Metodo de Ziegler-Nichols

Método de Ziegler-Nichols Alfonso Narez Pérez, Juan Daniel Camas Cruz, Alexis Chavarría González INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE COMALCALCO, COMALCALCO, TABASCO, MEXICO. Introducción El método de Ziegler-Nichols permite ajustar o "sintonizar" un regulador PID de forma empírica, sin necesidad de conocer las ecuaciones de la planta o sistema controlado. Estas reglas de ajuste propuestas por Ziegler y Nichols fueron publicadas en 1942 y desde entonces es uno de los métodos de sintonización más ampliamente difundido y utilizado. Los valores propuestos por este método intentan conseguir en el sistema realimentado una respuesta al escalón con un sobrepulso máximo del 25%, que es un valor robusto con buenas características de rapidez y estabilidad para la mayoría de los sistemas. El método de sintonización de reguladores PID de Ziegler-Nichols permite definir las ganancias proporcional, integral y derivativa a partir de la respuesta del sistema en lazo abierto o a partir de la respuesta del sistema en lazo cerrado. Cada uno de los dos ensayos se ajusta mejor a un tipo de sistema.

En la Fig. 1.3 se puede ver representado en rojo la entrada escalón al accionador o señal c(t). En azul se representa la salida del sistema medida por el sensor o señal h(t). El escalón de entrada c(t) debe estar entre el 10% y el 20% del valor nominal de entrada. Como puede apreciarse, la respuesta del sistema presenta un retardo, también llamado tiempo muerto, representado por T1.

Sintonización por la respuesta al escalón Este método de sintonización se adapta bien a los sistemas que son estables en lazo abierto y que presentan un tiempo de retardo desde que reciben la señal de control hasta que comienzan a actuar. Para poder determinar la respuesta al escalón de la planta o sistema controlado, se debe retirar el controlador PID y sustituirlo por una señal escalón aplicada al accionador. Fig. 1.1

Fig. 1.3 Entrada escalón al accionar (rojo). Salida del sistema por el sensor (azul). Para calcular los parámetros se comienza por trazar una línea recta tangente a la señal de salida del sistema (curva azul). Esta tangente está dibujada en la Fig. 1.4 con una recta a trazos. El tiempo T1 corresponde al tiempo muerto. Este es el tiempo que tarda el sistema en comenzar a responder. Este intervalo se mide desde que la señal escalón sube, hasta el punto de corte de la recta tangente con el valor inicial del sistema, que en este caso es el valor 25ºC

Fig. 1.1 Sistema de control en lazo cerrado con control PID. En la Fig. 1.2 se muestra la modificación que hay que realizar al sistema de control en lazo cerrado para convertirlo en un sistema en lazo abierto que responda a una señal escalón, retirando el controlador PID:

Fig. 1.2 Respuesta al escalón de un sistema de control

El tiempo T2 es el tiempo de subida. Este tiempo se calcula desde el punto en el que la recta tangente corta al valor inicial del sistema hasta el punto en el que la recta tangente llega al valor final del sistema.

Fig. 1.4 T1 corresponde al tiempo muerto. T2 corresponde al tiempo de subida. Además de estos dos tiempos característicos también hay que calcular la variación de la señal escalón dX y la variación de la respuesta del sistema dY. En el caso de ejemplo que aparece en las imágenes, la variación de la señal escalón corresponde a dX = 5 voltios de señal de control c(t) y la variación del sistema corresponde a dY = 200ºC medidos por el sensor h(t).

dX = 5 - 0 = 5 voltios dY = 225 - 25 = 200 ºC T1 = 2.2 - 1 = 1.2 segundos T2 = 13.8 - 2.2 = 11.6 segundos A partir de estos valores se pueden calcular los parámetros del regulador PID: Ko = (dX * T2) / (dY * T1) = (5 * 11.6) / (200 * 1.2) = 0.242 V/ºC Kp

A partir de estos valores se puede calcular la constante del sistema Ko: Ko = (dX * T2) / (dY * T1) Y a partir de la constante Ko se pueden calcular los parámetros del controlador PID con acción solo proporcional (P), proporcional e integral (PI) o proporcional integral y derivativa (PID): Kp

Ti

Td

P

Ko

PI

0.9*Ko

3.3*T1

PI

PID

1.2*Ko

2*T1

0.5*T1

Ki

P

0.242

PI

0.218

0.055

PID

0.290

0.121

Kd

0.174

Después de introducir los valores Kp, Ki y Kd en el PID se obtiene la respuesta tal como se muestra en la Fig. 2.1:

La constante Kp corresponde a la ganancia proporcional, Ti es la constante de tiempo integral y Td es la constante de tiempo derivativa. En el caso de tener el controlador PID configurado con las ganancias integral Ki y derivativa Kd en vez de los tiempos Ti y Td, hay que tener en cuenta las siguientes relaciones entre ellos: Ki = Kp / Ti Kd = Kp * Td Con lo cual la Tabla 1 de valores para ajustar el controlador PID será la siguiente: TABLA 1 VALORES PARA AJUSTAR EL VALOR PID Kp

Ki

Kd

Fig. 2.1 Respuestas de temperatura, error y potencia de entrada. Ahora se pueden ajustar a mano los parámetros del PID para conseguir una respuesta un poco más estable y rápida. Se ha aumentado la ganancia derivativa y reducido la integral para reducir las oscilaciones: Kp = 0.28

P

Ko

PI

0.9*Ko

0.27*Ko/T1

PID

1.2*Ko

0.60*Ko/T1

Ki = 0.10 0.60*Ko*T1

Ejemplo de sintonización de PID con la respuesta al escalón En el ejemplo que aparece en las imágenes anteriores se ha utilizado la simulación de un horno realizada con una hoja de cálculo: Control de temperatura Para calcular los parámetros del sistema se fuerza una respuesta al escalón fijando la señal de control en 0 voltios con un escalón de 5 voltios. El sistema responde cambiando desde 25 grados centígrados a 225 grados centígrados. Los tiempos son los que aparecen en las gráficas anteriores, con lo cual los valores de la curva de respuesta del sistema son los siguientes:

Kd = 0.21 Como resultado, el sistema se estabiliza ahora en 12 segundos como se ilustra en la Fig. 2.2:

PI

0.45*Kc

0.83*Tc

PID

0.59*Kc

0.50*Tc

0.125*Tc

Si los valores de tiempo Ti y Td se traducen a ganancias, se obtiene: Ki = Kp / Ti Kd = Kp * Td

Kp

Fig. 2.2 Estabilizacion del sistema en 12 segundos. En todos los casos se ha limitado la respuesta integral de forma que valga cero si el error es mayor de 40ºC. Este modo de funcionamiento de la ganancia integral es llamado anti-windup, sirve para evitar un sobrepico excesivo en la respuesta. Este sobrepico se produce porque el control integral aumenta mientras el accionador se encuentra saturado, de forma que acumula un valor demasiado alto y no ajustado a la respuesta real del sistema.

Sintonización por la ganancia crítica en lazo cerrado Este método no requiere retirar el controlador PID del lazo cerrado. En este caso sólo hay que reducir al mínimo la acción derivativa y la acción integral del regulador PID. El ensayo en lazo cerrado consiste en aumentar poco a poco la ganancia proporcional hasta que el sistema oscile de forma mantenida ante cualquier perturbación. Esta oscilación debe ser lineal, sin saturaciones. En este momento hay que medir la ganancia proporcional, llamada ganancia crítica o Kc, y el periodo de oscilación Tc en segundos. Fig. 3.1

Ki

P

0.50*Kc

PI

0.45*Kc

0.54*Kc/Tc

PID

0.59*Kc

1.18*Kc/Tc

Kd

0.074*Kc*Tc

.

Referencias bibliográficas Vér [4]

Conclusión El método 1 de Ziegler-Nichols es muy práctico al diseñar un control PID para aproximarse a los valores Ki,Kp y Kd que se necesitan para obtener las condiciones deseadas. Desarrollar el código para resolver el problema en MatLab ayuda bastante, ya que se requiere de varias pruebas experimentales con distintos valores para Ki,Kp y Kd y observar la respuesta del sistema con estos valores, hasta encontrar algunos que cumplan las condiciones deseadas o estén dentro del rango aceptado. Cuando se conocen los conceptos detrás de las contstantes Ki,Kp y Ki se puede llegar más rápido al ajuste deseado. La obtención de estos parámetros para sistemas de los cuales se conoce la función de transferencia es muy sencilla, y un buen punto de partida para un posterior ajuste más fino.

Referencias

Fig. 3.1 ganancia crítica o Kc, y el periodo de oscilación Tc en segundos. Una vez hallados estos dos parámetros se pueden calcular los parámetros del controlador PID con acción solo proporcional (P), proporcional e integral (PI) o proporcional integral y derivativa (PID): Kp P

0.50*Kc

Ti

Td

[1] Shinskey, F.G.; Process Control Systems,Segunda Edición, New York, NY, EUA,McGraw-Hill Book Co., 1 979. [2] Sung, S.W., J. O, I.B. Lee, J. Lee y S.H. Yy;– Automatic Tuning of PID Controller usingSecond-Order plus Time delay Model, Journalof Chemical Engineering of Japan,), Vol.29 Nº 6, pág. 990 – 999, Japón, 1 996. [3] Ziegler, J.B. y N.B. Nichols; Optimum Settingsfor Automatic Controls, ASME Transactions(EUA), Vol. 64, pág. 759-768, 1942. [4] Witt, S.D. y R.C. Waggoner; Tuning parameters for non-PID three-mode con-trollers, Hydrocarbon Processing (EUA), Vol. 69 Nº 6, Jun. 1 999. [5] Alfaro, V.M.; ¿Son todos los controladoresPID iguales?, Rev. Ingeniería, San José,Costa Rica, Vol. 3, Nº 1, 1 993. [6] Alfaro, V.M.; Identificación de procesos sobre amortiguados utilizando técnicas de lazo abierto, Rev. Ingeniería, San José, Costa Rica, Vol. 11, Nº 2, 2 001. [7] Alfaro, V.M.; Identificación de procesos sobre amortiguados utilizando técnicas de lazo cerrado, Rev. Ingeniería, San José, Costa Rica, Vol. 11, Nº 2, 2 001. [8] Kaya, A. y T.J. Sheib; Tuning of PID Controllers of Different Structures, Con-trol Engineering (EUA), pág. 62 – 65, Dic. 1988.