Método de Gauss-Seidel

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Método de Gauss-Seidel Representa una alternativa a los métodos de eliminación, es decir, métodos iterativos. Emplea valores iniciales y después itera para obtener mejores aproximaciones a la solución. Es particularmente adecuado cuando se tiene gran número de ecuaciones y el error es determinado por el número de iteraciones.

Método de Gauss-Seidel Las ecuaciones algebraicas lineales simultáneas en general se presentan como ◦  

. . .

. . .

Donde a: son los coeficientes constantes b: son los términos independientes constantes

◦ O bien en su forma matricial  

. . .

 ◦ Que

. . .

a su vez puede representarse como:

◦ Donde es la matriz de coeficientes, es el vector de incógnitas y el vector de términos independientes.

 

(a)

(b) (c) ◦◦  Suponga

que se limita a un conjunto de ecuaciones de 3x3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3, para obtener (a.1)

(b.1) (c.1)

Ahora, se puede empezar el proceso de solución al escoger valores iniciales para las x. Una forma simple para obtener los valores iniciales es suponer que todos son cero.

 Estos

ceros se sustituyen en la ecuación (a.1) , la cual se utiliza para calcular un nuevo valor x1=b1/a11.

(a.1 )

◦Luego  

se sustituye el nuevo valor de x1, con x3 aún en cero en la ecuación (b.1) con la cual se calcula el nuevo valor de x2. (b.1 )

 Los

(c.1)

nuevos valores de x1 y x2 ahora se sustituyen en la ecuación (c.1)

Después se regresa a la primera ecuación y se repite todo el procedimiento hasta que la solución converja suficientemente cerca a los valores verdaderos.

La convergencia se verifica usando el criterio para todas las i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas.

Ejemplo ◦◦  Use

el método de Gauss-Seidel para obtener la solución del sistema

◦

(1)

◦

(2)

◦

(3)

La solución real es x1=3, x2=-2.5 y x3=7

◦ Primero, despeje la incógnita sobre la diagonal para cada una de las ecuaciones. (1.1)

(2.1) (3.1)

◦◦  Suponiendo

que x2 y x3 son cero, se utiliza la ecuación (1.1) para calcular

(1.1 )

Este valor, junto con el valor de x3=0, se sustituye en la ecuación (2.1) para calcular (2.1 )

La primera iteración termina al sustituir los valores calculados para x1 y x2 en la ecuación (3.1) para dar (3.1 )

◦◦  En

la segunda iteración, se repite el mismo proceso para calcular

|εt|=0.31%

|εt|=0.015%

|εt|=0.0042% ◦ El método es, por lo tanto, convergente hacia la verdadera solución. Es posible aplicar iteraciones adicionales para mejorar los resultados.

Convergencia para el método de GaussSeidel