa caracte rística tornava-os e spe ciais e importante s, não ape nas por te re m um dom e spe cial, mas por te re m a me nte abe rta para as múltiplas possibilidade s. Como se rá visto mais adiante , para um e le me nto quadrilate ral como o re pre se ntado na Figura 4.4, os campos que de scre ve m as coorde nadas carte sianas de ve m se r polinômios de 4 te rmos e m coorde nadas paramé tricas para cada coorde nada.

FIGURA 4.4 Elemento isoparamétrico de 4 nós da família Serendipity.

Assim, os polinômios paramé tricos são:

(4.45) ou, matricialme nte ,

ou, sucintame nte ,

(4.46)

(4.47) A e scolha de polinômios de 4 te rmos com 8 coe ficie nte s incógnitos a i pode agora se r justificada pe las 8 condiçõe s de contorno se guinte s:

(4.48)

que pode m se r re e scritas pe la e xpre ssão (4.46).

ou, sucintame nte ,

(4.49)

(4.50) ou

(4.51) onde o ve tor d conté m os de slocame ntos nodais. Substituindo a e xpre ssão (4.51) e m (4.47), obté m-se :

(4.52) ou, ainda,

(4.53) se ndo,

(4.54) A matriz N(ξ,η) te m a forma:

Obse rvando-se as e quaçõe s (4.55) e (4.53) é possíve l e scre ve r:

(4.55)

(4.56)

Analogame nte , as coorde nadas x(ξ,η) e y(ξ,η) pode m se r e scritas e m função das coorde nadas nodais, ou se ja:

(4.57)

onde , xi e yi são as coorde nadas nodais e ui e υ i são os de slocame ntos nodais re lativos aos e ixos x e y, re spe ctivame nte .

As funçõe s de inte rpolação Ni(ξ,η) são dadas por:

(4.58)

As e xpre ssõe s (4.57) pe rmite m mape ar um ponto P(ξ, η) do quadrado re pre se ntado no plano paramé trico para um ponto P(x, y) no quadriláte ro re pre se ntado no plano carte siano como indicado na Figura 4.4. A Figura 4.5 apre se nta a re pre se ntação ge omé trica da função de inte rpolação N1(ξ, η). As outras funçõe s de inte rpolação Ni(ξ, η) são análogas a N1(ξ, η), ou se ja, e las vale m 1 no nó i e 0 nos outros nós.

FIGURA 4.5

Função de interpolação N1(x, y).

Se ja uma função ϕ(x,y). Se x e y fore m de finidos conforme as e xpre ssõe s (4.56), a re lação e ntre as de rivadas de ϕ quanto às coorde nadas carte sianas e as de rivadas de ϕ no tocante às coorde nadas paramé tricas é dada pe la re gra da cade ia:

(4.59)

ou, matricialme nte ,

(4.60)

Pode -se de finir agora a matriz jacobiana J(ξ, η) como:

(4.61)

e , utilizando (4.56), obté m-se :

ou, matricialme nte ,

(4.62)

onde os subscritos ξ e η significam, (4.63) re spe ctivame nte , a de rivada e m re lação a ξ e η. Sucintame nte , (4.63) pode se r re e scrita como:

(4.64) Obse rvando (4.60), pode -se de duzir que a inve rsa da matriz jacobiana Γ(ξ,η), dada por,

(4.65)

transforma de rivadas paramé tricas de ϕ e m de rivadas carte sianas de ϕ. Se ndo assim, pode -se e scre ve r:

(4.66)

obse rva-se que as submatrize s e m (4.66) te m dime nsão 2 × 2. Sucintame nte , a e xpre ssão (4.66) pode se r e scrita como:

(4.67) onde , u,c é o ve tor que conté m as de rivadas carte sianas das compone nte s de de slocame ntos u e υ, u,p o ve tor que conté m as de rivadas paramé tricas das compone nte s de de slocame ntos u e υ e Γu a matriz que transforma de rivadas paramé tricas dos de slocame ntos e m de rivadas carte sianas dos de slocame ntos. As e xpre ssõe s (4.56) pe rmite m e scre ve r:

ou, sucintame nte :

(4.68)

(4.69) se ndo d o ve tor dos de slocame ntos nodais. Foi mostrado no Capítulo 2 que o de te rminante da matriz jacobiana é o fator de e scala que transforma a áre a e le me ntar dξdη no quadrado paramé trico e m áre a e le me ntar corre sponde nte no quadriláte ro do plano carte siano dA, como indicado a se guir.

(4.70) Como visto ante riorme nte , a matriz de rigide z de um e le me nto finito qualque r pode se r obtida por:

(4.71)

onde B é a matriz de compatibilidade cine mática que transforma de slocame ntos nodais e m de formaçõe s no inte rior do e le me nto. As compone nte s do ve tor de de formaçõe s pode m se r e scritas e m função do ve tor que conté m as de rivadas dos de slocame ntos u(x, y) e v(x, y) e m re lação as coorde nadas x e y, ou se ja:

(4.72)

ou, sucintame nte ,

(4.73) Usando-se agora (4.67) e (4.69), a e xpre ssão (4.73) pode se r re e scrita como:

(4.74) O que pe rmite concluir que a e xpre ssão para a matriz de compatibilidade cine mática B(ξ,η), para o

e le me nto e m que stão, vale ,

(4.75) e a matriz de rigide z pode se r dada por:

se ndo t a e spe ssura do e le me nto. Caso t (4.76) varie no inte rior do e le me nto, e le pode se r inte rpolado de forma análoga aos de slocame ntos e incorporado à inte gral A inte gração da matriz de rigide z é fe ita no plano paramé trico por inte gração numé rica porque , para o e le me nto isoparamé trico, as funçõe s e m que stão e stão de finidas ne sse e spaço. A inte gração da matriz de rigide z é fe ita por inte gração numé rica pe lo mé todo de Gauss. Se fore m usados ng pontos de Gauss com coorde nadas paramé tricas e e pe sos de inte gração , a e xpre ssão (4.76) pode se r re e scrita como:

e

Caso a e spe ssura t varie no inte rior do (4.76) e le me nto, e la pode se r inte rpolada de forma análoga aos de slocame ntos e incorporada ao somatório que e fe tua a inte gração numé rica. O e le me nto finito isoparamé trico quadrilate ral pode te r lados curvos quando possui 8 nós, se ndo 4 nos “vé rtice s” do quadriláte ro e 4 sobre os “lados” como indicado na Figura 4.6. Isso aconte ce porque o mape ame nto do quadriláte ro de 8 nós no plano paramé trico se torna um “quadriláte ro” de lados curvos no plano carte siano como se rá mostrado adiante .

FIGURA 4.6 Elemento isoparamétrico de 8 nós da família Serendipity.

Para e sse e le me nto de 8 nós, os polinômios paramé tricos de ve m te r 8 te rmos para de scre ve r o campo de de slocame nto u(ξ, η) e 8 te rmos para de scre ve r o campo de de slocame nto υ(ξ, η). Obse rvando o triângulo de Pascal que re pre se nta os te rmos de um polinômio no plano ξ,η como indicado na Figura 4.4, pode m-se e scolhe r os se guinte s 8 te rmos para os dois campos de de slocame nto conforme indicado na Equação (4.78).

FIGURA 4.7 Triângulo da Pascal e termos do polinômio completo p(ξ, η).

A e scolha dos 6 prime iros te rmos do polinômio é obvia, pois e le s formam um polinômio de se gundo grau comple to. Para comple tar os 8 te rmos, é pre ciso e scolhe r mais 2 te rmos do te rce iro grau. A justificativa

para a e scolha dos 2 te rmos ξ 2η e ξη2 pode se r dada pe lo fato de se re m simé tricos e mais ne utros dos que os te rmos ξ 3 e η3 e por conte re m as duas variáve is ξ e η. A re pre se ntação matricial forne ce :

ou, sucintame nte ,

(4.78)

(4.79) A e scolha de polinômios de 8 te rmos com 16 coe ficie nte s incógnitos a i pode agora se r justificada pe las 8 condiçõe s de contorno se guinte s:

(4.81)

que pode m se r re e scritas usando-se a e xpre ssão (4.79), como:

ou, sucintame nte ,

(4.82)

(4.83) ou

(4.84) Onde o ve tor d é o ve tor dos de slocame ntos nodais. Substituindo a e xpre ssão (4.84) e m (4.80), obté m-se :

(4.85)

Ou, ainda,

(4.86) se ndo

(4.87) A matriz N(ξ,η) te m a forma:

Obse rvando as e quaçõe s (4.87) e (4.88) é possíve l e scre ve r:

(4.88)

(4.89)

Analogame nte , as coorde nadas x(ξ, η) e y(ξ, η) pode m se r e scritas e m função das coorde nadas nodais, ou se ja:

(4.90)

onde , xi e yi são as coorde nadas nodais e ui e υ i são os de slocame ntos nodais re lativos aos e ixos x e y, re spe ctivame nte . As funçõe s de inte rpolação Ni(ξ, η) são dadas por:

(4.91)

As e xpre ssõe s (4.90) pe rmite m mape ar um ponto P(ξ,η) do quadrado re pre se ntado no plano paramé trico para um ponto P(x,y) no “quadriláte ro” re pre se ntado no plano carte siano como indicado na Figura 4.6. Na Figura 4.8, a re pre se ntação ge omé trica da função de inte rpolação N1(ξ,η) para o e le me nto de 8 nós é apre se ntada como uma combinação da função de inte rpolação N1(ξ,η)do e le me nto de 4 nós (prime iro te rmo da e xpre ssão de N1(ξ,η) para 8 nós) e das funçõe s N5 (ξ,η) e N8(ξ,η). As outras funçõe s de inte rpolação Ni(ξ,η) são análogas a N1(ξ,η), ou se ja, e las vale m 1 no nó i e 0 nos outros 7 nós.

FIGURA 4.8 Funções de interpolação N1(ξ, η), N5(ξ, η) e N8(ξ, η) do elemento isoparamétrico de 8 nós.

A matriz jacobiana de finida na e xpre ssão (4.61) vale agora:

ou, matricialme nte ,

(4.92)

onde os subscritos ξ e η significam a (4.93) de rivada e m re lação a ξ e η, re spe ctivame nte . Sucintame nte , (4.93) pode se r re e scrita como:

(4.94) Uma ve z obtida J(ξ,η), pode -se che gar a Γ(ξ,η):

(4.95) e as de rivadas carte sianas dos de slocame ntos por:

Obse rve que as submatrize s e m (4.96) te m (4.96) dime nsão 2 × 2. Sucintame nte , (4.96) pode se r e scrita como:

(4.97) As e xpre ssõe s (4.90) pe rmite m e scre ve r:

(4.98) onde

e , o ve tor d,

(4.99)

(4.100)

Como já visto ante riorme nte , o de te rminante da matriz jacobiana é o fator de e scala que transforma a áre a e le me ntar dξdη no quadrado paramé trico e m áre a e le me ntar corre sponde nte no quadriláte ro do plano carte siano dA, como indicado a se guir.

(4.101)

A matriz de compatibilidade cine mática é agora dada por:

(4.102) E a matriz de rigide z:

se ndo t a e spe ssura do e le me nto. A (4.103) inte gração da matriz de rigide z é fe ita no plano paramé trico por inte gração numé rica pe lo Mé todo de Gauss. Se fore m usados ng pontos de Gauss com coorde nadas paramé tricas e e pe sos de inte gração e , a e xpre ssão (4.103) pode se r re e scrita como:

(4.104)

4.4 Elementos da família de Lagrange A família dos e le me ntos lagrange anos é assim de nominada porque as funçõe s de inte rpolação de sse s e le me ntos pode m se r facilme nte ge radas por produtos de polinômios de Lagrange . Polinômios de Lagrange de prime iro grau pode m se r obtidos com o uso das coorde nadas dos pontos notáve is ξ 0 = −1 e ξ 1 = 1 no e ixo ξ, como indicado a se guir:

(4.105)

(4.106) O polinômio de Lagrange Lξ i(ξ) te m a proprie dade de vale r 1 na coorde nada ξ i e 0 nas coorde nadas ξ j, para j ≠ i. A Figura 4.9 e sclare ce .

FIGURA 4.9 pontos.

Polinômio de Lagrange Lξ0(ξ) para 2

Analogame nte , polinômios de prime iro grau de Lagrange Lη0(η) e Lη1(η) pode m se r ge rados com o uso das coorde nadas dos pontos notáve is η0 = −1 e η1 = 1 no e ixo η como indicado a se guir:

(4.107)

(4.108) Uma forma simple s e siste mática de obte r funçõe s

de inte rpolação, també m de nominadas de funçõe s de forma, para e le me ntos finitos pode se r por me io de produtos de polinômios lagrange anos. A função de inte rpolação N1(ξ,η) no plano paramé trico para o e le me nto quadriláte ro re pre se ntado na Figura 4.5 pode se r obtida por:

Analogame nte , as de mais funçõe s Ni(ξ,η), i = 2,..4, são dadas por:

(4.109)

(4.110)

(4.111)

Obse rve que as funçõe s de inte rpolação (4.112) do e le me nto de 4 nós da família de Lagrange são idê nticas às funçõe s de inte rpolação do e le me nto de 4 nós da família Serendipity dadas e m (4.58). Os e le me ntos são, portanto, iguais e isoparamé tricos. Os polinômios de Lagrange do se gundo grau aqui de nominados de Lξ 0(ξ), Lξ 1(ξ) e Lξ 2(ξ) são ge rados com o uso das coorde nadas notáve is ξ 0 = −1, ξ 1 = 0 e ξ 2 = 1 no e ixo ξ como indicado a se guir:

(4.113)

(4.114)

(4.115) O polinômio de Lagrange Lξ i(ξ) te m a proprie dade de vale r 1 na coorde nada ξ i e 0 nas coorde nadas ξ j, para j ≠ i. A Figura 4.10 e sclare ce .

FIGURA 4.10 pontos.

Polinômio lagrangeano Lξ0(ξ) para 3

Analogame nte , polinômios de Lagrange Lη0(η), Lη1(η) e Lη2(η) pode m se r ge rados com o uso das coorde nadas dos pontos notáve is η0 = −1z, η1 = 0 e η2 = 1 no e ixo ξ como indicado a se guir:

(4.116)

(4.117)

(4.118) Proce de ndo de mane ira análoga àque la utilizada com polinômios de Lagrange de prime iro grau, funçõe s de inte rpolação Ni(ξ,η) no plano paramé trico pode m se r ge radas para o e le me nto “quadriláte ro” de 9 nós. O e le me nto pode mode lar lados curvos. O e le me nto possui 8 nós no contorno, se ndo 4 nos “vé rtice s” do “quadriláte ro” e 4 sobre os “lados” e um nó ce ntral como indicado na Figura 4.11. O nó ce ntral é ne ce ssário porque as funçõe s Ni(ξ,η) vale m ze ro e m ξ = 0 e η = 0.

FIGURA 4.11 Mapeamento do ponto P(ξ,η) do quadrilátero no plano paramétrico no ponto P(x, y) do “quadrilátero” de lados curvos no plano cartesiano.

A função de forma N1(ξ,η) no plano paramé trico pode se r obtida por:

(4.119) A função N1(ξ,η) que vale 1 no nó 1 e 0 nos de mais nós, e stá re pre se ntada na Figura 4.12.

FIGURA 4.12 Função de interpolação N1(ξ,η) do elemento lagrangeano de 9 nós.

Analogame nte , as de mais funçõe s Ni(ξ,η), i = 2, ..., 9, são dadas por:

(4.120) (4.121)

(4.122) (4.123) (4.124) (4.125) (4.126) (4.127) Uma ve z de finidas as funçõe s de inte rpolação Ni(ξ,η),a formulação dos e le me ntos de 4 ou 9 nós se gue o me smo padrão do e le me nto isoparamé trico da família Serendipity. Se ndo nnos , o núme ro de nós do e le me nto, pode -se e scre ve r:

(4.128) e,

(4.129) onde , xi e yi são as coorde nadas nodais do nó i re lativas aos e ixos horizontal x e ve rtical y, re spe ctivame nte ; e ui e υ i são os de slocame ntos nodais do nó i re lativos aos e ixos x e y, re spe ctivame nte . A e xpre ssão (4.129) pode se r re e scrita como:

(4.130) Onde a matriz N(ξ,η) te m a forma com nnos se ndo o núme ro de nós do e le me nto.

E o ve tor d é de finido como:

(4.131)

(4.132)

Usando a matriz jacobiana J(ξ,η) já utilizada nos e le me ntos da família Serendipity,

(4.133)

e , ge ne ralizando para um e le me nto de nnos nós, obté m-se :

ou, matricialme nte ,

(4.134)

onde os subscritos ξ e η significam a (4.135) de rivada e m re lação a ξ e η, re spe ctivame nte . Sucintame nte , a e xpre ssão (4.135) pode se r re e scrita como:

(4.136) Como já visto ante riorme nte , a inve rsa da matriz jacobiana Γ(ξ,η) que como J(ξ,η) te m dime nsão 2x2, é obtida da ope ração:

(4.137) transforma de rivadas paramé tricas de uma função e m de rivadas carte sianas da me sma função. Se ndo assim, pode -se e scre ve r:

ou, sucintame nte ,

(4.138)

(4.139) Onde , u,c é o ve tor que conté m as de rivadas carte sianas das compone nte s de de slocame ntos u e υ, u,p o ve tor que conté m as de rivadas paramé tricas das compone nte s de de slocame ntos u e υ e Γu a matriz 4x4 que transforma de rivadas paramé tricas dos de slocame ntos e m de rivadas carte sianas dos de slocame ntos. As e xpre ssõe s (4.129) pe rmite m e scre ve r:

(4.140) onde , DNd(ξ,η) é uma matriz que conté m as de rivadas das funçõe s de inte rpolação e m re lação às coorde nadas paramé tricas com o se guinte aspe cto:

Em analogia a (4.102) a matriz B de (4.141) compatibilidade cine mática pode se r e scrita como:

(4.142) Como já visto ante riorme nte , o de te rminante da matriz jacobiana é o fator de e scala que transforma a áre a e le me ntar dξdη no quadrado paramé trico e m áre a e le me ntar corre sponde nte no quadriláte ro do plano carte siano dA, como indicado a se guir.

(4.143) A partir da matriz B e da e xpre ssão (4.143) pode -se obte r a matriz de rigide z como nos ite ns ante riore s. A e xpre ssão para a inte gral numé rica també m é análoga

às que foram obtidas para o e le me nto “Se re ndipidy”:

4.4.1 Condensação Da Matriz De Rigidez Os e le me ntos da família Serendipity e lagrange ana de 4 nós com funçõe s de inte rpolação formadas por polinômios biline are s (produto de 2 funçõe s line are s) são idê nticos. Todavia, o e le me nto lagrange ano cujas funçõe s de inte rpolação são formadas por produtos de polinômios quadráticos ge ra um e le me nto de 9 nós dife re nte do e le me nto Serendipity de 8 nós. O e le me nto lagrange ano de 9 nós pode , poré m, se r transformado num e le me nto de 8 nós com a e liminação do nó 9 inte rno. Usando o índice c para indicar os 8 nós do contorno e o índice i para indicar o nó inte rno 9, as e quaçõe s de e quilíbrio do e le me nto pode m se r e scritas como:

(4.144) Explicitando dina obté m-se :

se gunda

e quação e m (4.147),

(4.145)

A substituição de (4.148) na prime ira e quação e m (4.147), forne ce :

ou, sucintame nte ,

(4.146)

(4.147) Onde , Kr é a matriz de rigide z re duzida e fr o ve tor das cargas nodais re duzidas, onde os graus de libe rdade re fe re nte s ao nó 9 foram e xcluídos.

(4.148) (4.144) A té cnica de conde nsação re duz o núme ro total de nós do e le me nto lagrange ano “quadrático” para 8, mas não o torna igual ao e le me nto Serendipity de 8 nós.

4.5 Exemplos de problemas de estado plano 4.5.1 Estudo De Uma Viga Em Balanço, Influência Do Refinamento Da Malha Nos Resultados Solução pe la te oria da e lasticidade Conside re a viga e spe ssa e m balanço de largura e stre ita da Figura 4.13 com uma carga conce ntrada P aplicada na e xtre midade livre . A distribuição de te nsõe s na viga é dada por:

FIGURA 4.13

Viga em balanço.

(4.150)

(4.151) (4.152) Se ndo I o mome nto de iné rcia da se ção transve rsal dado por:

(4.153) o de slocame nto ve rtical total da linha e lástica da viga v(x) obtido para y = 0 é dado pe la soma da parce la de vida à fle xão, vb(x), com a parce la de corre nte do cisalhame nto, vs(x), logo:

(4.154) A parce la de vida à fle xão é dada por:

(4.155) e a de vida ao cisalhame nto:

(4.156) se ndo E o módulo de e lasticidade longitudinal, α s a re lação e ntre a te nsão (ou de formação) de cisalhame nto no e ixo da viga (y = 0) e a te nsão (ou de formação) mé dia de cisalhame nto da se ção transve rsal e G o módulo de e lasticidade transve rsal. Os valore s de G e α s pode m se r obtidos e m função do coe ficie nte de Poisson ν. A e xpre ssão para o cálculo de G é :

(4.157) De te rminaçõe s rigorosas do valor de α s pe la te oria da e lasticidade forne ce m para a se ção re tangular o se guinte valor:

(4.158) O de slocame nto δ no ponto do e ixo ne utro e na

e xtre midade livre (x = L e y = 0) pode se r e stimado para vigas e m balanço por:

(4.159) Dados do proble ma: b = 1; h = 3; L = 12; E = 20000; υ = 0,2; P = 1; Re sultados da te oria da e lasticidade Te nsão no ponto A, x = 0,5 e y = 1,5. σx(0,5; 1,5) = –7,667; De slocame nto na e xtre midade livre δ. δ = 0,0134; A e lástica υ(x) com as parce las corre sponde nte s à de formação por fle xão, υ b(x), e à de formação por cisalhame nto, υ s(x), e stão re pre se ntadas na Figura 4.14.

FIGURA 4.14

Elásticas da viga em balanço.

Re sultados das análise s por e le me ntos finitos Para as análise s da viga e m balanço por e le me ntos finitos, são ge radas 12 malhas, 6 malhas com e le me ntos isoparamé tricos de 4 nós e 6 com e le me ntos CST. As malhas são nume radas de 1 a 6 para cada tipo de e le me nto. As malhas dos e le me ntos isoparamé tricos de 4 nós e stão re pre se ntadas na Figura 4.15. a) Malhas de elementos isoparamétricos: as

distribuiçõe s dos e le me ntos adotadas para as malhas são dadas na Tabe la 4.1, onde neh é o núme ro de e le me ntos na dire ção horizontal, nev o núme ro de e le me ntos na dire ção ve rtical e ne o núme ro total de e le me ntos. Tabela 4.1 Distribuições dos elementos na malha

b) Malhas de elementos CST: as malhas de e le me ntos CST são ge radas dividindo-se cada quadrado das malhas de e le me ntos isoparamé tricos e m 2 triângulos como indicado na Figura 4.16. De ssa forma são ge radas as malhas de 1 a 6 com, re spe ctivame nte , 6, 24,36, 72, 144 e 480 e le me ntos.

FIGURA 4.15 4 nós.

Malhas de elementos isoparamétricos de

FIGURA 4.16

Formação da malha de triângulos.

Obse rvaçõe s: a) Todos os re sultados são obtidos com o programa MTOOL. b) As te nsõe s re fe re nte s às malhas 1 a 5 são calculadas no inte rior dos e le me ntos que conté m o ponto A (0.5; 1.5). c) As te nsõe s re fe re nte s à malha 6 são calculadas com a mé dia dos valore s dados nos pontos no inte rior dos e le me ntos na vizinhança do ponto A (0.5; 1.5) porque o nó dos mode los re cai sobre e sse ponto. d) As te nsõe s e stão re pre se ntadas no gráfico e m valor absoluto. Nos re sultados dos programas e las apare ce m com valor ne gativo por se re m de compre ssão. Os de slocame ntos ve rticais na e xtre midade livre

e stão re pre se ntados na Figura 4.17 para as 6 malhas e studadas. Os pontos i de 1 a 6 no e ixo horizontal re pre se ntam as malhas de 1 a 6. Os valore s dTi, e dQi, marcados no e ixo ve rtical, re pre se ntam, re spe ctivame nte , os de slocame ntos na e xtre midade livre para as malhas i de e le me ntos triangulare s e quadrilate rais. A linha horizontal trace jada re pre se nta o valor dado pe la te oria da e lasticidade do de slocame nto ve rtical na e xtre midade livre δ.

FIGURA 4.17 Deslocamentos verticais na extremidade livre para as malhas i.

Analogame nte , a te nsão σx no ponto A de coorde nadas (0.5; 1.5) e stá re pre se ntada na Figura 4.18 para as 6 malhas e studadas. Os pontos i de 1 a 6 no e ixo horizontal re pre se ntam as malhas de 1 a 6. Os valore s σTi, e σQi, marcados no e ixo ve rtical, re pre se ntam, re spe ctivame nte , as te nsõe s no ponto A para as malhas i de e le me ntos triangulare s e quadrilate rais. A linha horizontal trace jada re pre se nta o valor dado pe la te oria da e lasticidade para a te nsão no ponto A, σe.

FIGURA 4.18 malhas i.

Tensão σx no ponto A(0,5; 1,5) para as

Como e ra de se e spe rar, com o re finame nto da malha, os re sultados conve rge m para os re sultados pre vistos pe la te oria da e lasticidade . Os e le me ntos isoparamé tricos de 4 nós forne ce m me lhore s re sultados do que os e le me ntos CST, ape sar das malhas i de e le me ntos CST apre se ntare m o dobro dos e le me ntos das corre sponde nte s malhas de e le me ntos isoparamé tricos de 4 nós. Isso se de ve ao campo de de slocame ntos mais rico do e le me nto quadrilate ral e m

re lação ao do e le me nto CST. Me smo com 240 e le me ntos quadrilate rais e com 480 e le me ntos triangulare s os re sultados não atinge m os valore s te óricos.

4.5.2 Exemplo Da Barra Tracionada, Elemento CST Dados do proble ma: módulo de elasticidade, E = 20000; coeficiente de Poisson, υ = 0,2; carga P = 10 largura da seção transversal, b = 1; altura da seção transversal, h = 1 comprimento da barra, 2L = 4. Dados do mode lo de e le me ntos finitos: nnodes = 6 (número de nós); nelem = 4 (número de elementos)

FIGURA 4.19

Malha adotada.

Solução do problema pela resistência de materiais A = Área da seção Transversal A = h · b A = 1 F = Força resultante axial F = 2P F = 20 σ = Tensão axial

σ = 20 ε = Deformação axial

ε = 0,001 δ = Alongamento de barra δ = ε · 2L δ = 0,004 Solução por elementos finitos A solução é apre se ntada e m pse udolinguage m de programação. Le itura ou de finição da matriz das coorde nadas nodaisx. Na linha i da matriz x e stão as coorde nadas xi (prime ira coluna) e yi (na se gunda coluna) do nó i.

O ve tor das forças nodais f e a matriz de rigide z global K são inicializados (ze rados). A variáve l gdl é o núme ro total de de slocame ntos nodais, livre s e fixos, que no caso do proble ma plano é de 2 ve ze s o núme ro de nós. A notação i = j...n, significa que se rá criado um ciclo (loop), onde a variáve l i varia de j até n. gdl = 2 · nnodes i = 1..gdl

fi = 0 j = 1..gdl Ki,j = 0 A matriz constitutiva C é calculada para o e stado plano de te nsão.

A matriz de incidê ncia Incé de finida. O e le me nto Incij da matriz conté m o núme ro do nó i do e le me nto j, se ndo os nós nume rados no se ntido anti-horário.

As vinculaçõe s ou re striçõe s da e strutura são de finidas. A variáve l ndirres de fine o núme ro de de slocame ntos re stringidos e nquanto o ve tor nres com ndirres e le me ntos de fine as dire çõe s que de ve m se r

vinculadas. A cada nó i são associadas duas dire çõe s, nome adame nte , dire ção 2.i-1 e dire ção 2.i.

A matriz de rigide z local do e le me nto m é calculada. m = 1..nelen Constante s da matriz de compatibilidade cine mática Bm do e le me nto m são calculadas.

se ndo a m a áre a do e le me nto. A matriz Bm do e le me nto m é de finida.

A matriz de rigide z do e le me nto Ke(m) do e le me nto m é de finida. Ke(m) = BTm · C · Bm · a m · b Os ponte iros que re lacionam os graus de libe rdade i do e le me nto m (i de 1 a 6) com os graus de libe rdade do e le me nto m na malha da e strutura dg i,m são calculados.

Montage m da matriz de rigide z da e strutura K Para i = 1..6 j = 1..6

Os valore s não nulos do ve tor das forças nodais são de finidos.

Introdução dos vínculos na matriz de rigide z com a té cnica do núme ro grande : k = 1..ndirres

Cálculo do ve tor dos de slocame ntos nodais da e strutura d:

Cálculo do ve tor dos de slocame ntos nodais dem do e le me nto m: m = 1..nelem

Cálculo do ve tor de de formaçõe s ε m e do ve tor de te nsõe s σm no e le me nto m. ε m = Bm · dem σm = C εm Valore s de ε m e σm obtidos para o e le me nto 4.

De ve -se obse rvar que os re sultados re produze m os re sultados da re sistê ncia dos mate riais. ε = 0,001, s = 20 e d = 0,004

4.5.3 Exemplo De Cálculo De Cargas

Equivalentes Nodais, Elemento Isoparamétrico Bilinear. Programa e m pse udolinguage m de programação. Vetor das cargas equivalentes nodais fc para cargas concentradas no interior do elemento. Pontos notáve is e pe sos de Gauss:

Coorde nadas nodais:

FIGURA 4.20

Dimensões do elemento.

Matriz de coorde nadas nodais:

Espe ssura: t = 1 Funçõe s de inte rpolação e suas de rivadas:

Matriz de inte rpolação N(ξ,η) com as funçõe s de inte rpolação:

Matriz com as de rivadas paramé tricas das funçõe s de inte rpolação DNx(ξ,η) para obte nção da matriz jacobiana J(ξ,η):

Matriz jacobiana J(ξ,η) e inve rsa da jacobiana Γ(ξ,η):

Cálculo do de te rminante de J(ξ,η): de t J(ξ,η) = |J(ξ,η)| Ve tor das cargas e quivale nte s nodais fc re lativas às cargas conce ntradas fcx e fcy aplicadas no ponto P de coorde nadas ξP = 1/2 e ηP = 2/3 no inte rior do e le me nto.

FIGURA 4.21

Cargas concentradas no ponto P(ξP,ηP).

Como se pode ve rificar a se guir, as cargas e quivale nte s nodais formam um siste ma e staticame nte e quivale nte às cargas aplicadas: Somatório das forças horizontais: fc1 + fc3 + fc5 + fc7 = 20 Somatório das forças ve rticais: fc2 + fc4 + fc6 + fc8 = 30 Vetor das cargas equivalentes nodais fq relativas às cargas distribuídas qx e qy no interior do elemento

FIGURA 4.22

qx = 2; qy = 3 Re sultante s: áre a = 2

Cargas distribuídas na área do elemento.

Inte gração de Gauss na áre a do e le me nto:

Como se pode ve rificar a se guir, as cargas e quivale nte s nodais formam um siste ma e staticame nte e quivale nte às cargas aplicadas:

Somatório das forças horizontais: fq 1 + fq 3 + fq 5 + fq 7 = 4 Somatório das forças ve rticais: fq 2 + fq 4 + fq 6 + fq 8 = 6 Vetor das cargas equivalentes nodais fp relativas às cargas distribuídas px e py aplicadas ao longo do bordo ξ = 1 do elemento.

FIGURA 4.23 Cargas distribuídas ao longo do bordo ξ = 1 do elemento.

px = 2; py = 3 Re sultante s: L = comprimento do bordo; L = 1

Inte gração de Gauss ao longo do bordo ξ =1 do e le me nto:

Como se pode ve rificar a se guir as cargas e quivale nte s nodais formam um siste ma

e staticame nte e quivale nte às cargas aplicadas: Somatório das forças horizontais: fp1 + fp3 + fp5 + fp7 = 2 Somatório das forças ve rticais: fp2 + fp4 + fp6 + fp8 = 3

4.5.4 Exemplo De Placa Circular Vazada, Elemento Isoparamétrico Bilinear. Proble ma de sólido de re volução re solvido como proble ma de e stado plano Dados: re = 20; ri = 10; pe = pi = p = 10; E = 20000; υ = 0,2; t = 1

FIGURA 4.24

Placa circular vazada.

Solução pela teoria da elasticidade

Observação: como as compone nte s de te nsõe s σr e sσθ são ortogonais e do me smo valor (−10) e t rz é nulo, o circulo de Mohr e m cada ponto se re duz a um ponto no e ixo σ, logo σx, σy = −10, t xy = 0. Função de de slocame nto ur(r) ao longo de r.

FIGURA 4.25

Gráfico da função ur(r).

Solução por elementos finitos Malha de e le me ntos finitos utilizada para a análise do proble ma.

FIGURA 4.26 Malha adotada com uso da dupla simetria do problema.

Dados: nnodes = 25; nelem = 16; gdl = 2 · nnode s; ri = 10; re = 20; Δr = (re– ri)/4; Inicialização:

Geração das coordenadas nodais A matriz n(i,j) armaze na a nume ração dos nós. O prime iro nó ge rado é n(1,1) = 1. Quando i varia de 2 a 5 com j mantido igual a 1, os outros nós sobre a circunfe rê ncia com me smo r são ge rados. Os nós com me smo j formam uma linha re ta que passa pe la orige m do siste ma de coorde nadas e te m inclinação constante e m re lação ao e ixo X. Em se guida, com j = 2, os nós com r = ri + Δr são ge rados e assim suce ssivame nte com raios iguais para pontos de me smo j. A matriz r(i,j) armaze na os raios dos nós n(i,j). O ve tor α(i) armaze na os ângulos e m radianos com o e ixo X das re tas que conté m os pontos com me smo i.

Finalme nte , pode -se e scre ve r:

Ge ração da matriz das coorde nadas nodais X: i = 1..nnodes

Pontos notáve is e pe sos de Gauss:

Matriz de incidê ncia:

De finição das funçõe s de inte rpolação e suas de rivadas:

De finição da matriz DNd(ξ,η) e DNx(ξ,η):

De finição da matriz He da matriz constitutiva Cpara o proble ma de e stado plano de te nsõe s:

Ciclo para ge rar as matrize s dos e le me ntos: m = 1..nelem Coorde nadas nodais do e le me nto m:

Matriz Xe(m) com e le me nto m:

as

coorde nadas

nodais

do

Matriz jacobiana J(ξ,η,m) e sua inve rsa Γ(ξ,η,m) para e le me nto m:

Ge ração da matriz Γ u(ξ,η,m).

Matriz de compatibilidade cine mática B(ξ,η,m) do e le me nto m:

Calculo do de te rminante de J(ξ,η,m) para o e le me nto m:

Cálculo da matriz de rigide z coorde nadas ξ,η do e le me nto m:

Matriz de rigide z do e le me nto m:

no

ponto

de

Montagem da matriz de rigidez da estrutura Ponte iros:

i = 1..8 j = 1..8

Vinculação pe la té cnica do núme ro grande : ndirres = 10 Dire çõe s re stringidas:

k = 1..ndirres

Ve tor das forças nodais e quivale nte s f:

Nós da face inte rna:

i = 2..4

Nós da face e xte rna:

i = 2..4

Cálculo do ve tor de de slocame ntos nodais d da e strutura: d = K−1·f

Cálculo dos ve tore s dos de slocame ntos nodais de (m) do e le me nto m: m = 1..nelem

Cálculo dos ve tore s de de formação e de te nsão no e le me nto m:

Re sultado para o e le me nto 1 com coorde nadas paramé tricas ξ = 0 e η = 0:

De ve -se le mbrar que a solução por e le me ntos finitos mode lou o proble ma como um proble ma de e stado plano de te nsão. De sse modo, os re sultados forne cidos e m te rmos de de formação e te nsão re fe re m-se a compone nte s de de formação εx, εy e γxye corre sponde nte s compone nte s de te nsão σx, σy e τxy. Todavia, as compone nte s de te nsão σx, σy e τxy corre sponde m e xatame nte às compone nte s de te nsão σr, σθ e τrθ do proble ma axissimé trico re solvido pe la te oria da e lasticidade uma ve z que o círculo de Mohr se de ge ne ra e m um ponto que torna os re sultados inde pe nde nte s do siste ma de coorde nadas adotado, tanto para te nsõe s como para de formaçõe s. Pode -se obse rvar que os re sultados da solução por e le me ntos finitos se aproximam bastante dos re sultados te óricos dados pe la te oria da e lasticidade . O proble ma re solvido como proble ma de e stado plano não forne ce as compone nte s de de formação e de te nsão na dire ção z.

4.5.5 Exemplo De Barra Tracionada Modelada Por Elemento De Lagrange De 9 Nós Coorde nadas paramé tricas notáve is:

Polinômios de Lagrange :

Re pre se ntação gráfica do polinômio de Lagrange Lξ2(ξ). Obse rva-se que e le vale 0 nas coorde nadas paramé tricas−1 e 0 e 1 na coorde nada paramé trica +1:

FIGURA 4.27

Polinômio lagrangeano Lξ2(ξ).

FIGURA 4.28 Elemento langrageano de 9 nós no plano paramétrico.

Funçõe s de inte rpolação do e le me nto:

Re pre se ntaçõe s gráficas inte rpolação N2(ξ,η) e N9(ξ,η):

FIGURA 4.29

das

funçõe s

de

Função N2(ξ,η) e N9(ξ,η).

Coorde nadas nodais: x1 = 1; x2 = 5; x3 = 5; x4 = 1; x5 = 3; x6 = 5; x7 = 3; x8 = 1; x9 = 3 y1 = 1; y2 = 1; y3 = 3; y4 = 3; y5 = 1; y6 = 2; y7 = 3; y8 = 2; y9 = 2 Parâme tros ge omé tricos e me cânicos: e spe ssura t =

1; módulo de e lasticidade E = 1.000; coe ficie nte de Poisson ν = 0,2; carga distribuída p = +10 no bordo ξ = +1. Matriz das coorde nadas nodais X:

FIGURA 4.30 problema.

Malha de 1 elemento e dados do

Pontos notáve is e pe sos de Gauss:

Matriz constitutiva C e matriz H do proble ma de e stado plano de te nsõe s:

De rivadas inte rpolação:

paramé tricas

das

funçõe s

de

Matriz DNd(ξ,η):

Matriz DNx(ξ,η):

Matriz jacobiana

De te rminante da matriz jacobiana J(ξ,η).

Inve rsa da matriz jacobiana Γ(ξ,η).

Matriz Γ u(ξ,η).

Matriz de compatibilidade cine mática B(ξ,η).

Cálculo da matriz de rigide z coorde nadas paramé tricas ξ,η.

no

ponto

de

Partição da matriz de rigide z e m submatrize s corre sponde nte s aos graus de libe rdade c do contorno (nós de 1 a 8) e graus de libe rdade i corre sponde nte s ao nó inte rior 9:

Matriz de rigide z conde nsada Krr:

Ve tor das forças e quivale nte s nodais f:

Partição e cálculo do ve tor das cargas e quivale nte s nodais conde nsadas f r:

Introdução dos vínculos na matriz de conde nsada com a té cnica do núme ro grande :

rigide z

Cálculo do ve tor dos de slocame ntos conde nsados dr:

Cálculo do ve tore s de de slocame ntos do contorno dc e do nó inte rno di:

Cálculo do ve tor de de slocame ntos d:

Cálculo das de formaçõe s e te nsõe s no ponto de coorde nada paramé trica ξ,η:

O re sultado e xato é σx = 10, σy = τxy = 0:

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CAPÍTULO 6

Sólidos tridimensionais 6.1 Introdução Exe mplos de sólidos tridime nsionais (3D) e m Enge nharia Civil são: blocos de e staca, sapatas, blocos de fundaçõe s de máquinas, e tc. As análise s de sólidos 3D por e le me ntos finitos são, ainda hoje , pouco utilizadas de vido a dificuldade na ge ração da malha. Ultimame nte , grande s avanços tê m sido fe itos com o apare cime nto de programas para a ge ração automática de malhas tridime nsionais.

6.1.1 Equações De Compatibilidade Os campos de de slocame nto de um sólido são u(x,y,z), υ(x,y,z) e w(x,y,z), re spe ctivame nte na dire ção dos e ixos x, y e z. As compone nte s de de formação são dadas por:

(6.1)

Em notação ve torial:

(6.2)

ou, matricialme nte ,

(6.3)

ou, sucintame nte :

(6.4) Em (6.4), é o ve tor das de formaçõe s, L a matriz ope radora de de rivação e u o ve tor das compone nte s de de slocame ntos.

6.1.2 Equações Constitutivas A le i de Hooke e o e fe ito de Poisson pe rmite m e scre ve r

na forma matricial:

ou, sucintame nte ,

(6.5)

(6.6) A re lação inve rsa pode se r e xpre ssa por:

(6.7) se ndo C a matriz constitutiva para um mate rial isotrópico e line ar e lástico de uma e strutura 3D, dada por:

(6.8)

6.2 Elemento tetraedro O e le me nto te trae dro de 4 nós re pre se ntado na Figura 6.1 para proble mas de sólidos tridime nsionais també m apre se nta de formação constante assim como o e le me nto triangular de 3 nós para o proble ma de e stado plano como se rá visto adiante .

FIGURA 6.1 liberdade.

Elemento tetraedro e seus graus de

Os campos que de scre ve m os de slocame ntos no inte rior do e le me nto são polinômios line are s e m x, y e z, ou se ja:

ou, matricialme nte ,

ou, sucintame nte ,

(6.9)

(6.10)

(6.11) A e scolha de polinômios line are s de 4 te rmos com 12 coe ficie nte s incógnitos a i pode agora se r justificada pe las 12 condiçõe s de contorno se guinte s:

(6.12)

que pode m se r re e scritas usando-se a e xpre ssão (6.9) como:

ou, sucintame nte ,

(6.13)

(6.14) ou,

(6.15) onde o ve tor d conté m os de slocame ntos nodais.

(6.16)

Substituindo a e xpre ssão (6.15) e m (6.11), obté m-se :

(6.17) ou, ainda,

(6.18) se ndo,

(6.19) A matriz N(x,y,z) te m a forma:

Obse rvando as e quaçõe s (6.18) e (6.20) é possíve l e scre ve r:

(6.20)

(6.21)

onde ui, υ i e wi são os de slocame ntos nodais re lativos aos e ixos x, y e z, re spe ctivame nte . O volume do e le me nto é re pre se ntado pe la variáve l Vol cuja e xpre ssão pode se r obtida pe lo de te rminante :

(6.22)

Usando mais uma ve z a e xpre ssão ge ral para a matriz de rigide z de um e le me nto finito qualque r, ou se ja:

(6.23) onde B é a matriz de compatibilidade cine mática que transforma de slocame ntos nodais e m de formaçõe s no inte rior do e le me nto, ou se ja:

(6.24)

C é a matriz constitutiva que transforma o ve tor de de formaçõe s e e m ve tor de te nsõe s s para o mate rial de comportame nto line ar e lástico (le i de Hooke ).

(6.25) No caso de um proble ma 3D, as compone nte s do ve tor de de formação e são dadas pe la e xpre ssão (6.3) que e stá re pre se ntada a se guir na forma matricial.

(6.26) onde L é a matriz ope radora de Substituindo-se (6.18) e m (6.26) obté m-se :

de rivação.

(6.27) A e xpre ssão (6.27) pode se r re e scrita como:

(6.28) o que pe rmite concluir que para o e le me nto e m que stão vale ,

(6.29) se ndo a matriz B dada por:

(6.30) onde as submatrize s Bi re pre se ntam a parce la de Bre lativa ao nó i, dada por:

(6.31)

Os coe ficie nte s b i, ci e di são dados por:

(6.32)

(6.33)

(6.34)

Os nós i, j, k e l se gue m a se quê ncia “i j k l i j k l .....”. Assim, se a nume ração local dos nós 1, 2, 3 e 4 corre sponde r aos nós globais 7, 9, 12, 15, B1, que corre sponde ao nó 7 global, se rá formada com as coorde nadas dos nós j = 9, k=12 e l=15. Já B 2,que corre sponde ao nó 9 global,se rá formada com as coorde nadas dos nós j=12, k=15 e l=7 e assim suce ssivame nte . A nume ração dos nós do e le me nto de ve se guir a se guinte re gra: olhando do nó i para os nós do triângulo oposto, os nós de ve m se r vistos no

se ntido horário para que o volume calculado pe la e xpre ssão (6.22) se ja positivo. A inte gração da matriz de rigide z é trivial de vido ao fato de a matriz B se r constante , ou se ja, inde pe nde nte de x, y e z para o e le me nto e m que stão, o que pe rmite re e scre ve r (6.23) como:

(6.35)

6.3 Elemento hexaedro O he xae dro é um e le me nto da família Serendipity de e le me ntos isoparamé tricos. Ele e stá re pre se ntado na Figura 6.2.

FIGURA 6.2

Elemento hexaedro.

As coorde nadas paramé tricas e le me nto são dadas por:

dos

nós

de sse

(6.36)

As funçõe s de inte rpolação são:

As coorde nadas de um ponto no inte rior do (6.37) e le me nto pode m se r obtidas por inte rpolação das coorde nadas nodais:

(6.38)

Assim como os de slocame ntos e m pontos inte riore s pode m se r obtidos por inte rpolação dos de slocame ntos nodais:

(6.39)

A matriz jacobiana J( ,h,z) é e xpre ssa como:

(6.40)

com

(6.41) Substituindo as e xpre ssõe s (6.38) e m (6.40), che ga-se a:

ou, sucintame nte ,

(6.42) (6.43)

De rivando-se as e xpre ssõe s (6.39) e m re lação às coorde nadas paramé tricas, che ga-se a:

ou, sucintame nte ,

(6.44)

(6.45) Sabe ndo que a matriz ξ(ε,ζ,z) transforma de rivadas paramé tricas de f e m de rivadas carte sianas, pode -se e scre ve r:

Onde a matriz 0 é uma matriz com valore s (6.46) nulos e de dime nsão 3x3. Sucintame nte , (6.46) pode se r re e scrita como:

(6.47) onde u,c é o ve tor que conté m as de rivadas carte sianas das compone nte s de de slocame ntos u, υ e w, u,p o ve tor que conté m as de rivadas paramé tricas das compone nte s de de slocame ntos u, υ e w e Γu(ξ,ε,ζ) a matriz que transforma de rivadas paramé tricas dos de slocame ntos e m de rivadas carte sianas dos de slocame ntos. É possíve l de monstrar també m que o de te rminante da matriz jacobiana é o fator de e scala que transforma

o volume e le me ntar dξ dε dζ no e spaço paramé trico e m volume e le me ntar corre sponde nte no e spaço carte siano dV = dx dy dz, como indicado a se guir.

(6.48) As compone nte s de de formação e m um proble ma tridime nsional e xpre ssas e m (6.2) pode m se r e scritas alte rnativame nte como:

ou, sucintame nte ,

(6.49)

(6.50) Usando (6.47) e (6.45), a e xpre ssão (6.50) pode se r re e scrita como:

o que pe rmite concluir que para o e le me nto e m que stão, a matriz B vale ,

(6.51)

(6.52) A obte nção da matriz de rigide z se dá por inte gração numé rica no e spaço paramé trico pe lo mé todo de Gauss. Se fore m usados ng pontos de Gauss com coorde nadas paramé tricas pe sos de inte gração a matriz de rigide z pode se r e scrita como:

(6.53)

6.4 Exemplo de barra tracionada modelada com sólido tridimensional, elemento hexaedro

FIGURA 6.3

Malha de 1 elemento para o problema.

Dados: P = 10; υ = 0,2 ; E = 20000; a = 2(lado do cubo). Funçõe s de inte rpolação triline are s e suas de rivadas:

Matriz DNx(ξ,ε,ζ):

Matriz jacobiana J(ξ,ε,ζ) sua inve rsa Γ(ξ,ε,ζ):

Γ(ξ,ε,ζ) = DNx(ξ,ε,ζ)−1 De te rminante da matriz jacobiana: de tJ(ξ,ε,ζ) = |J(ξ,ε,ζ)| Matriz H e matriz 0:

Matriz Γ u(ξ,ε,ζ):

Matriz DNdd(ξ,ε,ζ):

Matriz de compatibilidade cine mática B(ξ,ε,ζ): B(ξ,ε,ζ) = H·Γ u(ξ,ε,ζ): Matriz constitutiva C:

Matriz de rigide z no ponto P(ξ,ε,ζ): KP(ξ,ε,ζ) = B(ξ,ε,ζ)τ·C·B(ξ,ε,ζ)·de tJ(ξ,ε,ζ) Pontos notáve is e pe sos para inte gração de Gauss: npg = núme ro de pontos de Gauss npg = 8 (opção de 8 pontos de Gauss = 2 x 2 x 2)

Volume do e le me nto: Vol = 8 Ve tor das cargas nodais f: i = 1..24 fi = 0 Forças P na dire ção do e ixo y nos nós 3, 4, 7 e 8: f 8 = P; f 11= P; f 20 = P; f 23 = P Re striçõe s: i= 1..6 Ki,i = 106 · Ki,i K14,14 = 106 · K14,14; K17,17 = 106 · K17,17; Obse rve que no loop, os 3 de slocame ntos nas dire çõe s x,y e z dos nós 1 e 2 e os de slocame ntos na dire ção y dos nós 5 e 6 e stão se ndo re stringidos. Cálculo do ve tor de dos de slocame ntos d: d = K−1 · f Cálculo das de formaçõe s e te nsõe s no ponto P(ξ,ε,ζ):

Re sultados no ponto P(0,0,0):

Solução da resistência dos materiais:

Solução do modelo em elementos finitos: σ(0,0,0)2 = 10; ε(0,0,0)2 = 4,979 ×10−4; dε = 9,883×10−4

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CAPÍTULO 8

Análise de estabilidade 8.1 Introdução A se le ção de pilare s é muitas ve ze s a parte crucial de um proje to de uma e strutura porque qualque r falha pode ocasionar e fe itos catastróficos. Pilare s “e sbe ltos” pode m falhar por “flambage m” e lástica, isto é , por de slocame nto late ral e xce ssivo com comportame nto line ar do mate rial. Esforços axiais influe nciam significativame nte os de slocame ntos late rais e m pilare s assim como forças de compre ssão pode m produzir de slocame ntos transve rsais inde se jáve is e m chapas e cascas. Forças de tração pode m diminuir e sse s de slocame ntos, e forças de compre ssão te nde m a aume ntá-los ou me smo induzi-los. Para que se possa avaliar o e fe ito das cargas axiais e m pilare s é pre ciso re alizar uma análise não line ar ge omé trica com e quaçõe s de e quilíbrio e scritas na configuração de formada. Ne ssa análise , supõe -se que os de slocame ntos

late rais são pe que nos o suficie nte para validar a obte nção das e quaçõe s de e quilíbrio na configuração inde formada. A hipóte se de grande s de slocame ntos e pe que nas de formaçõe s te m sido suficie nte para avaliaçõe s pre cisas da carga crítica por flambage m. A flambage m de chapas pode ocorre r e m almas ou me sas de pe rfis me tálicos. Cilindros de se ção transve rsal circular vazada de pare de fina comprimidos axialme nte també m de ve m se r analisados quanto à instabilidade por flambage m e lástica.

8.2 Obtenção da carga crítica em pilares via solução das equações diferenciais 8.2.1 Carga Crítica No Pilar Ideal (Engaste – Extremidade Livre Ou Pilar Em Balanço Com Carga Centrada) Um pilar e ngastado na base e com a e xtre midade do topo livre e stá re pre se ntado na Figura 8.1. A carga de compre ssão aplicada no topo do pilar é P, a rigide z à fle xão da se ção transve rsal é EI, se ndo E o módulo de e lasticidade longitudinal e I o mome nto iné rcia à fle xão,

e o se u comprime nto L. A Figura 8.1.a re pre se nta a configuração de formada do pilar quando a carga ve rtical P é me nor do que a carga crítica Pcr. A Figura 8.1.b re pre se nta a sua configuração de formada quando a carga P atinge a carga crítica. Quando isso aconte ce diz-se que ocorre u a flambage m do pilar. A de formada do pilar é re pre se ntada por v(x). O de slocame nto horizontal na e xtre midade livre é d. Para calcular a carga crítica e m pilare s, a e quação de e quilíbrio de ve se r e scrita na configuração de formada. Da re sistê ncia dos mate riais sabe -se que , para uma se ção transve rsal distando x da base do pilar o mome nto inte rno, Mint(x) é dado por:

FIGURA 8.1 (pilar ideal).

Pilar engastado na base e livre no topo

(8.1) onde υ″(x) re pre se nta a curvatura da se ção calculada pe la de rivada se gunda de υ(x) e m re lação a x. O mome nto e xte rno na me sma se ção x é dado ne sse caso por:

(8.2) Para que haja e quilíbrio e m todas as se çõe s:

(8.3) logo,

(8.4) Faze ndo-se :

(8.5) a e xpre ssão (8.4) pode se r re e scrita como:

(8.6) A solução da e quação dife re ncial ordinária (8.6) é dada pe la soma da solução homogê ne a vH(x) com a solução particular υ p(x), ou se ja:

(8.7) onde ,

(8.8) Assim, a solução total vale :

(8.9) A prime ira de rivada de v(x) é e xpre ssa por:

(8.10) Cujas condiçõe s de contorno são:

(8.11) (8.12) Aplicando as condiçõe s de contorno e m (8.10), che gase a:

(8.13) (8.14) Introduzindo as constante s C1 e C2 e m (8.9), obté m-se :

(8.15) A e xpre ssão (8.15) re pre se nta o modo de flambage m da coluna, ou se ja, a forma com que e la flamba. Para x = L, υ(L) = δ, logo,

(8.16) A e quação (8.16) pe rmite duas soluçõe s como

indicado a se guir:

(8.17)

A prime ira das duas possibilidade s mostradas caracte riza uma situação de re pouso ou e stabilidade , pois δ ≠ 0. Essa solução não forne ce ne nhuma informação quanto à carga crítica de flambage m. A se gunda produz uma situação de flambage m ou instabilidade , já que δ ≠ 0 e , portanto, há um de slocame nto late ral inde te rminado da e xtre midade livre . Essa solução informa sobre a carga crítica de flambage m, pois:

Quando P atinge o valor dado e m (8.18), a (8.18) carga é de nominada de carga crítica Pcr por se r a carga que produz a flambage m ou instabilidade da coluna. Como o valor de δ é inde te rminado para P = Pcr, a curva P x d é dada e m azul na Figura 8.2. A inte rpre tação física de ssa curva é que ne nhum de slocame nto late ral

ocorre com P ≤ Pcr , ou se ja, δ = 0 ne sse caso. Todavia, quando P = Pcr, d se torna inde te rminado e a coluna flamba.

FIGURA 8.2 (8.19).

Relação P x δ para a curvatura dada por

Se a solução de sse proble ma tive sse sido obtida pe la e xpre ssão mais pre cisa da curvatura da se ção κ.

(8.19)

e não

(8.20) como foi usado ante riorme nte e m (8.1), a re lação P x δ se ria re pre se ntada pe la curva ve rme lha da Figura 8.2.

8.2.2 Fórmula Geral Para Carga Crítica Em Pilares Proce de ndo de modo análogo ao apre se ntado no ite m ante rior, cargas críticas e m pilare s pode m se r obtidas para dive rsos tipos de condiçõe s de contorno. Uma fórmula ge ral inte re ssante que pode se r aplicada a uma varie dade de pilare s é dada a se guir:

(8.21) onde K é o fator de comprime nto e fe tivo e KL = Le o

comprime nto e fe tivo (ou de flambage m) do pilar. A Tabe la 8.1 apre se nta vários valore s de K para dive rsos tipos de condiçõe s de contorno e m pilare s. A Figura 8.3 mostra pilare s com dife re nte s condiçõe s de contorno, se us re spe ctivos modos de flambage m e comprime ntos e fe tivos Le. É inte re ssante obse rvar que os comprime ntos e fe tivos re pre se ntam distâncias e ntre se çõe s de curvatura ou mome nto nulo do modo de flambage m. No pilar ide al, a figura foi e spe lhada para mostrar a distância e ntre as se çõe s re al e virtual de curvatura nula. Tabela 8.1 Valores de K para diversos tipos de condições de contorno

FIGURA 8.3 Comprimentos de flambagem L e para pilares com diferentes condições de contorno.

Observação: as soluçõe s obtidas por me io das e quaçõe s dife re nciais são importante s por vários aspe ctos: a) Pe rmite m uma compre e nsão conce itual do proble ma. b) São úte is nos cursos de e nge nharia como prime iro contato com o proble ma. c) Forne ce m soluçõe s que são benchmarks a se re m atingidos por outros mé todos.

Todavia, a re strição a e sse mé todo re side na sua capacidade limitada de re solve r proble mas mais comple xos e m te rmos de cargas e condiçõe s de contorno.

8.2.3 Tensões Críticas Em Pilares Uma ve z obtida a carga crítica de um pilar, é possíve l calcular a te nsão crítica de finida como:

se ndo r o raio de giração da se ção transve rsal e l a e sbe lte z do pilar, dados por:

(8.22)

(8.23) O conce ito de te nsão crítica introduz o parâme tro de e sbe lte z λ, tão importante como me dida da se nsibilidade do pilar à carga crítica. A fórmula me ncionada é chamada função de Eule r e graficame nte re pre se nta a curva de Eule r como

indicado na Figura 8.4.

FIGURA 8.4 esbeltez l.

Tensões críticas em pilares em função da

A Figura 8.4 é bastante e sclare ce dora quanto aos possíve is modos de colapso de um pilar. Pilare s com índice de e sbe lte z e le vados, λ ≥ λlim, atinge m o colapso por flambage m e lástica quando a te nsão atuante atinge a te nsão crítica da curva de Eule r ante s da te nsão re siste nte . Por outro lado, pilare s curtos, λ < λlim, tê m colapso plástico, pois a te nsão atuante atinge a

te nsão re siste nte ao e scoame nto ou e smagame nto ante s da te nsão crítica de Eule r.

8.3 Método aproximado de Rayleigh-Ritz para cálculo da carga crítica em pilares Como visto no Capítulo 3, o Mé todo de Rayle igh-Ritz usa funçõe s aproximadoras para as de formadas para obte r soluçõe s que se aproximam das soluçõe s analíticas quando re finadas, ou se ja, quando polinômios de grau mais e le vado ou sé rie s trigonomé tricas com mais te rmos são usados como funçõe s aproximadoras. Foi visto també m que o mé todo pode se r formulado a partir de princípios de e ne rgia. Inicialme nte , se rá de duzida a e xpre ssão do de slocame nto axial e le me ntar dΔ (na dire ção do e ixo x) re lativo a um comprime nto dx da coluna para um de slocame nto late ral dv (na dire ção do e ixo y) da e xtre midade supe rior do tre cho dx como re pre se ntado na Figura 8.5. A de formação axial da coluna de vida à carga P se rá de spre zada.

FIGURA 8.5

Relação entre dx, dv, dΔ e v,x.

(8.24) ou

(8.25) A parce la dΔ 2 pode se r de spre zada e m (8.25) porque o incre me nto dΔ te m uma orde m de grande za muito infe rior a dx e dυ, o que pe rmite e scre ve r:

(8.26) O de slocame nto ve rtical Δ na e xtre midade livre do pilar de vido aos de slocame ntos ve rticais incre me ntais dΔ pode se r obtido por inte gração, ou se ja:

(8.27)

(8.28) A e ne rgia pote ncial total do pilar é dada por PE = U + W p, isto é ,

(8.29) ou

O princípio da mínima e ne rgia pote ncial (8.30) total e stabe le ce que se a e strutura e stive r e m e quilíbrio e stáve l, υ(x) minimiza o funcional PE(υ(x)). Posto de ssa forma, o proble ma é de cálculo variacional. Usando uma função aproximadora para re pre se ntar υ(x), o proble ma passa a se r como e ncontrar o mínimo de uma função (mé todo de Rayle igh-Ritz). A função aproximadora de ve satisfaze r as condiçõe s de contorno e m de slocame nto até a orde m de de rivação “n-1”, se ndo n a maior orde m de de rivação que apare ce e m PE(υ(x)).

8.3.1 Exemplo 1 Do Método De RayleighRitz Se ja obte r uma e stimativa da carga crítica para o pilar ide al re pre se ntado na Figura 8.1 pe lo mé todo de Rayle igh-Ritz. A função aproximadora adotada para re pre se ntar o modo de flambage m da coluna é :

(8.31) A função satisfaz as condiçõe s de contorno até a

orde m n-1 = 1, ou se ja, de slocame nto transve rsal e rotação. d é o parâme tro incógnito. As de rivadas prime ira e se gunda de υ(x) são re spe ctivame nte :

(8.32) Substituindo as de rivada de υ(x) e m PE(υ(x)) e inte grando-as, che ga-se a:

(8.33) Aplicando-se a condição de mínimo, obté m-se :

(8.34)

(8.35) ou

(8.36) A e quação (8.36) te m duas soluçõe s possíve is:

A se gunda solução corre sponde , fisicame nte , a uma situação de flambage m da coluna, pois produz de slocame nto late ral. Logo, a e stimativa para Pcr pe lo mé todo de Rayle igh-Ritz para a função aproximadora dada e m (8.33) é :

(8.37) Vale obse rvar que , como a coluna flamba com P = Pcr, a possibilidade de te r

(8.38) Não te m inte re sse físico. Como vimos no ite m 8.2.1., a solução e xata de sse proble ma é :

(8.39) A aproximação obtida re pre se nta um e rro de 20%, o que é conside rado muito alto.

8.3.2 Exemplo 2 Do Método De RayleighRitz A nova função aproximadora adotada é :

(8.40) Se ndo δ, de novo, o de slocame nto late ral da e xtre midade livre . A função satisfaz as condiçõe s de contorno do proble ma. Re pe tindo o proce dime nto ante rior, che ga-se a:

(8.41) Aplicando-se a condição de mínimo, obté m-se :

(8.42) o que significa um e rro de 1,2%, que pode agora se r conside rado satisfatório. Observação: o mé todo de Rayle igh-Ritz, alé m de simple s, pe rmite o tratame nto de vários casos muito comple xos de se re m tratados via solução da e quação dife re ncial, tais como pilar com iné rcia variáve l, com de scontinuidade s de iné rcia, com cargas dive rsas, de ntre outros. A grande limitação do mé todo é , todavia, a e scolha de uma função aproximadora ade quada, capaz de cobrir todo o domínio da e strutura. A solução para e sse proble ma foi obtida com o MEF, como visto no Capítulo 3.

8.4 MEF para o cálculo da carga crítica em pilares Para um pilar de pórtico plano, a de formação ε(x),

conside rando o alongame nto axial de vido à fle xão da barra, é dada por:

O te rmo do me io da e xpre ssão (8.43) te m o (8.43) significado da de formação produzida e m um se gme nto de barra de comprime nto dx de vido a um de slocame nto transve rsal dv, como ilustrado na Figura 8.5. Assim, a parce la de ε(x) e m que stão vale :

(8.44) Na e xpre ssão (8.43), u(x) é a função que de scre ve o de slocame nto axial e υ(x) a função que de scre ve o de slocame nto transve rsal do e le me nto. De scre ve ndo u(x) e υ(x) e m função dos de slocame ntos nodais do e le me nto, como re pre se ntado na Figura 8.6, ve m:

FIGURA 8.6 Elemento finito de um elemento de pórtico plano.

(8.45)

se ndo

(8.46)

(8.47)

(8.48)

(8.49)

(8.50)

(8.51)

(8.52) onde ϕi (x) são as funçõe s de inte rpolação para os de slocame ntos nodais. A e ne rgia de de formação U de uma viga é dada por:

(8.53) Substituindo a e xpre ssão dada e m (8.43) para ε (x) e m (8.53), obse rva-se que :

onde N é a força axial, positiva na tração, e os te rmos υ ,x4 são de spre zados por se re m pe que nos e m comparação com os de mais. Assim, che ga-se a:

Substituindo agora (8.45) e (8.46) na (8.55) e xpre ssão (8.55) e manipulando-se as e quaçõe s, obté m-se :

(8.56) onde Ke é a matriz de rigide z e lástica conve ncional do e le me nto de , formada a partir do prime iro e te rce iro

te rmos de U, e Kg é a chamada matriz de rigide z ge omé trica formada a partir do se gundo te rmo de U, ou se ja:

(8.57)

Com a aplicação Castigliano, ve m

do

te ore ma

de

(8.58)

(8.59) se ndo di um de slocame nto nodal e f i a força e xte rna re lativa à dire ção de di, che ga-se a:

(8.60) A e xpre ssão (8.60) forne ce o siste ma de e quaçõe s de

e quilíbrio para uma barra. Para a solução de um pórtico qualque r, a matriz de rigide z global do pórtico de ve se r formada a partir da contribuição apropriada das matrize s de cada barra. O siste ma de e quaçõe s de e quilíbrio obtido para o pórtico é não line ar, pois a matriz de rigide z ge omé trica Kg de pe nde do e sforço axial na barra N que , por sua ve z, de pe nde dos de slocame ntos axiais na e xtre midade da barra, ou se ja, Kg(d). A solução do siste ma de ve se r obtida por mé todos apropriados para a solução de siste mas de e quaçõe s não line are s como o mé todo de substituiçõe s suce ssivas, o mé todo de Ne wton-Raphson, o mé todo quase -Ne wton como o BFGS, de ntre outros. O prime iro passo de ssa análise , e m qualque r dos mé todos, consiste e m uma análise line ar e lástica do pórtico para se de te rminar a força normal e m cada barra. Essa análise é e xe cutada com a matriz de rigide z global re pre se ntada some nte pe la matriz de rigide z e lástica Ke . Para cada barra, pode -se calcular a força normal atuante N e formar a matriz de rigide z ge omé trica Kg. Em uma se gunda ite ração, a matriz de rigide z total da e strutura K se ria re pre se ntada pe la soma das matrize s de rigide z e lástica Ke e da matriz de rigide z ge omé trica Kg obtida da prime ira ite ração. Com as novas matrize s de rigide z, um novo ve tor de de slocame ntos é calculado. Esse proce sso é re pe tido ite rativame nte até a conve rgê ncia do ve tor dos de slocame ntos d.

A e xpre ssão (8.60) també m pode se r usada para a de te rminação do fator de carga crítica l. Esse fator re pre se nta a majoração das cargas nodais f ne ce ssária para produzir flambage m e lástica na e strutura. Para se de te rminar l, é conve nie nte re e scre ve r a e xpre ssão (8.60) como:

(8.61) Ape sar de o ve tor de cargas nodais f não e star pre se nte e m (8.61) e le não é dispe nsado do cálculo de λ > O ve tor f é usado numa prime ira e tapa da análise para se de te rminar os e sforços normais N e m cada barra. Os e sforços normais N se rão ne ce ssários para se formar as matrize s de rigide z ge omé trica Kg de cada barra e , a partir de ssas, a matriz Kgdae strutura. Se o ve tor das cargas nodais f for majorado do fator l, os e sforços normais N e conse qüe nte me nte a matriz de rigide z ge omé trica Kg das barras també m de ve m se r majorados proporcionalme nte de l. Isso aconte ce porque ne ssa prime ira e tapa, os e sforços normais N são de te rminados por uma análise line ar com a matriz de rigide z da e strutura re pre se ntada some nte pe la matriz de rigide z e lástica Ke. Fisicame nte , a e xpre ssão (8.65) pode se r inte rpre tada da se guinte mane ira. Uma forma aproximada de se re alizar uma análise não line ar é atravé s de uma análise line ar incre me ntal e xplícita.

Ne sse proce sso, a matriz de rigide z é atualizada para a carga Δf e , e m se guida, um novo incre me nto de carga Δf é aplicado à e strutura para o cálculo do novo incre me nto de de slocame ntos Δd. A Figura 8.7 e sclare ce o proce dime nto para um siste ma de um grau de libe rdade .

FIGURA 8.7 Representação a um grau de liberdade da matriz de rigidez total K para um incremento de carga Δf a partir de uma carga λf.

Para um siste ma de n graus de libe rdade , o cálculo de Δd para um incre me nto de carga Δf a partir de uma carga Δf pode se r obtido com a e xpre ssão (8.60), re e scrita como:

(8.62) Na situação de carga crítica, a Figura 8.7 de ve se r substituída pe la Figura 8.8.

FIGURA 8.8

Situação para λ = λcrit.

Ne sse caso, a e xpre ssão (8.62) se ria atualizada para:

(8.63) A e xpre ssão (8.63) coincide com a e xpre ssão (8.61). Ela re sponde à se guinte pe rgunta: Qual o fator de

carga l que pre cisa se r aplicado às cargas nodais f para que a e strutura produza de slocame ntos não triviais, Δd ≠ 0, me smo se m incre me nto nas cargas atuante s, Δf = 0? O proble ma e xpre sso e m (8.67) re cai e m um proble ma ge ral de autovalor cuja solução forne ce n autovalore s l e n autove tore s f que re pre se ntam Δd), se ndo n a dime nsão das matrize s Ke e Kg. O me nor autovalor calculado é o fator de carga crítica e o autove tor associado ao me nor autovalor é o modo de flambage m que re pre se nta o modo ou a forma de flambage m da e strutura.

8.5 MEF para cálculo da carga crítica em placa à flexão Se ja a placa à fle xão subme tida às forças de me mbrana (forças que atuam no plano da placa), como ilustrado na Figura 8.9.

FIGURA 8.9

Esforços no plano da placa à flexão.

Para se obte r uma matriz de rigide z ge omé trica para um e le me nto de placa à fle xão, de ve -se proce de r de forma análoga ao que foi fe ito para um e le me nto de pórtico plano. Isso significa incorporar na e xpre ssão da e ne rgia de de formação U da placa à fle xão o trabalho fe ito pe las forças de me mbrana nos de slocame ntos produzidos no plano da placa pe los de slocame ntos transve rsais ao plano mé dio da placa (de slocame ntos ve rticais na dire ção do e ixo z). Ne sse ite m, ape nas a e xpre ssão da matriz ge omé trica da placa à fle xão Kg se rá de duzida já que a matriz e lástica Ke já foi apre se ntada no Capítulo 7. O e le me nto e studado se rá o e le me nto da família Serendipity de 4 nós para a te oria de Mindlin. Em analogia à e xpre ssão (8.48), as de formaçõe s no

plano mé dio da placa, associadas rotaçõe s w,x e w,y , são dadas por:

às

pe que nas

(8.64)

(8.65)

se ndo w(x,y) o de slocame nto transve rsal na (8.66) dire ção do e ixo z. A Figura (8.10) ilustra as dife re nte s compone nte s de de slocame nto.

FIGURA 8.10 w,y.

Movimentos horizontais devidos a w,x e

Para se obte r a e xpre ssão da matriz ge omé trica, se rá conside rada ape nas a parce la re fe re nte ao trabalho das forças de me mbrana Nx, Ny e Nxy nas de formaçõe s associadas ε x, ε y e g xy. Assim:

ou, alte rnativame nte ,

(8.67)

No e le me nto de 4 nós da família Serendipity, (8.68) o campo de de slocame ntos transve rsais w(x,y) é re pre se ntado no plano paramé trico por:

(8.69) As de rivadas paramé tricas de w(ξ, h) são dadas por:

ou, sucintame nte ,

(8.70)

(8.71)

As de rivadas carte sianas de w(ξ, η),x e w(ξ, η),y pode m se r obtidas das de rivadas paramé tricas de w(ξ, η),x e w(ξ, η),η por me io da pré -multiplicação pe la matriz Γ (ξ, η) obtida como indicado a se guir.

(8.72)

(8.73) (8.74) Assim,

(8.75) Logo,

ou,

(8.76)

(8.77) onde ,

(8.78) e

(8.79)

Substituindo-se (8.77) e m (8.68) che ga-se a:

(8.80) se ndo,

(8.81) A inte gração e m (8.81) pode se r fe ita no plano paramé trico.

A inte gração e m (8.82) pode se r fe ita

(8.82)

nume ricame nte pe lo mé todo de Gauss. Obse rva-se que a matriz ge omé trica e m (8.82) inde pe nde das proprie dade s do mate rial.

8.6 Exemplos de análise de estabilidade por elementos finitos 8.6.1 Carga Crítica Em Pilar Ideal

FIGURA 8.11

Dados:

Pilar ideal estudado com um elemento.

Vínculos para pilar ide al.

Solução por elementos finitos com um elemento. Cálculo do ve tor dos autovalore s l do proble ma de autovalor ge ne ralizado.

Solução pela resistência dos materiais:

Comparação: Carga crítica por e le me ntos finitos:

Carga crítica pe la re sistê ncia dos mate riais:

Por que Pcrit1 é maior que Pcrit2? Porque o MEF, ao aproximar a de formada, forne ce mode los mais rígidos do que os “e xatos”. Solução com L = 3. L= 3

nnodes = 4 gdl = 2 · nnodes Inicialização:

Incidê ncia:

FIGURA 8.12

Ponte iros:

Malha do pilar ideal com 3 elementos.

Matriz de rigide z global:

Vínculos pilar ide al:

Cálculo do ve tor dos autovalore s l do proble ma de

autovalor ge ne ralizado:

Carga crítica por e le me ntos finitos:

Carga crítica pe la re sistê ncia dos mate riais:

erro = 1,028 × 10−4 Pe rce be -se que com mais e le me ntos, ou se ja, com o re finame nto da malha o e rro re lativo diminui.

8.6.2 Estudo De Um Pilar Biarticulado Dados:

FIGURA 8.13

Malha do pilar biarticulado com 3

elementos.

dois e le me ntos.

Matriz de rigide z e lástica e ge omé trica do pilar. L = 5; Montage m dire ta das matrize s KGe e KGg.

Vínculos do pilar ide al.

Cálculo do ve tor dos autovalore s l do proble ma de autovalor ge ne ralizado.

Carga crítica por e le me ntos finitos.

Carga crítica pe la re sistê ncia dos mate riais.

Erro re lativo.

Deslocamento lateral em pilar biarticulado com carga excêntrica P = 50 Solução da re sistê ncia dos mate riais

exc = 0,1 (e xce ntricidade da carga);

Solução por elementos finitos

Matriz de Rigide z Tange nte : KGt = KGE + (-P)KGg

Comparação: Solução da Resistência dos Materiais δ = 0,042 Solução e m e le me ntos finitos: d13 = −0,042 Análise line ar:

Erro da análise line ar:

De slocame nto late ral do pilar com carga muito próxima à carga critica. P = 197 KGt = KGE + (-P)KGg

8.6.3 Estudo Da Flambagem De Uma Placa À Flexão, Elemento Serendipity Isoparamétrico Bilinear A flambage m de uma placa à fle xão se rá e studada com um mode lo de 1 e le me nto finito. A matriz de rigide z e lástica Ke da placa à fle xão é dada pe lo e le me nto da te oria de Mindlin e a matriz ge omé trica Kg é a do e le me nto isoparamé trico biline ar.

FIGURA 8.14 Flambagem de placa à flexão com modelo de 1 elemento.

Dados: Coorde nadas paramé tricas dos nós do e le me nto:

Pontos notáve is e pe sos de Gauss: w1 = 2 (pe so para 1 ponto de inte gração). w2 = 1 (pe so para 2 pontos de inte gração). Coorde nadas nodais e e spe ssura t:

Forças por unidade de comprime nto aplicadas no plano mé dio:

Matriz das coorde nadas nodais X:

Matrize s constitutivas Db e Ds:

onde

Funçõe s de inte rpolação biline are s e suas de rivadas.

Matriz DNx(ξ,η).

Matriz jacobiana: J(ξ,η)

Cálculo do de te rminante de J(ξ,η) no ponto P(ξ,η):

Cálculo da inve rsa da matriz jacobiana Γ(ξ,η) no ponto P(ξ,η):

Cálculo da matriz G(ξ,η) no ponto P(ξ,η):

Usando dois pontos de inte gração de Gauss para Kb e um ponto para Ks (inte gração se le tiva). Pontos notáve is e pe sos de Gauss: Para inte gração 1 × 1.

Para inte gração 2 × 2.

Matriz de rigide z total.

Introdução dos vínculos com a té cnica dos núme ros grande s.

Matriz N dos e sforços no plano.

Matriz de rigide z ge omé trica Kgp(ξ, η) no ponto P(ξ, η).

Cálculo das matrize s de rigide z ge omé trica do e le me nto.

Cálculo dos dois me nore s autovalore s e do autove tor associado ao me nor autovalor do proble ma de autovalor ge ne ralizado.

Coe ficie nte de Rayle igh.

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