Metodo del Trapecio y Simpson, ejercicios resueltos

Universidad Nacional Experimental Exp erimental “Antonio “Antonio Jose de Sucre” S ucre” UNEXPO Guillermo Mora

Profesor

!"# $$"%$&"'(' *el+s,ue-

Ser)io

Parcial ./ Marco 0e1rico 2iferenciacion Numerica En los cursos de c+lculo se de3ne la derivada de ' 

f  ( x  x 0 )= lim

f   en  x 0  como

f  ( ( x  x 0+ h )− f ( x 0 ) h

h →0

Una manera ra-ona4le de aproximar la derivada es ' 

f  ( x  x 0 ) ≈

f  ( ( x  x 0 + h )− f ( x 0) h

A esta aproximaci1n se le llama f1rmula de

diferencia hacia delante

A continuaci1n se 5ace una estimaci1n del error asociado a la aproximaci1n dada6 usando el teorema de 0a7lor 0a7lor con un polinomio p olinomio de )rado 8" f  ( z ) ' ' 

f  ( ( x )= f  ( ( x0 ) + f  ( x 0) ( x − x 0 ) + ' 

 x = x 0+ h , x − x0 =h

Si

' 

f  ( x  x 0 )=

f  ( ( x  x 0 + h ) − f ( x 0) h

2

2

dondee x •

("(

A partir de los puntos ,ue nos da la ta4la6 podemos o4servar ,ue el salto es de ("$6 por lo ,ue h =0.2 " Antes de 5allar los valores con los m:todos de diferencias pro)resiva 7 re)resiva6 5allaremos la funci1n con el teorema de ;a)ran)e

(

 x − x 0

)(

x − x 1

 x2− x 0  x 2− x 1

( − )( − ( − )(  x − x 0

 x − x 2

 x1  x0  x 1− x 2  x  x 1 x − x 2  x0  x1  x 0− x 2

)+ )+

) Y 2 ¿ Y 1 ¿

f  ( x2 ) =Y o ¿

(

x− 0 0.4 − 0

( −− )( − ( − )( x

0.2

0.4 −0.2

x − 0.4

0

0

)(

x −0.2

0.2−0.4

 x

0.2

 x − 0.4

0

0.2

0−0.4

)+

)+

)

1.3718 ¿

0.74140 ¿

f  ( x 2 )=0 ¿ f  ( x 2 )=17.1475 x ( x −0.2 )−18.535 x ( x −0.4 )

f  ( x 2 )=

−111 80

2

x+

7969

 x

2000

2iferencias Pro)resivas ' 

f 

( 0.0 ) ≈

 f  ( 0.2 )− f  ( 0.0 ) 0.2

=

0.74140

−0.00000

0.2

f  ( 0.0 ) ≈ 3.707 ' 

2iferencias re)resivas Utili-ando la funci1n o4tenida con el polinomio de ;a)ran)e

f  ( −0.2 )=

−111

2

−0.2 +

80

7969 2000

(−0.2 )

f  ( −0.2 )=−0.8524

' 

f  ( 0.0 ) ≈

 f  ( 0.0 )− f  ( −0.2 ) 0.2

=

0.00000−(−0.8524 ) 0.2

f  ( 0.0 ) ≈ 4.262 ' 

 F el promedio entre las dos resulta ' 

f  ( 0.0 ) ≈

 3.707 + 4.262 2

•

=3.9845

("$

2iferencias pro)resivas ' 

f  ( 0.2 ) ≈

 f  ( 0.4 )− f  ( 0.2 ) 0.2

= 1.3718

−0.74140 0.2

f  ( 0.2 ) ≈ 3.152 ' 

2iferencias re)resivas ' 

f  ( 0.2 ) ≈

 f  ( 0.2 ) −f  ( 0.0 ) 0.2

=

0.74140 −0.00000

f  ( 0.0 ) ≈ 3.707 ' 

 F el promedio entre las dos resulta ' 

f  ( 0.2 ) ≈

 3.152 + 3.707 2

•

=3.4295

("&

2iferencias Pro)resivas

0.2

Utili-ando la funci1n o4tenida con el polinomio de ;a)ran)e f  ( 0.6 )=

−111 80

0.6

2

+

7969 2000

0.6

f  ( 0.6 )=1.8912

' 

f  ( 0.4 ) ≈

 f  ( 0.6 ) −f  ( 0.4 ) 0.2

= 1.8912−1.3718 0.2

f  ( 0.4 ) ≈ 2.597 ' 

2iferencias 2etermine #=8"$> mediante derivaci1n num:rica 7 use este valor para calcular E=8"$>" Use la f1rmula de diferencia centrada" 4> !ompare su respuesta con la ,ue se o4tiene sa4iendo ,ue la expresi1n de #=t> es #=t> C 8(eBtK8( sen=$t>"

Solucion a> ;a f1rmula de diferencia centrada esta4lece ' 

f  ( x 0 )=

f  ( x 0 + h ) − f ( x 0−h )   donde h esel salto 2h

Por lo ,ue6 al sustituir valores tenemos f  ( 1.2 )= ' 

' 

f  ( 1.2 )=

f  ( 1.2 + 0.1 )− f ( 1.2− 0.1) 2 ( 0.1 )

4.5260 − 7.2428 0.2

=−13.584

 F al sustituirlo en la E=t> C ; =d#Kdt> L  E ( 1.2 )=0.05 (−13.584 ) + 2 ( 5.9908 )  E ( 1.2 )=11.3024

4> !on la expresi1n ,ue nos dieron6 la derivamos para poder o4tener el valor de #=t>

− t 

 I ( t )=10 e 10 sin ( 2 t ) −t 

( 2 t ) +¿ 20 e

10

cos ( 2 t )

−t 

 I ' ( t )=−e 10 sin ¿

Evaluando en tC8"$6 o4tenemos − 1.2

( 2∗1.2 ) +¿ 20 e

10

cos ( 2∗1.2) −1.2

 I ' ( 1.2 )=−e

10

sin ¿

 I  ( 1.2 )=−13.67927322 ' 

 F sustitu7endo en nuestra ecuaci1n ori)inal −1.2

 E ( 1.2 )=0.05 (−13.67927322)+ 2 ( 10 e

10

sin (2∗1.2 ))

 E ( 1.2 )=11.29767832

 F comparando los dos valores6 podemos ver ,ue la diferencia entre ellos es  Ea =|11.3024 −11.29767832|=0.00472168

BAproxime las si)uientes inte)rales aplicando la re)la del trapecio

a>

Soluci1n a> ;a re)la del trapecio esta4lece

4>

b

∫ f ( x ) dx ≈ h2 [ f  ( b )+ f  ( a ) ] a

Siendo aC8  4C8" 7 5C=4Ba>C("" Por lo ,ue nuestra inte)ral nos ,ueda 2

1.5 ln ( 1.5 )+¿

¿

1.5

¿ ∫ x ln ( x ) dx ≈ 0.5 2 2

1

1.5

∫ x ln ( x ) dx ≈ 0.2280741233 2

1

 F el error de esta soluci1n es

|

 E=

|

3

h

 f ' ' ( μ ) dondea Utili-ando el mismo criterio de la parte anterior6 podemos identi3car "  "  a =0 ! b=  !h =( b −a ) = 4

4

¿ " 

"  4

∫e

3 x

4

sin ( 2 x ) dx ≈

2

0

¿

"  4

∫e

3 x

(

sin 2 x

) dx ≈ 4.143259655

0

f  ( x )= 12cos (2 x ) e + 5 sin ( 2 x ) e ' ' 

 F el error de esta soluci1n6 donde

3 x

3 x

 7 el valor

de  μ  viene dado por el ma7or valor ,ue la derivada toma en el intervalo b=

@a646 ,ue es el punto

 E

|

( )( =

" 

"

4

3

"  4

12

( )

12cos 2

 "  4

3

e

 "  4

+ 5 sin

( ) 2

 "  4

3

 " 

|

e 4)

 E= 2.129809048

B ;a re)la de Simpson esta4lece b

∫ f ( x ) dx ≈ b−6 a a

[

( )+  ( )]

f  ( a )+ 4 f 

a +b

f  b

2

Siendo aC8  4C8"" Por lo ,ue nuestra inte)ral nos ,ueda 1.5

∫

 x

1

2

ln

( x ) dx ≈

 [

 0.5 6

2

1 ln ( 1 )+ 4 (

2.5 2

2

ln

(  ))+ 2.5 2

2

1.5 ln ( 1.5 )

]

1.5

∫ x ln ( x ) dx ≈ 0.1922453074 2

1

 F el error de esta soluci1n es

|

 E=

|

5

h

(4 )

90

f  ( μ) donde a "

da el valor & 7 la re)la de Simpson da

Solucion ;a re)la del trapecio esta4lece ,ue b

∫ f ( x ) dx ≈ h2 [ f  ( b ) + f  ( a ) ] dondeh =b− a a

Entonces de a,u podramos decir 4≈

 2 − 0 2

[ f  ( 2 )+ f  ( 0 ) ]

 F de a,u podemos despe9ar tanto el valor de f  ( b )  como el valor de

f  ( a ) ¿

f  ( 2 )= 4 −f  ( 0 )

 F la re)la de Simpson dice b

∫ f ( x ) dx ≈ b−6 a a

[

( + )+  ( )]

f  ( a )+ 4 f 

a b 2

f  b

Sustitu7endo los valores6 o4servamos ,ue la funci1n ,ue nos piden 4uscar6 resulta directamente en la f1rmula

2≈

 2 − 0 6

[ f  ( 0 )+ 4 f  ( 1 )+ f (2 ) ] f  ( b )

 F despe9ando

f  ( 2 )= 6− f  ( 0 )− 4 f ( 1)

 F si 5acemos una resta de funciones6 multiplicando el termino inferior por B86 despe9ando o4tenemos el valor de

f  ( 1)

f  ( 2 ) =4 − f  ( 0 ) −f  ( 2 )=−6 + f  ( 0 )+ 4 f  ( 1) 0 =4 −6 + 4 f ( 1)

f  ( 1 )=

6 −4 4

2

1

4

2

= =

B2etermine los valores de n 7 5 ,ue se re,uieren para aproximar

!on una exactitud de 8(B& a> Apli,ue la re)la compuesta del trapecio" 4> Apli,ue la re)la compuesta de Simpson"

Solucion =;a soluci1n del pro4lema se 5a determinado con la calculadora en a> Aplicando unos criterios diferentes a los del 8er e9ercicio6 podemos decir El error de la funci1n =llamado tam4i:n cota de error> puede ser 5allado por la ecuaci1n

−a h  %  | E( )|≤ b12 n #$ 

2

2

2onde h=

b −a  % 2= max |f ' ' ( x )|  7 n  x ∈ [ a ,b ]

!alculamos las derivadas para determinar f  ( x )=3cos( 3 x ) e + 2 sin ( 3 x ) e 2 x

' 

2 x

f   ( x )=12 cos ( 3 x ) e −5sin ( 3 x ) e 2 x

' ' 

 % 2

2 x

 F evalu+ndolo en am4os puntos =( 7 $> podemos ver ,ue ' ' 

f 

(2 )> f ' ' (0 )

;o ,ue nos dice ,ue la funci1n es creciente otra forma de 5allar este resultado es derivando nuevamente f ' '  6 lo ,ue nos dar+ la pendiente =7a sea ne)ativa o positiva6 ,ue en este caso es positiva>" F sa4iendo ,ue punto6 o4tenemos  ' ' 

 % 2=f 

h≥

√

−4

(2 )  es el ma7or

 % 2

(2 )=5211.94537

Entonces exi)imos ,ue 1∗10

' ' 

f 

≤

 1 6

n #$ 

4

 7 5allamos el valor de 5

2

h ( 5211.94537 )

−4 6 1 10

( ∗

| E( )|=1∗10−

)

5211.94537

=0.0003392936234

 F a partir de este valor6 podemos 5allar el valor de n6 si)uiendo la ecuaci1n

h=

n=

b −a 2 → 0.0003392936234 = n n 2 0.0003392936234

=5894.599433

4> Solucion A,u se)uimos el mismo procedimiento ,ue utili-amos para la soluci1n del $do e9ercicio Utili-amos la f1rmula para 5allar el error en el m:todo de Simpson

|

 E=

h

4 4

180

|

( b− a ) f ( )( μ )

#denti3cando los valores aC(  4C$ 

h=

b −a n

entonces

h=

2

n

a