Método de Runge Kutta en Matlab

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA INGENIRÍA MÉTODO DE RUNGE KUTTA

“

CLASE: 8838

DOCENTE: Ing. Teresa Victoria Chávez Toledo

TEMA: Método de Runge Kutta “

”

GRUPO Nº: 5 INTEGRANTES:

-

Alaya García, Elvimar.

-

Machuca Aliaga, Lesli

-

Ruiz Verátegui, Karol del Rosario

-

Salazar Saucedo, José

-

Salvatierra Alcántara, Lorena.

2018 –  2018 –  2  2

”

Método de Runge Kutta.

ÍNDICE: -

INTRODUCCIÓN. OBJETIVOS. GENERAL. ESPECIFICO. MARCO TEÓRICO. EJEMPLOS. CONCLUSIONES. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.  

-

Docente: Ing Teresa Victoria Chávez Toledo

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Método de Runge Kutta.

I. INTRODUCCIÓN: Este trabajo explica algunas de las varias herramientas del cálculo numérico para solucionar problemas matemáticos. En el análisis numérico, métodos de Runge –  Kutta que forman una familia de métodos iterativos implícitos y explícitos para la resolución de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. En términos más simples, los métodos numéricos corresponden a un conjunto de herramientas o métodos usados para obtener la solución de problemas matemáticos de forma aproximada, que se aplican a  problemas que no presentan una solución exacta. En el paso del tiempo y en la vida se han presentado problemas, de igual manera en nuestra carrera se presentan situaciones que pueden ser resueltas por medio de ecuaciones, dichas ecuaciones se pueden expresar en función del tiempo que transcurre a esto se le llama una razón de cambio donde una variable cambia en función de un tiempo t, dichas ecuaciones han sido resueltas a través de los métodos de integración y cálculos extensos, engorros y complicados; pero al aparecer alrededor del año 1900 un método numérico planteado por los matemáticos alemanes Carl Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta que consiste en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden sin necesidad de realizar integrales y esto mezclado con las herramientas de tecnología como Excel hacen mucho más fácil la solución de dichas ecuaciones, a continuación en el siguiente informe se presenta el método de Runge-Kutta y un ejemplo de cómo se puede utilizar para resolver problemas de ingeniería tales como  problemas de mezcla.

II. OBJETIVOS: 1. Objetivos Generales: 

Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden a través del método de Runge-Kutta

2. Objetivos Específicos: 

Conocer ventajas y desventajas del método.



Comparar el método de Runge-Kutta con la solución de la ecuación resuelta por métodos de integración.



Identificar la exactitud del método.

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Método de Runge Kutta.

III. MARCO TEÓRICO RUNGE-KUTTA El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler. El método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos. Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación. yi+ 1=yi+ F(xi, yi, h) h Donde F (xi, yi, h) se conoce como la función incremento la cual puede interpretarse como una  pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe en forma general como: F = a1k1+ a2k2 +«.+ ank n

Donde las a son constantes y las k son: k1= f (xi, yi) k2= f (xi+ p1h, yi+ q11k1h) k3= f (xi+ p2h, yi+ q21k1h+q22k 2h) kn= f (xi+ pnh, yi+ q2n-1k1h+ qn-1,2k2h+ «. + qn- 1,n-1k n-1h)

Donde las p y q son constantes. Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n. n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la función incremento a los términos en la serie de expansión de Taylor.

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Método de Runge Kutta.

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN La versión de segundo orden es:

   =      Donde:

 =     =   ,      

Los valores de 1, 2, 1 y 11 se evalúan al igualar la ecuación con la expansión de la serie de Taylor hasta el término de segundo orden. Al hacerlo, desarrollamos tres ecuaciones para evaluar las cuatro constantes desconocidas.

METODO RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDEN



Para  = 3, es posible efectuar un desarrollo similar al del método de segundo orden. El resultado de tal desarrollo genera seis ecuaciones con ocho incógnitas. Por lo tanto, se deben dar a priori los valores de dos de las incógnitas con la finalidad de establecer los  parámetros restantes. Una versión común que se obtiene es:

+  =   16   4  ℎ Donde:

 = ,  =   12 ℎ,  12 ℎ Docente: Ing Teresa Victoria Chávez Toledo

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Método de Runge Kutta.

 =   ℎ, − ℎ2ℎ 

Observe que si la EDO está en función sólo de , este método de tercer orden se reduce a la regla de Simpson 1/3.

Método de Runge-Kutta de cuarto orden Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge -Kutta”. Definamos un problema de valor inicial como:

Donde:

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio

 es la pendiente al principio del intervalo,  es la  pendiente en el punto medio del intervalo, usando   para determinar el valor de “y” en  el punto    usando el método de Euler.   Es otra vez la pendiente del punto medio,   pero ahora usando   para determinar el valor de “y”  Es la pendiente al final del intervalo, con el valor de “y” determinado por .  ponderado de pendientes, donde

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

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Método de Runge Kutta.

Entonces para hallar el

+

+ =   ℎ6 [  2  2  ] Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de el orden

IV.

ℎ.

 ℎ, mientras que el error total acumulado tiene

EJEMPLOS.

Fórmulas:

+  =   16 ℎ  2  2  

 =  ,   =   12 ℎ,  12 ℎ  =   12 ℎ,  12 ℎ  =   ℎ,  ℎ

En el siguiente ejercicio se solucionará de manera manual y asistido por un software: 1.- Con el método clásico RK de cuarto orden con h=0.5resuelva el siguiente problema de valor inicial en el intervalo de :

=02

 =  − 1.2  Donde

 = 1

-Manera manual:

 = , =  − 1.2  

 =    ℎ  2  2  )

 = ℎ,  =  − 1.2 = 10 − 1.21 = −1.2 Docente: Ing Teresa Victoria Chávez Toledo

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Método de Runge Kutta.

 = (  12 ℎ,  12 ℎ) =  = 0  0.50.5 − 1.2 =   0.5ℎ0.0625 −1.2  0.5ℎ= -0.79625  =    ℎ,   ℎ= = 1  0.5  −0.796250.50  0.50.5 − 1.21  0.5−0.796250.5 = −0.91106641  =   ℎ,  ℎ= = 1  −0.9011066410.500.5 − 1.21 −0.91106410.5  =-0.51724346  =   16 ℎ  2  2   = 1  16 −1.22−0.79625 2−0.91106641−0.517243460.5 = . -Asistido por un software Copiamos el código a Matlab

Copiamos el ejercicio a desarrollar y presionamos el botón de enter

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Método de Runge Kutta.

Gráfica:

El siguiente ejercicio se solucionará asistido por un software: 2.- Con el método clásico RK de cuarto orden con h=0.5resuelva el siguiente problema de valor inicial en el intervalo de :

=03

Donde:

 = 1 y  = 6

 =   −   2

-Asistido por un software Copiamos el código a Matlab

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Método de Runge Kutta.

Copiamos el ejercicio a desarrollar y presionamos el botón de enter

Gráfica:

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Método de Runge Kutta.

V.

CONCLUSIONES: 

El estudio de los métodos numéricos, es muy útil y por ende importante para quien utilice esta herramienta para resolución de operaciones, las cuales se saben que pueden resultar complicadas, tediosas y largas, y por más que se dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera.



Es un método fácil y sencillo de utilizar para resolver problemas de ecuaciones diferenciales.



La efectividad o exactitud del método consiste en saber escoger un buen incremento.

VI.RECOMENDACIONES: 

Se recomienda tener mucho cuidado con las fórmulas de cada método.



Es recomendable usar softwares matemáticos para la resolución de los  problemas, ya que muchas veces el cálculo resultara muy tedioso.

VII.REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 

http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/34_RK.html



https://es.scribd.com/doc/89437742/Trabjo-Encargado-Metodo-de-Runge-Kutta



https://es.scribd.com/doc/87908184/METODO-DE-RUNGE-KUTTA-1%C2%AA-E2%C2%AA-ORDEM-REV-01

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Método de Runge Kutta.

VIII.

PREGUNTAS:

1.- ¿Después

de haber investigado el método de Runge Kutta para la ecuación, que has

aprendido? 2.- ¿De qué depende la exactitud del método Rounge Kutta? 3.- ¿En que casos de la vida real dentro del campo de la Ing. Se puede hacer uso del metodo de Runge K ?

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