Metodo de Integracion Por Fracciones Parciales

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE INGENIERIA INDUSTRIAL “MÉTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES”

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA INDUSTRIAL

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN “MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES” CURSO: CÁLCULO II DOCENTE: Ing. ….. Alumna: 

Damaris Cabellos Chilón.

FECHA DE PRESENTACION: 23/06/2015

CAJAMARCA- PERÚ 2015 “ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

1

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ÍNDICE DEDICATORIA

3

I.

4

INTRODUCCIÓN 1.1.

II.

OBJETIVOS

5

OBJETIVO GENERAL

5

OBJETIVOS ESPECIFICOS

5

1.2.

MARCO TEORICO

6

1.3.

BREVE RESEÑA HISTORICA

6

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES 2.1.

CASOS ESPECIALES DEL MÉTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

8 13

2.1.1.

CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS

14

2.1.2.

CASO 2: FACTORES LINEALES IGUALES

15

2.1.3.

CASO 3: FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS

16

2.1.4.

CASO 4: FACTORES CUADRÁTICOS IGUALES

17

2.2. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS – METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

18

2.2.1.

EJERCICIO N° 01

18

2.2.2.

EJERCICIO N° 02

19

2.2.3.

EJERCICIO N° 03

20

2.2.4.

EJERCICIO N° 04

21

2.2.5.

EJERCICIO N° 05

23

2.2.6.

EJERCICIO N° 06

24

2.2.7.

EJERCICIO N° 07

25

2.2.8.

EJERCICIO N° 08

28

2.2.9.

EJERCICIO N° 09

29

2.2.10.

EJERCICIO N° 10

30

2.2.11.

EJERCICIO N° 11

31

RECOMENDACIONES

33

CONCLUSIONES

34

BIBLIOGRAFÍA Y LINKOGRAFIA

35

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

2

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DEDICATORIA

Este trabajo de investigación lo dedicamos a nuestros docentes de la Universidad Privada del Norte, que día a día nos enseñan que con la perseverancia y la constancia se pueden lograr muchas cosas en la vida. A nuestros padres, que gracias a Dios los tenemos nuestro lado, y son cómplices en nuestro aprendizaje, en nuestra formación tanto personal como profesional.

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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I.

INTRODUCCIÓN

Dentro del amplio mundo de las Matemáticas, existe una herramienta muy poderosa, El cálculo (Calculo diferencial e integral), asimismo existen muchos métodos de integración, unos de los cuales es el método de integración por fracciones parciales, este tema provee una visión de conjunto de la matemática como herramienta para representar y estudiar los procesos de cambio e integra tres métodos para hacerlo: el de las ecuaciones, el de las coordenadas y el de limite. Permite, al iniciarse la formación profesional o al terminar la preuniversitaria, reconocer en el cálculo infinitesimal un instrumento de análisis de los fenómenos y un lenguaje preciso y claro en la ciencia. En particular, el que se imparta en el propedéutico, obedece a la necesidad educativa planteada por la heterogeneidad en la formación de los estudiantes que ingresan a este nivel. El curso parte de la premisa de que el alumno ha aprendido los elementos de algebra, geometría, y geometría analítica; básicos para comprender los conceptos y usar las herramientas del cálculo. Suele pasar por ejemplo, que cuando se tiene la necesidad de resolver integrales que no son posibles resolverlas por métodos comunes, es indispensable usar fracciones parciales; las mismas que se dan en cuatro pasos:  Fracciones lineales distintas.  Fracciones lineales iguales.  Fracciones cuadráticas distintas.  Fracciones cuadráticas iguales.

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1.1.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL  Comprender, analizar y desarrollar el método de integración por fracciones parciales.

OBJETIVOS ESPECIFICOS  Entender el mecanismo de descomposición de una función racional en fracciones parciales.  Propiciar el desarrollo de la visión del mundo que dan las ciencias; en particular, reconocer que la matemática es un lenguaje preciso y claro que permite plantear hipótesis respecto a la dinámica de la naturaleza.  Desarrollar

habilidades

de

solución

de

ejercicios

matemáticos

fundamentados en conocimientos previos como descomposición de fracciones parciales.

ALCANCE O DELIMITACION DE LA INVESTIGACION DELIMITACION ESPACIAL: La investigación se ha dado en la biblioteca de nuestra universidad y en el domicilio del investigador, ya que se ha tomado muchas referencias bibliográficas. DELIMITACION TEMPORAL La investigación ha durado aproximadamente dos semanas, del 10 al 21 de Junio del 2015.

LIMITACIONES DE LA INVESTIGACION Solo se desarrollaran manualmente los ejercicios referentes a el método de integración por fracciones parciales, mas no se usaran software como el derive, Matlab, etc.

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1.2.

MARCO TEORICO

MÉTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES El uso de las fracciones parciales ha permitido solucionar múltiples problemas en el álgebra superior y de ahí su gran importancia en aprenderlas para aplicarlas a la solución de algunas integrales especiales. FRACCION PARCIAL Una fracción parcial es el resultado del proceso de descomposición de una función racional en fracciones simples o parciales.

1.3.

BREVE RESEÑA HISTORICA

JHON BERNOULLI (1667 - 1748) El método de descomposición de las fracciones simples o parciales fue introducido por John Bernoulli, matemático suizo cuyas investigaciones fueron fundamentales en el desarrollo temprano del cálculo. John Bernoulli fue profesor en la universidad de Basilea donde conto con ilustres discípulos, el más famoso fue Leonhard Euler.

A la izquierda, Jhon Bernoulli, junto a su discípulo Leonhard Euler; grandes matemáticos que introdujeron el método de fracciones parciales. “ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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OLIVER HEAVISIDE (1850 - 1925) Conocido por su afamado “Método de Heaviside”, que permite calcular las constantes de los desarrollos en fracciones parciales para fracciones racionales propias; este físico – matemático ingles nunca recibió una educación formal, sin embargo genero métodos prácticos para convertir fracciones complejas en fracciones simples o parciales.

Oliver Heaviside; gran matemático ingles que propuso el método que lleva su nombre para desarrollar las fracciones parciales.

Este método consiste en encontrar las variables de los denominadores de las fracciones parciales empleando los puntos críticos al factorizar. “ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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II.

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

En este capítulo examinaremos un procedimiento para descomponer una función racional en funciones racionales más simples para poder aplicar las formulas básicas de integración. Este procedimiento se llama “Método de las fracciones simples o parciales”. Para ver el beneficio del método de las fracciones simples. Para comprender con claridad y precisión el tema de las fracciones parciales, veremos a continuación el desarrollo paso a paso de la transformación de una fracción compleja en fracciones simples o parciales, como se muestra a continuación: Procedimiento para: Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

Paso 1: Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador. Paso 2: Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles, ax 2  bx  c , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la



forma  px  q  , donde m  1 o ax 2  bx  c m



n

los números m y n no pueden ser

negativos. Paso 3: Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido. “ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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A B   ... primer factor segundo factor

Ejemplo 1: Determinar la descomposición en fracciones parciales de:

4 x 2  13x  9 x 3  2 x 2  3x Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una división larga.

Segundo: factorizo el denominador





x 3  2 x 2  3x  x x 2  2 x  3  xx  3x  1

Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma

4 x 2  13x  9 A B C    3 2 x  2 x  3x x x  3 x  1

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

4 x 2  13x  9  Ax  3x  1  Bx x 1  C x x  3

Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga: Opero los paréntesis



 

 

4 x 2  13x  9  A x 2  2 x  3  B x 2  x  C x 2  3x “ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

 9

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Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado así:



      2 Ax  3 A  Bx  Bx   Cx  3Cx 

4 x 2  13x  9  A x 2  2 x  3  B x 2  x  C x 2  3x



4 x  13x  9  Ax 2

2

2

2

4 x 2  13x  9  Ax 2  2 Ax  3 A  Bx 2  Bx  Cx 2  3Cx

Multiplico las letras en los paréntesis Quito los paréntesis

4 x  13x  9  Ax  Bx  Cx  2 Ax  Bx  3Cx  3 A 2

2

2

2

4 x  13x  9  x  A  B  C   x2 A  B  3C   3 A 2

2

Los ordeno Factorizo así

Mis tres ecuaciones son:

 1A  1B  1C  4 2 A  1B  3C  13

 9  3 A Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A

 9  3 A 9 A 3 3 A Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones

 1A  1B  1C

31  B  C  4

4

3 B C 4 BC 43 B  C 1 “ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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2 A  1B  3C

23  B  3C  13

 13

6  B  3C  13  B  3C  13  6  B  3C  7 Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo así los valores de B y C

B  C 1  B  3C  7 4C  8 C2

B  C 1 B  2 1 B  1 2 B  1

Coloco las respuestas en la letra correspondiente

4 x 2  13x  9 A B C 3 1 2       x 3  2 x 2  3x x x  3 x  1 x x  3 x  1

Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que es mucho más fácil.

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4 x 2  13x  9 A B C    x 3  2 x 2  3x x x  3 x  1 Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

4 x 2  13x  9  Ax  3x  1  Bx x  1  C x x  3 Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial

x0

x3 0

x 1  0

x  3

x 1

Ahora sustituyo los valores de x x=0

4 x 2  13x  9  Ax  3x  1  Bx x  1  C x x  3 40  130  9  A0  30  1  B00  1  C 00  3 2

0  0  9  A3 1  0 B  0C  9  3 A 3 A

x = -3

4 x 2  13x  9  Ax  3x  1  Bx x  1  C x x  3 4 3  13 3  9  A 3  3 3  1  B 3 3  1  C  3 3  3 2

36  39  9  A0 4  B 3 4  C  30  12  12 B 1  B

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x=1

4 x 2  13x  9  Ax  3x  1  Bx x  1  C x x  3 41  131  9  A1  31  1  B11  1  C 11  3 2

4  13  9  A40  B10  C 14 8  4C 2C

Respuesta:

4 x 2  13x  9 A B C 3 1 2       x 3  2 x 2  3x x x  3 x  1 x x  3 x  1 2.1.

CASOS ESPECIALES DEL MÉTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

En este capítulo mostraremos como expresar una función racional (un cociente de polinomios) como una suma de fracciones más sencillas, denominadas fracciones parciales, que son fáciles de integrar, para ello existen 4 casos especiales, y son: La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración más fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios. Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

En donde

y

son polinomios con coeficientes reales, y grado

Además q(x) es diferente de cero.

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Ejemplo:

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales? Veamos los siguientes casos:

2.1.1. CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar. Ejemplo:

Luego nos queda la siguiente igualdad O también lo podemos escribir 1 = (A + B) x + 2A - 2B Haciendo un Sistema. A+B=0 2A - 2B = 1, las soluciones son:

Quedando de esta manera:

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Con lo cual

2.1.2. CASO 2: FACTORES LINEALES IGUALES A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO: Calculemos la siguiente integral

Pero:

Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

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2.1.3. CASO 3: FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS A cada factor cuadrático reducible,

que figure en el denominador de

una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar. Ejemplo:

Calcular:

Factor izando el denominador ya sea por aspa simple o por aspas dobles especiales; o utilizando algunos productos notables, tenemos:

Con lo que se obtiene

de donde

Luego los valores a encontrar son. A = 0, B = 1, C = 1, D = 0

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2.1.4. CASO 4: FACTORES CUADRÁTICOS IGUALES A cada factor cuadrático irreducible,

que se repita n veces en el

denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

Siendo los valores de A y B constantes reales. Ejemplo: Calcular la siguiente integral

Tendremos que:

Por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son A=0,B=2,C=0,D=1 De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

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2.2.

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS – METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

Se desarrollaran algunos ejercicios ilustrativos de los 4 casos especiales antes mencionados, para poder fortalecer nuestra habilidad del cálculo de integrales mediante el método de las fracciones parciales:

2.2.1. EJERCICIO N° 01

∫

𝟑 𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒙² + 𝟑𝒙 = 𝒙 ( 𝒙 + 𝟑 )

𝒙𝟐

𝟑 𝑨 𝑩 = + + 𝟑𝒙 𝒙 𝒙+𝟑

𝒙𝟐

𝟑 𝑨 ( 𝒙 − 𝟑 ) + 𝑩𝒙 = + 𝟑𝒙 𝒙(𝒙+𝟑)

𝟑 = 𝑨 ( 𝒙 + 𝟑 ) + 𝑩𝒙

𝒙=𝟎

𝟑= 𝑨(𝟎+𝟑)+𝑩(𝟎)

𝒙+𝟑=𝟎

𝟑=𝑨(𝟑)+𝟎

𝒙 = −𝟑

𝟑 = 𝟑𝑨 𝑨=

𝟑 𝟑

𝑨=𝟏 𝟑 = 𝑨 ( 𝒙 + 𝟑 ) + 𝑩𝒙 𝟑 = 𝑨 ( −𝟑 + 𝟑 ) + 𝑩 (−𝟑 ) 𝟑 = −𝟑𝑩 𝑩= −

𝟑 𝟑

𝑩 = −𝟏 ∫

𝒙𝟐

𝟑 𝑨 𝑩 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ ( + ) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 + 𝟑𝒙 𝒙 𝒙+𝟑 𝒙 𝒙+𝟑

= 𝒍𝒏 |𝒙| − 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟑| + 𝑪

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2.2.2. EJERCICIO N° 02

∫

𝒙𝟐

𝟑𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟑

𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 = ( 𝒙 + 𝟑 ) ( 𝒙 + 𝟏 )

𝟑𝒙 + 𝟏 𝑨 𝑩 = + (𝒙+𝟑) (𝒙+𝟏) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 𝟑𝒙 + 𝟏 𝑨(𝒙+𝟏)+𝑩(𝒙+𝟑) = ( 𝒙 + 𝟑 )( 𝒙 + 𝟏 ) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐

𝟑𝒙 + 𝟏 𝑨𝒙 + 𝑨 + 𝑩𝒙 + 𝟑𝑩 = ( 𝒙 + 𝟑 )( 𝒙 + 𝟏 ) + 𝟒𝒙 + 𝟑

𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 + 𝑨 + 𝟑𝑩 𝟑𝒙 + 𝟏 = ( 𝑨 + 𝑩 )𝒙 + 𝑨 + 𝟑𝑩 {

𝑨+𝑩=𝟑 𝑨 + 𝟑𝑩 = 𝟏

Resolviendo el Sistema 𝑨 + 𝑩 = 𝟑 ( −𝟏 )

𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝑨

𝑨 + 𝟑𝑩 = 𝟏

𝑨+𝑩=𝟑

−𝑨 − 𝑩 = −𝟑

𝑨−𝟏 = 𝟑

𝑨 + 𝟑𝑩 = 𝟏

𝑨 = 𝟑+𝟏

𝟐𝑩 = −𝟐 ↔ 𝑩 = −

𝟐 𝑩 = −𝟏 𝟐

∫

𝒙𝟐

𝑨=𝟒

𝟑𝒙 + 𝟏 𝑨 𝑩 𝒅𝒙 = ∫ [ + ] 𝒅𝒙 (𝒙+𝟑) (𝒙+𝟏) + 𝟒𝒙 + 𝟑 =∫

𝟒 ( −𝟏 ) + 𝒅𝒙 (𝒙+𝟑) (𝒙+𝟏)

= 𝟒∫

𝒅𝒙 𝒅𝒙 −∫ (𝒙+𝟑) (𝒙+𝟏)

= 𝟒 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟑| − 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟏| + 𝑪

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2.2.3. EJERCICIO N° 03

𝟓𝒙𝟐 + 𝟑 ∫ 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 ( 𝒙 + 𝟐) 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑 𝑨 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝑨 ( 𝒙𝟐 + 𝟐 ) + 𝑩𝒙 ( 𝒙𝟐 + 𝟐 ) + 𝑪𝒙 + 𝑫 ( 𝒙𝟐 ) = + + = 𝒙𝟐 ( 𝒙𝟐 + 𝟐 ) 𝒙𝟐 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙𝟐 ( 𝒙𝟐 + 𝟐 ) 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑 𝑨 𝒙𝟐 + 𝟐𝑨 + 𝑩𝒙𝟑 + 𝟐𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝑫𝒙² = 𝒙𝟐 ( 𝒙𝟐 + 𝟐 ) 𝒙𝟐 ( 𝒙𝟐 + 𝟐 ) 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑 = 𝑨 𝒙𝟐 + 𝟐𝑨 + 𝑩𝒙𝟑 + 𝟐𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝑫𝒙² 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑 = 𝑩𝒙𝟑 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝑨 𝒙𝟐 + 𝑫𝒙² + 𝟐𝑨 + 𝟐𝑩𝒙 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑 = ( 𝑩 + 𝑪 )𝒙𝟑 + (𝑨 + 𝑫 )𝒙² + 𝟐𝑨 + 𝟐𝑩𝒙

𝑩+𝑪=𝟎 ⇒𝑪=𝟎 𝟕 𝑨+𝑫=𝟓 ⇒𝑫= 𝟐 𝟐𝑩 = 𝟎 ⟹ 𝑩 = 𝟎 𝟑 𝟐𝑨 = 𝟑 ⟹ 𝑨 = { 𝟐

𝟓𝒙𝟐 + 𝟑 𝑨 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 ∫ 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ [ 𝟐 + + 𝟐 ] 𝒅𝒙 𝒙 ( 𝒙 + 𝟐) 𝒙 𝒙 𝒙 +𝟐 𝟑 𝟕 𝟎 ( 𝟎 )𝒙 + 𝟐 𝟑 𝟏 𝟕 𝟏 𝟐 ∫[ 𝟐 + + 𝟐 𝒅𝒙 ] 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐 𝒙 𝒙 𝒙 +𝟐 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 +𝟐 𝟑 𝟕 𝟏 𝒙 ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 √𝟐 √𝟐 𝟑 𝒙−𝟏 𝟕 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) + 𝑪 𝟐 −𝟏 𝟐√𝟐 √𝟐 𝟑 𝟕 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) + 𝑪 𝟐𝒙 𝟐√𝟐 √𝟐

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2.2.4. EJERCICIO N° 04

∫

𝒙𝟐

𝟐𝒙 + 𝟕 𝟐𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙 = ∫ + 𝟐𝒙 − 𝟒 (𝒙 + 𝟏 − √𝟓)(𝒙 + 𝟏 + √𝟓)

Completando el Cuadrado 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟏 − 𝟒 ( 𝒙 + 𝟏 )𝟐 ± √𝟓 = 𝟎 ( 𝒙 + 𝟏 )𝟐 = 𝟓 𝒙 + 𝟏 = ± √𝟓 𝒙 + 𝟏 − √𝟓 = 𝟎

𝒚

𝒙 + 𝟏 + √𝟓 = 𝟎

Solución de la Integral Por Fracciones Parciales 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝒙 + 𝟏 − √𝟓)(𝒙 + 𝟏 + √𝟓) 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝒙 + 𝟏 − √𝟓)(𝒙 + 𝟏 + √𝟓)

=

=

𝑨 (𝒙 + 𝟏 − √𝟓)

+

𝑩 (𝒙 + 𝟏 + √𝟓)

𝑨(𝒙 + 𝟏 + √𝟓) + 𝑩 (𝒙 + 𝟏 − √𝟓) (𝒙 + 𝟏 − √𝟓)(𝒙 + 𝟏 + √𝟓)

𝟐𝒙 + 𝟕 = 𝑨𝒙 + 𝑨 + 𝑨√𝟓 + 𝑩𝒙 + 𝑩 − 𝑩√𝟓 𝟐𝒙 + 𝟕 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 + 𝑨 + 𝑩 + 𝑨√𝟓 − 𝑩√𝟓 𝟐𝒙 + 𝟕 = ( 𝑨 + 𝑩)𝒙 + 𝑨 + 𝑨√𝟓 + 𝑩 − 𝑩√𝟓 𝟐𝒙 + 𝟕 = ( 𝑨 + 𝑩)𝒙 + 𝑨 ( 𝟏 + √𝟓 ) + 𝑩 ( 𝟏 − √𝟓 ) {( 𝟏 + √𝟓 )𝑨 + ( 𝟏 − √𝟓 )𝑩 = 𝟕 𝑨 + 𝑩 =𝟐 Entonces −[( 𝟏 + √𝟓 )𝑨 + ( 𝟏 − √𝟓 )𝑩 = 𝟕] ( 𝟏 + √𝟓 ) [

𝑨 +

𝑩 = 𝟐]

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−( 𝟏 + √𝟓 )𝑨 − ( 𝟏 − √𝟓 )𝑩 = −𝟕 ( 𝟏 + √𝟓 )𝑨 + ( 𝟏 + √𝟓 )𝑩 = 𝟐( 𝟏 + √𝟓 ) −( 𝟏 − √𝟓 )𝑩 = −𝟕 + ( 𝟏 + √𝟓 )𝑩 = 𝟐 + 𝟐√𝟓 (−𝟏 + √𝟓 )𝑩 = −𝟕 ( 𝟏 + √𝟓 )𝑩 = 𝟐 + 𝟐√𝟓 𝟐√𝟓 𝑩 = −𝟓 + 𝟐√𝟓 −𝟓 + 𝟐√𝟓

𝑩=

𝑩=

𝑩=

𝟐√𝟓 −𝟓 𝟐√𝟓 −𝟓 𝟐√𝟓

+

𝟐√𝟓 𝟐√𝟓

+𝟏

𝑩=−

𝟓√𝟓 +𝟏 𝟐(𝟓)

𝑩=−

√𝟓 +𝟏 𝟐

𝑩=

−√𝟓 + 𝟐 𝟐

𝑩=

𝟐 − √𝟓 𝟐

𝑨+𝑩=𝟐 𝑨+

𝟐 − √𝟓 =𝟐 𝟐

𝑨=𝟐−

𝑨=

𝟐 − √𝟓 𝟐

𝟒 − 𝟐 + √𝟓 𝟐

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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE INGENIERIA INDUSTRIAL “MÉTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES” 𝑨=

𝟐 + √𝟓 𝟐

∫

𝟐𝒙 + 𝟕 𝑨 𝑩 𝒅𝒙 = ∫ [ + ] 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟒 (𝒙 + 𝟏 − √𝟓) (𝒙 + 𝟏 + √𝟓)

𝒙𝟐

𝟐 + √𝟓 𝟐 − √𝟓 𝟐𝒙 + 𝟕 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ [ + ] 𝒅𝒙 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟒 (𝒙 + 𝟏 − √𝟓) (𝒙 + 𝟏 + √𝟓)

=

𝟐 + √𝟓 𝟏 𝟐 − √𝟓 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 + 𝟏 − √𝟓 (𝒙 + 𝟏 + √𝟓)

=

𝟐 + √𝟓 𝟐 − √𝟓 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟏 − √𝟓| + 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟏 + √𝟓| + 𝑪 𝟐 𝟐

2.2.5. EJERCICIO N° 05

∫

𝒙−𝟑 𝒅𝒙 𝒙² − 𝟒𝟗

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒙𝟐 + 𝟒𝟗 = ( 𝒙 − 𝟕) ( 𝒙 + 𝟕)

𝒙−𝟑 𝑨 𝑩 𝑨( 𝒙 + 𝟕) + 𝑩( 𝒙 − 𝟕) = + = ( 𝒙 − 𝟕) ( 𝒙 + 𝟕) 𝒙² − 𝟒𝟗 ( 𝒙 − 𝟕) ( 𝒙 + 𝟕) 𝒙−𝟑 𝑨𝒙 + 𝟕𝑨 + 𝑩𝒙 − 𝟕𝑩 = ( 𝒙 − 𝟕) ( 𝒙 + 𝟕) 𝒙² − 𝟒𝟗 𝒙 − 𝟑 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 + 𝟕𝑨 − 𝟕𝑩 𝒙 − 𝟑 = (𝑨 + 𝑩)𝒙 + 𝟕𝑨 − 𝟕𝑩 𝑨 + 𝑩 = 𝟏 (𝟕) { 𝟕𝑨 − 𝟕𝑩 = −𝟑 𝟕𝑨 − 𝟕𝑩 = 𝟕

𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑩

𝟕𝑨 − 𝟕𝑩 = −𝟑

𝑨+𝑩=𝟏

𝟏𝟒𝑨 = 𝟒 ↔ 𝑨 =

𝟒 𝟐 =𝑨= 𝟏𝟒 𝟕

𝑩=𝟏−

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

𝟐 𝟕

,

𝟐 + 𝟕

𝑩=𝟏

↔

𝑩=

𝟓 𝟕 23

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE INGENIERIA INDUSTRIAL “MÉTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES” 𝟐 𝟓 𝒙−𝟑 𝑨 𝑩 𝟕 𝟕 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ + 𝒅𝒙 = ∫ + 𝒅𝒙 ( 𝒙 − 𝟕) ( 𝒙 + 𝟕) ( 𝒙 − 𝟕) ( 𝒙 + 𝟕) 𝒙² − 𝟒𝟗 =

𝟐 𝟏 𝟓 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 𝟕 ( 𝒙 − 𝟕) 𝟕 ( 𝒙 + 𝟕)

=

𝟐 𝟓 𝒍𝒏 |𝒙 − 𝟕| + 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟕| + 𝑪 𝟕 𝟕

2.2.6. EJERCICIO N° 06

∫

𝒙 𝒅𝒙 𝒙 (𝒙 + 𝟐)²

𝒙 𝑨 𝑩 𝑪 𝑨(𝒙 + 𝟐)² + 𝑩𝒙 (𝒙 + 𝟐) + 𝑪𝒙 = + + = 𝒙 (𝒙 + 𝟐)² 𝒙 𝒙 + 𝟐 (𝒙 + 𝟐)² 𝒙 (𝒙 + 𝟐)² 𝒙 𝑨 ( 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒) + 𝑩𝒙𝟐 + 𝟐𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 = 𝒙 (𝒙 + 𝟐)² 𝒙 (𝒙 + 𝟐)² 𝒙 𝑨𝒙𝟐 + 𝟒𝑨𝒙 + 𝟒𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝟐𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 = 𝒙 (𝒙 + 𝟐)² 𝒙 (𝒙 + 𝟐)²

𝒙 = 𝑨𝒙𝟐 + 𝟒𝑨𝒙 + 𝟒𝑨 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝟐𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝒙 = 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝟒𝑨𝒙 + 𝟐𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 + 𝟒𝑨 𝒙 = (𝑨 + 𝑩)𝒙𝟐 + (𝟒𝑨 + 𝟐𝑩 + 𝑪)𝒙 + 𝟒𝑨

𝑨+𝑩=𝟎 →𝑩=𝟎 𝟒𝑨 + 𝟐𝑩 + 𝑪 = 𝟏 → 𝑪 = 𝟏 { 𝟎 𝟒𝑨 = 𝟎 → 𝑨 = = 𝑨 = 𝟎 𝟒

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

24

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE INGENIERIA INDUSTRIAL “MÉTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES” ∫

𝒙 𝑨 𝑩 𝑪 𝒅𝒙 = ∫ [ + + ] 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 + 𝟐 (𝒙 + 𝟐)² 𝒙 (𝒙 + 𝟐)²

= ∫[

𝟎 𝟎 𝟏 + + ] 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 + 𝟐 (𝒙 + 𝟐)²

=∫

𝒖=𝒙+𝟐

𝟏 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟐)²

=∫

𝟏 𝒅𝒖 𝒖𝟐

= ∫ 𝒖−𝟐 𝒅𝒖

𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

𝒅𝒙 = 𝒅𝒖

= =

𝒖 −𝟏 +𝑪 −𝟏

𝒙 + 𝟐−𝟏 +𝑪 −𝟏

=−

𝟏 +𝑪 𝒙+𝟐

2.2.7. EJERCICIO N° 07

∫

𝟓𝒙 − 𝟕 𝒅𝒙 (𝒙² + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)

𝟓𝒙 − 𝟕 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪 𝑨𝒙 + 𝑩(𝒙 − 𝟑) + 𝑪(𝒙² + 𝟐) = + = (𝒙² + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) (𝒙² + 𝟐) (𝒙 − 𝟑) (𝒙² + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) 𝟓𝒙 − 𝟕 𝑨𝒙² − 𝟑𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 − 𝟑𝑩 + 𝑪𝒙² + 𝟐𝑪 = (𝒙² + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) (𝒙² + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

25

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𝟓𝒙 − 𝟕 = 𝑨𝒙² − 𝟑𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 − 𝟑𝑩 + 𝑪𝒙² + 𝟐𝑪 𝟓𝒙 − 𝟕 = 𝑨𝒙² + 𝑪𝒙² − 𝟑𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 − 𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 𝟓𝒙 − 𝟕 = (𝑨 + 𝑪)𝒙𝟐 + (−𝟑𝑨 + 𝑩)𝒙 − 𝟑𝑩 + 𝟐𝑪

𝑨 + 𝑪 =𝟎

𝑨+𝟎+𝑪=𝟎

−𝟑𝑨 + 𝑩 = 𝟓

↔

−𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 = −𝟕

−𝟑𝑨 + 𝑩 + 𝟎 = 𝟓 𝟎 − 𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 = −𝟕

Resolviendo el Sistema Metodo de Sustitucion 𝑨 + 𝟎 + 𝑪 = 𝟎 (𝟑) −𝟑𝑨 + 𝑩 + 𝟎 = 𝟓

"𝑬𝒄. 𝟏" "𝑬𝒄. 𝟐"

𝟑𝑨 + 𝟎 + 𝟑𝑪 = 𝟎 −𝟑𝑨 + 𝑩 + 𝟎 = 𝟓 𝑩 + 𝟑𝑪 = 𝟓

"𝑬𝒄. 𝟒"

𝑨 + 𝟎 + 𝑪 = 𝟎 (𝟎)

"𝑬𝒄. 𝟏"

𝟎 − 𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 = −𝟕

"𝑬𝒄. 𝟑

𝟎+𝟎+𝟎=𝟎 𝟎 − 𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 = −𝟕 −𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 = −𝟕 𝑩 + 𝟑𝑪 = 𝟓 (𝟑) −𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 = −𝟕

"𝑬𝒄. 𝟓" "𝑬𝒄. 𝟒" "𝑬𝒄. 𝟓"

𝟑𝑩 + 𝟗𝑪 = 𝟏𝟓 −𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 = −𝟕 𝟏𝟏𝑪 = 𝟖 𝑪=

𝟖 𝟏𝟏

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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Encontare B

Encontrar A

𝑩 + 𝟑𝑪 = 𝟓

Ec. 4

𝑨+𝑪=𝟎

𝟖 𝑩 + 𝟑( ) = 𝟓 𝟏𝟏 𝑩+

𝟐𝟒 = 𝟓 𝟏𝟏

𝑩=𝟓− 𝑩=

𝑨+

"𝐄𝐜. 𝟏"

𝟖 =𝟎 𝟏𝟏

𝑨=−

𝟖 𝟏𝟏

𝟐𝟒 𝟏𝟏

𝟑𝟏 𝟏𝟏

𝟖 𝟑𝟏 𝟖 (− 𝟏𝟏) 𝒙 + (𝟏𝟏) (𝟏𝟏) 𝟓𝒙 − 𝟕 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ + 𝒅𝒙 = ∫ + 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟑) (𝒙² + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) (𝒙² + 𝟐) (𝒙 − 𝟑) (𝒙² + 𝟐) =−

𝟖 𝒙 𝟑𝟏 𝟏 𝟖 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 𝟏𝟏 𝒙² + 𝟐 𝟏𝟏 𝒙² + 𝟐 𝟏𝟏 𝒙 − 𝟑

=− =−

𝟖 𝒙 𝒅𝒕 𝟑𝟏 𝟏 𝟖 𝟏 ∫ + ∫ 𝟐 𝒅𝒖 + ∫ 𝒅𝒓 𝟐 𝟏𝟏 𝒕 𝟐𝒙 𝟏𝟏 𝒖 + 𝒂 𝟏𝟏 𝒓

𝟖 𝟏 𝟑𝟏 𝟏 𝒖 𝟖 ∫ 𝒅𝒕 + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) + 𝒍𝒏 |𝒓| + 𝑪 𝟐𝟐 𝒕 𝟏𝟏 𝒂 𝒂 𝟏𝟏

𝟒 = 𝒍𝒏 |𝒕| + 𝟏𝟏

𝒙 𝟑𝟏 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) √𝟐 + 𝟖 𝒍𝒏 |𝒓| + 𝑪 𝟏𝟏 𝟏𝟏√𝟐

𝟒 =− 𝒍𝒏 |𝒙𝟐 + 𝟐| + 𝟏𝟏

𝒙 𝟑𝟏 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) √𝟐 + 𝟖 𝒍𝒏 |𝒙 − 𝟑| + 𝑪 𝟏𝟏 𝟏𝟏√𝟐

𝟒 𝟖 =− 𝒍𝒏 |𝒙𝟐 + 𝟐| + 𝒍𝒏 |𝒙 − 𝟑| + 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝒙 𝟑𝟏 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) √𝟐 + 𝑪 𝟏𝟏√𝟐

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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2.2.8. EJERCICIO N° 08

∫

𝟏 𝒅𝒙 𝟗 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝟗 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 ( 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏 )

𝟏 𝑨 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝑨( 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏 ) + 𝑩𝒙 ( 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏 ) + 𝑪𝒙 + 𝑫(𝒙𝟐 ) = + + = 𝒙𝟐 ( 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏 ) 𝒙𝟐 𝒙 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 ( 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏 ) 𝟏 𝟗𝑨𝒙𝟐 + 𝑨 + 𝟗𝑩𝒙𝟑 + 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝑫𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 ( 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏 ) 𝒙𝟐 ( 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏 ) 𝟑

𝟑

𝟐

Sustituciones 𝑡 = 𝑥 2 + 2 𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝟐

𝟏 = 𝟗𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 + 𝟗𝑨𝒙 + 𝑫𝒙 + 𝑩𝒙 + 𝑨

𝑢2 = 𝑥² ↔ 𝑢 = 𝑥, 𝑎² = 2 ↔ 𝑎 = √2 𝑟 = 𝑥 − 3 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑟

𝟏 = (𝟗𝑩 + 𝑪)𝒙𝟑 + (𝟗𝑨 + 𝑫)𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑨 𝟗𝑩 + 𝑪 = 𝟎 → 𝑪 = 𝟎

𝟗𝑩 + 𝑪 = 𝟎

𝟗𝑨 + 𝑫 = 𝟎 → 𝑫 = −𝟗

∫

𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 2𝑥

𝟗𝑨 + 𝑫 = 𝟎

𝟗(𝟎) + 𝑪 = 𝟎

𝟗(𝟏) + 𝑫 = 𝟎

𝑩𝒙 = 𝟎 → 𝑩 = 𝟎

𝟎+𝑪=𝟎

𝟗+𝑫=𝟎

𝑨=𝟏 →𝑨=𝟏

𝑪=𝟎

𝑫 = −𝟗

𝟏 𝑨 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝟏 𝟎 (𝟎)𝒙 + (−𝟗) 𝒅𝒙 = ∫ [ 𝟐 + + 𝒅𝒙 ] 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 + + 𝟐 𝟐 +𝒙 𝒙 𝒙 𝟗 𝒙 +𝟏 𝒙 𝒙 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏

𝟗 𝒙𝟒

= ∫

𝟏 𝟗 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝟗 𝒙 +𝟏

= ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 − ∫

=

𝟗 𝟗

𝒙𝟐

+𝟏

𝒅𝒙

𝒙−𝟏 𝟏 −𝟗 ∫ 𝟐 𝒅𝒖/𝟑 −𝟏 𝒖 + 𝒂𝟐

=

𝒙−𝟏 𝟗 𝟏 − ∫ 𝟐 𝒅𝒖 −𝟏 𝟑 𝒖 + 𝒂𝟐

𝟏 𝟏 𝒖 = − − 𝟑. 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) + 𝑪 𝒙 𝒂 𝒂 𝟏 𝟏 𝟑𝒙 = − − 𝟑. 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) + 𝑪 𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 = − − 𝟑𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝟑𝒙) + 𝑪 𝒙

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2.2.9. EJERCICIO N° 09

∫

𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝒙 ( 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)

𝟏 𝑨 𝑩𝒙 + 𝑪 𝑨( 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) + 𝑩𝒙 + 𝑪 (𝒙) = + = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 𝒙 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 𝒙 ( 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) 𝟏 𝑨 𝒙𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑨 + 𝑩𝒙² + 𝑪𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 𝒙 ( 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)

𝑎=1

𝟏 = 𝑨 𝒙𝟐 + 𝑩𝒙² + 𝑨𝒙 + 𝑪𝒙 + 𝑨

𝑢 = 3𝑥

𝟏 = ( 𝑨 + 𝑩 ) 𝒙𝟐 + ( 𝑨 + 𝑪)𝒙 + 𝑨

𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =

𝑨+𝑩=𝟎

𝑑𝑢 3

𝑨+𝑪=𝟎 𝑨=𝟏

𝑨 = 𝟏,

∫

𝒙𝟑

𝑩 = −𝟏,

𝑪 = −𝟏

𝟏 𝑨 𝑩𝒙 + 𝑪 𝟏 −𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ ( + 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∫ + 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 +𝒙 +𝒙 𝒙 𝒙 +𝒙+𝟏 𝒙 𝒙 +𝒙+𝟏

=∫

𝟏 𝒙+𝟏 𝒅𝒙 − ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 +𝒙+𝟏

𝟏 = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝒍𝒏 | 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 | − 𝟐

𝟐𝒙 + 𝟏 ) √𝟑 √𝟑

𝒕𝒂𝒏−𝟏 (

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2.2.10. EJERCICIO N° 10

Lo primero que haremos será calcular las fracciones parciales

Tenemos que Igualando y multiplicando por el mínimo común múltiplo tenemos que

Ahora determinemos las constantes igualando coeficientes de potencias idénticas

C=0

A=1

Entonces los valores de A, B, C y D son:

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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Así pues:

Para resolver la segunda y tercera integral usamos el siguiente cambio de variable:

Entonces tenemos:

2.2.11. EJERCICIO N° 11 Calcular la siguiente Integral mediante Fracciones Parciales

Primero podemos factorizar el denominador de la siguiente manera

Entonces calculando las fracciones parciales tenemos:

Multiplicando por el mínimo común múltiplo

“ Cálculo II – Método de integración por fracciones parciales”

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Igualando coeficientes tenemos: A = -1 B=1 C = -3

Entonces remplazando los valores de A , B y C, tenemos:

La primera integral da como resultado: La segunda integral la debemos resolver completando cuadrados y luego por sustitución trigonométrica

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RECOMENDACIONES 

Utilizar correctamente los tipos de factorización; para poder trabajar las fracciones parciales.



Emplear el método de Heaviside para poder desarrollar con más eficiencia, y menor tiempo las fracciones parciales.



Recurrir algunos software de Matemáticas que permiten factorizar funciones racionales complejas, en caso que no poderese factorizar manualmente.

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CONCLUSIONES  El método de integración por fracciones parciales consiste en transformar una fracción compleja en fracciones simples o parciales.  Hay 4 casos especiales para dar solución a integrales por el método de las fracciones parciales, y son: o CASO 1: Factores lineales distintos. o CASO 2: Factores lineales iguales. o CASO 3: Factores cuadráticos distintos. o CASO 4: Factores cuadráticos iguales.  Mediante la solución de algunas integrales se puede comprender la dinámica de la naturales; así mismo se puede aplicar para el cálculo y resolución de problemas de la vida real.( Maximización, Minimización, etc.)

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BIBLIOGRAFÍA Y LINKOGRAFIA  Cálculo de una variable - George Thomas - 11va Edición  Cálculo I - Ron Larson - 9na Edición  Leithold - El Cálculo - español - 7a.Ed.  https://assassinezmoi.files.wordpress.com/2013/03/calculo-una-variable-11voedicic3b3n-george-b-thomas.pdf.

 http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/images/Libros/Calculo/Leithold%2 0-%20El%20Calculo%20-%20espa%C3%B1ol%20-%207a.Ed..pdf  http://es.slideshare.net/alexvillada927/calculo-de-una-variable-jamesstewart-6-edicin  http://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parcialescalculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml  http://www.alasala.cl/wp-content/uploads/2012/07/capitulo9.pdf  http://es.slideshare.net/kovovaro/integracin-por-fracciones-parciales22028519  http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/images/ejercicios_resueltos/metodo s_de_integracion/Integraci%C3%B3n-por-Fracciones-Parciales1.pdf

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ANEXOS

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Ejemplificación del procedimiento para integrar mediante el método de fracciones parciales.

Tabla de la clasificación de los tipos de fracciones parciales de acuerdo a la naturaleza de la fracción.

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Tabla de los distintos métodos de integración, dentro de ellos el de fracciones parciales.

Ejemplo de algunas funciones racionales transformadas a fracciones simples o parciales.

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