Metodo de Lu y Cholesky

 

METODO DE LU Y CHOLESKY CHOL ESKY. Método de LU. Cualquier matriz “A”, tal que u dia!o"al #ri"$i#al ete %ormada #or eleme"to "o "ulo, e #uede de$om#o"er e" el #rodu$to de u"a matriz tria"!ular i"%erior, e de"omi"ara L&lo'er(, #or otra tria"!ular u#erior U&u##er( ) ello de *aria ma"era. Eto e le $o"o$e $o" el "om+re de %a$toriza$i" LU de u"a matriz A o de$om#oi$i" LU. LU. Si te"emo $omo e-em#lo u"a matriz A, tre %orma de realizar la %a$toriza$i" LU eria"

[

 ] [

2   − 1   −1

 A = 0   − 4

2

6   −3

1

2

0

0

= 0   −4 6

0

]

0 ∙ 4

[ ] 1

  −1 2

0

1

2

  − 1 = L1 ∙ U 1=¿ 2

0

[ ][ [ ][

−1

0

1

 ]  ]

2   −1   −1

1

0

0

¿ 0

1

0 ∙ 0   −4

3

0

1

1 ¿ 0 3

0 2 0

0 2   −1   −1  ∙ U 3=… 0 ∙ 0   −2 1 = L3 ∙U  4 1 0 0

0

0

2

= L2 ∙U  2=¿

4

 Todo  Todo eo #rodu$to #rodu$to a"teriore

 Li ∙ U i

, re#rodu$e" la matriz A.

A"te de a#li$ar la %a$toriza$i" LU LU #ara reol*er itema de e$ua$io"e li"eale, e e/#o"dr0 $mo #uede lle*are a $a+o, de %orma !e"eral, ea %a$toriza$i". De toda la #oi+le de$om#oi$io"e de A matri$e tria"!ulare e e$o!er0 u"a, el #ar tal que la matriz L e la que #oee u"o e" dia!o"al #ri"$i#al. El método $o"o$e $omo %a$toriza$i" LU LU doolittle ) #ara u"a matriz A 1/1, er0 1

 I 21

 LU =

0 1

00 00

 I 31   I 32 1 0  I 41   I 43   I 43 1

[

u11   u 12 u13   u14 ∙

0   u22 0 0

][

0 0

 a11   a12

a13   a14

a 21   a22

a23   a 24

u33   u34

a 31   a32

a33   a34

0   u44

a 41   a42

a43   a 44

u23   u24

=

][

= A

]

 

A2ora el o+-eti*o e e"$o"trar lo *alore de

lij

 L ) lo

aij

 de U, u#ueto

que la matriz $o"titu)e del dato de #artida 3ealiza"do 3ealiza "do la multi#li$a$i" matri$ial de L #or U, e o+tie"e u$ei*ame"te a(

  u11=a11 , u12=a12 ,u 13=a13 ,u 14=a14

E de$ir que la #rimera 4la 4la de U e i!ual a la #rimera 4la de A +(

  l31 ∙ u 31=a31  {l} rsub {31} = {{a} rsub {31}} over {{u} rsub {11}} ❑❑ ∙ ❑❑+ ❑❑ =❑❑   rsub = rsub - rsub ∙ rsub