Método de transporte

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN

característi caracterí sticas cas de as asiignaci gnación. ón. método mé todo húngaro o de matri z reducida.

Investigación Inves tigación de operac operaciones iones

Introducción

U

n caso particular del modelo de transporte es el modelo de asii gnación, que tiene as ti ene como propósito propósit o asi asi gnar person personas as u obje obj etos a tareas de tal forma que se optimice algún objetivo, por ejemplo:

Históricamente el problema de asignación se resolvió utilizando las mis mi smas técnicas que se util uti l i za zaban ban par par a el el mode modell o de trans tr anspor porte, te, sin si n embar embargo, result resultaba tedi tedios oso o hacer hacerl o de es esta manera manera debi debido do a las características ca racterísticas pa parr titiculares culares de dell mi mis smo. A parti part i r del traba t rabajj o real real i za zado do por por dos matemá matemátiticos cos húngaros húngaros,, se obtien obti ene e un algori al goritmo tmo efi ef i ci cien ente te para este este modelo, el cual se conoce como método húngar húngaro o. I ni nici ciam amos os la unidad uni dad pl pl an anteand teando o el el probl problema ema gen general eral de as asi gnación, hacemos hace mos hi nca ncapi pié é en en su es est r uct uctur ura, a, como en en el caso espe especi cial al del modell o de trans mode tr anspor porte te y pl an anteam teamos os al al gunos problemas problemas tipo. ti po. Continuamo Conti nuamos s resolv res olvii en endo do el el mode modell o de as asi gnación por el mé método todo húngaro. Ter Ter mi minam namos os la unidad estudiando algunos problemas de asignación desbalanceados.

8.1. Definición del modelo de asignación Los problemas de asignación aparecen en varios contextos de la i ngenier ngeniería ía económi económica, ca, en en donde se requi requiere ere asig asignar nar de manera ópt óptii ma objetos o persona personas s “ i ndiv ndivii si bl bles es”” a cier ciertas tas tar tarea eas, s, por por ejemplo: especialii zado especial zados s en ca cada da tipo ti po de sol oldadura dadura exi exi sten stentes tes (mi (mig, g, ti g, bajo el agua, eléctrica, oxiacetilénica, etc.). Si no se cuenta con personal especializado representa un costo extra en gasto de material. Por lo tanto, se debe asignar a la persona óptima en cada puesto de trabajo para minimizar costos. en cada máqui máquina na (recta, zigzag, oj ojales ales,, etc.) etc.) par par a mi ni mi mizar zar tiempos ti empos de producción. grupo, gr upo, pens pensand ando o en opti mi zar l os es espa paci cios os di disponibl sponibles es..

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Unidad 8

El problema clásico de asignación consiste en asignar n objetos o personas indivi sibles a m tareas de una manera óptima. Las propiedades que debe cumplir un conflicto para formularse como un problema de asignación son las siguientes :

C ij  de asignación de la persona i  a la tarea j .   totales.

8.1.1. Construcción del modelo de asignación Las vari ables que se utilizan en el modelo de asignación son variables binarias, es decir, variables que sólo pueden tomar los valores 0 o 1. Matemáticamente se escribe: x ij 

1 si el asignado i realiza la tarea j  0 en caso contrario para i =1, 2,... n   j =1, 2, 3,... n 

El costo total de la asignación   es igual a la suma de los productos de cada vari able x ij  por el costo asignado C ij  n 

n 

Zmín

Cij x ij   i  1  j  1

En las restricciones se asigna una persona a cada una de las tareas y cada tarea debe ser realizada por una persona. Esto lo representamos como: n 

xij  1 para i 1, 2,... n   j  1 n 

xij  1 para j 1, 2,... n  i  1

El modelo completo de asignación se obtiene al añadir l a restricción de no negatividad y la de variables binarias:

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Investigación de operaciones

n 

Zmín i  1

n 

Cij x ij  

 j  1

Sujeto a: n 

xij  1 para i 1, 2,... n   j  1 n 

xij  1 para j 1, 2,... n  i  1

xij  binarias para toda i y j  x ij  0 Vemos que el modelo de asignación es muy parecido al modelo de transporte, la diferencia radica en que las variables del modelo de asignación son binarias, mientras que en el modelo de transporte las variables son enteras . Entonces podemos tomar el modelo de asignación como un problema de transporte donde cada una de las personas es el origen y cada una de las tareas son los destinos. La oferta y demanda son igual a uno, es decir, cada origen tiene una sola persona y cada desti no necesita sólo una persona. Los costos de capacitación representan el costo de transportar una unidad del origen i   al destino j . Por lo tanto, el objetivo es encontrar la combinación que minimice los costos de asignación y cumpliendo las restricciones de oferta y demanda. Al final de la unidad veremos problemas que aunque no cumplen la pri mera propiedad pueden formularse como problemas de asignación.

Ejemplo 1 Una empresa contrata a cuatro personas para cubri r los siguientes puestos: supervisor de acabado, supervisor de empaque, supervisor de producción, supervisor de materia pri ma. A cada uno se apli ca un examen de aptitudes para determinar sus habilidades. A partir del resultado de los exámenes se determina el costo que tiene su capacitación para cada uno de los puestos. Los costos se presentan en la siguiente tabla.

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Unidad 8

Si se desea conocer la asignación de menor costo para la empresa, obtener la tabla inicial asociada al problema. La tabla inicial asociada al problema es:

Ejemplo 2 Una empresa dedicada a la compra y venta de equipo de cómputo adquirió seis máquinas para ser vendidas, sin embargo, el cliente pide una prór roga de un mes para que le entreguen las máquinas. La empresa tiene que almacenar las seis máquinas durante este tiempo, se coti zan los precios de seis bodegas que pueden almacenar l as máqui nas, los costos se muestran en la sigui ente tabla.

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Investigación de operaciones

Nuevamente podemos ver este problema como un modelo de transporte, donde los orígenes son las máquinas, los desti nos son las bodegas y el costo C ij  es el costo de almacenaje. La oferta de cada uno de los orígenes es uno, mientras que la demanda de cada uno de los destinos también es uno. Nuevamente, las vari ables sólo pueden tomar el valor cero o uno. La tabla inicial de este problema es:

Ejercicio 1 1. El objetivo en el problema de asignación es ________________ los costos. 2. Las variables en el problema de asignación son _______________. 3. Una persona debe ser asignada a ________tarea. 4. El número de tareas y el número de personas por asignar deben ser  _____________. 5. Constr uir l a tabla inicial del siguiente problema de asignación. Se abri rán 3 centros de cómputo en diferentes ciudades de la República Mexicana, por lo que se lanza una convocatoria para que se presenten propuestas. Tres empresas interesadas hacen las siguientes ofertas: Empresa 1: $ 3 000, $ 5 000 y $ 8 000 por cada uno de los centros. Empresa 2: $ 4 000, $ 6 000 y $ 9 000 por cada uno de los centros. Empresa 3: $ 3 500, $ 5 000 y $ 7 000 por cada uno de los centros. Se desea asignar de manera óptima cada uno de los proyectos a cada una de las empresas.

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Unidad 8

8.2. Método húngaro o de matriz reducida Una vez que obtenemos el modelo de un problema de asignación, es conveniente desarrollar un procedimiento que nos permita hallar la solución óptima del mismo. Dos matemáticos húngaros desarrollaron un algoritmo eficiente para el problema de asignación llamado método de matriz reducida o método húngaro, en honor a sus creadores. A conti nuación descri bimos el algori tmo.

Algoritmo general 1. Se construye una tabla de n +1 por n +1, la primera columna se utiliza para colocar l as etiquetas de los candidatos a asignar, mi entras que la primera fila se utiliza para colocar las etiquetas de las tareas. En las intersecciones se escribe el costo de asignación asociado. 2. Se identifica el costo menor  de cada una de las filas y se resta a los costos de la misma fi la (o renglón). 3. Para la matriz que resulte del punto anterior, se identifica el costo menor  por col umna y se resta a los costos de la misma columna. 4. Se buscan los llamados ceros de asignación  que son úni cos en su renglón y su columna,  de manera que si existen dos o más ceros en un solo renglón o en una sola columna, éstos se marcan con dos líneas cruzadas. Los ceros de asignación generan la solución óptima del problema. La posición de los ceros de asignación indican la tarea que corresponde a cada persona. Cuando el número de ceros de asignación sea igual al número de columnas (o filas) hemos llegado a la solución óptima . Termina, si no, seguir con el algoritmo. 5. Si no es posible obtener todos los ceros de asignación con el proceso anterior, entonces se procede como sigue: a) Trazamos el menor número de líneas rectas  hori zontales y verticales, de tal manera que se cubran todas las entradas con un cero. b) Seleccionamos el costo menor no cubierto por línea de alguna de las rectas trazadas en el inciso anterior y se lo restamos  al resto de las entradas no cubiertas.

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Investigación de operaciones

c) Se suma  a los elementos que se encuentren en el cruce de dos líneas el elemento menor seleccionado del i nciso anterior. d) Los elementos cruzados por una sola línea se copian en la nueva tabla. e) Regresa al paso 4.

Ejemplo 3 Hallar la solución óptima del siguiente problema de asignación: Una empresa compra 3 impresoras, una de inyección de tinta, una de punto matriz y una láser. Las impresoras se deben asignar a los siguientes departamentos: recursos humanos, facturación y di rección. Debido a la frecuencia de uso en cada departamento y al ti po de impresora se tiene un costo de asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:

Paso 1. La tabla inicial del método húngaro es:

Paso 2. El costo menor de cada una de las f ilas es 5, 4 y 4 respectivamente. Al restar 5 a los elementos de la primer fila, restar 4 a los de la segunda y 4 a los de la tercera, obtenemos:

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Paso 3. El costo menor de cada una de las columnas es 0, 0 y 2 respectivamente. Al restar en su columna respectiva obtenemos:

Paso 4. Buscamos los ceros de asignación. En este caso, la entrada (1, 1) tiene asignado un cero, por lo tanto la impresora de inyección de tinta va al departamento de recursos humanos.  La celda (2, 2) tiene un cero de asignación, por lo tanto, la impresora de punto matriz va al departamento de facturación. La celda (3, 3) tiene un cero de asignación, por lo tanto, la impresora láser va a la dirección . El costo total mínimo de esta asignación es: 5 + 4 + 6 = $ 15.

Una manera de identificar si se puede realizar una asignación óptima es: “ si al permutar las filas podemos hacer que la diagonal principal de la tabla tenga entradas cero” .

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Investigación de operaciones

Ejemplo 4 Retomando el ejemplo 1, cuya tabla de costos es:

Obtener la asignación de menor costo para la empresa.

Paso 1. La tabla inicial del método húngaro es:

Paso 2. El costo menor de cada una de las filas es 100, 300, 250 y 150 respecti vamente. Al restar el costo mínimo de cada una de las filas correspondientes obtenemos:

Paso 3. El costo menor por col umna de esta nueva tabla es 50, 0, 0 y 0. Al restar este costo míni mo a cada una de las columnas correspondientes obtenemos:

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Paso 4. Para veri f icar si es posible realizar una asignación facti ble óptima, intercambiamos las fi las para ver si es posible obtener entradas ceros en la diagonal pr incipal. Intercambiamos la fi la cuatro por l a fila uno y obtenemos la siguiente tabla:

El método asegura que la asignación óptima es: La persona 4 supervisa el departamento de acabado, l a persona 2 al departamento de empaque, la persona tres al departamento de producción y la persona uno al departamento de materia prima, con un costo mínimo de $ 850.

Ejemplo 5 Se necesitan hacer trabajos de jardi nería, pi ntura y plomería en una casa. Se pide a Juan, Pedro y Luis que realicen un presupuesto sobre cada uno de los trabajos de manera independiente. A conti nuación se muestra el costo que presentaron para las diferentes tareas.

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Investigación de operaciones

Debemos asignar una tarea a cada uno de ellos, de tal manera que se minimice el costo total.

Paso 1. La tabla inicial es:

Paso 2. Los costos mínimos de cada una de las filas son 15, 25 y 18 respectivamente. Al restar cada uno de ellos a cada una de las filas respectivas obtenemos:

Paso 3. Los costos míni mos de esta nueva tabla por columna son 0, 0 y 3. Al restar cada uno de estos valores a la columna respectiva obtenemos la siguiente tabla:

Paso 4. La celda (1, 2) y la (2, 2) tienen cero, pero no es cero de asignación por no ser único en su columna. La celda (3, 1) tiene un cero, pero no es de asignación. La celda (3, 3) tiene un cero pero tampoco es de asignación ya que no es único en su renglón. Aunque permutemos las f ilas no es posible colocar ceros en la diagonal principal, como fue el caso del ejemplo 1, por lo tanto continuamos con el algoritmo:

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Trazamos el menor número de líneas rectas  que cubran todas las celdas con entradas cero

a) El costo menor no cubierto es $ 2, que se resta de las entradas no cubiertas por línea alguna:

b) Le sumamos el costo menor $ 2 a las celdas donde se intersectan dos rectas:

c) La tabla que obtenemos es:

Regresamos al paso 4.

Paso 4. Si intercambiamos la fila tres con la f ila uno, obtenemos los ceros de asignación en la diagonal principal:

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Investigación de operaciones

Como el número de ceros de asignación es igual al número de columnas (filas), por lo tanto la asignación ópti ma es: A Luis el trabajo de jardinería con un costo de $ 18, a Pedro el trabajo de pintura con un costo de $ 25 y a Juan el trabajo de plomería con un costo de $ 20. El costo total mínimo es de $ 63.

Ejemplo 6 Hallar la solución óptima del problema del ejemplo 3, pero con la condición de que Juan no realiza trabajos de plomería.

Paso 1. La tabla inicial del modelo es:

Paso 2. Los costos mínimos por f ila son 15, 25 y 18, se restan a los valores en la f ila correspondiente:

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Paso 3. Los costos míni mos por columna son 0, 0 y 12, se restan a los valores de su columna correspondiente:

Paso 4. Se buscan los ceros de asignación. En la celda (2, 1) se tiene un cero de asignación ya que es único en su fila y columna. Si en la celda (1, 2) elegimos el cero como de asignación entonces el cero de su misma columna se anula y por tanto el cero en la celda (3, 3) también será de asignación. Concluimos que: Pedro realiza el trabajo de jardinería, Juan el de pintura y Luis el de plomería con un costo mínimo de $ 25 + $ 15 + $ 30 = $ 70.

Ejercicio 2 1. El método de matri z reducida f ue desarrollado por dos matemáticos: a) Ingleses. b) Rusos. c) Estadounidenses. d) Húngaros. 2. El tamaño de la tabla inicial del método de matriz reducida es de: a) m  n  b) n  m  c) n  n  d) n   –1 n   –1

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Investigación de operaciones

3. Para comenzar el algoritmo se selecciona el costo _______________por f ila y se resta del resto de las entradas de la fila. 4. Para poder llevar acabo una asignación óptima, debemos escribir la matriz reducida con ____________en la diagonal principal. 5. Si no es posible realizar una asignación óptima, debemos trazar el  _____________número de líneas posibles que cubran todas las celdas con entrada cero. 6. Una empresa compra 3 computadoras, una Pentium I, una Penti um I I y una Pentium III. Las computadoras se deben asignar a los siguientes departamentos: recursos humanos, facturación y di rección. Debido a la frecuencia de uso en cada departamento y al tipo de computadora se tiene un costo de asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:

Hallar la asignación óptima y el costo mínimo.

8.3. Algoritmo de solución Una vez que aprendimos a utilizar el método húngaro para la solución de problemas de asignación, es importarte que ahora estudiemos el porqué funciona. En la primera sección de la uni dad encontramos que el modelo de P. L . de asignación es el siguiente: n 

Zmín i  1

n 

Cij x ij  

 j  1

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Sujeto a: n 

xij  1 para i 1, 2,... n   j  1 n 

xij  1 para j 1, 2,... n  i  1

xij  binarias para toda i y j  x ij  0 Vamos a demostrar que la solución óptima de este modelo permanece sin cambios si se suma o resta una constante a cualquier fila o columna de la matriz de costos. Supongamos que la matriz de costos es la siguiente:

Sea p i  el costo menor de cada fila, al restar esta canti dad de cada f ila nos queda un nuevo costo, dado por: C’ ij  = C ij – p i  La tabla actualizada es:

Sea q  j  el costo menor por columna de la tabla anterior, al restar esta cantidad de cada columna nos queda un nuevo costo, dado por: C’’ ij  = C ij –  p i  – q j  . La tabla actualizada es:

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Investigación de operaciones

Ahora calculemos la función objeti vo, en término de estos nuevos costos: Z =(C 11 – p1 –    q1 )x 11+(C 12 – p1 –    q2 )x 12+(C 21 – p2  – q1 )x 21+(C 22 – p2 –    q2 )x 22 Reali zando algunos cambios algebraicos, podemos llegar a la siguiente expresión equivalente: Z =C 11x 11+ C 12x 12+ C 21x 21+ C 22x 22 –(p 1+q 1) x 11 –(p 1+q 2)x 12 –(p 2+q 1)x 21  –(p 2+q 2)x 22 Esta expresión la podemos rescribir como: n 

n 

Z

n 

n 

( pi

Cij xij   i  1  j  1

q j ) xij

 

 

i  1  j  1

Por restricciones del problema de asignación, sólo una de las variables de cada fila puede ser igual a uno y el resto debe ser igual a cero, por lo tanto, la suma del segundo térmi no es: n 

n 

n 

( pi

qj ) xij

i  1  j  1

n 

pi 

 

q j 

i  1

 

 j  1

Finalmente la función objetivo la podemos escri bir como: n 

n 

Z

n 

Cij xij   i  1  j  1

n 

pi  i  1

n 

n 

Cij xij   constante  

q j   j  1

i  i   j  1

Debido a que esta función objetivo dif iere de la ori ginal por sólo una constante, ambas deben tener los mismos valores de x ij , por lo tanto tienen la misma solución. Con esto demostramos que los pasos realizados en el algoritmo húngaro son válidos.

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Ejemplo 7 Una empresa compra 3 compresoras de diferentes capacidades, una grande, una mediana y una chica. Las compresoras se deben asignar a los siguientes departamentos: pintura de interiores, pintura de exteriores y pi ntura de detalle. Debido a la f recuencia de uso en cada departamento y al tipo de compresora se tiene un costo de asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:

Obtener la asignación de compresoras a los diferentes departamentos de tal manera que se minimicen los costos.

Paso 1. Al resolver el modelo, obtenemos la tabla inicial:

Paso2. Lascantidades míni masde cada fila son 10, 2 y 5 respecti vamente, se restan a cada valor en la fila correspondiente:

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Investigación de operaciones Paso3. Lascanti dades míni maspor columna son 0, 0 y 2 respectivamente, se restan a cada valor en la columna correspondiente:

Paso 4. Los ceros de asignación están en la diagonal principal de la tabla, por tanto, la solución óptima del problema es: la compresora grande a pintura de exteriores, la compresora mediana a pintura de interiores y la compresora chica a pintura de detalle (solución óptima: x 11=1, x 22=1, x 33=1 ) con un costo mínimo de asignación de Z=$ 19. Ahora, si los costos se incrementan en 10% la tabla con los nuevos costos es:

Al resolver obtenemos:

Paso 2. Los costos menores por f ila son 11, 2.20 y 5.50, respecti vamente, se restan de los costos en su f ila correspondiente:

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Unidad 8 Paso 3. Los costos menores por columna son 0, 0 y 2.20, respecti vamente, se restan de los costos en su columna correspondiente:

La solución óptima del problema es: x 11=1, x 22=1, x 33=1 con un costo mínimo de asignación de Z =$ 20.90. Observamos que la solución es la misma , es decir, tenemos las mismas variables con valor uno, lo único que cambia es el valor de Z , el cual se incrementa en $ 1.90.

8.4. Problemas no balanceados La primera condición que debe cumplir un problema de asignación es que el número de personas a asignar sea igual al número de tareas, sin embargo, en ocasiones algunos probl emas no lo cumplen. En esta sección vamos a aprender cómo podemos modificar este ti po de problemas para apli car el algoritmo de asignación.

Ejemplo 8 Una empresa de transportes tiene cuatro diferentes modelos de camiones. Dependiendo de la pericia del conductor para manejar los cambios de la caja de velocidades, el camión consume más o menos combustible. En la actualidad la planta cuenta con tres conductores. Los costos por uso adicional de combustible se muestran en la siguiente tabla:

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Investigación de operaciones

Hallar la asignación que minimiza los costos de combustible adicional. El problema tiene tres personas para asignar, pero el número de tareas (camiones) es de cuatro, por lo tanto tenemos un problema no balanceado. Para poder utilizar el método húngaro, lo primero que debemos hacer es balancear el probl ema. Para hacerlo debemos agregar unconductor ficticio , el costo para este conductor en todos los casos es cero, para que de esta manera no afecte el resultado de la función objetivo. Al agregar un nuevo conductor, la tabla inicial del problema queda de la siguiente forma:

Ahora aplicamos el método húngaro.

Paso 1. La tabla inicial del modelo es:

Paso 2. L os costos míni mospor f ila son 150, 250, 100, 0, respectivamente, al restar este valor de cada una de las filas obtenemos la siguiente tabla:

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Unidad 8 Paso 3. El paso tres no es necesario, debido a que todas las columnas contienen al menos un cero que proviene de la fila de la persona ficticia.

Paso 4. Intercambiamos las filas 1 con la 2 y la 3 con la 4 para obtener los ceros de asignación  en la diagonal principal:

La asignación óptima es: El conductor 2 al camión 1, el conductor 1 al camión 2 y el conductor 3 al camión 4. La asignación del conductor 4 al camión 3 no es posible, debido a que el conductor 4 es ficticio, por lo tanto, el camión 3 es el que no se ocupa. El costo mínimo es de $ 500.

Ejemplo 9 En un centro de cómputo se ti enen tres lugares li bres, el de programador, el de analista y el de supervi sor. L a empresa tiene a cuatro candidatos para ocupar los puestos; el salario de cada uno de ellos depende del puesto en donde se les coloque. En la siguiente tabla se resume esta información.

Candidato 1 Candidato 2 Candidato 3 Candidato 4

Programador $ 11 800 $ 12 500 $ 20 000 $ 18 000

Anali sta $ 15 000 $ 13 000 $ 18 000 $ 17 000

Supervi sor $ 20 000 $ 14 400 $ 23 000 $ 16 000

En este caso, tenemos cuatro personas para tres tareas, por lo tanto el problema es desbalanceado. Tenemos que agregar un puesto f icticio para balancear el problema, con un costo de cero para todos los candidatos:

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Investigación de operaciones

Uti lizamos el método húngaro.

Paso 1. La tabla inicial es:

Paso 2. Este paso no tiene ningún sentido aplicarlo, porque el costo menor por fila es cero, por lo tanto la tabla queda igual al paso uno.

Paso 3. Las cantidades mínimas por columna son 11 800, 13 000, 14 400, 0, respectivamente, se restan a cada valor en la columna correspondiente:

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Unidad 8 Paso 4. No es posible obtener la matriz con ceros en la diagonal, sólo tenemos 3 ceros de asignación y existen 4 columnas, por lo tanto debemos continuar con el algoritmo.

Paso 5. a)

b) El costo menor no tachado es 1 600, lo restamos al resto de las entradas libres.

 c) Sumamos el costo menor (1 600) a l as celdas donde se intersectan dos rectas.

Regresamos al paso 4.

Paso 4. Buscamos los ceros de asignación:

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Investigación de operaciones

Intercambiamos la fila 3 por la 4.

Por lo tanto la asignación óptima es candidato 1 a programador, candidato 2 a analista y candidato 4 a supervisor. El candidato 3 no se emplea. El costo de esta asignación es $ 40 800.

Ejercicio 3 1. Decimos que un problema de asignación es no balanceado si el número de personas a asignar y el número de tareas a ocupar son: a) Diferentes. b) Positivas. c) Negativas. d) Iguales. 2. Si tenemos una tarea más que personas para asignar debemos crear: a) Una tarea ficticia. b) Una persona f icticia. c) Dos tareas ficticias. d) Asignar dos personas a una tarea.

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3. El costo de asignación para una columna ficticia debe ser igual a: a) 10 b) 5 c) 0 d) Negativa. 4. En un laboratorio farmacéutico se tienen tres puestos libres, el de control de calidad, el de producción y el de supervisor. La empresa tiene a cuatro candidatos para ocupar los puestos. El salario de cada uno de ellos depende del puesto en donde se les coloque. En la siguiente tabla se resume esta información.

Hallar la asignación que optimiza los recursos.

Ejercicios propuestos Resolver el siguiente problema de asignación: 1. Los tres hijos del sr. Rodrigo Uribe: Miguel, Pedro y Luis quieren obtener recursos para asistir a una f iesta. Su padre les ofrece pagarl es si realizan algunas mejoras a su automóvil. Las mejoras posibles son: lavar el exterior, lavar el interior y cambiar el aceite. Las reglas son que cada uno sólo puede realizar una tarea y cada uno debe hacer una oferta secreta de cuánto cobraría por cada una de las tareas. En la siguiente tabla se muestran estos costos.

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Investigación de operaciones

Hallar la asignación óptima. 2. Resolver el problema de asignación, cuya matriz de costos se muestra a continuación.

3. En un centro de cómputo se tienen tres lugares libres, el de programador, el de analista y el de supervi sor. L a empresa tiene a cuatro candidatos para ocupar los puestos; el salario de cada uno de ellos depende del puesto en donde se les coloque. En la siguiente tabla se resume esta información:

Además el candidato 1 no puede ocupar el puesto de analista y el candidato 3 no puede ocupar el puesto de programador. Hallar la asignación ópti ma y el costo total mínimo.

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Autoevaluación 1. El problema de asignación balanceado tiene n  fuentes y: a) n +1 desti nos. b) n  destinos. c) n   –1 destinos. d) n   –2 desti nos. 2. El método óptimo para resolver problemas de asignación es: a) Símplex. b) Símplex dual. c) Modi. d) Húngaro. 3. Las variables en el modelo de asignación son: a) Fraccionarias. b) Negativas. c) No restringidas. d) Binarias. 4. El objetivo del modelo de asignación es: a) Minimizar costos. b) M aximizar costos. c) Minimizar ganancias. d) Minimizar utilidades. 5. El paso 2 del método húngaro consiste en restar el costo menor de cada f ila al resto de los elementos de: a) La columna. b) De toda la matriz. c) De la diagonal. d) La misma fila.

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Investigación de operaciones

6. Si no es posible obtener una asignación factible, debemos trazar el menor número de rectas que cubran todas las entradas con valor: a) Cero. b) Negativo. c) Positivo. d) Mayor a 5. 7. La solución óptima del siguiente problema de asignación es:

a) x 12=1, x 21=1, x 33=1 b) x 13=1, x 21=1, x 33=1 c) x 11=1, x 22=1, x 33=1 d) x 12=1, x 33=1, x 31=1 8. El costo de la asignación óptima del siguiente problema es:

a) $ 630 b) $ 520 c) $ 360 d) $ 620

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9. El costo de la asignación óptima del siguiente problema es:

a) $ 630 b) $ 520 c) $ 640 d) $ 620 10. El número de vari ables distintas de cero en un problema balanceado de asignación es: a) n +1 b) n  c) n +m   –1 d) 2n   –1

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Investigación de operaciones

Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. Minimizar. 2. Binarias. 3. Una. 4. Iguales. 5.

Ejercicio 2 1. d) 2. a) 3. Menor. 4. Ceros. 5. Menor. 6. x 11=1, x 22=1, x 33=1 con Z mín=15

1. a) 2. b) 3. c) 4. x 11=1, x 22=1, x 43=1 Z mín=$ 41 400

Ejercicio 3

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