Método de Rigidez -Vigas

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS POR EL MÉTODO DE RIGIDEZ (VIGAS). MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL.

La matriz de rigidez de una viga sin consideración de la rigidez axial será la presentada como:

La matriz mostrada anteriormente, solo sería aplicable para vigas sin el estudio de la rigidez axial, la principal solicitación para estos elementos es a cortante y flexión, En caso de tener cargas inclinadas sobre la viga y se desean conocer la fuerzas axiales se utiliza la matriz de rigidez de un elemento pórtico que si involucra esta variable:

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL PARA CADA ELEMENTO.



El sistema de coordenadas globales ya ha sido identificado con los ejes , , . Luego hacemos que las coordenadas locales ´, ´, ´ tengan su origen en el extremo cercano de cada elemento, y que el eje positivo ´ se dirija hacia el extremo lejano. Bajo esas circunstancias, para cada componente de la viga los ejes y ´ serán colineales dado que las coordenadas globales y del elemento serán todas paralelas. Por esta razón, a diferencia del caso de las armaduras, no es necesario desarrollar matrices de transformación entre estos dos sistemas de coordenadas. En resumen, aquí las matrices de rigidez global y local para un elemento de viga serán las mismas; el cálculo de los cosenos directores ya no es necesario.



    

METODOLOGÍA PARA RESOLVER UNA VIGA POR EL MÉTODO DE RIGIDEZ. 1. Se divide la viga en elementos finitos. Por conveniencia, se opta porque cada elemento se extienda entre apoyos. Los elementos se identifican arbitrariamente usando un número inscrito en un cuadrado. 2. Los extremos cercano  y lejano  de cada elemento se especifican simbólicamente con una flecha a lo largo del elemento cuya punta se dirige hacia el extremo alejado. El sistema de coordenadas globales , ,  tendrá su origen en un nodo específico con la finalidad de que los nodos restantes tengan coordenadas positivas. Tales ejes tienen su dirección positiva hacia la derecha, hacia arriba y en el sentido antihorario. 3. Se realiza la matriz de rigidez global de cada elemento, tomando en cuenta las consideraciones previamente descritas. 4. Se formula un vector de desplazamientos,  que se secciona dando origen a dos vectores: el de desplazamientos desconocidos  y el de desplazamientos conocidos .











 = ( )



5. El análisis matricial de la rigidez requiere que la carga externa se aplique en los nodos debido a que la matriz de rigidez del elemento ha sido deducida para cargas aplicadas en sus extremos. Para atender esta situación, se usa el principio de superposición. Suponemos que cada nodo está restringido de movimiento, motivo por el cual se les impone un empotramiento. A continuación se calculan las fuerzas de fijación y momentos de empotramiento perfecto asociadas a cada elemento y finalmente se hace la suma algebraica de las fuerzas y momentos en cada nodo. 6. Se realiza el vector de cargas C, el cual debe dividirse en un vector de cargas conocidas  y un vector de cargas desconocidas .





 = ( )

7. Se ensambla la matriz de rigidez de la estructura (k), y se secciona con el fin de que sea compatible con las particiones de los vectores de desplazamientos y de cargas. Entonces,  quedó dividida en cuatro submatrices que tienen la siguiente nomenclatura:



8. Luego de haber construido la matriz de rigidez de la estructura, las componentes de la carga global  que actúan sobre la viga se vinculan con sus desplazamientos globales por medio de la ecuación de rigidez de la estructura que es:





 = 

9. Se calculan los desplazamientos incógnita.

10. Se calculan las reacciones en los soportes.