Metodo de Gomory

 

METODO DE GOMORY Introducción: En matemática, y más en concreto en optimización, el método de los planos de corte es un  procedimiento para encontrar soluciones enteras de un problema lineal. Fue introducido por Gomory. Fue el primer creador del algoritmo para resolver métodos de programación entera, el algoritmo de Gomory consiste en resolver el problema sin considerar las restricciones del carácter entero de las variables y si la solución no es entera añade restricciones que reduce el conjunto de soluciones del problema lineal continuo asociado, sin excluir ninguna solución entera. Funciona resolviendo un programa lineal no entero, después comprobando si la optimización encontrada es también una solución entera. Si no es así, es añadida una nueva restricción que corta la solución no entera pero no corta ningún otro punto de la región factible. Esto se repite hasta que se encuentra la solución entera óptima  . Interpretación geométrica, una restricción es equivalente a un hiperplano, permitiendo solo soluciones en uno de los lados del plano.

 

M ÉTODO D E L OS PLA NOS CORTA CORTA NT ES DE GOM ORY

Éste método sirve para solucionar problemas de más de dos (2) variables. Algoritmo 1. Encontrar la solución, empleando el método simplex.

2. Si la solución es entera, entonces estamos en el óptimo. 3. Si no es entera, introducir una restricción nueva para la variable no entera, que tenga la mayor  parte fraccional (Quebrar empates arbitrariamente) y resolver el nuevo problema mediante el método dual simplex.  Nueva restricción a partir de la restricción actual que tenga la variable cuyo valor en su parte fraccional sea mayor. a) Escriba cada constante como la suma de: Un número entero de cualquier signo y una fracción no negativa, menor que uno (1).  b) Cambiar la ecuación trasladando trasladando los coeficientes enteros al lado derecho. Ejemplo Max:

Z = X1 + 5X2 

C.S.R. X1 < 2 Xj > 0

X1 + 10X2 < C.S.R. 20 X1 + X4 = 2 y enteros Xj > 0  para toda j

Max:   X1 + 10X2 + X3 = 20 y enteros para toda j

A continuación solucionamos el problema por el método simplex, tal como se haría si el problema fuese de programación lineal continua.

 

 

Solución óptima pero no entera: X1 = 2 ; X2 = 9/5 ; X3 = 0 ; X4 = 0 ; Z* = 11 Ecuación 1 (Fila 1) para construir la nueva restricción; ya que tiene la variable (X2), cuyo valor en su parte fraccional es mayor. Cálculo de la nueva restricción, a partir de la ecuación 2. X2 + 1/10X3  –  1/10X4  1/10X4 = 9/5 Remplazamos cada constante por la suma de un número entero de cualquier signo y una fracción no negativa menor que uno (1). (1+0)X2 + (0+1/10)X3 + (-1+9/10)X4 = (1+4/5) Simplificando X2 + 1/10X3  –  X4   X4 + 9/10X4 = 4/5 + 1 ; Trasladamos los términos con coeficiente entero, al lado derecho. 1/10X3 + 9/10X4 = 4/5 + 1  –  X2  X2 + X4 ; Fíjese que el lado izquierdo subrayado debe ser positivo y el lado derecho subrayado, debe ser entero, e ntero, luego podemos asegurar que: 1/10X3 + 9/10X4 > 4/5 ; Multiplicando por (-1) ; -1/10X3  –   9/10X4 < -4/5 ; Adicionando una  – 

variable de holgura; -1/10X3  9/10X4 + X5 = -4/5 ; Ecuación ésta que adicionamos, así:

X1 = 10/9 = 1 + 1/9 ; X2 = 17/9 = 1 + 8/9 ; X3 = 0 ; X4 = 8/9 ; X5 = 0 ; Z = 95/9 = 10,5 Escogemos la variable básica con mayor parte fraccionaria, en caso de empate, escoja al azar. Escojo X4 1/9X3 + X4  10/9X5 8/9 = (0+1/9)X3 + (1+0)X4 + (-2+8/9)X5 ( -2+8/9)X5 = 8/9  –  10/9X5 1/9X3 + X4 2X5 +=8/9X5 8/9 Entero  – 2X5

⇒

⇒ 

 

⇒ 8/9 –  X4  X4 + 2X5 Positivo

Solución factible, óptima y entera X1* = 0 X2* = 2 X3* = 0 X4* = 2 X5* = 1 X6* = 0 Zx* = 10

Y1* = 3/8 Y2* = 0 Y3* = 0 Y4* = 5/8 Y5* = 0 Y6* = 0 ZY* = 10

M ÉTODO F RACCI RACCI ONAL DE GOM ORY ORY

Este método solo resuelve modelos enteros puros y consta de los siguientes pasos: 1.  Resolver el modelo relajado, es decir, que las variables sean continuas. 2.  Si el resultado es entero, entonces ya se tiene la solución óptima, sino seguir con el método. 3.  Seleccionar el Max    incluyendo al renglon   , fraccionarioy generar un nuevo corte o nueva restricción:

   – –  

   

   – –        – –   4.  Añadir este corte como una nueva restricción y resolver utilizando el método Dual Simplex; ir al paso 2.  Nota: Z es entero si y solo si los coeficientes de la función objetivo son enteros y así utilizar al renglón  mplex.    en la tabla sisimplex.

   

M ÉTOD O PURO DE GOM ORY

El algoritmo puro de Gomory es una variación del método fraccional de Gomory, al igual que este método la matriz A debe ser entera. Además debe cumplir las condiciones para aplicar el método dual simplex (optimalidad inicial y al menos un negativo en la solución): 1)  Condición de optimalidad

2)  Valor de variable bá básica sica < 0



∑ [ ]   [  ]  

 



∑ [ ]   [  ] 

 Los pasos del método son: 1) Elige la

   más negativa. Se designa a esa fila con r. Si el método dual simplex genera un

 pivote -1, aplicar el método dual dual simplex. Si no contin continuar uar con el método. 2) Elige aquella columna no-básica con   que sea lexicográficamente la menor. Se designa una columna por k. Al primer elemento distinto de cero de dicha columna se le designa por  siendo su fila correspondiente la p. 

 

 

 

      si es que    es el primer    

3) Para la columna    se calcula el índice  elemento diferente de cero en la columna j. De otra manera

4) Se calcula

 para     y               para

5) Se deriva el corte:



∑ [ ]   [  ] 



6) Se anexa este a la tabla jun junto to con su variable de hholgura olgura correspond correspondiente iente y se ap aplica lica el método dual simplex sobre el entero. Si el resultado es   entonces se tiene la solución óptima, si no ir al paso 1.

   

CONCLUSION:

Podemos concluir que para nuestro problema que nos sea dado; sin tener en cuenta que algunas o todas las variables del problema deben ser enteras, de manera que si la solución obtenida es entera, esa será la solución del problema entero. Es por eso que ocupamos el método de Gomory; para que nuestra solución que obtengamos sea entera, siendo entonces la solución a nuestro problema original REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

http://es.scribd.com/doc/144316517 http://es.scribd .com/doc/144316517/Metodo-de-Gomory /Metodo-de-Gomory https://sites.google.com/site/optimizacionenteraydin https://sites.google.com/site/op timizacionenteraydinamica/introduccion amica/introduccion/metodos-de-solucion-en/metodos-de-solucion-en programacion-entera/metodos-de-planos-de-corte  programacion-entera/metod os-de-planos-de-corte http://eco-mat.ccee.uma.es/mateco/Docencia/PM/Lecci http://eco-mat.ccee.uma.es/ mateco/Docencia/PM/Leccion%203/L3P1.pdf on%203/L3P1.pdf http://www.lainter.edu.mx/pdfs/materias/cap%2012%20Programacion http://www.lainter.edu.mx/pdfs/materias/cap%2 012%20Programacion%20Lineal%20En %20Lineal%20Entera%20y tera%20y %20Binaria.pdf