Método de Jacobi

Método de Jacobi En análisis numérico el numérico el método de Jacobi es un método iterativo, iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del lineales  del tipo . El algoritmo algoritmo toma  toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. Jacobi . El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo. fijo. Índice

[ocultar •

!"escripción

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#Convergencia

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$ %lgoritmo

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&Ejemplo

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'(éase también

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)Enlaces e*ternos

Descripción[editar  +a base del método consiste en construir una sucesión convergente convergente definida  definida iterativamente iterativamente.. El lmite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. % efectos efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un n-mero finito de pasos se llega a una apro*imación al valor de  x  de  de la solución del sistema. +a sucesión se construe descomponiendo la matri/ matri/ del  del sistema sistema en la forma forma siguiente0 donde , es una matri/ diagonal  diagonal   , es la suma de una matri/ triangular  inferior   inferior  una matri/ triangular superior , luego . 1artiendo de , podemos reescribir dic2a ecuación como0 +uego, 3i a  4 5 para cada i . 1or la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser e*presado de la forma0 ii 

donde es el contador contador de iteración, iteración, 6inalmente tenemos0 9!: Cabe destacar 7ue al calcular  x 8 9!:  se necesitan todos los elementos en  x 8 :, e*cepto el 7ue tenga el mismo i . 1or eso, al contrario 7ue en el método Gauss;3eidel, Gauss;3eidel, no se puede 8 : 8 9!: 9!: sobreescribir  x  con  x  , a 7ue su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi  Gauss;3eidel. +a cantidad mnima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n,  será necesario reali/ar un copiado e*plcito. k 

k 

i  i 

k 

i  i 

k 

i  i 

Convergencia[editar  El método de Jacobi siempre converge si la matri/  A es estrictamente diagonal dominante  puede converger incluso si esta condición no se satisface. 1ara verificar la convergencia del método se calcula el radio espectral 8#)

error relati#o)

Otras veces se calcula la norma $el resi$ual #  r   N tol  , donde r = b - A

 (>#B)

6.2.1 Forma matricial del método de Jacobi.

 para

,