Metodo Del Anulador

Coeficientes Indeterminados: M etodo e´ todo del Anulador C. Lopez o´ pez Septiembre del 2009

Resumen

1

Intr Introd oduc ucci ci´on o´ n

Consideremos ciertas ecuaciones diferenciales no homog eneas e´ neas con ciertos coeficientes constantes de orden l :  L y  L y

f  x

al Dl

en efecto

,

al 1 Dl

1

a1 D

(1) ao y

podemos dar soluci on ´ a (??) si sabemos como anular f  x con operadores operadores simples. simples. Aqu´ Aqu´ı llamamos ”anular” al efecto de aplicar un anulador m´ınimo ınimo no trivial, digamos alg ´un un M  pm Dm b1 D b0 a ambos lados de ( ??) para obtener una ecuaci´on on homog´enea enea M  L y 0 o bien  ML y

0

(2)

´ de (??), ya que podemos cuya soluci on o´ n no necesariamente es la misma que la de ( ??), pero contendr´ contendra´ la solucion extraer la soluci on o´ n de (??) desde la de (??). Para ilustrar esto sabemos,  L y

f  x

ML y

0

y

C 1 y1

C 2 y2

. ..

C m l ym

l,

en donde L es de orden l y M  es de orden m, lo que vuelve a ML y una ecuaci´on on diferencial homog´enea enea de grado m l cuyas soluciones y1  ym l son linearmente independientes, es decir, que forman un conjunto fundamental de soluciones esta E.D. Si las soluciones de esta E.D. de orden m l son linearmente independientes, entonces, la solucion ´ a la ecuaci on o´ n diferencial no homog enea e´ nea L y esta´ contenida en la nueva ecuaci on o´ n homog´ homogenea e´ nea f  x est´ 0, aunque en algunos casos, se pueda perder informaci´on on al aplicar M .  ML y ,. ..,

2

Enco Encont ntra rand ndo o M 

Ejemplo 1. Consideremos la siguiente ecuaci on o´ n diferencial lineal no homog enea e´ nea con coeficientes constantes  L1 y

y

y

1

Resolviendo la parte homog enea e´ nea de L1 , tenemos como ra´ ra´ıces ıces de su polinomio caracter´ caracter ´ıstico ıstico r 2 que su soluci´on on complementaria es yc c1 e x c2 e x , con c1 c2 R.

r , a

1, por lo

,

Carlos Eduardo L opez o´ pez Camey, Universidad del Valle Valle de Guatemala, Ecuaciones Diferenciales UVG-MM2014, Carn e´ #08107, http://kmels.net http://kmels.net

1

Para resolver la parte no homog enea e´ nea y haciendo uso del m etodo e´ todo del anulador, necesitamos un operador M  que vuelva homog´ homogenea e´ nea a nuestra ecuaci on o´ n diferencial L1 . Si derivamos ambos lados para esta, e´ sta, tenemos  ML y

y

y

0

lo que nos deja con una E.D. homog enea, e´ nea, eso es en efecto, el resultado de aplicar el operando M  lados de la ecuaci on o´ n de L y .

D en ambos

Resolviendo ML y , tenemos como ra´ıces ıces a 0 y a 1, que nos deja como soluci´on on general de esta (o vi´endolo endolo  x x k 3 e , con k 1 k 2 k 3 R desde otra perspectiva, la particular de L y ) a y p k 1 k 2 e ,

 y p

Pero los t´ terminos e´ rminos k 2 e x y k 3 e k 1 .

x

,

ya est´ estan a´ n inclu´ inclu´ıdos ıdos en la soluci on o´ n complementaria yc de L1 , lo que nos deja con

Encontremos ahora el coefieciente particular k 1 para y p . 0 0

 y p  y p

 y p

1

y p

0

Lo que nos deja con la soluci on o´ n particular de L1 , y p Sabiendo que la ecuaci´on on general de L y es, y c1 e x

 y

1

k 1

1

yc c2 e

1

k 1

y p , tenemos entonces x

1

c1 c2 ,

R

Habiendo resuelto la E.D. del Ejemplo 1, tan solamente o´ lamente aplicando el operador anulador M  D, es decir, el operador diferencial ( D), fue un caso trivial, pero para algunas ecuaciones diferenciales este no es el caso, resumamos entonces, los diferentes anuladores para volver homog´enea a una ecuaci´on on que no lo es. 1. Para anular anular una constante constante C  R, usar el operador D (como en el Ejemplo 1) n n 1 C , usar Dn 1 Para anular x  x ,

,. ..,

2. Para Para anular anular ekx , usar el operador D k  n 1 ekx , usar el operador D Para anular xn ekx  xn 1 ekx ,

k  n

,. ..,

1

3. Para Para anular anular sen(kx) o´ cos(kx) (o las dos al mismo tiempo), usar el operador D2 k 2 . Para anular xn sen(kx)  xn cos(kx)  xn 1 sin kx sen(kx) cos(kx), usar el operador D2 k 2 ,

,

,. ..,

n 1

,

4. Para Para anular anular ekx sen(bx) o´ ekx cos(bx) (o las dos al mismo tiempo), necesitamos el operador cuyo polimonio caracr 2 2kr  k 2 b2 , en efecto el operador ter´ ter´ıstico ıstico tenga como ra´ ra ´ıces ıces a k  bi, es decir, r  k  bi r  k  li a usar es D2 2kD k 2 b2 ekx sin bx o´ ekx cos( bx), usar el operador Para anular xn ekx sen(bx)  xn ekx cos(bx)  xn 1 ekx sin bx  xn 1 ekx cos(bx) 2 2 2 n 1  D 2kD k  b ,

,

,

,. ..,

Ejemplo 2. Encontremos un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, con el m´ınimo ınimo grado posible y anula a la funci on o´ n dada. •

e8 x

e2 x :

•

2 x3

7 x2 e

•

2sen(3 x)

D 2 x

:

3cos(6 x) :

8 D

2

D4  D

2 D2

3

9 D2

36 2

3

•

3 x6

2 x4

•

xsen(2 x)

•

x x2 cos(3 x)

•

x3

•

x4 e x sen(2 x)

e

x

 x3

D7

2:

cos(2 x)

D D2

3:

xsen(2 x)

cos(5 x)

3 xe x cos(2 x) :

2

D2  D2

sen(5 x) :

D4  D

e x sen(2 x) :

4

1 D2 D2

2 D

2 D

5

9

3

 D2

4

2

 D2

25

5

5

Resume Resumen n de los pasos pasos a seguir seguir

Los siguientes pasos explicados pueden variar alguna vez, pero cada uno va a ser parte del proceso de resolver la E.D eventualmente 1. Identific Identificar ar la soluci´ soluci´on on complementaria de L, yc que consiste en la combinaci´on on lineal de l funciones linealmente independientes . Esta es, la soluci on o´ n a la E.D. homog´ homogenea e´ nea relacionada. ´ 2. Obtener una nueva ecuaci´ ecuacion o´ n diferencial lineal homog enea e´ nea aplicando el anulador m´ m ´ınimo ınimo posible M  de la funci on relacionada con L a ambos lados de la E.D. original L, para obtener ML y (a) Resolver la nueva nueva ecuaci´ ecuacion o´ n homog´ homogenea e´ nea ML y , que tendr´ tendra´ m pendientes.

l funciones soluciones linealmente inde-

(b) Identificar cuales cuales de esas funciones, ya est´ est´an contenidas en yc . (c) Las funciones que no fueron fueron ”eliminadas” ”eliminadas” por el paso 2b, forman a y p 3. Sustitu Sustitu´´ır ır los coeficientes indeterminados de y p en la E.D. original L y (a) Establece Establecerr L y p

f  x y expandir la igualdad

(b) Comparar los coeficientes coeficientes en las diferentes funciones funciones de L y p con los de f  x y resolver para ellos, para obtener y p 4. Establecer la soluci soluci on o´ n general de L y , que es yc

4

y p .

Mas a´ s Ejemplos

Ejemplo 3. Resolvamos 3 y

 y

6e2 x

40 y

Eso es, D2

 L2 y

3 D

40 y

6e2 x

Resolviendo la parte homog enea e´ nea de L2 y , tenemos que las ra´ ra ´ıces ıces de su polinomio caracter´ caracter ´ıstico ıstico son, 8 y c1 e8 x

 yc

Ahora, aplicamos el anulador M 2

D  D

c2 e

5 x

2 : 2 D

 ML y

8 D D

La solucion ´ a ML2 y es entonces,

5 y

2 D

8 D

 y

Ae2 x

 Be8 x

En donde, el t´ termino e´ rmino Ae2 x representa a y p y yc 2

Be8 x

Ce

3

D

5 x

Ce

2 6e2 x 5 y

0

5 x

, que ya est´ esta´ inclu´ inclu´ıdo ıdo en yc de L2 y

5.

Resolviendo por el m etodo e´ todo de coeficientes indeterminados entonces,

 y p

3 y p

 y p

Ae2 x

 y p

2 Ae2 x

 y p

4 Ae x

6e2 x

40 y p

4 Ae2 x

3 2 Ae2 x

40 Ae2 x

6e2 x

Resolviendo entonces para A, e2 x A 4

6

6e2 x

40

42 A

6 1 7

 A

Lo que nos deja, a la soluci on o´ n general y

y p

1 2 x e 7

 y

yc  Be8 x

5 x

Ce

B C 

,

,

R

Ejemplo 4. Resolviendo D2

 L3 y

3 D

40 y

sen(2 x)

Resolviendo la parte homog enea, e´ nea, tenemos como ra´ ra´ıces ıces a 8 y -5 de nuevo, por lo que c1 e8 x

 yc 3

c2 e

5 x

Ahora, procediendo a anular, es decir, volviendo homog enea e´ nea a L y y obteniendo ML y al aplicar M 3 tenemos D2

 ML3 y

4 D D2

 ML3 y

8 D 4 D

5 y

D2

8 D

5 y

4 sin2 x 0

De donde, tenemos como soluci´on on particular  y p

Ya que, los t´ terminos e´ rminos e8 x y e

5 x

A sin2 x

Bcos(2 x)

ya est´ estan a´ n inclu´ inclu´ıdos ıdos en yc . Encontremos entonces los valores de A y B  y p  y p  y p

Asen(2 x)

Bcos(2 x)

2 Asen(2 x)

2 Bsen(2 x)

4 Asen(2 x)

4 Bcos(2 x)

Nos deja 4 Asen(2 x)

4 Bcos(2 x) 4 A

3 2 Acos(2 x)

2 Bsen(2 x)

40 Asen(2 x)

6 B

40 A sen(2 x)

4 B

6 A

44 A

6 B sen(2 x)

6 A

44 B cos(2 x)

Y resolviendo el sistema de ecuaciones 44 A

6 B

1

6 A

44 B

0

4

40 B cos(2 x)

Bcos(2 x)

sen(2 x)

sen(2 x)

sen(2 x)

D2

4 ,

nos deja con A

11 493

3 986

yB

y 11 sen(2 x) 493

 y p

Encontrando la soluci´on on final y

y p

.

yc

11 sen(2 x) 493

 y

3 cos(2 x) 986

3 cos(2 x) 986

Ee 8 x

5 x

Fe

 E  F  ,

R

Ejemplo 5. Resolviendo  y

8 y

e3 x

6 D

8 y

6 y 2

 L4 y

D

sen( x) e3 x

sen( x)

Resolviendo la parte homog enea e´ nea de L4 , tenemos como ra´ ra ´ıces ıces del polinomio caracter´ caracter ´ıstico ıstico a  yc

Aplicando el anulador M 4  D

D

c1 e

4 x

4y

2

2 x

c2 e

3 D 1 , tenemos

3 D2

1 D2

 ML4 y

6 D D

8 y

3 D2

D

3 D2

1 D2

1 e3 x

6 D

8 y

sen( x)

0

Resolviendo ahora, tenemos como ra´ ra ´ıces ıces a 3, i, -4 y -2. Las soluc solucion iones es de las ultimas u´ ltimas dos ra´ ra ´ıces ıces ya fueron inclu´ inclu´ıdas ıdas en yc , lo que nos deja con  y p c3 e3 x c4 cos( x) c5 sen( x) Y resolviendo los coeficientes indeterminados  y p

3c3 e3 x

c4 sen( x)

c5 cos( x)

 y p

9c3 e3 x

c4 cos( x)

c5 sen( x)

Implicando que 9c3 e3 x

c4 cos( x)

c5 sen( x)

6 3c3 e3 x

9c3 e3 x

c4 cos( x)

c5 sen( x)

18c3 e3 x

35c3 e3 x

7c4 cos( x)

c5 cos( x)

8 c3 e3 x

c4 cos( x)

6c5 cos( x)

8c3 e3 x

8c4 cos( x)

c4 sen( x)

6c4 sen( x)

6c4 sen( x)

7c5 sen( x)

6c5 cos( x)

e3 x

Que nos deja con el sistema de ecuaciones siguiente 35c3

y resolviendo, tenemos c3

1 ,c 35 4

7 ,c 35 5

7 c4

6c5

6 c4

7c5

c1 e

4 x

c2 e

0 1

6 65

Finalmente, escribiendo la soluci on o´ n general de L4 , y

 y

1

2 x

y p

1 3 x e 35

5

yc

7 cos( x) 85

6 sen( x) 65

c5 sen( x)

e3 x

8c5 sen( x)

e3 x

sen( x)

Comp Compar arac aciion o´ n con otros m´ metodos e´ todos

5

Primero que nada, vamos a resaltar desventajas y ventajas que tiene este e´ ste m´ metodo e´ todo •

•

Ventaja: Para resolver la soluci on o´ n particular de una E.D, es suficiente saber resolver ecuaciones de sistemas lineales y de conocer, el anulador a aplicar. Desventaja Podr´ Podr´ıan ıan quedar un sistema de ecuaciones muy grande a resolver.

Comparando con el m´etodo etodo de superposici´on on y el de variaci´on on de par´ametros ametros •

´ Variaci´ Variacion o´ n de parametros amet ros vs. vs. Metodo e´ todo del anulador : Vemos que en variaci on o´ n de par´ parametros, a´ metros, de igual forma resolvemos resolvemos una ecuacion o´ n homog´ homogenea e´ nea primero (para obtener la soluci on o´ n complementaria). Luego, con el m etodo e´ todo de variaci´on on de par´ametros ametros hace falta calcular tres determinantes de matrices, y luego integrar, lo que hace m´as m´as largo el proceso. La unica u´ nica ventaja ac´ aca´ sobre el m´ metodo e´ todo del anulador es que, no hace falta resolver sistemas de ecuaciones, pero a mi juicio, es mucho m as a´ s preferible, resolverlo, que calcular determinantes de matrices o integrales (pueden ser matrices muy grandes, o integrales largas).

•

Superposici´ Superposicion o´ n vs. vs. Metodo e´ todo del anulador De igual forma, hay que resolver para la soluci on o´ n homog´ homogenea e´ nea en ambos ambos casos. casos. En el m´ metodo e´ todo de superposici on, o´ n, antes de llegar a resolver el sistema de ecuaciones (que se hace en ambos casos tambi en), e´ n), hay que tener una buena intuici on o´ n para proponer la forma de y p , cuando en el m´ metodo e´ todo del anulador, solo hace falta resolver una ecuaci´on on homog´enea. enea.

Referencias [1] 2007, Michael M. Dougherty Dougherty,, Lecture 10: Nonhomogeneous Linear ODEs And The Annihilator Method , Southwestern Oklahoma State University, Differential Equations 1. [2] 2006, Dennis Dennis G. Zill, Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Octava Edici on. ´ 

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