Método de Newton-Raphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Instituto Tecnol´ ogico de L´ azaro C´ ardenas Ingenier´ıa Electr´ onica M´ etodo de Newton-Raphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales Asignatura: An´alisis Num´erico Docente: M.C. Julio C´esar Gallo Sanchez

Alumno: Jos´e Armando Lara Ramos

Equipo: 9

4o Semestre

Marzo 14 de 2012

Jos´e Armando Lara Ramos

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M´ etodo de Newton-Raphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales Resumen En el presente documento se presenta la construcci´on del m´etodo de NewtonRaphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales desde un punto de vista meramente matricial, haciendo uso primeramente del polinomio de Taylor hasta llegar a hacer uso de la matriz Jacobiana en cada una de las iteraciones. Posteriormente se desarrollan tres ejemplos de aplicaci´on del presente m´etodo.

1.

Desarrollo del M´ etodo Considerense dos ecuaciones con dos incognitas

f0 (x0 , x1 ) = 0 f1 (x0 , x1 ) = 0

(1)

cada una define una curva en el plano (¯ x = [x0 x1 ]T ∈ R2 ). Las soluciones a (1) son puntos de intersecci´on de las dos curvas en R2 . Denotaremos un punto de intersecci´on por p¯ = [p0 P1 ]T ∈ R2 , el cual es ra´ız del sistema (1). Suponiendo que x¯0 = [x0,0 x0,1 ]T es un punto inicial de aproximaci´on a la ra´ız p¯. Asumiendo que f0 y f1 son lo suficientemente suaves para procesar una expansi´on de series de Taylor de dos dimensiones, ∂f0 ∂f0 f0 (x0 , x1 ) = f0 (x0,0 , x0,1 ) + (x0,0 , x0,1 )(x0 − x0,0 ) + (x0,0 , x0,1 )(x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ( 1 ∂ 2 f0 (x0,0 , x0,1 ) + (x0 − x0,0 )2 2! ∂x20 ∂ 2 f0 (x0,0 , x0,1 ) (x0 − x0,0 )(x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ) ∂ 2 f0 (x0,0 , x0,1 ) + (x1 − x0,1 )2 + · · · ∂x21 +2

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∂f1 ∂f1 (x0,0 , x0,1 )(x0 − x0,0 ) + (x0,0 , x0,1 )(x1 − x0,1 ) f1 (x0 , x1 ) = f1 (x0,0 , x0,1 ) + ∂x0 ∂x1 ( 1 ∂ 2 f1 (x0,0 , x0,1 ) + (x0 − x0,0 )2 2 2! ∂x0 ∂ 2 f1 (x0,0 , x0,1 ) +2 (x0 − x0,0 )(x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ) ∂ 2 f1 (x0,0 , x0,1 ) + (x1 − x0,1 )2 + · · · ∂x21

(2)

las cuales tienen una forma m´as comparta usando la notaci´on de vectores como ∂f0 (x¯0 ) ∂f0 (x¯0 ) f0 (¯ x) = f0 (x¯0 ) + (x0 − x0,0 ) + (x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ( 1 ∂ 2 f0 (x¯0 ) ∂ 2 f0 (x¯0 ) 2 + (x − x ) + 2 (x0 − x0,1 ) 0 0,0 2! ∂x20 ∂x0 ∂x1 ) ∂ 2 f0 (x¯0 ) (x1 − x0,0 )2 + · · · + ∂x21 ∂f1 (x¯0 ) ∂f1 (x¯0 ) f1 (¯ x) = f1 (x¯0 ) + (x0 − x0,0 ) + (x1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ( 1 ∂ 2 f1 (x¯0 ) ∂ 2 f1 (x¯0 ) 2 + (x − x ) + 2 (x0 − x0,1 ) 0 0,0 2! ∂x20 ∂x0 ∂x1 ) ∂ 2 f1 (x¯0 ) (x1 − x0,0 )2 + · · · + ∂x21

(3)

Si x¯0 est´a cerca de p¯, entonces de (2) y (3), tenemos ∂f0 (x¯0 ) ∂f0 (x¯0 ) (p0 − x0,0 ) + (p1 − x0,1 ) 0 = f0 (¯ p) ≈ f0 (x¯0 ) + ∂x0 ∂x1 ( 1 ∂ 2 f0 (¯ x0 ) ∂ 2 f0 (¯ x0 ) 2 + (p − x ) + 2 (p0 − x0,1 )(p1 − x0,1 ) 0 0,0 2! ∂x20 ∂x0 ∂x1 ) ∂ 2 f0 (¯ x0 ) + (p1 − x0,0 )2 · · · 2 ∂x1

(4)

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∂f1 (x¯0 ) ∂f1 (x¯0 ) 0 = f1 (¯ p) ≈ f1 (x¯0 ) + (p0 − x0,0 ) + (p1 − x0,1 ) ∂x0 ∂x1 ( 1 ∂ 2 f1 (¯ x0 ) ∂ 2 f1 (¯ x0 ) 2 + (p0 − x0,1 )(p1 − x0,1 ) (p − x ) + 2 0 0,0 2 2! ∂x0 ∂x0 ∂x1 ) ∂ 2 f1 (¯ x0 ) + (p1 − x0,0 )2 · · · ∂x21

(5)

Si ignoramos los t´erminos de ´ordenes m´as altos (segundas derivadas y derivadas de mayores ´ordenes), entonces obtenemos ∂f0 (¯ x0 ) ∂f0 (¯ x0 ) (p0 − x0,0 ) + (p1 − z0,1 ) ≈ −f0 (¯ x0 ), ∂x0 ∂x1 ∂f1 (¯ x0 ) ∂f1 (¯ x0 ) (p0 − x0,0 ) + (p1 − z0,1 ) ≈ −f1 (¯ x0 ). ∂x0 ∂x1

(6)

Para una notaci´on m´as compacta, definimos fi,j = (¯ x0 ) =

∂fi (¯ x0 ) ∂xj

as´ı las ecuaciones (6) se convierten en (p0 − x0,0 )f0,0 (¯ x0 ) + (p1 − x0,1 )f0,1 (¯ x0 ) ≈ −f0 (¯ x0 ), (p0 − x0,0 )f1,0 (¯ x0 ) + (p1 − x0,1 )f1,1 (¯ x0 ) ≈ −f1 (¯ x0 ).

(7) (8)

Multiplicando (7) por f1,1 (¯ x0 ), y multiplicando (8) por f0,1 (¯ x0 ). Extrayendo la segunda ecuaci´on de la primera nos da (p0 − x0,0 )[f0,0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) − f1,0 (¯ x0 )f0,1 (¯ x0 )] ≈ −f0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) + f1 (¯ x0 )f0,1 (¯ x0 ). (9) Ahora multiplicando (7) por f1,0 (¯ x0 ), y multiplicando (8) por f0,0 (¯ x0 ). Extrayendo la segunda ecuaci´on de la primera nos da (p1 − x0,1 )[f0,1 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) − f0,0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 )] ≈ −f0 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) + f1 (¯ x0 )f0,0 (¯ x0 ). (10) Ahora de (9) y (10), obtenemos

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−f0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) + f1 (¯ x0 )f0,1 (¯ x0 ) , f0,0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) − f0,1 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) −f1 (¯ x0 )f0,0 (¯ x0 ) + f0 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) p1 ≈ x0,1 + . f0,0 (¯ x0 )f1,1 (¯ x0 ) − f0,1 (¯ x0 )f1,0 (¯ x0 ) p0 ≈ x0,0 +

(11) (12)

Debemos asumir que el miembro derecho de (11) y (12) es la siguiente aproximaci´on a p¯

x1,0 x1,1

−f0 f1,1 + f1 f0,1 ≈ x0,0 + , f0,0 f1,1 − f0,1 f1,0 x¯0 −f1 f0,0 + f0 f1,0 ≈ x0,1 + . f0,0 f1,1 − f0,1 f1,0

(13)

(14)

x ¯0

(¯ x1 = [x1,0 x1,1 ]T ), donde las funciones y derivadas est´an evaluadas en x¯0 . Continuando este proceso para generar (¯ xn ) para n ∈ Z+ (as´ı en general x¯n = T [xn,0 xn,1 ] ) de acuedo a −f0 (¯ xn )f1,1 (¯ xn ) + f1 (¯ xn )f0,1 (¯ xn ) xn+1,0 = xn,0 + , f0,0 (¯ xn )f1,1 (¯ xn ) − f0,1 f1,0 (¯ xn ) x¯0 −f1 (¯ xn )f0,0 (¯ xn ) + f0 (¯ xn )f1,0 (¯ xn ) xn+1,1 = xn,1 + . f0,0 (¯ xn )f1,1 (¯ xn ) − f0,1 (¯ xn )f1,0 (¯ xn )

(15)

(16)

x ¯0

Ahora definimos 

   f0 (xn,0 , xn,1 ) f0 (¯ xn ) F (¯ xn ) = = f1 (xn,0 , xn,1 ) f1 (¯ xn )

(17)

Tambi´en F

(1)



 f0,0 (¯ xn ) f0,1 (¯ xn ) (¯ xn ) = = JF (¯ xn ), f1,0 (¯ xn ) f1,1 (¯ xn )

(18)

la cual es la Matriz Jacobiana JF evaluada en x¯ = x¯n . Vemos que −1

[JF (¯ xn )]

  1 f1,1 (¯ xn ) −f0,1 (¯ xn ) , = xn ) f0,0 (¯ xn ) f0,0 (¯ xn )f1,1 (¯ xn ) − f0,1 (¯ xn )f1,0 (¯ xn ) −f1,0 (¯

(19)

as´ı que en notaciones de vectores (15) y (16) se convierten x¯n+1 = x¯n − [JF (¯ xn )]−1 F (¯ xn )

(20)

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para n ∈ Z+ . Si x¯n ∈ Rm (por inc´ognitas), entonces  f0,0 (¯ xn )  f1,0 (¯ x n)  JF (¯ xn ) =  ..  . fm−1,0 (¯ xn ) y

ejemplo, si consideramos m ecuaciones con n

f0,1 (¯ xn ) f1,1 (¯ xn ) .. .

··· ···

fm−1,1 (¯ xn ) · · ·

   F (¯ xn ) =  

f0 (¯ xn ) f1 (¯ xn ) .. .

f0,m−1 (¯ xn ) f1,m−1 (¯ xn ) .. .

   , 

(21)

fm−1,m−1 (¯ xn )



  .  fm−1 (¯ xn )

(22)

Por supuesto, x¯n = [xn,0 xn,1 · · · xn,m−1 ]T ∈ Rm . Debemos notar que el m´etodo falla si JF (¯ xn ) es singular en x¯n . Tal como en el caso de una dimensi´on, el ´exito del m´etodo depende en la buena elecci´on de un punto inicial x¯0 . Si converge, entonces es cuadr´atica como en el caso de una dimensi´on (escalar). Es posible en ocasiones forzar el m´etodo a converger incluso si el punto inicial no es muy bien seleccionado, pero esto no lo consideraremos aqu´ı. La complexidad computacional del m´etodo es demasiado alta. Si x¯n ∈ Rm , entonces en (20), (21) y (22), requerimos evaluaciones evaluaciones en m2 + m, y necesitamos invertir una matriz Jacobiana en cada iteraci´on.

2.

Ejemplos Ejemplo 1.- Se requiere resolver 1 f0 (x0 , x1 ) = x0 − x20 − x21 = 0 4 2 f1 (x0 , x1 ) = x1 − x0 + x21 = 0.

(23)

1 f0 (¯ xn ) = xn,0 − x2n,0 − x2n,1 = 0 4 2 f1 (¯ xn ) = xn,1 − xn,0 − x2n,1 = 0,

(24)

Consecuentemente

cuyas derivadas son

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f0,0 (¯ xn ) = 1 − 2xn,0 = 0, f1,0 (¯ xn ) = −2xn,0 1 f0,1 (¯ xn ) = − xn,1 , f1,1 (¯ xn ) = 1 + 2xn,1 . 2

(25)

V´ıa (15) y (16), las ecuaciones deseadas son −(xn,0 − x2n,0 − 14 x2n,1 )(1 + 2xn,1 ) + (xn,1 − x2n,0 + x2n,1 )(− 21 xn,1 ) , (1 − 2xn,0 )(1 − 2xn,1 ) − xn,0 xn,1 −(xn,1 − x2n,0 + x2n,1 )(1 − 2xn,0 ) + (xn,0 − x2n,0 − 14 x2n,1 )(2xn,1 ) = xn,1 + . (1 − 2xn,0 )(1 − 2xn,1 ) − xn,0 xn,1 (26)

xn+1,0 = xn,0 + xn+1,1

Si ejecutamos el proceso iterativo en (26), obtenemos x0,0 x1,0 x2,0 x3,0

= 0,8000 x0,1 = 0,500 = 0,9391 x1,1 = 0,5562 = 0,9193 x2,1 = 0,5463 = 0,9189 x3,1 = 0,5461

Con lo cual vemos que la respuesta es correcta en cuatro cifras decimales en solo tres iteracones. Ejemplo 2.- Dada la ecuaci´on z 3 − 3 = 0, donde z ∈ C. Encuentre todas las soluciones de la ecuaci´on. Para resolver la ecuaci´on hacemos z = x + y · i, con i2 = −1, obteniendo: (x + y · i)3 − 3 = 0 Resolviendo el producto notable y agrupando t´erminos se obtiene (x3 − 3xy 2 − 3) + (3x2 y − y 2 ) · i = 0 Haciendo r = (x, y)t con P (x, y) = x3 − 3xy 2 − 3 y Q(x, y) = 3x2 y − y 2 , se tiene que     P (r) 0 F (r) = = =0 Q(r) 0 Con la matriz jacobiana  J(r) =

3x2 − 3y 2 −6xy 6xy 3x2 − 3y 2



Si r(0) = (1,5, 0)t , aplicando el algoritmo, este se detiene en N = 4 y la ra´ız real es la parte real del vector r(4) = (1,44224957, 0)t ; z1 = 1,44224957.

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Con r(0) = (−0,5, 1,0)t , el algoritmo se detiene en N = 5, y la soluci´on es dada por r = (−0,72112479, 1,24902477)t en donde z2,3 = −0,72112479 ± 1,24902477 ra´ıces complejas conjugadas. (5)

Ejemplo 3.- Considerando el sistema de ecuaciones no lineales f (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0, 1 g(x, y) = x2 + 4y 2 − 1 = 0. 4 Encontrar los puntos de intersecci´on de las curvas usando como puntos iniciales [x0 y0 ]T = [±1 ± 1]T . Usando seis iteraciones en cada caso. Calculando la matriz Jacobiana obtenemos   2x 2y JR = 1 . x 8y 2 Y realizando las iteraciones con los diferentes [x0 y0 ]T como punto inicial obtenemos: Los resultados de las iteraciones usando [x0 y0 ]T = [+1 + 1]T fueron las siguientes x2 x3 x4 x5 x6

x1 = 0,9 = 0,8944444 = 0,8944272 = 0,8944272 = 0,8944272 = 0,8944272

y1 = 0,6 y2 = 0,4666667 y3 = 0,447619 y4 = 0,4472138 y5 = 0,4472136 y6 = 0,4472136

Los resultados de las iteraciones usando [x0 y0 ]T = [+1 − 1]T fueron las siguientes x2 x3 x4 x5 x6

x1 = 0,9 = 0,8944444 = 0,8944272 = 0,8944272 = 0,8944272 = 0,8944272

y1 = −0,6 y2 = −0,4666667 y3 = −0,447619 y4 = −0,4472138 y5 = −0,4472136 y6 = −0,4472136

Los resultados de las iteraciones usando [x0 y0 ]T = [−1 + 1]T fueron las siguientes x2 x3 x4 x5 x6

x1 = −0,9 = −0,8944444 = −0,8944272 = −0,8944272 = −0,8944272 = −0,8944272

y1 = 0,6 y2 = 0,4666667 y3 = 0,447619 y4 = 0,4472138 y5 = 0,4472136 y6 = 0,4472136

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Los resultados de las iteraciones usando [x0 y0 ]T = [−1 − 1]T fueron las siguientes x2 x3 x4 x5 x6

x1 = −0,9 = −0,8944444 = −0,8944272 = −0,8944272 = −0,8944272 = −0,8944272

y1 = −0,6 y2 = −0,4666667 y3 = −0,447619 y4 = −0,4472138 y5 = −0,4472136 y6 = −0,4472136