Metodo de Las Fuerzas Utilizando El Programa de Matlab

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Los métodos de cálculo cálcul o matricial (CM) de estructuras estructuras son un conjunto conju nto de métodos métodos que que tienen en común organizar toda la información en forma de matrices. En estos métodos, todas las relaciones rel aciones entre las l as distintas partes partes de una estructura dan dan lugar a sistemas de ecuaciones. con un alto número de variables, pero donde no se han realizado suposiciones suposiciones o simplifi si mplificaciones caciones en l as que se pierda infor inf ormación mación releva relevante. nte. Esta generalidad, ge neralidad, junto a la estructura de la información inf ormación en matrices, permite que su planteamiento planteami ento y resolución pueda ser ejecutada ej ecutada de manera automática por medio de de programas de ordenador, lo que ha hecho que en la actualidad sean la práctica habitual en la ingeniería. En el presente texto se va a desarrollar el denominado método de las fuerzas de cálculo matricial, aplicado a estructuras bidimensionales formadas por barras y vigas. Este mi smo esquema esque ma puede ser extendido a otras forma formas de discretizar una estructura o un medio continuo. De hecho, el método de los Elemen Ele mentos tos Finitos Fi nitos es la extensión del método mé todo de CM donde se trata con elemen ele mento toss que que no son sólo barras, barras, sino si no volúmenes vol úmenes de distintas distintas formas geométri ge ométricas cas que modela modelan n un mayor número de problemas mecánicos o físicos.

En todo el desarrollo del método aceptaremos las hipótesis generales en las que normalmente se desarrol de sarrolla la la l a Teoría de Estructuras, Estructuras, esto es, e s, comportamiento elást elástico ico y lineal del de l material y estado de pequeños desplazamientos. desplazamientos.

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Pag. 1. Introducción……………………………………………………………………………………………..

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2. Índice general………………………………………………………………………………………………. general ………………………………………………………………………………………………. 2. 2. 3. Desarrollo del tema…………………………………………………………………………………… 3 3.1. Antecedentes………………………………………………………………………………… 3.2. Enfatizar el tema de interés…………………… interés…………………………… ……….. .. ………………………… 3.3. Recopilación e información…… inf ormación…………… ……………… ……………… ………… ……………………………… 3.4. Objetivos……………………………………………………………………………………………. 3.5. Marco teórico………………………………………………..………………………………… 3.6. Procedimiento……………………………………………….. ………………………………

4. Seudocódigo……………………………………..…………………………………………………………… 5. Programa………………………………………………………………………………………………… 6. Resultados…………………………………………………..…………………………………… 7. Conclusiones……………………………………………………………………………………………… 8. Recomend Recomendaciones……………………………………… aciones…………………………………………………………………… ……………………………………………. ………………. 9. Bibliografía………………………………………………….……………………………………………

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En Ingeniería Inge niería Civil y específica esp ecíficamente mente en estructuras, estructuras, el Método de flexibi fl exibilidad lidad es el clásico método consistente consi stente en deformación para calcular fuerzas en miembros miemb ros y desplazamiento despl azamientoss en sistemas si stemas estructurales. estructurales. Su versión moderna formulada en términos de la matriz de flex f lexibili ibilidad dad de los miembros también tiene el nombre de Método de Matriz Matriz de Fuerza debido al uso de las fuerzas f uerzas en los miembros miemb ros como las primariamente conocidas. conocidas.

Matriz de Flexibilidad:

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Profes. José Isaac Soler de la Cruz y Angel Julver Pino Velázquez (2014) en su Artículo “RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD EN EL ANÁLISIS DE DIAFRAGMAS FLEXIBLES” . Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Cuenca. Concluyó que: cualquier método que se siga, sea el de la Flexibilidad como el de la Rigidez conduce a resultados similares. También, a lo largo de los ejemplos se puede corroborar que en el caso de los diafragmas flexibles, la contribución de los pórticos en el sistema está en dependencia de la rigidez-o flexibilidad- de los paneles. Que, en general, a medidas que esta rigidez se haga mayor, más se tiende al caso de los diafragmas rígidos, mientras menos rígidos tienden a una contribución cercana al del área tributaria. (p.10) Luis Alberto Montoya Coronado (2013) en su Tesis de máster “INFLUENCIA DE FLEXIBILIDAD DE LAS CONEXIONES EN EL COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE EDIFICIOS METÁLICOS”. Concluyó que encontraron beneficios utilizando uniones flexibles controlando su rigidez basada en la optimización de secciones. Dada su rigidez rotacional, puede analizarse la estructura, de modo que se optimice y regule la distribución de esfuerzos en la estructura. El empleo de uniones semirrígidas conlleva bastantes ventajas, dado que el Eurocódigo 3 permite su diseño parece razonable diseñar considerando desde las primeras fases, las uniones semirrígidas como una opción estructural más. También que su ejecución es rápida y sencilla, para uniones atornilladas, no requiere preparación de superficies, ni soldado de rigidizadores, ni el apretado de los tornillos hasta el par. En comparación con las uni ones rígidas y articuladas, son las que presentan mayor equilibrio entre los costos de mano de obra y de materia. Universidad Politécnica de Cataluña, España.

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Los modelos estudiados hasta ahora involucraban la estabilidad y equilibrio externo de la estructura. Para completar el análisis se hace necesario el conocimiento de las fuerzas internas en cada uno de los elementos que componen el sistema estructural. En este caso nos referiremos a los elementos tipo viga. Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incógnitas: una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas de extremo y aplicando el método de las secciones en cualquier punto de la viga nos daría como resultado un tramo de viga estáticamente determinado con tres ecuaciones estáticas disponibles y tres incógnitas por determinar. Observemos que la clave es conocer las fuerzas de extremo de elemento, es decir, aquellas que se ejercen en las uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructural y de ahí proceder a determinar las fuerzas internas por la estática. Podemos concluir que el elemento a analizar es estáticamente determinado así pertenezca a un sistema indeterminado. Esto explica porque la metodología y el objetivo de los métodos de análisis es determinar las fuerzas de unión y de ahí seguir con el análisis independiente de cada elemento. Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, considerarlo con sus fuerzas extremas como fuerzas de reacción y analizarlo hasta encontrar las fuerzas internas:

Notemos que al partir el elemento una sección ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a un apoyo de empotramiento, podemos decir, que las conexiones que se generan a lo largo del elemento son uniones rígidas y las fuerzas en cada sección son iguales y de sentido contrario. Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizará la siguiente convención: Cortante: Las fuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotación horaria del elemento

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Momento: Los momentos positivos son aquellos que producen concavidad hacía arriba en el elemento horizontal o tracciones en la fibra inferior. Para elementos verticales esta convención se puede complicar un poco por lo tanto regirá el criterio de dibujar el diagrama de momentos para la cara traccionada .

Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica tracción en el elemento. Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas de fuerza axial (P), diagramas de fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector (M). Los diagramas representan la variación de estas fuerzas a lo largo del elemento, dibujando en las abcisas la longitud del elemento y en las ordenadas el valor de la fue rza interna. Para axial y cortante los valores positivos se dibujan por encima del elemento pero para los momentos se dibujará el diagrama para el lado traccionado del elemento, así, si el elemento es horizontal el lado positivo del diagrama estará para abajo. La convención para momentos rige para cualquier ubicación de este en el espacio y es independiente del origen escogido, ya sea este en el extremo derecho o izquierdo del elemento. Relación entre momento cortante y carga En el caso de cargas distribuidas actuando perpendicular al elemento se puede encontrar una relación con las fuerzas internas de cortante y momento por medio del siguiente análisis de una sección infinitesimal del el emento.

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Aplicando equilibrio a la sección de viga indicada tenemos:

integrando a ambos lados, tenemos:

la variación del cortante en un tramo de viga dado es igual al área bajo la curva de carga. (note que el equilibrio se hizo con la carga negativa, por lo tanto no se debe involucrar otra vez su signo en la ecuación). dividiendo por dL a ambos lados tenemos: , donde podemos decir que la pendiente a la curva del diagrama de cortante es igual al negativo de la carga distribuida. Ahora con la ecuación de momentos tenemos:

considerando una longitud muy pe queña del trozo de viga analizado, el término con dL2 se aproxima a cero, y la ecuación nos queda

integrando:

de donde la segunda integral representa el área bajo la curva del diagrama de cortantes en un tramo de viga dado y podemos concluir que la variación del diagrama de momentos en un tramo de vigas es igual al área bajo la curva del diagrama de cortante. Dividiendo a ambos lados por dL, tenemos:

donde la pendiente del diagrama de momentos en cualquier punto es igual al valor del cortante en ese punto. MÉTODOS NUMERICOS

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Ejercicios Dibujar los diagramas de cortante, momento y curva elástica tentativa: Para los diagramas de momento se verificará la convención haciendo el ejercicio ubicando el origen en ambos extremos del elemento. Determinar en cada caso el eje coordenado de las ordenadas de la gráfica de momentos. De que depende la orientación del eje de momentos?. Es esta única para un elemento dado?. Podría determinar una manera fácil de orientar los ejes en elementos verticales y horizontales de acuerdo con la convención fijada. Cómo sería esa orientación en un marco?. En las estructuras tipo marco se sugiere trabajar encontrando primero las fuerzas de extremo de los elementos y después aplicar equilibrio a cada uno. Con estos ejercicios se pretende que el estudiante tomo conciencia de los momentos de continuidad en los nudos. Viga simplemente apoyada:

Tomaremos el ejemplo de un elemento simple, con fuerzas de extremo equivalentes a uniones de articulación. Se pide encontrar los diagramas de momento y corte. Se debe partir por encontrar las fuerzas de extremo del elemento y se recalca que el elemento, así pertenezca a un sistema estructural compuesto, debe estar en equilibrio estático, cumplir con las ecuaciones de equilibrio, considerando tanto las fuerzas de extremo o unión al sistema como las fuerzas externas actuando sobre él. FUERZA DE REACCION

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FUERZAS INTERNAS

 Note que el término es la s ección en el extremo izquierdo del elemento, por lo tan to este se puede expresar como

Construcción del diagrama de corte: Sabemos que el elemento está en equilibrio por lo tanto el diagrama empieza en cero y termina en cero. Cuando hay fuerzas puntuales estas implican un brinco igual a su valor en el diagrama de corte (variación brusca de este), el brinco se da en la misma dirección de la carga puntual aplicada. Recordemos que el valor –w es la pendiente del diagrama de cortante. Empezando por el lado izquierdo tenemos:

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Notemos que la sección del extremo se convierte en el cortante, así podríamos decir que Va = Ay y Vb = By. Punto donde el corte es cero: Si

entonces igualando V = 0 y despejando x, tenemos:

el punto de cortante cero se encuentra dividiendo el cortante de extremo por la carga w. Otra relación interesante es que nosotros podemos obtener el cortante en cualquier punto restando al cortante de extremo lo que llevamos de carga encima del tramo estudiado ( w.x ).

Construcción del diagrama de momentos: El diagrama empieza en cero y termina en cero. Cuando hay mome ntos de extremo o puntuales se i nterrumpe la continuidad del diagrama presentándose un brinco en éste. Si el momento puntual es positivo, el brinco será negativo y viceversa.

Recordemos que el valor del cortante es igual a la pendiente del diagrama de momentos. MÉTODOS NUMERICOS

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Retomando el ejemplo inicial y empezando por el lado izquierdo de la viga tenemos:

Según la convención fijada los momentos positivos producen tracciones en la parte inferior, por eso se coloca el eje positivo para abajo.

Notemos que con las pendi entes se puede trazar fácilmente el diagrama de momentos, inclusive nos muestra la curvatura. Sabemos que un momento positivo produce concavidad hacia arriba, por lo tanto la curvatura será hacia arriba.

Determinemos el valor del momento máximo considerando que este se presenta cuando el cortante es cero (siempre una pendiente igual a cero muestra los puntos máximos y mínimos de una curva).

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cuando , reemplazando en la ecuación de momentos tenemos:

para

OTROS TIPOS DE VIGA

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METODO DE LAS FUERZAS ( FUENTE:http://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap2.pdf ) El Método de las Fuerzas (M. flexibilidad), cuyas incógnitas son estáticas (fuerzas) y El Método de las Deformaciones (M. rigidez) cuyas incógnitas son geométricas (traslaciones y rotaciones). Recordemos que en las estructuras hiperestáticas debemos recurrir no sólo a las Condiciones de Equilibrio sino también a las Condiciones (ecuaciones) Suplementarias de Deformación. Aquí aparece la necesidad del anteproyecto y predimensionamiento, ya que las deformaciones dependerán de las cargas, pero también de las secciones adoptadas para los elementos constitutivos (vigas, columnas, etc.). Más precisamente las solicitaciones dependerán de las cargas y de las relaciones de rigideces de los distintos elementos. Podemos referirnos como “vínculos hiperestáticos o sobreabundantes” a aquellos vínculos externos o internos que podrían ser eliminados sin que el sistema se convierta en inestable. El número o cantidad de vínculos que se deben eliminar para que el sistema “hiperestático” se convierta en isostático se denomina “Grado de Hiperestaticidad”. Para una estructura dada el grado de hiperestaticidad es único y perfectamente definido, sin embargo, existe la posibilidad de elegir varias alternativas de conjuntos de vínculos que al eliminarse hacen isostática a la estructura, con la salvedad que en cada conjunto el número de vínculos es siempre el mismo. A modo de ej emplo veamos tres casos típicos:

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METODO DE LAS FUERZAS. Fuente:https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_flexibilidad  En ingeniería estructural, el Método de flexibilidad es el clásico método consistente en deformación para calcular fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas estructurales. Su versión moderna formulada en términos de la matriz de flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de Método de Matriz de Fuerza debido al uso de las fuerzas en los miembros como las primariamente conocidas

FLEXIBILIDAD EN LOS MIEMBROS La flexibilidad es el inverso de la rigidez. Por ejemplo, considera un resorte que tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y deformación: 

La relación de rigidez del resorte es Q = k q donde k es la rigidez del resorte.



Su relación de flexibilidad es q = f Q, donde f es la flexibilidad del resorte.



Por lo tanto, f = 1/k

la relación de flexibilidad de un miembro típico tiene la siguiente forma general:

   ∗  +    vector de las caracteristicas de deformacion del miembro vect or de fuerzas caracteristicas indempendientes del membro, las cuales son fuerzas internas desconocidas vector de deformaciones caracteristicas de los miembros causados por efectos externos ………….(1)

m= número de miembros de m

PRINCIPIO E HIPORTESIS FUNDAMENTALES: ( APUNTES: Ingeniero Moisés Torres) Principios básicos que se debería de suponer para realizar cualquier análisis estructural. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Teoría de las pequeñas deflexiones o deformaciones Linealidad Principio de superposición Principio de equilibrio Principio de compatibilidad Condiciones de contorno o frontera Unicidad de las soluciones

METODO DE LA FLEXIBILIDAD Son los desplazamientos debido a la aplicación de las fuerzas unitarias. MÉTODOS NUMERICOS

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4.1. OBJETIVOS 4.1.1.

OBJETIVO GENERAL Determinación de las fuerzas actuantes en una estructura, mediante el análisis matricial.

4.1.2. OBJETIVO ESPECÍFICO 

Encontrar cuando es necesario considerar el efecto de corte y cuando no



Resolución del sistema matricial para calcular las fuerzas, mediante la aplicación de los diferentes métodos.



Comparar los diferentes métodos de solución de matrices y elegir el más apropiado para la solución

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1. GENERALIDADES: Representar mediante un modelo matemático un sistema físico real. El propósito del análisis es determinar la respuesta del modelo matemático que está sometido a un conjunto de cargas dadas o f uerzas externas. Respuesta:  Esfuerzos, deformaciones  Propiedades de vibración  Condiciones de estabilidad Cargas:  Cargas estáticas (independientes del tiempo)  Cargas dinámicas (interviene el tiempo)  Generadas por cambios de temperatura (representada como carga) Para el problema estático:  







2. TIPOS DE IDEALIZACION A) ESTRUCTURAS RETICULARES 



Formada por elementos unidimensionales unidos en ciertos puntos llamados nudos. Se clasifican según la disposición (geometría) de elementos y tipos de unión:  Por geometría y aplicación de carga: PLANAS y ESPACIALES.  Por el tipo de conexión: ARMADURAS y PORTICOS RIGIDOS.

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En las estructuras reticulares se cumple:

B) ESTRUCTURAS CONTINUAS Ejemplo: cascarones, placas, sólidos de revolución, etc.  

El análisis se realiza mediante el Método de los Elementos Finitos. Los elementos a considerar no son lineales, tienen otras características.

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3. PRINCIPIOS DEL ANALISIS A) COMPATIBILIDAD Los de splazamientos nodales deben ser consistentes.

B) RELACION FUERZA-DEFORMACION Ley constitutiva del material. Hooke (Ley constitutiva para materiales elásticos)

C) EQUILIBRIO Toda las estructuras o cualquier parte de ella debe estar en equilibrio bajo la acción de cargas externas y fuerzas internas.

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D) CONDICIONES DE BORDE Caso particular de los principios de compatibilidad y equilibrio. 



Por compatibilidad: Condiciones de borde geométricas o cinéticas. Por equilibrio: Condiciones de borde naturales o físicas.

4. SISTEMAS DE COORDENADAS A) SISTEMA LOCAL DE REFERENCIA

El sistema local de referencia es propio para cada elemento e independiente uno del otro.

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5. GRADOS DE LIBERTAD

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6. CONVENCION DE SIGNOS

7. METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura estática determinada y estable. Luego, se obtienen soluciones complementarias que permiten restablecer la continuidad del sistema y debe resolverse un sistema de ecuaci ones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se apli ca la condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.

También denominado de la Flexibilidad, por los coeficientes que aparecen en el proceso de cálculo. Recordemos que en las estructuras hiperestáticas debemos recurrir no sólo a las MÉTODOS NUMERICOS

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Condiciones de Equilibrio sino también a las Condiciones (ecuaciones) Suplementarias de Deformación. Aquí aparece la necesidad del anteproyecto y pre dimensionamiento, ya que las deformaciones dependerán de las cargas, pero también de las secciones adoptadas para los elementos constitutivos (vigas, columnas, etc.). Más precisamente las solicitaciones dependerán de las cargas y de las relaciones de rigideces de los distintos elementos. Podemos r eferirnos como “vínculos hiperestáticos o sobreabundantes” a aquellos vínculos externos o internos que podrían ser eliminados sin que el sistema se convierta en inestable. El número o cantidad de vínculos que se deben eliminar para que el sistema “hiperestático” se convierta en isostático se denomina “Grado de Hipe restaticidad”. Para una estructura dada el grado de hiperestaticidad es único y perfectamente definido, sin embargo existe la posibilidad de elegir varias alternativas de conjuntos de vínculos que al eliminarse hacen isostática a la estructura, con la salvedad que en cada conjunto el número de vínculos es siempre el mismo. A modo de ejemplo veamos tres casos típicos: a) Vigas: Grado de hiperestaticidad = 2 Se elimina la continuidad en los apoyos mediante 2 articulaciones, quedando 3 vigas simplemente apoyadas. En el segundo caso se eliminan dos apoyos intermedios quedando una viga simplemente apoyada.

b) Pórticos:

El pórtico empotrado-empotrado es un hiperestático de tercer grado que lo puedo convertir en isostático en un caso introduciendo tres articulaciones en A, B, y C, que eliminan los vínculos que resisten momentos (2 externos y uno interno). También podemos llegar al isostático con una articulación en B (elimina momento flector), otra articulación en C (elimina reacción de momento) y la eliminación de la reacción horizontal en C convirtiendo el apoyo en móvil.

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c) Reticulados El número de vínculos a eliminar o grado es uno. Puedo en este caso eliminar un apoyo (vínculo externo) o una barra (vínculo interno). Señalaremos que en estos tres casos es posible elegir otros conjuntos de vínculos a eliminar que me producirán otros sistemas isostáticos asociados. Al isostático asociado por la eliminación de vínculos al sistema hiperestático lo denominamos “isostático fundamental”. Su elección depende del calculista, y puede tener importancia en la simplicidad del cálculo pero no en los resultados finales del mismo.

7.1- ESTRUCTURAS DE ALMA LLENA Desarrollemos la implementación del Método de las Fuerzas sobre un pórtico empotradoempotrado como el de la figura, cuyo grado de hiperestaticidad es 3, por lo cual debemos eliminar 3 vínculos. El primer paso es elegir el “isostático fundamental” (fig. b). En el mismo hemos introducido una articulación en C y al apoyo B que era de 3er grado (empotramiento) lo hemos convertido a uno de 1er grado (apoyo móvil) eliminando dos vínculos. Al cargar el sistema de la figura a) con las cargas P se producirá un estado de solicitaciones y un estado de deformaciones en el sistema hiperestático, cuyo cálculo es el objetivo de nuestro estudio. En caso de aplicar el mismo estado de cargas P al “isostático fundamental” de la figura b) se asociará un   estado de solicitación y de deformación, también en equilibrio (como en el caso a) pero distinto al verdadero. Para que en ambos casos el estado sea idéntico deberá agregar como cargas externas las solicitaciones que resistían los vínculos eliminados. A estas cargas externas momento flector en C, momento en B y reacción horizontal en B las denomino X1, X2 y X3 y constituyen nuestras “incógnitas hiperestáticas”, cuyo número es igual al “grado de Hiperestaticidad”.  El problema ahora se reduce a resolver la estructura isostática fundamental bajo la superposición del estado de cargas exteriores P y el verdadero valor de las incógnitas hiperestáticas X1, X2 y X3 que será totalmente equivalente al hiperestático bajo cargas P.

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Estudiemos ahora las deformaciones del isostático para los distintos estados de cargas para después superponer efectos.

Carguemos primero con las cargas P y se producirá un estado de solicitaciones M 0 N0 Q 0 y un estado de deformación del cual me interesan los 3 corrimientos correspondientes con X1, X2 y X3 que denominaremos:

 

(rotación relativa en la articulación) (rotación en el apoyo B) (corrimiento horizontal en B)

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

Como no conocemos el verdadero valor de X 1 cargamos con un valor unitario X 1 = 1tm, que nos produce solicitaciones M1 N1 Q 1 y corrimientos correspondientes

Idéntico significado tienen para la carga: X2 = 1t y para X3 = 1t

M2 N2 Q 2 M3 N3 Q 3

y y



En general designamos como δij al corrimiento correspondiente con Xi (incógnita) debido a una carga Xj = 1, reservando el subíndice j = 0 para las cargas exteriores P. Si ahora aplicamos el Principio de Superposición para las cargas P y los verdaderos valores de Xi (X 1 X2 X3), las deformaciones totales serán: Rotación Relativa 1 Rotación 2 Desplazamiento 3

     ++   ++   ++    00    +  +  +   0

Es inmediato que las deformaciones δ1 δ2 δ3 totales son nulas, pues así lo son en el hiperestático original por condiciones de vínculos, ya sean estos externos o internos. Hemos así planteado un sistema de ecuaciones basadas en condiciones de deformación con el mismo número de i ncógnitas Xi que de ecuaciones, con lo cual e s posible calcular las incógnitas hiperestáticas X 1 X2 X3. Las solicitaciones finales serán:

  ++   ++ ++     ++   ++  ++  De acuerdo con lo ya visto al tratar el cálculo por medio del Principio de los Trabajos Virtuales o por el Teorema de Castigliano, el cálculo de los Coeficientes de Flexibilidad se realiza por la expresión:

      .   ∫   + ∫ Ω  + ∫ Ω 

Dónde en estructuras de Alma llena se suelen despreciar los dos últimos términos respecto del primero, lo que equivale a despreciar las deformaciones debidas a esfuerzos Normales y de Corte y considerar solo las debidas a Momentos. Este último equivale a la hipótesis de rigidez axial considerando las rigideces EΩ y también GΩ de valores infinitos.

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7.2- ESTRUCTURAS RETICULADAS Siguiendo la misma metodología anterior, tratemos el caso de la figura con un grado de Hiperestaticidad igual a dos y analicemos el sistema original y el isostático fundamental al cual le hemos cortado la barra ab, en cuyo lugar aplicamos la incógnita X 1 y la incógnita X 2 que reemplaza al apoyo móvil C eliminado. Para el sistema de cargas P una barra i tendrá una solicitación Sio (esfuerzo normal). Si cargo con X1 = 1t tendremos solicitaciones Si 1 y para X2 = 1t las solicitaciones valdrán Si 2

Llamando ahora: |

   ∑= Ω. 

:   °    0,1,12, 2     ++   ++    00    + +

Podemos plantear que los corrimientos correspondientes con X 1 y X2 se deben anular.

Sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas que nos permiten obtener X 1 y X2 y con ellas los esfuerzos normales en las barras

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7.3- PORTICO ATIRANTADO (Estructura mixta) Tiene importancia didáctica por el análisis de las deformaciones que deben realizarse según sea la forma en que se desean aplicar las incógnitas. Supongamos un pórtico de Hormigón Armado que tiene un tensor de acero y está sustentado sobre dos apoyos fijos, con un estado de cargas P. El grado de hiperestaticidad es 2 y designamos con Ee, Eb, Ωe, Ib a los módulos de elasticidad del acero, del hormigón, la sección del tensor y los momentos de inercia de las barras de hormigón respectivamente.

El tensor de longitud le tiene únicamente esfuerzos normales y en el pórtico de hormigón Consideramos únicamente las deformaciones debidas a momentos. Elegimos el isostático fundamental haciendo móvil el apoyo e n el cual aplicamos la incógnita X1, y cortando el tensor tomando como incógnita la solicitación normal X 2. Tendremos entonces para cada estado los siguientes momentos en el pórtico y esfuerzos normales en el tensor:

Para cargas P:

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M0 (pórtico)

Ne0 = 0 (tensor)

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ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS X1 = 1t X2 = 1t

M1 M2

MÉTODO DE LAS FUERZAS Ne 1 = 0 Ne 2 = 1

Siendo Entonces

  ∫ .. .    ∫ .. .    ∫ .. .      ∫ .. .    ∫ .. . + ∫ ..Ω  .  ∫ .. . + 1. Ω .    +  +   0  +  +   0; donde obtendremos  y  y aplicando condiciones de deformación:

Analicemos ahora el mismo problema, pero en lugar de cortar el tensor, separémoslo completo para hallar el isostático fundamental, siendo nuestras incógnitas X 1 (reacción horizontal) y X 2 (acción del tensor sobre el pórtico, y sus contrarias acciones del pórtico sobre el tensor). Los diagramas de momentos para las cargas P, X 1 = 1 y X2 = 1 coincidirán con el caso anterior y serán M0, M1 y M2. Para el pórtico tendremos:

 ∗ ∫ 0..0 .   ∗ ∫ .. .   ∗ ∫ .. .   ∗  ∗ ∫ .. .   ∗ ∫ ..  ..

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MÉTODO DE LAS FUERZAS

 ∗∗  ∗∗++  ∗∗++   ∗∗ 0 ∗  ∗  ∗        .    .   Ω    Ω 

Planteando las condiciones de deformación: Corrimiento en el apoyo móvil Corrimiento relativo de A; B Analicemos

en el pórtico y el alargamiento del tensor

.



positivo en el caso de la figura con X 2>0, produciéndose un alargamiento del tensor. Para esta misma suposición de tracción en el tensor al analizar en el pórtico el signo de veremos que el corrimiento relativo correspondiente con X 2 es negativo, pero el mismo valor que del



y por lo tanto:

 ∗   .Ω   ∗  ∗+  ∗+ ∗ 0   ∗  ∗  ∗+  ∗+   ∗+  Ω  0

Sistema de ecuaciones idéntico al encontrado en el análisis anterior con el tensor cortado. La variedad de estructuras hace que pudiéramos plantear otros ejemplos interesantes pero sólo diremos que el esquema de razonamiento es en todos los casos similar y sólo aparecerían variantes en la forma de calcular los coeficientes   y de plantear las condiciones de compatibilidad de deformaciones.



Resumiendo, el método de las fuerzas consiste en: 1) Elección del isostático fundamental eliminando un número de vínculos igual al grado de hiperestaticidad y quedando definidas las i ncógnitas X 1 X2 X3......Xn. 2) Cálculo en el isostático de los diagramas de solicitaciones para cargas exteriores (M0 N0 Q o). 3) Cálculo en el isostático de los diagramas de solicitaciones para cada para cada una de las n Xi = 1 (Mi Ni Qi). 4) Cálculo de los coeficientes

5) Cálculo de los coeficientes

MÉTODOS NUMERICOS

  ∫ ..  .….   ∫ .. .…. pág. 30

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MÉTODO DE LAS FUERZAS

6) Planteo de las condiciones de deformación que dan un sistema de n ecuaciones con n incógnitas que resuelto nos da como solución Xi. 7) Obtención de los diagramas de solicitaciones por superposición de efectos. El planteo matemático se puede resumir.

   ̅     ⋮    10 ⃗    [20⋮ ] 0 1      ⋯    ()  ⋮ ⋮ ⋯⋱ ⋮  

1) Definición del vector incógnita

2) Cálculo del vector carga

3) Cálculo de la matriz de los Coeficientes (de flexibilidad)

Matriz simétrica (ya que

   ⃗ +  × ⃗  0  ⃗  − × ⃗     +∑ ×   =

cumplen, además, que todos los

) respecto de la diagonal principal donde se  son positivos.

4) Planteo del sistema de ecuaciones: 5) Resolución del sistema

6) Diagrama de solicitaciones (S)

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 31

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MÉTODO DE LAS FUERZAS

7.4- MATRIZ β ( INVERSION DE LAMATRIZ DE LOS COEFICIENTES): Para el caso de tener que resolver una estructura varias veces por existir numerosos estados de carga, y poder dimensionar luego cada elemento con la superposición de los estados que den las solicitaciones más desfavorables, es útil un planteamiento del problema mediante la aplicación de la Matriz β. Particularmente es apto para la solución de Líneas de Influencia en sistemas hiperestáticos. Damos por conocido el cálculo de la inversa de una matriz cuadrada. Sea la Matriz de los coeficientes (simétrica)

   ⋯    ()  ⋮ ⋮ ⋯⋱ ⋮  ;      −          −    || −   1     −

Y la matriz inversa

Por simetria tanto

 tal que

 como

 serán igualesa sus traspuestas:

   −  −           − × ⃗   ||  × ⃗         −  (| |)  (| | )          ×  ×     11 12 1 ⋯     ⋮21 ⋮22 ⋯⋱ ⋮2 [ 1 2 ]

Vimos en el final del tema anterior:

Y denomoinado con el nombre de Matriz  a:

Que también es simétrica: Será:

Con

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 32

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MÉTODO DE LAS FUERZAS

     ++  ++ ⋯+  ⋯+  ⋮    +  + ⋯+     110 +220 +⋯+10   ∑1  0              ∑1  0 Que desarrollada queda:

O en forma resumida:

Expresión que nos da el valor de la incógnita como una suma de productos de coeficientes que no dependen del estado de cargas sino solo de los cargas

, multiplicados por términos de

.

Calculados los

 para cada estado de cargas sólo necesitaré calcular los

 y aplicar la

expresión:

Para hallar las incógnitas hiperestáticas Xi.

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 33

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

PROBLEMA: Resolver la viga mostrada, considerando que es de sección constante.

Solución Determinamos el grado de indeterminación de la viga:

. .   5 3  2

Como la viga es dos veces hiperestática, entonces eliminamos los apoyos movibles C y D y los reemplazamos por cargas unitarias, graficando sus diagramas, uno ante las cargas reales, otro ante la carga unitaria en C y el otro ante la carga unitaria en D. Para ello, debemos de resolver el sistema de ecuaciones canónicas:

  ∫  ×  ×   1  12 × 30 × 40 × 23 × 40 + 12 × 40 ×40 × 23 × 40  37333. 33     ∫  ×  ×     1  12 × 30 ×40 × 23 × 70 + 630  40 × 70 + 4 ×25 ×55 + 10 ×40 + 610  10 ×40 + 4 × 5 × 35 + 0     73333. 33   ∫  ×    1  12 × 30 × 70 × 23 × 70 + 12 × 70 ×70 × 23 × 70  163333. 33 ∆ ∫  ×     1  × 12 × 15 ×1675 × 23 × 20  156 1675 × 20 + 4 ×2737,5 ×30 + 3800 × 40  630  3800 ×40 + 4 × 2300 × 25 + 800 × 10   610  800 × 10 + 4 ×600 × 5 + 0   3435833, 33 ∆ ∫  ×     1  × 12 × 15 ×1675 × 23 × 35  MÉTODOS NUMERICOS

pág. 34

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MÉTODO DE LAS FUERZAS

156 1675 ×35 + 4 × 2737,5 × 52,5 +3800 ×70   630  3800 ×70 + 4 × 2300 × 55 +800 ×40   620  800 ×40 + 4 × 400 ×30 + 0 6 7  6828541, 6 37333, 33  + 73333, 33  + 3435833, 33  0 73333, 33  + 163333, 33  + 6828541, 67  0

Luego, reemplazamos l os valores obtenidos en el si stema de ecuaci ones canónicas, quedando de la si guiente manera:

UTILIZANDO EL PROGRAMA DE MATLAB (GAUSS SIMPLE):

De donde:

MÉTODOS NUMERICOS

   83,4,1932↑↑   pág. 35

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MÉTODO DE LAS FUERZAS

También se puede hallar las reacciones por el método de Gauss Seidel:

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 36

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MÉTODO DE LAS FUERZAS

Iteraciones: x1=90.06697233x2=1.36916737

x1=84.00114782x2=4.09259872

x1=83.92663016x2=4.12605562

x1=89.34182210x2=1.69474502

x1=83.99222458x2=4.09660507

x1=83.92650566x2=4.12611152

x1=88.70229456x2=1.98187983

x1=83.98435496x2=4.10013836

x1=83.92639585x2=4.12616082

x1=88.13827973x2=2.23511097

x1=83.97741456x2=4.10325447

x1=83.92629902x2=4.12620430

x1=87.64086139x2=2.45844164

x1=83.97129365x2=4.10600263

x1=83.92621361x2=4.12624264

x1=87.20217612x2=2.65540237

x1=83.96589547x2=4.10842630

x1=83.92613829x2=4.12627646

x1=86.81528896x2=2.82910681

x1=83.96113468x2=4.11056380

x1=83.92607187x2=4.12630629

x1=86.47408380x2=2.98230096

x1=83.95693603x2=4.11244891

x1=83.92601328x2=4.12633259

x1=86.17316670x2=3.11740659

x1=83.95323313x2=4.11411143

x1=83.92596162x2=4.12635579

x1=85.90778063x2=3.23655951

x1=83.94996746x2=4.11557765

x1=83.92591605x2=4.12637624

x1=85.67373023x2=3.34164337

x1=83.94708739x2=4.11687075

x1=83.92587587x2=4.12639429

x1=85.46731551x2=3.43431936

x1=83.94454738x2=4.11801116

x1=83.92584043x2=4.12641020

x1=85.28527338x2=3.51605256

x1=83.94230729x2=4.11901691

x1=83.92580917x2=4.12642423

x1=85.12472601x2=3.58813505

x1=83.94033169x2=4.11990391

x1=83.92578160x2=4.12643661

x1=84.98313540x2=3.65170635

x1=83.93858937x2=4.12068618

x1=83.92575729x2=4.12644752

x1=84.85826321x2=3.70777141

x1=83.93705277x2=4.12137608

x1=83.92573585x2=4.12645715

x1=84.74813540x2=3.75721655

x1=83.93569761x2=4.12198452

x1=83.92571695x2=4.12646564

x1=84.65101102x2=3.80082341

x1=83.93450246x2=4.12252112

x1=83.92570027x2=4.12647312

x1=84.56535468x2=3.83928136

x1=83.93344843x2=4.12299436

x1=83.92568556x2=4.12647973

x1=84.48981227x2=3.87319835

x1=83.93251885x2=4.12341172

x1=83.92567259x2=4.12648555

x1=84.42318960x2=3.90311058

x1=83.93169903x2=4.12377980

x1=83.92566115x2=4.12649069

x1=84.36443345x2=3.92949089

x1=83.93097602x2=4.12410442

x1=83.92565107x2=4.12649522

x1=84.31261498x2=3.95275632

x1=83.93033837x2=4.12439071

x1=83.92564217x2=4.12649921

x1=84.26691501x2=3.97327467

x1=83.92977602x2=4.12464320

x1=83.92563432x2=4.12650273

x1=84.22661111x2=3.99137030

x1=83.92928007x2=4.12486587

x1=83.92562740x2=4.12650584

x1=84.19106612x2=4.00732928

x1=83.92884267x2=4.12506225

x1=83.92562130x2=4.12650858

x1=84.15971813x2=4.02140388

x1=83.92845692x2=4.12523544

x1=83.92561592x2=4.12651100

x1=84.13207158x2=4.03381662

x1=83.92811672x2=4.12538819

x1=83.92561117x2=4.12651313

x1=84.10768942x2=4.04476371

x1=83.92781669x2=4.12552289

x1=83.92560698x2=4.12651501

x1=84.08618620x2=4.05441822

x1=83.92755209x2=4.12564170

x1=83.92560329x2=4.12651667

x1=84.06722199x2=4.06293276

x1=83.92731872x2=4.12574647

x1=83.92560004x2=4.12651813

x1=84.05049700x2=4.07044194

x1=83.92711292x2=4.12583887

x1=84.03574682x2=4.07706447

x1=83.92693141x2=4.12592037

x1=84.02273828x2=4.08290504

x1=83.92677134x2=4.12599224

x1=84.01126573x2=4.08805598

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 37

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODOS NUMERICOS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

pág. 38

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODOS NUMERICOS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

pág. 39

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

METODO DE LA FLEXIBILIDAD

Se predice la posible deformada

 ∗  ∗

Se determina la matriz de fl exibilidad de la estructura [F]=

Define el sistema de coordenadas globales (S.C.G.) y locales (S.C.L)

Se determina la matriz de equilibrio [B], esta matriz transforma las fuerzas externas en fuerzas internas.

 

Se determina la matriz de flex ibilidad del elemento [ ]

    ∗∗ ∗∗          ∗∗ ∗∗    

Calculo de las fuerzas en los elementos. q= [B]*[Q]

Calculo de las deformaciones d= f*q

Calculo del desplazamiento D=[F]*[Q]

   −∗    ∗  MÉTODOS NUMERICOS

   ↓     ∗    ∗ 

pág. 40

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

 :    

MÉTODO DE LAS FUERZAS

LEYENDA

: Fzas externas conocidas. :  Fzas externas reactivas (desconocidos). :  Desplazamiento en los nodos (desconocidos).

Desplazamiento en las restricciones liberadas (condición de frontera o compatibilidad). : Matriz de flexibilidad de cada elemento.

:   Matriz de flexibilidad unificado en una diagonal de todos los

elementos. [F]:  Matriz de flexibilidad de toda la estructura :  Vector de fuerzas externas, incluida la reacciones.

q:  Vector de fuerzas internas d:  Vector de deformación [B]:  Matriz de equilibrio

:

:  Elementos de equilibrio, relacionados al SCG

  Elementos de equilibrio, relacionados a las fuerzas equivalentes de los apoyos sustraídos, para tener una estructura

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 41

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

Seudocódigo para instaurar la eliminación de Gauss por pivote  parcial

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 42

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

Seudocódi go para un algor itm o de descomp osición LU.

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 43

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

Seudocódigo para el método de Gauss-Seidel con relajación.

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 44

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

1.1.

MÉTODO DE LAS FUERZAS

PROGRAMA DEL MÉT ODO DE MATLAB (MÉTODO DE GAUSS SIMPLE):

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 45

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS



MÉTODO DE LAS FUERZAS

Con el Método de guaus Jordán (simple) se hallaron las reacciones de los apoyos de la viga hiperestática de 2 Gl, teniendo como resultado. X1=83.92 Kips X2=4.13 Kips



Con el método de Gauss seidel, se obtuvieron estos resultados X1=83.9256 Kips con 100 iteraciones X2=4.1265 Kips

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 46

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

El método de guaus Jordán (simple), puede aplicar a un sistema de “n” ecuaciones, pero a la vez tiene limitaciones, porque en su proceso iterativo no identifica la matriz singular que restringe el desarrollo, objeto que si tienen los métodos consecuentes a él. Pero es un método general, que en el desarrollo de una viga de dos grados de hiperestaticidad funciono de una forma más eficiente que los métodos, que Gauss Seidel, Jacobi, Eliminación de Gauss Regresiva Ventajas y desventajas de los métodos iterativos comparados con los métodos directos. Ventajas *Probablemente más eficientes que los directos para sistemas de orden muy alto. *Mas simples de programar. *Puede aprovecharse una aproximación a la solución ,si tal aproximación ex iste. *Se obtienen fácilmente aproximando burdas de la solución. *Son menos sensibles a los errores de redondeo (valioso en sistemas mal condicionados). *Se requiere menos memoria de máquina. Generalmente, las necesidades de memoria son proporcionales al orden de la matriz. Desventajas *Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representará ahorro de cálculos ni tiempo de máquina, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método seleccionado. *Aún cuando la convergencia este asegurada, puede ser lenta y ,por lo tanto, los cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles. *El tiempo de máquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia. *Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela. *No se tiene ventaja particular alguna(tiempo de máquina por iteración) si la matriz coeficiente es simétrica. *No se obtiene la inversa de A ni el determinante de A.

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 47

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

MÉTODO DE LAS FUERZAS

El método de flexibilidad es un método complejo ya que abarca sistema hiperestático, se recomienda para hallar en primera instancia las deformaciones, desplazamientos y luego las fuerzas externas e internas, a comparación del método de rigidez que se haya primero las fuerzas y luego los desplazamientos. En la resolución de este problema de viga de GL=2, es más conveniente usar el método de Gauss Jordán que le método Gauss Seidel, porque en el método del ultimo (programa matlab), se requiere el número de iteraciones y de un punto de inicio para partir con las iteraciones.

MÉTODOS NUMERICOS

pág. 48