Metodo de Rigidez

81,9(56,'$'1$&,21$/  '( 6$1&5,67Ð%$/'(+8$0$1*$ +&

61

881 6&

+

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,1*&,9,/

$ Opciones

Fuente:Elaboración Propia

Figura 5 Vista del formulario Opciones Excel: Activar la casilla Desarolador

Fuente:Elaboración Propia

Ingeniería Civil

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C APÍTULO 1

I NTRODUCCIÓN A M ACROS EN E XCEL

INGRESAR AL PROYECTO - VBA PROJECT Figura 6 Para poder ver y escribir los codigos se tiene que ingresar a "Ver Código"

Fuente:Elaboración Propia

Figura 7 En esta plataforma se podrá editar, cambiar y escribir codigos fuente relacionados a la programacion Visual Basic

Fuente:Elaboración Propia

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C APÍTULO 1

I NTRODUCCIÓN A M ACROS EN E XCEL

1.3 Ayudas en la Web Libros y paginas recomendadas para poder programar en VBA Excel. Macros Visual Basic para Excel http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/macrosVisualBasicParaExcel. pdf Manual de Excel para Ingeniería Civil

http://es.slideshare.net/RolandoHerreraMuoz/manual-ok-excel-para-ingenieria-civil Con estos conocimientos básicos de macros en Excel se puede iniciar a escribir códigos para la creación de aplicativos, como el Programa "Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) " que sera descrito posteriormente.

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CAPÍTULO

2

1Manual Manual del programa “Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) ”

2.1 Programa “Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) ” Es un programa básico que permite resolver paso a paso estructuras tipo pórtico(frame), armadura(Truss) y mixtos(frame and truss) utilizando el Método Directo de Rigidez. Este programa se desarrollo en el entorno de programación Macros en Excel (Visual Basic For Application - Excel). El programa lo pueden descargar de la siguiente dirección web Yedaro

2.2 Ingreso de Datos El programa resenta un ingreso de datos intuitivos relacionados al entorno de trabajo de Microsoft Excel. Para poder resolver una armadura se necesita tener los siguientes datos básicos: 1 Coordenadas de cada nudo de la estructura(x,y). 2 Numero de Barras o miembros con la relación sus nudos(Ni,Nj). 3 Modulo de elasticidad para cada barra (E). 4 Área transversal para cada barra (A). 5 Momento de Inercia para cada barra (I). 6 Momento de flujo de corte para cada barra (A’). 7 Modulo de corte para cada barra (G). 8 Variación de Temperatura de cada barra (∆ T ). 9 Coeficiente de dilatación para cada barra (α). Observación Los datos de los ejercicios solo se ingresaran en las celdas especificas que se muestra a continuación.

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C APÍTULO 2

M ANUAL DEL PROGRAMA “M ÉTODO DE R IGIDEZ CON M ACROS EN E XCEL V 1.0 (V ERSIÓN DE P RUEBA ) ”

Figura 1 Ingreso de los Nudos y sus coordenadas

Fuente:Elaboración Propia

Figura 2 Ingreso de propiedades de las barras

Fuente:Elaboración Propia

También se tendrá que ingresar las condiciones de los apoyos, asentamiento, fuerzas en los nudos. Figura 3 Ingreso de las condiciones de los nudos

Fuente:Elaboración Propia

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C APÍTULO 2

M ANUAL DEL PROGRAMA “M ÉTODO DE R IGIDEZ CON M ACROS EN E XCEL V 1.0 (V ERSIÓN DE P RUEBA ) ”

Y por ultimo para estructuras tipo pórticos, en la Hoja 3DT-S1 se tiene que ingresar los momentos de empotramiento para las barras con cargas. Figura 4 Ingreso de los momentos de empotramiento para cada barra en los grados de libertad que indica el programa

Fuente:Elaboración Propia

2.3 Funcionalidad de los Botones de Comando 2.3.1 Botón de Comando Assemble Con los datos ingresados correctamente desarrolla las matrices generales de cada barra para luego ensamblar en una matriz general. También en este proceso se tendrá que ingresar los momentos de empotramiento de cada barra en sus respectivos grados de libertad que el programa genera automático. 2.3.2 Botón de Comando Clear Limpia datos y configuraciones de la Hoja 3DT-S1.

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C APÍTULO 2

M ANUAL DEL PROGRAMA “M ÉTODO DE R IGIDEZ CON M ACROS EN E XCEL V 1.0 (V ERSIÓN DE P RUEBA ) ”

2.3.3 Botón de Comando Strain Este Boton de comando nos muestra los siguientes resultados. 1 Matriz ensamblada de los momentos de empotramiento. 2 Cargas de temperatura. 3 Fuerza en los nodos con o sin desplazamiento. 4 La matriz de rigidez general con penalización en las condiciones de contorno. 5 Matriz de fuerzas totales que actúan sobre la estructura. Para poder hallar los desplazamientos en cada nodo debemos utilizar los las funciones matemáticas que ofrece Microsoft Excel. Cuadro 1: Funciones Matemáticas en Excel Función

Sintaxis

Descripción Devuelve la matriz producto de dos matrices. El resultado es una ma-

MMULT

MMULT(matriz1;matriz1)

triz con el mismo número de filas que matriz1 y el mismo número de columnas que matriz2.

MINVERSA

MINVERSA(matriz1)

Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz.

Fuente:Elaboracion propia

2.3.4 Botón de Comando Stress & Forces Permite calcular las fuerzas internas de cada barra tanto en coordenadas globales como locales. Ademas calcula las reacciones de los apoyos impuestos en los nudos correspondientes.

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CAPÍTULO

3

2

1

Metodología del Método de Rigidez con el programa

En este capítulo explicare la Metodología del Método de Rigidez y la programación con que se desarrolló el programa.

3.1 Ejemplo aplicativo Problema 1.

Determinar las reacciones, las fuerzas internas y los diagramas finales

de esfuerzos del siguiente pórtico sometido a los estados de carga indicados y con un asentamiento vertical en el apoyo móvil de 0.025 m.

DATOS : I = 250−6 m4 A = 30−3 m2 E = 200 G



S OLUCIÓN : Paso 1 Numeración de nudos, barras y establecer las coordenadas adecuadas a cada nodo de la estructura. Se establecen las barras entre dos nodos Ni y Nj, para poder hallar la longitud de cada barra y los cosenos directores teniendo en-cuenta la dirección del nudo inicial hacia el nudo final. Longitud de la barra q q 2 2 L = (y j − yi ) + (x j − xi ) = (−4 − 0)2 + (11 − 8)2 = 5 m Ingeniería Civil

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C APÍTULO 3

M ETODOLOGÍA DEL M ÉTODO DE R IGIDEZ CON EL PROGRAMA

Hallando el angulo entre las barras x j − xi 11 − 8 = = 0.6 L 5 y j − yi −4 − 0 sin θ = = = −0.8 L 5

cos θ =

El programa realiza estas operaciones para cada barra. Numeración de nuestro pórtico Figura 1 Numeracion de los nudos y barras del pórtico

y

x Fuente:Elaboración Propia

Figura 2 Resultados del programa

Fuente:Elaboración Propia

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C APÍTULO 3

M ETODOLOGÍA DEL M ÉTODO DE R IGIDEZ CON EL PROGRAMA

Datos Ingresados al programa Figura 3 Resultados del programa

Fuente:Elaboración Propia

Observación Los datos ingresados de longitud, área, inercia, modulo de elasticidad y modulo de corte deben de tener la misma unidad de longitud, y se recomienda en el SI que se encuentren en mm para que los desplazamientos se calculen en dicha unidad. Para los datos de Cargas, Momentos de empotramiento, Modulo de elasticidad y modulo de corte también deben estar en las mismas unidades de Peso. Paso 2 Para obtener las matrices de rigidez de cada barra el programa numera 3 grados de libertad por nudo empezando de el nudo 1, tal como se muestra en la siguiente figura. Figura 4 Grados de libertad posibles por cada nudo

Fuente:Elaboración Propia

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q = k¿TD

(16–7)

Here the forces q are related to the DE global displacements C APÍTULO 3 member M ETODOLOGÍA DEL M ÉTODO R IGIDEZ CON ELD. PROGRAMA T Substituting this result into Eq. 16–6 1Q = T q2 yields the final result, Q = TTk¿TD

(16–8)

or los datos ingresados hallamos las matrices de rigidez en el sistema global para cada barra Con Q = kD

de la estructura.

Para whereeste calculo el programa simplemente reemplaza los datos ingresados en la siguiente k = TTk¿T

matriz.

16

(16–9)

Here k represents the global stiffness matrix for the member. We can Figura 5 and 16–3 and obtain its value in generalized form using Eqs. 16–5, 16–1, Matriz de the Rigidez Utilizado performing the matrix operations. This yields final result, Nx

Ny

冢Ll  L l冣 12EI AE 冢 L  L 冣l l AE

12EI

2 x

2 y

3

x y

3



6EI 2

L

Nz

冢 L  L 冣l l 12EI AE 冢Ll  L l冣 AE

12EI

x y

3

2 y

6EI

ly

2 x

3

2

L

lx

6EI



L2

Fx ly

6EI

lx L2 4EI

Fy

冢Ll  L l冣 12EI AE  冢 ll L 冣 L 

AE

12EI

2 x

x y

3

6EI

L

L

2 y

3

2

Fz

冢 L  L 冣l l AE 12EI 冢 l  l冣 L L 

AE

12EI

x y

3

2 y



ly

2 x

3

6EI L2

lx

6EI



L2

ly

6EI

Nx Ny

lx L2 2EI

Nz

L

k

冢Ll  L l冣 12EI AE  冢 ll L 冣 L 

AE

12EI

2 x

3

3



6EI L2

ly

2 y

x y

冢 L  L 冣l l 12EI AE 冢 l  l冣 L L 

AE

12EI

x y

3

2 y

6EI L2

3

lx

2 x

6EI L2 

ly

6EI L2 2EI L

lx

冢Ll  L l冣 12EI AE 冢 L  L 冣l l AE

12EI

2 x

3

3

6EI L2

2 y

x y

ly

冢 L  L 冣l l AE 12EI 冢Ll  L l冣 AE

12EI

x y

3

2 y



3

6EI L2

2 x

lx

6EI L2 

ly

6EI L2 4EI L

Fx

lx

Fy Fz

(16–10)

Fuente:Structural Analysis, R. C. Hibbeler[1]

Note that this 6 * 6 matrix is symmetric. Furthermore, the location of each element is associated with the coding at the near end, Nx, Ny, Nz, D ONDE : followed by that of the far end, Fx, Fy, Fz, which is listed at the top of the columns and along the rows. Like the k¿ matrix, each column of the k λx : sin θ y λy : the coscoordinate θ matrix represents loads on the member at the nodes that are necessary to resist a unit displacement in the direction defined by the coding of the column. For example, the first column of k represents the global coordinate loadings at the near and far ends caused by a unit displacement at the near end in the x direction, that is, DNx.

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C APÍTULO 3

M ETODOLOGÍA DEL M ÉTODO DE R IGIDEZ CON EL PROGRAMA

Matrices de rigidez en el sistema global de cada miembro con el programa Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) Figura 6 Matrices de rigidez globales de cada miembro del pórtico

Fuente:Elaboración Propia

Paso 3 Con las matrices de rigidez globales de cada elemento se procede al ensamblaje de estas matrices, obteniendo como resultado una matriz de rigidez general para toda la estructura. El algoritmo que se utilizo para ensamblar la matriz de rigidez general es el de la búsqueda Ingeniería Civil

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C APÍTULO 3

M ETODOLOGÍA DEL M ÉTODO DE R IGIDEZ CON EL PROGRAMA

iterativa. La explicación mas sencilla de como funciona este algoritmo lo detallaremos en el siguiente ejemplo. Figura 7 Estructura de ejemplo

Fuente:Elaboración Propia

Figura 8 Matriz de rigidez general 12x12 de la fig. 7

Fuente:Elaboración Propia

La búsqueda iterativa consiste en tomar una celda(fila-columna) de la matriz de rigidez general 12x12 que se ensamblará, en orden creciente empezando desde la fila 1 y columna 1 (1,1), para luego buscar la misma celda en todas las matrices de rigidez global de cada elemento acumulando el valor encontrado si y solo si la celda del valor encontrado coincide con la celda de la matriz que se ensamblará. Ingeniería Civil

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Figura 9 Matrices de rigidez en el sistema global de cada elemento de la estructura

Fuente:Elaboración Propia

Supongamos que el programa se encuentra en la celda (8,4) de la matriz de rigidez 12x12 que se esta ensamblada, entonces empezará un ciclo de búsqueda en cada celda de las matrices de rigidez de las barras de la estructura, empezando con la barra 1 o elemento 1 donde si alguna celda coincide con la fila 8 y columna 4 (8,4) entonces el programa tomará el valor de dicha celda y lo guardara, caso contrario asumirá el valor de 0, continuando con la barra 2 el programa también no encontrará ninguna celda con la fila 8 y columna 4 (8,4) y así continuará hasta llegar la barra 4 donde por primera vez el programa encuentra una celda en la fila 8 y columna 4, entonces el programa toma el valor de la celda y lo ubicara en la celda descrita de la matriz de rigidez, así termina el ciclo para la celda (8,4), de la matriz de rigidez general. El programa continuara su búsqueda con la celda (8,5), luego (8,6) . . . hasta llegar a la celda (12,12) que es el final de la matriz de rigidez general de toda la estructura. Con este bucle(ciclo) el programa nos mostrara todo los elementos de la matriz de rigidez general ensamblada.

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Matriz de rigidez ensamblada con el Programa Figura 10 Matriz de rigidez ensamblada

Fuente:Elaboración Propia

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Paso 4 Para las estructuras tipo pórtico es indispensable saber los momentos de empotramiento para las cargas en cada barra de la estructura. Figura 11 Momento de empotramiento para las barras 1,3,4 y 5

Fuente:Elaboración Propia

Teniendo en-cuenta la numeración de los grados de libertad para cada nudo que se muestra en la fig. 4, ingresamos las cargas de empotramiento al programa, tal como se muestra a continuación. Figura 12 Momento de empotramiento para las barras 1,3,4 y 5

Fuente:Elaboración Propia

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Paso 5 Para continuar con la solución del ejercicio se tiene que introducir al programa las condiciones contorno(Apoyos, asentamiento, fuerzas nodales) Apoyos Para los apoyos se considera el valor de 1 para las restricciones que tiene en un eje como se detalla en la siguiente figura. Figura 13 Restriccines para los apoyos

Fuente:Elaboración Propia

Asentamientos Si existe algún giro o desplazamiento inicial en un nudo se debe considerar según la dirección de su respectivo eje de aplicación. Fuerzas nodales Se considera igual que los desplazamientos o giros. Figura 14 Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

Al introducir los datos en las condiciones de contorno podremos calcular las deformaciones en los nudos con el método de Rigidez.

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Paso 6 Penalización en la matriz de rigidez y matriz de fuerzas Ya sea por desplazamiento en los nudos o por los apoyos, este programa utiliza la matriz de rigidez penalizado para resolver las deformaciones en los nudos. La penalización consiste en obtener una constante C y sumarle a la diagonal de los grados de libertad con restricciones de la matriz de rigidez. Para la matriz de fuerzas, solo si existe desplazamiento en los nudos, se utiliza la penalización que consiste en sumar a las fuerzas nodales la constante C multiplicada por el desplazamiento nodal. Obtención de la constante C La constante C sera igual a : C = MAX([K]) × 104

(3.1.1)

Ejemplo de Penalizaciónn en la matriz de rigidez y la matriz de fuerza Figura 15 Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

Como se observa en la figura 16 en la matriz de rigidez ensamblada a los elementos de las diagonales en los Grados de libertad se les suma la constante C, para que la matriz de rigidez ensamblada sea una matriz no singular1 , con este artificio no hay necesidad de eliminar los grados de libertad de los apoyos, ahora ya se podrá invertir la matriz de rigidez. En el caso de la matriz de fuerza, se observa en la fig. 16 que al grado de libertad del nudo con desplazamiento se le agrega el valor de C multiplicado el desplazamiento de ese nudo con su respectivo signo. 1 La

matriz singular no tiene inversa

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Con estas observaciones se obtendrá las deformaciones en los nudos sin complicaciones. Figura 16 Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

Paso 7 El programa Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) nos muestra los siguientes resultados con el procedimiento que se explico en el Paso 6. Desplazamiento en los nudos Para el calculo de las deformaciones con el método de Rigidez se considera la siguiente ecuacion matricial. {δ } = [K−1 ]{F}

(3.1.2)

D ONDE : [K]

:

Es la matriz de rigidez ensamblada con penalidades en los elementos de la diagonal de los apoyos y asentamientos(desplazamientos) .

{F}

: El vector fuerza también con penalidades en el grado de libertad de los asentamientos o desplazamiento de los nudos.

{δ } : Matriz de deformaciones nodales. Con estas ecuaciones se logra hallar las deformaciones en los nodos. Ingeniería Civil

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Figura 17 Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

Reacciones en los apoyos Para la obtención de las reacciones en los nudos se tendrá en-cuenta la siguiente ecuación. Ri = C × δi + Fi

(3.1.3)

D ONDE : i

:

Grado de libertad del nudo donde se encuentra el apoyo, puede estar en la direccion x, y o z.

C

:

Constante que se definió en el Paso 6.

Fi

:

Fuerza total ubicado en el nudo donde se encuentra el apoyo.

δi

:

Deformación, ubicado en el nudo donde se encuentra el apoyo, hallado con la matriz de rigidez penalizada Figura 18 Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

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CONCLUSIONES Conclusiones :  La utilización del software Microsoft Excel es indispensable para el desarrollo de nuestra carrera.  El programa Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) es netamente académico que permite calcular una estructura compleja con el método de Rigidez paso a paso, donde nos permite comprender y analizar a detalle dicho método.  Para poder desarrollar cálculos estructurales es indispensable el uso de un ordenador ya que existen procedimientos o modelos muy complejos donde algún aplicativo como el programa Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) lo pueda resolver.  Para el desarrollo del Método de Rigidez con ordenador se tiene que facilitar los procesos utilizando la matriz de Rigidez Penalizada y no eliminar los grados de libertad de los apoyos con restricciones.

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BIBLIOGRAFÍA

[1] HIBBELER R. C.(2012). Structural Analysis. New Jersey: Pearson. Pag. 599 [2] KARDESTUNCER H. Introducción al Análisis de Estructuras con Matrices. U.S.A.: MgGraw-Hill. [3] TENA COLUNGA A.(2007) Análisis de Estructuras con métodos Matriciales . Mexico: Limusa. [4] P. LAIBLE J. Análisis Estructural: MgGraw-Hill. [5] ROJAS ROJAS A., PADILLA PUNZO H. (2007) Análisis de Estructuras con Matrices . Mexico: Trillas. [6] CURASMA WLADIMIR D. Análisis Matrices de Estructuras . [7] http://www.queesexcel.net/que-son-las-macros-excel.html [8] https://cristiancastrop.wordpress.com/2011/01/18/ unsch-analisis-estructural/