Método de Takabeya

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO INGENGENIERÍA CIVIL

MÉTODO DE FUKUHEI TAKABEYA

Fórmulas fundamentales para vigas y pórticos DOCERNTE: PORRO AÑIS OSCAR

Alumno: Darwin Alfredo Torres García CÓDIGO: 102323D

29/07/2014

Contenido INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 3 1.

DEFINICIÓN .................................................................................................................. 4

2.

ESTRUCTURAS CON NUDOS RIGIDOS .................................................................. 4 2.1.

3.

Estudio de los ángulo de giro.................................................................................. 4

CASOS PARTICULARES CON ARTICULACIÓN .................................................................... 6

4. ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS: SIN CARGAS HORIZONTALES O CON CARGAS HORIZONTALES APLICADAS EN LOS NUDOS............................................................................ 9 BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................... 14

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MÉTODO DE FUKUHEI TAKABEYA INTRODUCCIÓN La principal ventaja a comparación con la del método de Kani y Cross es el tiempo, sobre todo cuando los edificios llegan a ser muy altos el método de Takabeya es más beneficioso, pues se pudo resolver un edificio de 200 pisos y 30 luces en 78 horas con sólo calculadora en aquellos tiempos donde era realmente corto para tal problema con tal complicación, y cuyo método consiste en encontrar, por aproximaciones sucesivas, los giros de los nudos y los desplazamientos de los pisos, en lugar de los momentos debidos a ellos, con lo cual se disminuye considerablemente el número de operaciones. Esto lo hace sumamente útil. Una vez obtenida la convergencia de giros y desplazamientos, se procede a evaluar los momentos definitivos mediante las ecuaciones de ángulos de giro y deflexión.

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1. DEFINICIÓN El objeto del cálculo estático de una estructura es obtener el equilibrio de la misma, cuando, la cargar sus distintos elementos, giran y se desplazan los nudos de aquella. Conocidos los momentos flectores en los extremos de cada una de las barras, queda determinado el cálculo de la misma, pues los demás valores estáticos pueden deducirse de estos momentos, por lo cual el cálculo consistirá esencialmente en la determinación de los momentos en los extremos de cada barra. En cada nudo actúan dos momentos, iguales y contrarios, uno de ellos, que gira con el extremo de la barra, es el que debernos considerar como momento en dicho extremo, y el otro el que actúa exteriormente sobre el citado nudo (fig. 1). Cuando actúa sobre un nudo un momento flector exterior de sentido positive, el nudo y todos los extremos de las barras que concurren en él reciben momentos positivos en este extremo.

Empezaremos el cálculo suponiendo que al actuar las cargas exteriores existe empotramiento perfecto en los dos extremos de cada barra, o sea, que los nudos permanecen fijos sin poder efectuar ningún giro ni desplazamiento. Cada barra es, por lo tanto, como una viga de último empotrada en sus extremos, para los cuales nos será fácil calcular los correspondientes momentos de empotramiento. A las fuerzas y momentos exteriores que impiden el desplazamiento y el giro de estos nudos las llamaremos fuerzas y momentos de sujeción. Determinados los momentos de empotramiento en los nudos, se calculan luego los momentos y fuerzas de sujeción en cada uno de ellos. El hecho de existir equilibrio en un nudo i, equivale a expresar que el momento de sujeción M debe ser igual a la suma de todos los momentos de empotramiento de las barras que concurren en dicho nudo, así: =

2. ESTRUCTURAS CON NUDOS RIGIDOS 2.1. Estudio de los ángulo de giro En esta primera etapa de cálculo se supone que los nudos son indesplazables. Cuando se deforma una estructura bajo la acción de ciertas cargas exteriores, sin suponer que existe rigidez en los nudos de la misma, cada uno de ellos gira en un determinado valor; por ejemplo, para una barra i-k el extremo i girará en un ángulo τ y el extremo k en un ángulo τ . Vamos a descomponer el giro total de los extremos de la barra i-k, como superposición de las tres siguientes y sucesivas etapas (ver fig. 2) 1. La barra i-k se deforma, flexando, bajo la acción de la

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carga, sin girar los extremos de la misma. 2. El extremo i gira en un ángulo , mientras el extremo k no gira. 3. El extremo k gira en un ángulo , mientras el extremo i no gira. Se pude, por lo tanto, escribir para el extremo i de la barra i-k: = =

+4 +4

+2 +2

(1 ) (1 )

Conociendo estos valores podremos obtener el momento total (1a y 1b), por suma de los mismos, o sea:

, mediante la ecuación

 Del momento de empotramiento perfecto en el extremo ( ).  Del momento debido al giro del propio extremo (4 ).  Del momento debido al giro del extremo contrario de la barra (2

).

Por conveniencia se define: =

(2)

El valor de C es una constante de proporcionalidad que nos permitirá trabajar con valores relativos. Remplazando 2 en 1, se tiene así:

Definimos rotaciones relativas:

= =

+4 +4

=2

(3a) (3b)

+2 +2

(4a)

=2

Remplazamos 4 en 3 tenemos:

(4b)

= + (2 + = + +2 Cuando a un nudo lo aplicamos la ecuación de equilibrio ∑ 0=

Despejando la rotación debido al nudo i: =−

+2

∑ 2∑

+

−

2∑

) (

= 0, se obtien: )

(5a) (5b) (6)

(7)

Según la ecuación 7 vemos que el primer término que está representado por el cociente entre el momento de empotramiento y dos veces el coeficiente de rigidez, lo cual es un término que siempre será constante para cada nudo, y en consecuencia el segundo nudo representa los giros en los extremos alejados del nudo de las barras que concurren a él. Para dar una representación se define:

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=−

Y también se tiene

=−

La ecuación 7 la podemos escribir como:

∑ 2∑

(8) (9)

2∑

=

+

(10)

Esta ecuación es la iteración buscada. Los siguientes pasos son básicos para la aplicación de este método:

1. Evalúense los coeficientes de giro y momentos de empotramiento . 2. Calcúlese los giros relativos iniciales de cada nudo mediante la ecuación (6). 3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se está trabajando a mano, para acelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial. 4. Aplíquese a cada nudo la ecuación (10) y escríbase en el diagrama los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo de valores de . Obsérvese que estos valores corresponden a los al pasar a los nudos opuestos. 5. Una vez recorrido todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 4 una y otra vez hasta obtener convergencia entre los nudos. 6. Finalmente aplíquese las ecuaciones (5) a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones verdaderas se puede obtener despejando su valor en la ecuación (4 a) 3. CASOS PARTICULARES CON ARTICULACIÓN Consideremos que el nudo i esté restringido (empotrado) y que el nudo k esté articulado, y lo aplicamos en la ecuación (5b) resulta:

Despejamos

=

:

=−

Remplazando (12) en (5a) =

(

+

+

+2

−

2

(2

2

(11) (12)

) 2 3 = − + (13) 2 2 El primer paréntesis es igual al momento de empotramiento verdadero para el extremo opuesto articulado:

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−

) =0

2

−

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=

Se define además que:

−

Entonces la ecuación (13) se escribe como:

2

′

=

=

Ejemplo 1

3 4

3 2

+

(2

+

(14) (15)

)

(16)

Analice el pórtico mostrado por el método de Takabeya, las vigas tienen una seccion de 30cm x 60cm, y las columnas 30cm x 50cm.

Solución PASO 1 Rigidez relativa

Tipo

Tramo

Lon.

m Vigas

Columnas

Sección

Momento

Coeficiente de Rigidez

Carga

Momento Empotram.

b

h

de Inercia

cm

cm

cm4

K

Representación

Distribuida Perefecto Ton/ml

Mik

Mki

34

6.00

30.00 60.00

6480000

10800

3.63

5.22

-15.666

15.666

56

6.00

30.00 60.00

6480000

10800

3.63

5.22

-15.666

15.666

53

3.00

30.00 50.00

3750000

12500

4.20

64

3.00

30.00 50.00

3750000

12500

4.20

75

4.20

30.00 50.00

3750000

8929

3

86

4.20

30.00 50.00

3750000

8929

3

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Nudo

Tramo

3

56 57 53 P5 65 68 64 P6 34 35

Valores Pi 3.6288 3 4.2 21.6576 3.6288 3 4.2 21.6576 3.6288 4.2

Factores de Giro -0.168 -0.139 -0.194 -0.500 -0.168 -0.139 -0.194 -0.500 -0.232 -0.268

4

P3 43 46

15.6576 3.6288 4.2

-0.500 -0.232 -0.268

P4

15.6576

-0.500

5

6

Diagrama de iteración Tipo

Vigas

Columnas

Tramo Momentos Parciales

Momentos Finales

Cortantes Finales

mik

mki

Mik

Mki

Vik

Vki

34

1.025

-0.795

-11.11

13.61

15.25

-16.08

56

0.597

-0.433

-12.90

14.69

15.37

-15.96

53

0.597

1.025

9.32

11.11

-6.81

-6.81

64

-0.433

-0.795

-6.98

-8.50

5.16

5.16

75

0.000

0.597

1.79

3.58

-1.28

-1.28

86

0.000

-0.433

-1.30

-2.60

0.93

0.93

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4. ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS: SIN CARGAS HORIZONTALES O CON CARGAS HORIZONTALES APLICADAS EN LOS NUDOS Para el cálculo de estructuras con desplazamiento, los momentos finales en los extremos de las barras están representados por las ecuaciones de ángulo de giros y deflexión: ∆ (17) = +4 +2 +6 Definimos:

=6

=

∆

(18)

=

Remplazamos 18 en 17 tenemos: el signo positivo de nivel n+1.

= + (2 + + ) (19) indica que el nivel n se ha desplazado hacia la derecha, con respecto al

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Aplicando la ecuación de equilibrio al ∑ 0=

= 0, se obtien:

+2

+

Despejando la rotación debido al nudo i: =−

∑ 2∑

−

(

−

2∑

) +

(

)

2∑

Si recordamos las definiciones que se hicieron en las ecuaciones 7 y 8 tenemos: =

+

(

+

)

(20)

(21)

Si las fuerzas horizontales están aplicadas únicamente en los niveles de placa, para esto el equilibrio horizontal requiere que: =

(22)

( )

En donde: ∑ representa la fuerza de corte en el piso n es el corte en el extremo inferior de la columna q del piso n, como se indica en el siguiente esquema

Figura 3 Equilibrio de fuerzas horizontales en el piso n. Pero: =

Remplazando 23 en 22, resulta:

+

,

(23)

+

=

,

(24)

Si todas las columnas del piso tiene la misma altura, esta se puede sacar de la suma y despejando:

Remplazando la ecuación (19) en (24): =

+

= ,

+ +

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3

,

(

+

)+

2

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Cuando no existen cargas aplicadas directamente sobre las columnas, el primer sumando es cero y si todas las columnas son de igual altura, es constante para el piso. Por tanto, la expresión anterior se puede reescribir así:

Despejando

=

=

=

∑ 2∑

3

(

Los desplazamientos relativos iniciales de piso y

Con lo que la ecuación 25 se simplifica a:

+

−

)+2

3 2∑

(

)

+

(25)

y coeficiente de desplazamiento de columna ∑ = (26) 2∑ =−

3 2∑

=

+

(27)

(

+

)

(25 )

Esta ecuación es la que nos servirá para la iteración para evaluar el desplazamiento relativo del piso n. Al terminar el proceso no se obtendrá un balance perfecto, para esto se hacer una corrección que se distribuirá de forma proporcional a las rigideces de las barras que concurres en él, tal como:

Pasos a seguir:

ó

=

1. Evalúense los coeficientes de giro , los de desplazamiento y momentos de empotramiento . 2. Calcúlese los giros relativos iniciales de cada nudo mediante la ecuación (6), y los desplazamientos relativos iniciales de cada piso , mediante la ecuación (26) . 3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se está trabajando a mano, para acelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial. 4. Aplíquese a cada nudo la ecuación (21) y escríbase en el diagrama los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo de valores de . Obsérvese que estos valores corresponden a los al pasar a los nudos opuestos. 5. Una vez recorrido todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 25 una y otra vez hasta obtener convergencia entre los nudos. 6. Repita los pasos 4 y 5 para obtener una convergencia de en todos los nudos y de en todos los pisos. 7. Finalmente aplíquese las ecuaciones (19) a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones y desplazamientos de pisos verdaderos y ∆ se puede obtener despejando su valor en la ecuación (4 a) y 18 respectivamente.

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EJERCICIO 2: Analizar el pórtico siguiente:

SOLUCION Calculo de rigideces relativas Tipo

Vigas

Columnas

Tramo Longitud m 5.00 5.00 3.00 3.00 3.00 3.00

34 56 53 64 75 86

b cm 30 30 30 30 30 30

Sección h cm 50.00 50.00 40.00 40.00 40.00 40.00

Momento de Inercia cm4 0.0375 0.0375 0.0192 0.0192 0.0192 0.0192

Tramo

Pi

coeficientes de giro

56 57 53

kik 7.50E-03 6.40E-03 6.40E-03

uik=-Kik/(2∑kik) -0.185 -0.158 -0.158

2∑kik 65 68 64

4.06E-02 7.50E-03 6.40E-03 6.40E-03

-0.500 -0.185 -0.158 -0.158

3

2∑kik 34 35

4.06E-02 7.50E-03 6.40E-03

-0.500 -0.270 -0.230

4

2∑kik 43 46

2.78E-02 7.50E-03 6.40E-03

-0.500 -0.270 -0.230

2∑kik

2.78E-02

-0.500

Nudo

5

6

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Coeficiente de Rigidez Kik 7.50E-03 7.50E-03 6.40E-03 6.40E-03 6.40E-03 6.40E-03

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coeficiente de desplazamiento

ᵞik =-3Kik/(2∑kik) Columna 75 86

2∑kik 75 86

2∑kik

Kik 0.019 0.019 0.038 0.019 0.019 0.038

-0.750 -0.750 -1.500 -0.750 -0.750 -1.500

desplazamientos iniciales relativos de piso φi=∑Mik/(2∑kik) Q=∑Hi (Ton) 2∑kik Niveles hn(m.) 1er Nivel 10.95 4.20 0.026 2do Nivel 3.44 3.00 0.026

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ᵟn 1796.64 403.18

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Tipo

Tramo

Longitud Momentos Parciales (m)

Vigas

Col

34 56 53 64 75 86

1 5.00 5.00 3 3 3 3

m'ij 2 0.348 1.077 1.077 1.077 0.000 0.000

m'ji 3 0.348 1.077 0.348 0.348 1.077 1.077

Momentos Parciales m''ij 4 0.000 0.000 -2.997 -2.997 -5.448 -5.448

Momentos Finales

Cortantes Finales

m''ji Mij Mji Vij Vji 5 6 7 -(7+6)/1 -(7+6)/1 0.000 3.67 3.67 -1.47 -1.47 0.000 11.36 11.36 -4.55 -4.55 -2.997 -1.48 -3.67 1.72 1.72 -2.997 -1.48 -3.67 1.72 1.72 -5.448 -13.11 -9.88 7.66 7.66 -5.448 -13.11 -9.88 7.66 7.66

BIBLIOGRAFÍA 1. Cesar Fonceca Ponce, Estructuras Hiperestàticas, Mexico, Universidad Autónoma de Mexico, 2007

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