Metodo de Jacobi

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Instituto de estudios Superiores

Trabajo de métodos numéricos

Docente: Msc.Ing. Daysi Ñurinda Espinoza Elaborado por:    

       

Abner Noel Jarquín García Sergio Alejandro Molina Pérez Roddy Wilbert Duarte Taleno Marvin Javier Rivas Espinoza

Grupo: 2M2-C

Fecha: 5 de febrero de 2019

 

 

Introducción: En análisis numérico el método de Jacobi es un método En análisis un método iterativo, iterativo, usado  usado para resolver   sistemas sistemas de ecuaciones lineales del Ax=b El algoritmo El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. 

Objetivos: Entender los conceptos: Métodos iterativos Ecuaciones de recurrencia Convergencia Matriz diagonalmente dominante Formular en forma matricial un sistema de ecuaciones lineales. Dado un sistema de ecuaciones Ax=b y la matriz del método N, Construir el método iterativo Formular en forma matricial matricial el método iterativo Jacobi ccorrespondiente orrespondiente a un sistema Ax=b

Desarrollo La base del método consiste en construir una sucesión una  sucesión convergente  convergente definida definida  iterativamen iterativamente. te. El  El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema 

 

a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=c1 a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=c2  a31x1+a32x2+a33x3+…+a3nxn=c3 

an1xn+an2xn+an3x3+…+annxn=cn

 Ax=B Para su resolución se dice que A va hacer igual a una matriz diagonal menos una matriz triangular inferior menos la triangul triangular ar superior que su formula seria  A=D-L-U

Ejemplos: • Con un vector inicial 

X1 = 0 X2 = 0 X3 = 0

Resolver por el método de Jacobi, el siguiente s iguiente sistema de ecuaciones: 6x1 + 2x2 + x3 = 22 -x1 + 8x2 + 2x3 =30 x1 - x2 + 6x3 =23

Solución: 1. Despejamos la variable x de ccada ada una de las ecuacion ecuaciones es como sigu sigue: e:

 

(−−)   x1 =  (+−)   X =  2

X3=

  (−+) 

2. Para un vector inicial (0 ; 0 ; 0) hallo los valores de x1, x2, xx3. 3.

−()−() x1 =    +()−()   X =  2

X3=

  −()+() 

3. Teniendo para nues nuestra tra primera iteración los siguientes valores: X1= 3,67

X2= 3,75

X3= 3,83

4. Reemplazamos en las ecuaciones despejadas inicialmente los valores obtenidos anteriormente e iteramos hasta que Ea < Ea  < 1%

1era interacción x0 (0,0,0)t Error= 0.01

−()−()  =3.67 x1 =  +()+() x2 =  =3.75  −()+() x3 =  =3.83 

 

Error 

√ ()  ()  ()  

√ (  . )  (  . )  (  . )