Metodo Del Disparo No Lineal

Autor: JMCG METODO DEL DISPARO NO LINEAL *INTRODUCCION: Las ecuaciones diferenciales ordinarias se dividen en dos grupos que son las lineales y no lineales. Las ecuaciones lineales son accesibles para encontrar una solución analítica mediante métodos matemáticos, en cambio las ecuaciones no lineales con excepción de algunas ecuaciones de primer orden, son generalmente imposibles de resolver en términos de las funciones elementales comunes. -EDO LINEAL: n 1

n

y a x  d  a x  d dx dx n

n

n 1

y

n 1

 ...  a1  x  d

y

dx

 a0  x  y  g ( x )

Las EDO lineales tienen dos características importantes: a. La variable dependiente “y” junto con todas sus derivadas son de grado 1. b. Cada coeficiente de “y” solo depende de “x”. -EDO NO LINEAL: Por ejemplo:

yy'''2x y 20 En este ejemplo vemos que el coeficiente de la tercera derivada es una función que no depende de “x”; y además que el exponente de “y” es dos.

y'' arctan y' x e y 0

En el ejemplo anterior vemos que es imposible encontrar una solución mediante funciones elementales de matemáticas, entonces surge la pregunta; como encontrar una solución a este problema o por lo menos una aproximación a este caso. Las ecuaciones diferenciales se pueden escribir de esta forma:

F ( x, y, y', y'',..., y (n))0 La cual es una EDO de orden “n”. *ALGORITMO MATEMATICO: Con el método del disparo no lineal, nos centraremos en encontrar la solución o aproximaciones a problemas de contorno o problemas de valor de frontera de ecuaciones diferenciales de orden “2”. Tenemos:

y'' f ( x, y, y') Con

y(a)

a xb y(b) 

Este método es parecido al método del disparo lineal, con la diferencia de que la solución a un problema lineal se puede escribir por la combinación lineal de las soluciones de dos problemas de valor inicial, entonces se tiene que hacer una serie de soluciones para encontrar el mejor parámetro de la pendiente y así reemplazarlo en la condición inicial, tomamos a ese parámetro como “t”. A continuación el problema de condición inicial:

a xb

y'' f ( x, y, y') y(a)

y'(a)t

Entonces se elige un primer parámetro t para iniciar el proceso. Como el problema anterior es de valor inicial, la solución de este problema es

y(b,t )

ó

y( x,t )

La solución al problema anterior se puede hallar mediante cualquier método para EDO, por ejemplo el método de Euler o el método de Runge-Kutta. La finalidad es encontrar un parámetro t que al reemplazarlo en el problema de valor inicial nos de una buena aproximación al y(b)=β. Se empieza con un parámetro to, la cual determina la elevación del disparo, en otras palabras es la pendiente o la condición inicial para el y’(a).

Si y(b,to) no esta lo suficientemente cerca de β, corregimos nuestra aproximación tomando nuevas elevaciones o pendientes t1,t2,…y así sucesivamente hasta que y(b,tk), acierte en β con la precisión deseada o bajo un nivel de tolerancia. Entonces el verdadero problema es determinar el parámetro t del problema de valor inicial, con lo que queda:

y(b,t )  0 Si hacemos:

G(t ) y(b,t )  Ya que “b” y “β” son conocidos, queda una función que depende solo del parámetro t.

Esto representa encontrar el “t” que satisfaga esta ecuación:

G(t )0 Para esto recurrimos a dos métodos bien conocidos: >Método de la Secante: El método de la secante es una forma recursiva para hallar nuevos puntos, una forma recursiva que depende de dos puntos iniciales, la forma general para f(x)=0:

x  x k 1 k

f ( x k 1)( x k 1 x k  2) f ( x k 1)  f ( x k  2)

Entonces elegimos dos parámetros, to y t1 para iniciar el proceso y generar así los nuevos puntos para el G(t)=0. Esto implica resolver dos problemas de valor inicial, porque queremos el valor de G(to) y el valor de G(t1), luego reemplazarlo en la siguiente formula:

t t k 1 k

Pero como sabemos:

G(t k 1)(t k 1t k  2) G(t k 1)G(t k  2)

G(t k ) y(b,t k ) 

Entonces la formula para hallar el tk es:

t t k 1 k

( y(b,t k 1)   )(t k 1t k  2) y(b,t k 1)  y(b,t k  2)

Luego se repite el proceso para hallar los siguientes tk, para obtener la mejor aproximación t.

>Método de Newton: El método de Newton es una formula de recurrencia que depende de un solo punto inicial, en casos generales tomamos la función f(x)=0, entonces tenemos:

x  x k 1 k

f ( x k 1) f '( x k 1)

Este método es mejor para hallar el parámetro t, ya que es una forma de recurrencia que depende de un solo punto inicial to, por otra parte presenta también un problema, la cual es no conocer la derivada en to de la función G(t). La formula queda así:

t t k 1 k

G(t k 1) G'(t k 1)

Se puede representar así:

y(b,t k 1)    t t k 1 dy (b, ) dt t k 1 k

El problema ahora es encontrar

dy (b,t ) dt

Esto representa una dificultad ya que no sabemos una forma explicita de y(b,t) para encontrar la derivada, en otras palabras solo contamos con valores que provienen de puntos. Para afrontar esta dificultad, hacemos que el problema de valor inicial dependa de “x” y “t”, quedando:

y''( x,t ) f ( x, y( x,t ), y'( x,t )) Con valores iniciales:

y(a,t )

y'(a,t )t

La nueva función y’’(x,t), lo derivamos parcialmente con respecto a t, por medio de la regla de la cadena.

Y al final nos queda:

y'' f y f y' ( x,t )   ( x,t )   ( x,t ) t y t y' t Derivando las condiciones iniciales con respecto a t:

dy (a,t )0 dt

dy' (a,t )1 dt

Las dos expresiones anteriores se asemejan a un problema de valor inicial y para observarlo mejor hacemos un cambio de notación:

dy ( x,t ) z( x,t ) dt

Ahora la ecuación diferencial queda:

z''( x,t )

f f  z( x,t )  z'( x,t ) y y'

Con condiciones iniciales:

z(a,t )0

z'(a,t )1

Por consiguiente para usar el método de Newton es necesario resolver dos problemas de valor inicial en cada iteración.

Entonces la resolución de la EDO NO LINEAL por el método de Newton es resolver:

y(a) 

a xb

y'' f ( x, y, y')

y'(a)t k 1

Y también resolver:

a xb

z'' f y( x, y, y') z  f y'( x, y, y') z' z(a,t )0

z'(a,t )1

Después hallar el tk:

t t k 1 k

y(b,t k 1)  z(b,t k 1)

Y así podemos obtener los siguientes parámetros t.

*EJEMPLO: Tenemos la EDO NO LINEAL

y''2 y36 y 2 x3 y(1)2

1x2

y(2)2.5

Lo primero es dar un valor inicial t y resolver el problema de valor inicial

y''2 y36 y 2 x3

1x2

y(1)2

y'(1)t

Y a la vez resolver:

z''

  (2 y 36 y  2 x3) z  (2 y 36 y  2 x 3) z' y y'

z''(6 y 26)z Con condición inicial:

z(1)0

z'(1) 1

Y así encontrar el mejor parámetro t con cierta tolerancia y luego reemplazarlo en el problema de valor inicial, entonces se encuentra las aproximaciones y(x), para x є [1,2].

*ALGORITMO COMPUTACIONAL: Usa el método de R-K y el método de Newton. -Datos de entrada: y’’; z’’: funciones n: numero de particiones tol: tolerancia [a,b]: intervalo α y β: condiciones de frontera max: numero máximo de iteraciones

-Datos de salida: y(x): aproximaciones de solución -Proceso: h=(b-a)/n t= (β- α)/(b-a) ban=0 k=1; while (k