Método de Newton y Runge Kutta

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

a) Tipos de ecuaciones que resuelve El método de Newton-Raphson es el algoritmo mejor conocido para encontrar las raíces de una ecuación. El algoritmo ha sido generalizado de muchas formas para la resolución de otros problemas no lineales más difíciles; por ejemplo:   

Sistemas de ecuaciones Ecuaciones diferenciales Integrales no lineales. (Díaz, J.M., 1998)

b) ¿En qué consiste el método? Tal vez, dentro de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de NewtonRaphson sea la más ampliamente usada. Si el valor inicial de la raíz es x i, entonces se puede extender una tangente desde el punto

[ x i, f ( x i ,) ]

. El punto donde esta

tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz. El método de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación geométrica, como en la figura 1, la primera derivada en x es equivalente a la pendiente:

Figura 1. Esquema gráfico del método de Newton-Raphson. Se extrapola una tangente a la función de xi [esto es, f ' (xi , )

] hasta el eje x para obtener una estimación de la raíz en xi+1 (Chapra, S., 2007)

que se puede ordenar para obtener

La cual es conocida como fórmula de Newton-Raphson

c) Aplicaciones  

Eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

d) Limitaciones Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que se comporta en forma deficiente como por ejemplo raíces múltiples. Sin embargo, aun cuando se trate de raíces simples, se encuentran algunas muy escasas dificultades.

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

a) Tipos de ecuaciones que resuelve Son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. b) ¿En qué consiste el método? Los métodos de Runge-Kutta son una especialización de los métodos numéricos a un paso. Fundamentalmente, lo que caracteriza al los métodos de Runge-Kutta es que el error en cada paso i es de la forma

Siendo C una constante real positiva, al número k se le llama orden del método y h ya sabemos que es el tamño del paso en cada nodo. En los métodos de Runge-Kutta se llama etapas a las sucesivas evaluaciones de la función f en cada paso. El número de etapas de un método de Runge-Kutta es el número de veces que la función es evaluada en cada paso i, Este concepto es importante porque evaluar la función requiere un coste computacional (a veces alto) por tanto se prefieren métodos con el menor número posible de etapas. 

El método de Euler (Runge-Kutta de orden 1)

Un primer ejemplo es el método de Euler que es de la forma:

En dicho método el error es de la forma e ≤ Ch y por tanto el método de Euler es de orden 1 Observación: La función se evalúa 1 vez en cada paso, número de etapas: 1. 

El método del punto medio (Runge-Kutta de orden 2)

Un ejemplo de un método de orden 2 es el método del punto medio o tambien regla del punto medio, que es de la forma:

En dicho método el error es de la forma e ≤ Ch 2 y por tanto el método del punto medio es de orden 2

Observación: El número de veces que se evalúa la función en cada paso del método es 2, número de etapas: 2. 

Runge-kutta estándar de orden 4 (Runge-Kutta de orden 4)

Ahora el error es de la forma e ≤ Ch 4 y por tanto el método es de orden 4 Observación: El número de veces que se evalúa la función en cada paso del método es 4, número de etapas: 4. c) Aplicaciones Usados para encontrar aproximaciones de las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales. d) Limitaciones Una particularidad interesante de los métodos Runge-Kutta es que no necesitan calcular derivadas de la función f para avanzar. Sin embargo, la desventaja es el de evaluar más veces la propia función f con el consiguiente coste de operaciones. Un detalle a tener en cuenta en los métodos de Runge-Kutta es que pierden bastante precisión cuando la derivada de la función a analizar es muy grande o cambia muchas veces de signo, En tales casos es necesario un tamaño de paso bien pequeño para obtener un grado de precisión aceptable. (MathsTools, 2013)

REFERENCIAS

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Chapra, S. (2007). Métodos Numéricos para Ingenieros, Ed. 5ta, Mc Graw Hill, México, pág. 156-159. Díaz, J.M. (1998). Introducción a los métodos numéricos para la resolución de ecuaciones, Universidad de Cádiz, España, pág 23. MathsTools. (14 de Octubre de 2013). Métodos Numéricos. Obtenido de http://mathstools.com/section/main/Metodos_de_Runge_Kutta