Metodo de Rayleigh Ritz-ejercicios

INGENIERÍA ANTISÍSMICA 1 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

INTRODUCCIÓN Cuando los sistemas son complejos, es muy difícil o imposible en la práctica encontrar soluciones para el problema de encontrar las respuestas del sistema a un conjunto (probablemente complejo) de excitaciones. Como un medio practico de resolución, Lord Rayleigh propuso inicialmente sustituir el problema inicial de 1 grados de libertad con uno de 1 grado de libertad. Posteriormente Ritz extendió el método para utilizar varios grados de libertad.

Posteriormente (años ’60) se comenzó a explorar el método de los elementos finitos, que puede ser considerado como una aplicación particular del método de Rayleigh-Ritz. En términos muy básicos consiste en subdividir el sistema en un numero finito de elementos de geometría simple, y que tienen un comportamiento estructural bien conocido (barras, vigas, placas,..). En cada elemento se dispone de un set pequeño de funciones de forma que dependen de los valores en ciertos puntos del elemento (nodos). Al imponer condiciones de continuidad entre los elementos se llega a una solución que puede ser muy cercana al valor exacto.

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 2 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

SISTEMAS CON ƞ GRADOS DE LIBERTAD

MÉTODO DE RAYLEIGH – RITZ Este método expresa el desplazamiento de cualquier punto x como una combinación de funciones dependientes de x que son ponderadas por una amplitud dependiente del tiempo:

(

)

( ) ( ) … (1)

∑

Nótese que las negrillas indican cantidades vectoriales. La ecuación anterior puede ser convenientemente escrita como: (

( ) ( ) … (2)

)

Donde N(x) ordena las funciones de forma: ( )

Y ( ) ( ) {

( )}

Observación: Nótese que en el método de Rayleigh Ritz, el vector q corresponde solo a una ponderación para las funciones de forma N. Sin embargo en el método de elementos finitos el vector de desplazamientos corresponde efectivamente con los desplazamientos de ciertos grados de libertad.

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 3 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

Modos propios, frecuencias naturales y FRFs de una viga

A fin de expresar la energía potencial se definen los siguientes vectores (en el caso más general):

{

}

{

}

Y el operador de diferenciación espacial D (para el caso general):

[

]

Lo que nos permite expresar fácilmente la deformación : (

)

( ) ( ) ( ) ( )

La energía cinética puede ser expresada como:

∫

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̇ ̇

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Usando: ∫ ( ̇ ) ( ̇ )

∫

̇ ̇ ̇

̇

Donde la matriz de masa se define por: ∫

( )

Observación: Una matriz de masa definida por (3) es llamada consistente utiliza las mismas aproximaciones usadas para definir a la matriz de rigidez. Observación: El uso de las matrices de masa no consistentes hace perder la garantía de que las frecuencias naturales encontradas son sobre estimadas.

Por su lado, la energía potencial se expresa como:

∫

( )

Donde la densidad de energía de deformación es:

Y dado que para: Donde H es la matriz de Hooke. La energía se expresa en términos de :

∫

∫

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 5 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

Donde la matriz de rigidez K se define por:

∫

( )

El vector de carga g se calcula a partir de la energía potencial externa asociada a las fuerzas de cuerpo

y de superficie :

∫

∫

∫

∫ ( )

Con: ∫

∫

Lo que nos permite escribir la ecuación del movimiento: ̈

Funciones de forma y desplazamientos axiales de la barra

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 6 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

Barra Empotrada: Expresemos las deformaciones posibles como:

(

)

(

)

( )

( )

Entonces: ( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

[

][

] [

[

]

]

[

]

Y la matriz de rigidez ∫

∫[

]

[

]

∫[

]

[

]

Con lo que el problema homogéneo queda:

[

̈ ]{ } ̈

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[

]{ }

{ }

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 7 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N°1: Para la estructura mostrada en la figura, se pide: Encontrar los valores propios Hallar los modos de vibración x2(t)

m2 k2

x1(t)

m1 k1 Solución: Ciclo 1:

Para la aplicación del método de Rayleigh, supongamos que la deformación produce desplazamientos: X1(t) = 1 y X2(t) = 2 La máxima energía potencial es entonces: (

… (a)

)

( )

(

)

Y la máxima energía cinética es: (

)

(

)

… (b) (

)( )

(

)(

)

Igualando la máxima energía potencial con la máxima energía cinética y despejando la frecuencia natural da:

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 8 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

La frecuencia natural calculada como f=2.782 cps es solamente una aproximación al valor exacto, puesto que la forma general de la deformación fue supuesta con el propósito de aplicar el método de Rayleigh. Para mejorar este valor calculado para la frecuencia natural, consideremos el modelo matemático del sistema estudiado: (

)(

) ( )

(

)(

) ( )

Las ecuaciones de equilibrio obtenidas igualando a cero la suma de las fuerzas en los diagramas de cuerpos libres del sistema, dan: (

)

…(1) (

(

)

)

…(2) (

)

Y resolviendo:

O en la razón:

Ciclo 2: Introduciendo estos valores mejorados de los desplazamientos x1 y x2 en las ecuaciones (a) y (b), para recalcular la máxima energía potencial y la máxima energía cinética, resulta:

Que después de igualar Vmax y Tmax, obtenemos:

Este último valor calculado para la frecuencia natural f=2.729 cps, podría mejorarse con la aplicación de una nueva carga inicial en el sistema, basada en este último valor de la frecuencia natural, repitiendo un nuevo ciclo de cálculos.

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 9 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

Ciclo 3: (

)(

(

) ( )

)(

) (

)

También: (

)

…(1) (

(

)

)

…(2) (

)

Y resolviendo:

O en la razón:

Energías cinética y potencial máximas:

Frecuencia angular y natural:

Ciclo 4: (

)(

(

) ( )

)(

) (

)

También: (

)

…(1) (

(

)

)

…(2) (

)

Y resolviendo:

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 10 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

O en la razón:

Energías cinética y potencial máximas:

Frecuencia angular y natural:

Ciclo 5: (

)(

(

) ( )

)(

) (

)

También: (

)

…(1) (

(

)

)

…(2) (

)

Y resolviendo:

O en la razón:

Energías cinética y potencial máximas:

Frecuencia angular y natural:

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 11 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

La tabla muestra los resultados obtenidos en cinco ciclos. Ciclo Razón

de Carga inercial

deformación F1

F2

Frecuencia

Frecuencia

Periodo

natural

angular

(seg)

(cps)

(rad/seg)

2.782

17.480

0.3595

1

1: 2.00

2

1: 1.69

59.888

80.054

2.729

17.145

0.3664

3

1: 1.64

57.614

65.078

2.727

17.132

0.3667

4

1: 1.63

57.527

63.057

2.727

17.133

0.3667

5

1: 1.63

57.534

62.680

2.727

17.133

0.3667

Cuadro comparativo Método Rayleigh Método polinomio característico Frecuencia

17.133 rad/seg

17.132 rad/seg

Periodo

0.3667 seg

0.366 seg

m2

1.63

x2(t) k2

m1

1.00

x1(t) k1

Modelo dinámico

1 er modo

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 12 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

PROBLEMA N°2: Para el sistema de 2 niveles que se muestra en la figura, determinar sus periodos y formas de modo de vibración (g = 980 cm/seg2) x2(t)

w2 = 118 ton

m2 k2 = 100 ton/cm w1 = 192 ton

x1(t)

m1 k1 = 120 ton/cm

Solución: Ciclo 1: Para la aplicación del método de Rayleigh, supongamos que la deformación produce desplazamientos: X1(t) = 1 y X2(t) = 2 La máxima energía potencial es entonces: (

… (a)

)

( )

(

)

Y la máxima energía cinética es: (

)

(

)

… (b) (

)( )

(

)(

)

Igualando la máxima energía potencial con la máxima energía cinética y despejando la frecuencia natural da:

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 13 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

La frecuencia natural calculada como f=2.868 cps es solamente una aproximación al valor exacto, puesto que la forma general de la deformación fue supuesta con el propósito de aplicar el método de Rayleigh. Para mejorar este valor calculado para la frecuencia natural, consideremos el modelo matemático del sistema estudiado: (

)(

) ( )

(

)(

) ( )

Las ecuaciones de equilibrio obtenidas igualando a cero la suma de las fuerzas en los diagramas de cuerpos libres del sistema, dan: (

)

…(1) (

(

)

)

…(2) (

)

Y resolviendo:

O en la razón:

Ciclo 2: Introduciendo estos valores mejorados de los desplazamientos x1 y x2 en las ecuaciones (a) y (b), para recalcular la máxima energía potencial y la máxima energía cinética, resulta:

Que después de igualar Vmax y Tmax, obtenemos:

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 14 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

Este último valor calculado para la frecuencia natural f=2.802 cps, podría mejorarse con la aplicación de una nueva carga inicial en el sistema, basada en este último valor de la frecuencia natural, repitiendo un nuevo ciclo de cálculos. Ciclo 3: )(

(

) ( )

)(

(

) (

)

También: (

)

…(1) (

(

)

)

…(2) (

)

Y resolviendo:

O en la razón:

Energías cinética y potencial máximas:

Frecuencia angular y natural:

Ciclo 4: ( (

)( )(

) ( ) ) (

)

También: (

)

…(1)

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 15 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

( (

)

)

…(2) (

)

Y resolviendo:

O en la razón:

Energías cinética y potencial máximas:

Frecuencia angular y natural:

Ciclo 5: )(

( (

) ( )

)(

) (

)

También: (

)

…(1) (

(

)

)

…(2) (

)

Y resolviendo:

O en la razón:

Energías cinética y potencial máximas:

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA 16 SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ

Frecuencia angular y natural:

La tabla muestra los resultados obtenidos en cinco ciclos. Ciclo Razón

de Carga inercial

deformación F1

F2

Frecuencia

Frecuencia

Periodo

natural

angular

(seg)

(cps)

(rad/seg)

2.868

18.019

0.3487

1

1: 2.00

2

1: 1.66

63.612

78.189

2.802

17.604

0.3569

3

1: 1.61

60.715

61.942

2.800

17.592

0.3571

4

1: 1.60

60.633

59.995

2.800

17.590

0.3571

5

1: 1.60

60.619

59.608

2.800

17.590

0.3571

Cuadro comparativo Método Rayleigh Método polinomio característico Frecuencia

17.590 rad/seg

17.150 rad/seg

Periodo

0.3571 seg

0.366 seg

m2

1.60

x2(t) k2

m1

1.00

x1(t) k1

Modelo dinámico

1 er modo

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