Metodo-de-Subestructuras

Análisis Estático y Dinámico de Estructuras Tomás Guendelman

Capítulo 4: Método de Subestructuras

Capítulo 4: Método de Subestructuras FUNDAMENTOS El Método de Subestructuras, o de las Componentes, está orientado a la solución de problemas estructurales con un gran número de grados de libertad. Para ello, se procede a analizar segmentos de la estructura o componentes y a referir sus relaciones de rigidez a un número discreto de nudos de interconexión con el resto. En dichos nudos se establecen las condiciones de compatibilidad geométrica y estática, que restablecen los postulados del problema original. Esta estrategia de solución permite también visualizar el comportamiento global de la estructura, facilitando la identificación de las modificaciones al diseño que eventualmente se requieran. COMPONENTES La solución consiste en resolver varios pequeños sistemas de ecuaciones en lugar de uno de gran tamaño, lo que traducido a términos computacionales - espacios de memoria y tiempo de ejecución - significa un considerable aumento de eficiencia. Un esquema de una estructura dividida en n componentes o subestructuras es el siguiente: GRADOS DE LIBERTAD DE BORDE GRADOS DE LIBERTAD INTERNOS

* * *

*

*

*

* *

*

*

**

* *

* COMPONENTE DE ORDEN N

COMPONENTE 0 SUBESTRUCTURA EN ORDEN J

Para una componente arbitraria de orden “J” distinguiremos grados de libertad que le son propios y que designaremos INTERNOS y grados de libertad comunes a ésta y por lo menos a otra componente, que designaremos DE BORDE. Debido a que los grados de libertad internos pertenecen sólo a una componente, existirá actuando sobre ellos una carga conocida. En los grados de libertad de borde actúan fuerzas de interacción entre componentes, iguales y contrarias, cuyas magnitudes sólo se conocen una vez que se ha resuelto el problema completo.

1

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Capítulo 4: Método de Subestructuras

EJEMPLO

Q

P

COMPONENTE 2

COMPONENTE 1

Componente 1

X 2 δ5 X1

δ4

δ2 δ 3 P

δ1

 X1  X   2    P =    0     0 

  K 1 K 1   11 12       1  1  K21 K22     

δ 4  δ   5   δ   1 δ 2    δ 3 

 Y1  Y   2    0 =    −Q     0 

  K 2 K 2   11 12       2  2  K21 K22     

 φ1  φ   2   φ   3 φ 4    φ 5 

( 5ECS.)

Componente 2

Y2

φ2

Q φ1

Y1

φ4

φ5 φ3

( 5ECS.)

Compatibilidad Geométrica φ 1  δ 4   =   φ 2  δ 5  ( 2 ECS.)

2

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Equilibrio:

Capítulo 4: Método de Subestructuras

 X 1  Y1  0  +   =    X 2  Y2  0 ( 2 ECS.)

Síntesis de ecuaciones: 14 INCOGNITAS  PROBLEMA ⇒ 14 ECUACIONES RESUELTO

DEFINICION DE TERMINOS Definamos los principales términos para una componente arbitraria “J”.

{R } J I

{r } J I

{R } J B

{r } J B

{u }

[β ] J

: Vector de fuerzas en los grados de libertad internos de la componente “J” (son datos). Se corresponden biunívocamente con los desplazamientos de la componente “J”. : Vector de desplazamientos asociados a los grados de libertad internos de la componente “J”. : Vector de fuerzas en los grados de libertad de borde que tributan sobre la componente “J” (son incógnitas). Se corresponden biunívocamente con los desplazamiento de borde de la componente “J”. : Vector de desplazamientos asociados a los grados de libertad de borde de la componente “J”. : Vector que reúne, al menos, el total de grados de libertad de borde de las componentes, referidos a un sistema global de coordenadas. : Matriz de transformación geométrica para la componente “J”, definida por: rBJ = β J u

{ } [ ]{ }

[K ] J

: Matriz de rigidez de la componente “J”.

CONSTITUTIVIDAD En el desarrollo analítico de este método se usará las relaciones derivadas del método de rigidez. Para una componente “J” se cumple:

{R } = [ K ]{r } J

J

J

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Capítulo 4: Método de Subestructuras

Ordenando los grados de libertad y particionando la relación anterior, se tiene: J J  J   RBJ   K BB KBI rB =  J  J   J J  RI   KIB K II  rI 

Debido a que el vector de fuerzas asociado a los grados de libertad internos es conocido, podemos hacer una condensación estática que permite definir como variables independiente sólo a los grados de libertad de borde. De la segunda ecuación submatricial

{R } = [K ]{r } + [ K ]{r } J I

De donde:

J IB

J B

J II

J

I

{r } = [K ] {R } − [K ] [K ]{r } J −1 II

J

I

J −1 II

J I

J IB

J B

Tomando ahora la primera ecuación submatricial:

{R } = [K ]{r } + [K ]{r } J B

J BB

J B

J BI

J

I

{ }

Reemplazando en ésta la expresión determinada para rIJ se tiene que:

{R } = [K ]{r } + [ K ][K ] { R } − [ K ][ K ] [ K ]{r } J B

J BB

J B

J BI

J −1 II

J I

J −1 II

J BI

J IB

J B

{R } = [1K44 {R43} + [K ] − [K ][K ] [K ]{r } ][4K2]44 14444 4244444 3 J B

J BI

J −1 II

J I

J BB

 J Q   

J BI

J −1 II

J IB

J B

 J  K 

{R } = {Q } + [ K ] {r } J B

J

J

J B

{Q } J

:

Es conocido y corresponde a fuerzas en los grados de libertad de borde equivalentes a las fuerzas en los grados de libertad internos.

{K }

:

Matriz de rigidez de la componente “J”, condensada estáticamente a los grados de libertad de borde.

J

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Capítulo 4: Método de Subestructuras

COMPATIBILIDAD Como se indicó, una de las condiciones que debe ser impuesta a la componente para restituir el total de la estructura es la de compatibilización de desplazamientos. Al definir los desplazamientos en los grados de libertad internos y de borde de una componente podremos usar un sistema de coordenadas independiente del resto de la estructura y que denominaremos coordenadas locales. Para poder establecer las condiciones de compatibilidad geométrica a nivel de toda la estructura se deberá definir un sistema único de coordenadas que designaremos coordenadas globales. Asociado a estas coordenadas globales existirá un sistema de desplazamientos generalizados de componentes independientes que se relacionan con los desplazamientos de borde de cada componente mediante la relación: rBJ = β J u

{ } [ ]{ }

EJEMPLO

Y

u2

u3

C.2

u1

u6

u5

u4

C.1

SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS:

( X ,Y )

C.3

α

X y2

1

r6

r51

r21

y1

r31

r41

x1

y3

2 5

2

r2

2

r3

r12

2

1

r1

C.1

r82

2 6

r92

r72

x2

C.2 C.3

x3

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Capítulo 4: Método de Subestructuras

Sistema local de coordenadas Componente 1

:

Componente 2

:

( X 1 ,Y1 ) ( X 2 ,Y2 ) ( X 3 ,Y3 )

Componente 3 : Reconozcamos algunos de los términos anteriormente definidos:

{u }

{r } 2 I

u1  u   2 u  =  3 u4  u5    u6 

;

r42    = r52  ;  2 r6 

{r } 1 I

r11    = r21   1 r3 

{r }

r12   2 r2   2 r  =  32  r7   2 r8  r 2  9

2 B

;

;

{r }

r41    = r51   1 r6 

{r }

r13    = r23   3 r3 

1 B

3 B

EQUILIBRIO En forma adicional a las condiciones de compatibilidad geométrica deberá establecerse en cada grado de libertad global el equilibrio entre las solicitaciones externas que en dicho grado de libertad actúan y los esfuerzos inducidos en los grados de libertad de borde en cada componente. Para poder simplificar estas ecuaciones de equilibrio es conveniente hacer un cambio de coordenadas a nivel de cada componente, de modo de establecer la relación fuerza-desplazamiento en el sistema global de coordenadas. En el sistema global de coordenadas el conjunto fuerzas-desplazamientos está dado por:

{P } J

{u }

y

Sabemos que si la transformación de desplazamientos está dada por la relación:

{r } = [β ]{u } J B

J

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{ }

Capítulo 4: Método de Subestructuras

{ }

Entonces el vector P J estáticamente admisibles con RBJ está dado por:

{P } = [β ] {R } J T

J

J B

Recordemos la relación fuerza-desplazamiento referida a los grados de libertad de borde de una componente "J ".

{R } = {Q } J B

[ ]

premultiplicando por β J

T

[ K ]{r }

+

J

J

J B

se llega a:

[β ] {R } = [β ] {Q } J T

J T

J B

+

J

[β ] [K ]{r } J T

J

J B

{ } [ ]{ }

introduciendo la expresión rBJ = β J u

[β ] {R } = [β ] {Q } + [β ] [ K ][β ]{u } J T

es decir:

J T

J B

J T

J

J

J

[U ]= [β ] {Q }+ [β ] [K ][β ]{u } J

J T

J T

J

J

J

Las fuerzas externas que actúan en los grados de libertad globales las definimos por medio del vector {U } de correspondencia biunívoca con {u} . Las condiciones de equilibrio mencionadas quedan dadas por:

{U } = ∑ {U J } Nº COM. J =1

NºCOM.

{U } = ∑

J =1

[ ] {Q } +  ∑ [β ] [K ][β ]{u } βJ

T

NºCOM.

J

J T

J

J

J=1 1444 424444 3 Kc

[ ]

En esta relación la única incógnita es el vector {u}, que se determina directamente. Conocido el vector {u}y haciendo uso de la transformación de coordenadas para los desplazamientos, obtenemos el vector rBJ .

{ }

Introduciendo estos desplazamientos de borde de la componente “J” en su relación fuerza-desplazamiento en coordenadas locales, obtendremos el vector RBJ y

{ }

podremos proceder al cálculo de esfuerzos internos.

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Capítulo 4: Método de Subestructuras

EJEMPLO:

{U } = ∑ { P J } N º COM . J =1

u2

H

r21

u5

r31

u3

M H

u1 1

r1

C.2 C.1

R1B

 S1    = S 2  S   3

{R }

 X1  X   2 X3 =  X4 X5   X6

{ }

C.3

C.1

r22

r52 r32

r62

r12

2 B

2 4

C.2

3

r2

r33 r13

{ } RB3

Y1    = Y 2  Y   3

;

 H   0    − M  {U } =    0   0     0 

C.3

1 0  1 0 0 0 0 0 0 β1 = 0 1 0 0 0 0 ; β2 =    0 ( 3× 6 ) 0 0 1 0 0 0 ( 6 × 6)    0  0

[ ]

[ ]

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0  0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 3    ; β = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ( 3 ×6 ) 0 0 0 0 0 1   0 0 0 1 0  0 0 0 0 1

[ ]

8

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Para la componente 1 :

Capítulo 4: Método de Subestructuras

[β ] { R } 1 T

( 6 ×3)

1 B ( 3×1)

 S1  S   2 S3  =   0 0   0

Haciendo lo propio con las componentes 2 y 3 y planteando la ecuación:

{U } = [β ] {R } + [β ] { R } + [β ] {R } 1 T

1 B

2 T

2 B

3 T

3 B

Se llega a:  S1   X 1   0   S1  S   X  0   S  2  2    2  S3   X 3   0   S 3   +  +   =  0   X 4  Y1   X 4 0   X 5  Y2   X 5        0   X 6  Y3   X 6

+ X1   H + X 2   0    + X 3  − M  =   + Y1   0 + Y2   0    + Y3   0

Las cuales son ecuaciones que representan el equilibrio de fuerzas en los grados de libertad globales.

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Capítulo 4: Método de Subestructuras

ALGORITMO COMPUTACIONAL De las ecuaciones y metodología expuestas, se aprecia que es posible configurar un programa computacional que optimiza recursos mediante el empleo de medios magnéticos de almacenamiento temporal. Una forma de resolver el problema se ilustra en el siguiente diagrama de flujo. 1.

Lectura de datos generales que definen dimensiones del problema (por ejemplo numero de componentes, tamaño del vector {u}, tamaño de los vectores de grados de libertad de borde e internos de cada componente, etc.)

2.

Lectura de los elementos del vector {U}

3.

Inicialización de la matriz

4.

J=0 ;

5.

J = J +1

6.

Lectura de datos de la componente J (se incluye [β] )

7.

Formación de las siguientes matrices:

[K ] C

Inicializamos unidad magnética.

[ KII ] ; [ K IB ] ; [ KBI ] ; [ KBB ] NOTA: Obsérvese que hemos prescindido del superíndices J, pues los espacios de memoria para estas matrices serán los mismos que ocuparán las restantes componentes. 8.

Formar las siguientes matrices y vector:

[ A] = [ KII ]−1[ KIB ] 9.

[ B] = [ KBI ] [ A]

;

Rectificar las matrices

[K ] C

y

;

{C } = [K

II

]−1[ RI ]

{U } conforme

a las siguientes

ecuaciones:

[ K C ] = [ K C ] + [β

]( T

[ KBB ] − [ B]

)[β ] 10

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Capítulo 4: Método de Subestructuras

{U } = {U } − [β ] [ K ]{C } T

BI

10. Grabar en el medio magnético toda la información de la componente, incluyendo las matrices y vector: [ A] ; [ B] y {C} 11. Si J < Nº de Componentes, volver a (5). En caso contrario continuar. 12. Rebobinar la unidad magnética. 13. Resolver el sistema:

{U} = [ K C ] {u} NOTA: Lo anterior obedece al hecho de que en el vector {U} se tiene {U} − {Q} 14.

J =0

15.

J = J +1

16. Lectura, desde la unidad magnética, de toda la información de la componente J

[ ]{u }

17. Determinación de {rB } mediante la ecuación

: {rB } = β

18. Determinación de {rI } mediante la ecuación

: {rI } = C

{ } − [ A ]{r } B

19. Determinación e impresión de esfuerzos internos de la componente. 20. Si J < Nº de componentes, volver a (15). 21. En caso contrario : FIN

11