Método de Los Desplazamientos

Método de los desplazamientos

En este método se trabaja con los tres tipos de ecuaciones mencionados aplicadas a los nudos de la estructura dejando como incógnitas los desplazamientos de los grados de libertad libres. Notamos que es una forma completamente distinta de trabajar, pero que analizando mas detenidamente es simplemente el método de los nudos. El método de los desplazamientos se aplica para analizar estructuras formadas por barras que pueden ser lineales ò especiales (superestructuras). También para resolver medios continuos por elementos finitos, en este caso la solución del sistema de ecuaciones tiene más importancia ya que el número de ecuaciones a resolver estará de acuerdo con el grado de exactitud que se desea obtener. Este método que también es conocido como método de la rigidez y que puede ser aplicado en diversas áreas estructurales en forma similares o en algunos caso como sea más conveniente su aplicación una de las más comunes se pudiera decir que es la del método matricial de la rigidez. El cual consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados).

La

matriz

de

rigidez

relaciona

las

fuerzas

nodales

equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:

Dónde:

son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las

fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; hiperestáticas

inicialmente

desconocidas

sobre

desplazamientos nodales incógnita de la estructura y

son las reacciones la

estructura;

los

el número de grados

de libertad de la estructura.

1) En que consiste

Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una estructura o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Pórtico Plano, por medio de aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente. Por tanto es importante recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotación como son: a) El material es homogéneo, isótropo y se comporta como lineal elástico, es decir, todo el material es de la misma   naturaleza, tiene idénticas propiedades físicas en todas las direcciones y las deformaciones, e , que sufre son directamente proporcionales a los esfuerzos, que resiste y el factor de proporcionalidad se llama módulo de   elasticidad, E, es decir, s = E (Ley de Hooke), b) El principio de las deformaciones pequeñas que señala que una vez cargada la estructura las deformaciones o desplazamientos lineales y angulares de las juntas o nodos y de cada uno de los puntos de sus

miembros son bastantes pequeños de tal manera que la forma de ella no cambia ni se altera apreciablemente,

c) El principio de superposición de efectos que supone los desplazamientos y fuerzas internas totales o finales de la estructura sometida a un conjunto o sistema de cargas se pueden encontrar por la suma de los efectos de cada una de las cargas consideradas aisladamente, d) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer orden como son: Las deformaciones internas por flexión siempre, mientras que las por fuerza axial y torsión así como la existencia de segmentos rígidos se pueden tomar en cuenta o no.

Como se define la indeterminación geométrica y los grados de libertad:

El método que plantearemos en este fragmento es el de la rigidez o de los desplazamientos. Se llama de rigidez porque las ecuaciones finales a solucionar tienen como incógnitas los desplazamientos en función de las rigideces de los elementos. En cualquier método que se logre plantear se utiliza el principio de superposición, el cual se cumple para sistemas lineales, elásticos y que experimenten desplazamientos pequeños, o sea que las tangentes son iguales a los ángulos. En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad

de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material). Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura. La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el proceso de solución determina el método. Por ejemplo, en el método de las fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las redundantes

y

después

reemplazamos

en

estas

ecuaciones,

los

desplazamientos en función de las fuerzas redundantes, quedando como incógnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aquí se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser estáticamente determinada, de ahí debemos completar la solución por medio de las ecuaciones de equilibrio estático. En conclusión, se plantean tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este método el número de incógnitas es el número de redundantes, y las matrices a resolver son de ese orden. Debido a que en el método de la rigidez se trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es un grado de libertad. Grados De Libertad:

Los grados de libertad corresponden a las posibles formas de moverse que tiene una estructura, con ellos se puede describir la figura deformada de

una estructura. Estos se miden en los puntos de unión de elementos (nudos) o en los apoyos. En apoyos sabemos determinar cuándo un grado de libertad es libre o restringido, en nudos también podemos identificar los grados de libertad libres. Para una estructura completa podemos contar los grados de libertad libres identificando los de los apoyos y después los de los nudos:

Esta estructura bidimensional tiene 7 grados de libertad libres, si conocemos los desplazamientos en cada una de sus direcciones podemos determinar la deformada de toda la estructura en función de estos desplazamientos. Note que ellos constituyen los desplazamientos de extremo de los elementos.

Esta estructura tiene 5 grados de libertad libres.

Definición de las restricciones en los miembros: Rigidez axial infinita

La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una  viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicación de cargas según su eje. En este caso la rigidez depende sólo del área de la sección transversal (A), el módulo de Young del material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:

Rigidez flexional infinita

La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el  momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras

rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el momento flector esté dirigido según una u otra  dirección principal de inercia. Esta rigidez viene dada:

Coeficientes de rigidez

Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.

El comportamiento elástico de una barra sometida a pequeñas deformaciones está determinado por ocho coeficientes elásticos. Estos coeficientes elásticos o rigideces depende de: La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza será necesaria para deformarla.

El material del que esté fabricada la barra, si se fabrican dos barras de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la otra de plástico la primera es más rígida porque el material tiene mayor Módulo De Young (E ).

La longitud de la barra elástica ( L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección transversal y fabricada del mismo material, la barra más larga sufrirá mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones