Método de Las Flexibilidades

 

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Análisis Estructural

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2.2 Método de las fuerzas o de las flexibilidades (Método de las Fuerzas)

El método de las flexibilidades sirve para calcular estructuras hiperestáticas. Las incógnitas en este método son las fuerzas o momentos. 2.2.1 Solución particular y solución complementaria

La solución de una estructura hiperestática se logra mediante la superposición de desplazamientos de estructuras isostáticas que se les puede llamar estructuras primarias. La estructura primaria no es única ya que depende de la selección que se haga de las incógnitas o redundantes y la mejor de ellas será la que involucre el mínimo de trabajo numérico. Para obtener la estructura primaria, se hace la supresión de apoyos, a la transformación de un tipo de apoyo en otro más simple, o por una ruptura de la elástica de la estructura, que puede ser angular, lateral o longitudinal. La condición que debe cumplir una estructura primaria es que debe ser estable e isostática.

 Soluc  So lucii ón particul rticula ar : Es la estructura primaria sobre la cual actúan las fuerzas externas e xternas  Soluc  So lucii ón co com mple lem ment nta ari a: Es la estructura primaria sobre la cual actúan cada una de las redundantes o incógnitas 2.2.2 Análisis de vigas y marcos : En el siguiente ejemplo se ilustra ilustra la solución de este este tipo de estructura, Fig.1

 La metodología o procedimiento es el siguiente: siguiente: 1.  Eliminar o suprimir el número necesario de redundantes para hacer que la estructura sea estáticamente determinada y estable 2.  Suprimir también el sistema de cargas aplicadas (estructura primaria) 3.  Aplicar el sistema de cargas a la estructura primaria (Solución Particular) 4.  Aplicar las redundantes como valores unitarios, para evaluar las flexibilidades a la estructura primaria (solución complementaria) 5.  Correlacionar las deformaciones producidas por la solución particular y la solución complementaria (ecuaciones de compatibilidad) 6.  Resolver el sistema de ecuaciones de compatibilidad, lo cual no proporcionara la solución final

 

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Estructura real

Estructura primaria

D1

D2

R

f 

1

Fig. 1 Análisis de viga

 Ecuación de compatibilidad

              

Solución particul par ticular ar

Solución complementaria

 

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 2.2.3  2.2 .3 A ná nálisi lisiss de arm rma adura urass En el análisis de armaduras hiperestáticas, al aplicar le método de las flexibilidades para el cálculo de las fuerzas en las barras, el problema se puede presentar según que el grado de hiperestaticidad externo, interno o ambos. Por ejemplo en la armadura de la Fig.2, el grado de hiperestaticidad es uno y proviene de un apoyo, o sea externo:

Fig. 2 Armadura con grado de hiperestaticidad uno

La ecuación de compatibilidad sería, suponiendo como incógnita, la reacción central, que la deformación vertical en ese punto es nula. La fuerza en las barras se obtendrían, una vez calculado el valor de la incógnita, sumando algebraicamente las fuerzas debidas a la estructura primaria sometida a las cargas externas y el efecto de la fuerza redundante, Fig. 3

Fig. 3, Armadura, solución particular y solución complementaria co mplementaria

 

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Los coeficientes de flexibilidad debidos a efectos axiales, se determinan mediante la expresión:

  

 

  

  Cuando la hiperestaticidad en las armaduras es de origen interno como en el caso de la Fig. 4

Fig. 4 Armadura hiperestática internamente de primer grado La estructura primaria se formará “cortando” una de las barras, Fig. 5 y el problema se reduce a aplicar una ecuación de compatibilidad del miembro o barra liberada, o sea.

      

Fig. 5 Armadura con un elemento “cortado o liberado”  liberado”  

 

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Para obtener los valores de ( (  ) y ( ), lo más conveniente es el uso de tablas semejantes a las que se utilizaron para calcular desplazamientos por el método de trabajos virtuales en armaduras.

Barra

P

p

L

A



AB BC CD DA DB AC  

    

    



    

      

 ⏞   

2.2.4 Estructuras con asentamientos en los apoyos

Cuando las estructuras presentan hundimientos diferenciales debidos a asentamientos de sus apoyos, la solución de las mismas mediante el método de las flexibilidades, se hace seleccionando como redundantes las fuerzas existentes en los puntos en que se presentan los asentamientos, debido a que de esta forma, bastará con igualar en la ecuación de compatibilidad el valor del desplazamiento vertical al valor del asentamiento, en lugar de igual a cero, Fig. 6 El signo que deberá darse al desplazamiento del segundo miembro de la ecuación de compatibilidad y que corresponde al valor del asentamiento diferencial quedará definido  por el sentido con el que fue supuesto supu esto la fuerza en el apoyo; si coincide con el sentido senti do de la fuerza será positivo y en caso contrario negativo. En la Fig.6, es evidente que en la ecuación de compatibilidad de desplazamientos verticales, deberá igualarse a ( ).

            El caso de rotaciones de los apoyos, deberá tratarse en forma semejante, planteando la ecuación de compatibilidad con base en que el giro en el apoyo es igual a la rotación del mismo, aplicando la misma regla que se dio para los signos.

 

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Fig. 6 Marco con asentamiento en uno de sus apoyos

2.2.5 Estructuras sobre apoyos elásticos

Cuando las estructuras están apoyadas en tal forma que no se limita totalmente el desplazamiento, pero que sí presenta oposición al desplazamiento libre en esos puntos, se les llama apoyos elásticos. La restricción que tiene es proporcional al desplazamiento provocado y su valor es:

           En la cual (  ) se le lama constante de proporcionalidad de apoyo. Dichas constantes, tiene unidades de fuerza entre desplazamiento. Los apoyos elásticos se presentan como sigue, Fig. 7:

Fig. 7 Viga con apoyo elástico

 

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Cuando las estructuras están sobre apoyos elásticos, es conveniente que las redundantes sean fuerzas en los resortes, en tal forma que al plantear las ecuaciones de compatibilidad, los desplazamientos en los resortes sean iguales a la fuerza en el resorte dividido entre la constante de rigidez del mismo. El signo de este segundo miembro será negativo, ya que la fuerza aplicada del resorte a la estructura es de sentido contrario a su desplazamiento,  provocando un trabajo negativo. Para la estructura de la Fig. 7, la ecuación de compatibilidad se escribiría de acuerdo con la Fig. 8

Fig. 8 Viga con apoyo elástico, a) Solución particular, b) Solución complementaria

En donde:

            

Ecuación de compatibilidad.

          