Metodo de Monte Carlo y Sus Aplicaciones

El método de Montecarlo y sus aplicaciones Por vICENTE JIMEN^Z DIEZ DE ARTAZCOZ Estadístico Faculta#iva.

E1 método de Mc.^ntecarlo que surgió con objeto de resolver un dificil problema de ^`fsica nuclear en el Laboratorio de los Alamos, se ha extendido extraordinariamente en los últimos años, siendo numerosas sus aplicaciones a la I nvestigación operativa. Desgraciadarnente la bibliografía existente sobre el inétodo es escasa, pues durante mucho tiernpo fue considerado como un secreto mílitar. Sóla se pretende en este artículo dar una visión general del método, sus antecedentes históricos, su fundamenta y sus aplicaciones a la resolución de problemas determinfsticas relacionados con la Estadistica y con Ia técnica del muestreo, así como a sencillas cuestiones de tipo comercial e industrial.

l.

Anteceáentes histdricos.

En el año igq.g, en él Laboratorio de los Alamos se planteó un problema de dificil solución. Se trataba de determinar el recorrido de los neutrones cn los diferentes medios. Una solución que recurriese a los procedimientos clásicos resultarf a laboriosa y complicada. Los técnicos conocían los datos fundamentales que se necesitaban para resolver el problema; sin embargo, la dificultad surgia al tratar de relacionar los datos en una sola fórlnula. tTlam y l\`eumann idearón una solución clue esencialmente consistfa en que una rul^ta resolviera el problema propuesto. ^`^e fueron agrupando las pra^ habilid^.des de los distintos sucesos, abteniéndose una solución que qu^^ ^ daba dentro de la aproximac2ón éxigida por los técnicos. Cuando al método empleado f ue necesario dárle un nombre se le den oL ininó con c^Montecarlo». Sin embargo, la técnica matemática empleada era ya c©nocida con anterioridad. En efecto, el descubrimiento de la téCI11Ca, de Montecarlo podemos hacerla retroceder a una época remota en que un matemático legendario observase por primera vez el camino seguido por un borracho. Supongamos que la probabilidad dc dar pasos en cualquier dirección fuese la misma. El borracho puede dar los pasos en cualcluier dirección de una manera, no previsible aunque casual. Se trata de determinar a caué distancia se tncon-

^:L

MÉTODC)

I)N:

14InN1'EC.^^I.O

^' St'^ .1YLI^`AC,IO:'^FS

1,^

trará del punto de partida después de haber dado ^sr pasos, a también cuál será la distancia más probable al cabo de los ^t pasas. ^e le denominó el problema del ^^ aseo al acaso (al azar) .^iediante •una aplicación del r^t^-^estyeo adeatoyio se resolviá este problema, pera pronto se encontró que el método podía extenderse a otro tipo de cuestiones y ofrecfa grandes aplicaciones .

en la práctlca.

Estirnar tal distancia probable exigiría observar un gran número de borrachos en condiciones análogas, lo que resultaria diffcil o poco práctico. ^in embargo, puesto que los pasos se dan al a^ar, podemos simular modelos de sus pasos mediante una tabla de números aleatorios y aproxim,arnos a la efectiva situación real. Con un gran número de pruebas simuladas podemos estimar la distancia probable después de fz pasas. Prosiguiendo esta ruta histórica, más adelante ^expondremos los dos clásicos prob^enias de Buffon y de F^ ermi, que pueden considerarse como f undamento del método Monteca.rlo.

2.

Constderaciones generales sobre los problemas que resuelve el m^todo de Montecarlo.

' Sobre las posibilidades del método y el tipo general de problemas quc resuelve, nos remitimos a la autorizada opinión de diversos autores. ^ Para Donsker y k.ac, algunos problemas que conducen a co rnplicadas ecuaciones diferenciales o integrales, se han resuelto recientemente, utilizándo diversas técnicas probabilf sticas y métodos de muestreo. En su canj uñtó estos métodos son conocidos con la denominación genérica de métoc^o d'e Monte^arlo. Los problemas a Ios que se ha aplicado la técnica de Montecarlo, parecen dividirse en dos categorias. Tf pico de la primera es el problerna de los neutrones que se difunden en la materia, y en el cual las partículas están sometidas no sólo a alguna influencia determinfstica, sino también a influencias casuales. En tal problema la técnica de Montecarlo consiste en permitir que una partf cula j uegue una partida de azar, siendo las reglas del j uego tales que las ef ectivas características casuales y determinística del proceso ff sico son exactamente imitadas, paso a paso, por el j uego. Considerando un número muy ^grande de partículas, es posi-ble responder a preguntas referentes a la distribución de las partículas al final de un cierto perf odo de tiempo; el núnlero de partf culas que han atravesado un obstáculo de un determinado espesor, etc. L7na caracterfstica importante de la técnica precedente es que la ecuación funcional que describe el proceso de difusión está superada por completo, habiéndose conseguido del propio proceso el modelo probabilf stico empleado. L^ na aplicación rnás sofisticada del método de Montecarlo es la referente al problema de la deterrnin,acxón de un modelo probabilf stico o j uego, cuya solución está en relación con la ^solución de una ecuación.

^STAD^STICA ESPAI^OLA

Para Householder, el método de Montecarlo puede describirse brevernente como la estratagema para. estudiar un modela estocástica artificial de un praceso ff sico o matemática. I.a novedad principal del método estriba en la su;gerencia que cuando una ecuación que tiene por arigen un cantenido no probabilistico requiere una solución numérica, que no es f ácil obtener con los métodas numéricos ordinarios, puede existir un procedimiento aleatorio con distribuciones o parámetros que satisfagan a Ia ecuación, y puede ser efectivamente más eficiente idear tal procedimiento y calcular las constantes estadísticas que intentar la resolución por la^s métodos clásicas. Los problernas que se plantean son: dada una ecuación, ^ existe un procedimiento aleatorio que nos dé una distribución tal que ella, o una serie de sus parámetros, satisfaga a aqueila ecuación? Y en caso afirmativo, ^cuál es el métoda más eficiente para obtener 1as constantes estadfsticas? Deberá, ser evidente que el método para construir por entero la distribución no es probablemente más eficiente, salvo que 1a distribu^ión se obtenga solamente por integración de otras variables. E1 métado es fundamentalmente un método de integración numérica. Kendall y Buckland en su obra ^A Dictionary of Statistical Terms^^ , al definir sintéticamente el método de Moritecarlo, se expresan asf: ^Un término que se emplea con algunas si,gnificados diferentes. z) Para denominar la solución apraximada de los problemas de distribución mediante experimentos muestrales; este ernpleo no es recomendable. 2) Para denominar la solución de problemas matemá.ticos que se originan en una estructura. estocástica, mediante experimentos con muestras. Por ej emplo, la ecuación de Fokker-Planck. se presenta en un problema de Cálculo de Probabilidacies, y por consiguiente, el muestrea puede emplearse para obtener soluciones aproximadas aplicables al caso ffsico. 3) Por extensión del 2), la solución de cualquier problema matemático mediante rnétodos muestrales; el procedimiento consiste en construir un modelo estocástico artificial del proceso matemático y después muestrear en el modelo.» La siguiente definición, que se debe a J. Curtis, amplía el campo de aplicación del métoda extendiéndolo al muestreo artificial, que permite hallar la distribución experimental de un estimador. Se expresa asi: ^ ,5

-}h .i-^

373^^^ 3í^ j'tc: :^ 1^:5-

I±;I.

25

1^iF:7'ODC) I)^ ti1UN1'^^G.4F^iL() 4' tit^ti :1F'I.ICAC'IC)?^ 1;;^

7. ---Aplicación a un problema de tipo comercial. Supongamos que la demanda de una mercancía es una variable ale^^toria con una distribución de probabilidad especificada. ^e desea saber la cantidad a que deberá comprar diariamente un comerciante para que la ganancia sea máxima, sabiendo que gana g pesetas por kilogramo vendido y pierde m por l^ilogramo que no tiene salida en el día de la compra por tratarse de un ^Lrtículo pere.cederc^. l^esolvere^nos c^l problcnla nYatcmátic^cnlcntc^ ^^ lilccliantc cl I11^tUClU cíe y

1^^Ulltecarl0. .

. •

.^c^l^ccto^t ^raatemc^tica. ^ea ^=-= x la cantidacl dcmandacia diarialYleYltC?. I'ara quc^ la g^^nancia sca la mayor posible, deberemos hacer máxima la esperan•r.a matemática cle dicha ganancia, que designaremos por G(a) y tiene por expresión ^

a-i

«__ ^

na ,^ (a - x ) ^i.^

.^;' [G(a)] = ga ), ^x -f- g ^^ x^x 0

a

0

Puesto que sc trata de determinar a para que [^] sea xlláxirna deberán cumplirse las dos condiciones E [G (a -}- I ) ] ^' [G (a

E [G (a) ] `^: o

[2]

I ) ] ------ .^ [(^ (a)] `^ o

^3^

Calculen^os primeramente .^' [G(a -^}- 1)] (i): .F [