Método de Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel Aguilar de Vicente Gustavo Angel 2MM1 11.11 Emplee el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema siguiente hasta que el error relativo porcentual esté por debajo de Es = 5%, 10x1 + 2x2 – x3 = 27 –3x1 – 6x2 + 2x3 = –61.5 X1 + x2 + 5x3 = –21.5 Datos: Em= 5% M (iteraciones)= Hasta llegar al error máximo tolerado

|

n

Formulas a usar: x i=(ai ,n +1−∑ ai , j x j ( j ≠i ) )/aii

Eari =

j=1

|

x i−x ia ∗100 x ia es el valor anterior de xi xi

Primera iteración: Valores de las variables x 1=x 2=x 3=0 2.7−0 ∗100=100 % | 2.7 | 10 −61.5−( −3∗x +2∗x ) −61.5−(−8.1+0 ) 8.9−0 E =| ∗100=100 % x= = =8.9 8.9 | −6 −6 −21.5−( 1∗x +1∗x ) −21.5−( 2.7+ 8.9 ) −6.62−0 E =| ∗100=100 % x= = =−6.62 −6.62 | 5 5

x 1 a=x 1=0

x 1=

x 2 a=x 2=0

2

27−( 2∗x 2−1∗x 3 )

=

27−( 0+0 ) =2.7 10

1

1

x 3 a=x 3=0

Ear 1 =

3

ar 2

2

ar 3

3

Segunda iteración: Valores de las variables x 1 a=2.7 , x 2 a=8.9 , x3 a =−6.62 x 1=

27−( 2∗x 2−1∗x 3 ) 10

x 2=

|

−6

|

|

0.258−2.7 27−( 17.8+6.62 ) ∗100=946.5116279 % =0.258 Ear 1 = 0.258 10

−61.5−( −3∗x 1 +2∗x 3 )

Ear 2=

x 3=

=

=

−61.5−( 0.774−13.24 ) =7.914333333 −6

|

7.914333333−(8.9) ∗ 100=12.45419703 % 7.914333333

−21.5−( 1∗x 1+1∗x 2 ) −21.5−( 0.258+7.914333333 ) = =−5.934466667 5 5

|

Ear 3 =

|

−5.934466667−(−6.62) ∗100=11.55172607 % −5.934466667

Tercera iteración: Valores de las variables x 1 a=0.258 , x 2 a=7.914333333 , x 3 a=−5.934466667 x 1=

27−( 2∗x 2−1∗x 3 ) 10

=

27−( 15.82866667+5.934466667 ) =0.5236866663 10

|0.5236866663−0.258 |∗100=50.73389937 % 0.5236866663

Ear 1 = x 2=

−61.5−( −3∗x 1 +2∗x 3 ) −6

|

Ear 2=

x 3=

=

−61.5−(−1.571059999−11.86893333 ) =8.010001111 −6

|

8.010001111−(7.914333333) ∗100=1.194354119% 8.010001111

−21.5−( 1∗x 1+1∗x 2 ) −21.5−( 0.5236866663+8.010001111 ) = =−6.006737555 5 5

|

Ear 3 =

|

−6.006737555−(−5.934466667 ) ∗100=1.203163744 % −6.006737555

Cuarta iteración: Valores de las variables x 1 a=0.5236866663 , x2 a =8.010001111, x 3 a=−6.006737555 x 1=

27−( 2∗x 2−1∗x 3 ) 10

=

27−( 16.020002222+6.006737555 ) =0.4973260223 10

|0.4973260223−0.5236866663 |∗100=5.033667209 % 0.5236866663

Ear 1 = x 2=

−61.5−( −3∗x 1 +2∗x 3 ) −6

=

−61.5−(−1.571059999−12.01347511 ) =7.985910815 −6

−8.010001111 |7.985910815 |∗100=0.3016599658 % 7.985910815

Ear 2= x 3=

−21.5−( 1∗x 1+1∗x 2 ) −21.5−( 0.4973260223+7.985910815 ) = =−5.996647367 5 5

|

Ear 3 =

|

−5.996647367−(−6.006737555) ∗100=0.1682638135 % −5.996647367

Quinta iteración: Valores de las variables x 1 a=0.4973260223 , x2 a =7.985910815, x 3 a=−5.996647367

x 1=

27−( 2∗x 2−1∗x 3 ) 10

=

27−( 15.97182163+ 5.996647367 ) =0.5031531003 10

|0.5031531003−0.4973260223 |∗100=1.158112311 % 0.5031531003

Ear 1 = x 2=

−61.5−( −3∗x 1 +2∗x 3 ) −6

=

−61.5−(−1.509459301−11.99329473 ) =7.999540995 −6

−7.985910815 |7.999540995 |∗100=0.170387024 % 7.999540995

Ear 2= x 3=

−21.5−( 1∗x 1+1∗x 2 ) −21.5−( 0.5031531003+7.999540995 ) = =−6.000538819 5 5

|

Ear 3 =

X1 X2 X3

Ear1 Ear2 Ear3

|

−6.000538819−(−5.996647367) ∗100=0.06485171044 % −6.000538819

Solución 0.5031531003 7.999540995 -6.000538819 Error máximo tolerado 1.158112311% 0.170387024% 0.06485171044%

11.15 De los tres conjuntos siguientes de ecuaciones lineales, identifique aquel(los) que no podría resolver con el uso de un método iterativo tal como el de Gauss-Seidel. Demuestre que su solución no converge, utilizando cualquier número de iteraciones que sea necesario. Enuncie con claridad su criterio de convergencia (es decir, cómo se sabe que no está convergiendo).

Conjunto uno. 8 x +3 y+ z=12

2 x+ 4 y−z =5 −6 x +0+7 z=1 n

Formulas a usar: x i=(ai ,n +1−∑ ai , j x j ( j ≠i ) )/aii j=1

|

Eari =

|

x i−x ia ∗100 x ia es el valor anterior de xi xi

Primera iteración: Valores de las variables x= y =z=0 x a=x=0

y a= y=0 z a=z=0

∗100=100 % |1.5−0 1.5 | 5−( 2∗x−1∗z ) 5−( 3+0 ) 0.5−0 ∗100=100 % y= = =0. 5 E =| 0.5 | 4 4 1−(−6∗x +0∗y ) 1 (−9 ) 1.428571429−0 E =| ∗100=100 % z= = =1.4 28571429 1.428571429 | 7 7 x=

12−( 3∗y +1∗z ) 12−( 0+0 ) = =1.5 8 8

Ear 1 =

ar 2

ar 3

Segunda iteración: Valores de las variables x a=1.5 , y a=0.5 , z a=1. 428571429 12−( 3∗y +1∗z ) 12−( 1.5+1.428571429 ) = =1.133928571 8 8 1.133928571−1.5 Ear 1 = ∗100=27.33333345% 1.133928571

x=

|

y=

|

5−( 2∗x−1∗z ) 5−( 2.267857142−1.428571429 ) = =1.040178572 4 4

|

Ear 2=

|

1.040178572−(0.5) ∗100=51.93133049 % 1.040178572

1−(−6∗x +0∗y ) 1−(−6.803571426+0 ) = =1.114795918 7 7 1.114795918−1.428571429 Ear 3 = ∗100=28.14645317 % 1.114795918 z=

|

|

Tercera iteración: Valores de las variables x a=1.133928571 , y a=1.040178572 , z a=1. 114795918 12−( 3∗y +1∗z ) 12−( 3.120535716+1.114795918 ) = =0. 9705835458 8 8 0.9705835458−1.133928571 Ear 1 = ∗100=16.82956876 % 0.9705835458 x=

|

y=

|

5−( 2∗x−1∗z ) 5−( 1.941167092−1.114795918 ) = =1.043407207 4 4

|1.043407207−1.040178572 |∗100=0.3094318862% 1.043407207

Ear 2=

1−(−6∗x +0∗y ) 1−(−5.823501275+0 ) = =0.9747858964 7 7 0.9747858964−1.114795918 Ear 3 = ∗100=14.36315627 % 0.9747858964

z=

|

|

Cuarta iteración: Valores de las variables x a=0. 9705835458 , y a=1. 043407207 , z a=0. 9747858964 12−( 3∗y +1∗z ) 12−( 3.130221621+ 0.9747858964 ) = =0.9868740 6 03 8 8 0.9868740603−0.9705835458 Ear 1 = ∗100=1.650718686 % 0.9868740603 x=

|

y=

|

5−( 2∗x−1∗z ) 5−( 1.973748121−0.9747858964 ) = =1.00025944 4 4 4

|1.000259444−1.043407207 |∗100=4.313657153% 1.000259444

Ear 2=

1−(−6∗x +0∗y ) 1−(−5.921244362+ 0 ) = =0.9887491945 7 7 0.9887491945−0.9747858964 Ear 3 = ∗100=1.412218409 % 0.9887491945 z=

|

|

Respuesta: En este caso con este conjunto de ecuaciones es posible resolver con el método de gauss-seidel independientemente del error máximo. Conjunto dos.

3 x+ y−z=4 x +4 y−z=4

x + y +5 z=7 n

Formulas a usar: x i=(ai ,n +1−∑ ai , j x j ( j ≠i ) )/aii j=1

|

Eari =

|

x i−x ia ∗100 x ia es el valor anterior de xi xi

Primera iteración: Valores de las variables x= y =z=0 x a=x=0

x=

4−( 1∗y−1∗z ) 4−( 0+ 0 ) = =1. 33 33333333 3 3

∗100=100 % |1.1.3 333333333−0 3 333333333 |

Ear 1 =

4− (1∗x−1∗z ) 4−( 1.333333333−0 ) = =0. 6666666667 4 4 0.6666666667−0 Ear 2= ∗100=100 % 0.6666666667 y a= y=0

y=

|

|

z a=z=0

z=

7− (1∗x+ 1∗y ) 7−(1.333333333+0.6666666667) = =1 5 5

|1−01|∗100=100 %

Ear 3 =

Segunda iteración: Valores de las variables x a=1.333333333 , y a=0.6666666667 , z a=1 4−( 1∗y−1∗z ) 4−( 0.6666666667−1 ) = =1.4444444444 3 3 1.4444444444−1.3333333333 Ear 1 = ∗100=7.692307692 % 1.4444444444 x=

|

y=

|

4− (1∗x−1∗z ) 4−( 1.4444444444−1 ) = =0. 8888888889 4 4

|

Ear 2=

|

0.8888888889−( 0.6666666667) ∗100=25 % 0.8888888889

7− (1∗x+ 1∗y ) 7− (1.4444444444 +0 .8888888889 ) = =0. 9333333333 5 5 0.9333333333−1 Ear 3 = ∗100=7.142857142% 0.93 33333333

z=

|

|

Tercera iteración: Valores de las variables x a=1.4444444444 , y a =0. 8888888889, z a=0. 93 33333333

4−( 1∗y−1∗z ) 4−( 0.8888888889−0.9333333333 ) = =1.348148148 3 3 1.348148148−1.4444444444 Ear 1 = ∗100=7.142857141 % 1.348148148

x=

|

y=

|

4− (1∗x−1∗z ) 4−( 1.348148148−0.9333333333 ) = =0. 8962962962 4 4

|

Ear 2=

|

0.8962962962−(0.8888888889) ∗100=0.82644462579 % 0.8962962962

7− (1∗x+ 1∗y ) 7− (1.348148148+ 0.8962962962) = =0. 951111111111 5 5 0.9511111111−0.9333333333 Ear 3 = ∗100=1.869158881% 0.9511111111 z=

|

|

Respuesta: En este caso con este conjunto de ecuaciones es posible resolver con el método de gauss-seidel; solo se necesitara cambiar de posición el primer y tercer ecuación para que la condición para resolver el conjunto con este método , independientemente del error máximo.

Conjunto tres. −x +3 y+ 5 z =7

−2 x+ 4 y−5 z=−3 0+2 y−z =1 n

Formulas a usar: x i=(ai ,n +1−∑ ai , j x j ( j ≠i ) )/aii j=1

|

Eari =

|

x i−x ia ∗100 x ia es el valor anterior de xi xi

En este conjunto de ecuaciones no es posible resolver o usar en este caso el método de gauss-seidel ya que no cumple con la condición que requiere para usar el método.