Metodo de Fourier en Economia

APLICACIONES DEL METODO DE FOURIER EN ECONOMIA. POR: ROBERTO BARREIRO MARCOS.

En economía, a veces se usa un método para buscar los periodos cíclicos de una serie, por ejemplo mediante la búsqueda de los ceros de la derivada de una función, que permite encontrar los picos y valles. Pero esto no es siempre conveniente, porque no podemos distinguir entre distintos valores de la frecuencia. Este método no es aplicable si ha y varias frecuencias distintas, esto quiere decir, que hay varios factores que influyen a estos ciclos, no uno solo. La transformada de Fourier de una función que depende del tiempo expresa esta función en términos de amplitudes y frecuencias que componen dicha función. Esto quiere decir que básicamente la transformada de Fourier descompone una función en unas series con distintas amplitudes y frecuencias. Al expresar la función en términos de la frecuencia, las derivadas con respecto al tiempo se hacen realmente sencillas en el espacio de frecuencias. Así un problema puede ser solucionado transformando la función al dominio de frecuencias, haciendo las operaciones deseadas, y devolver la función al dominio inicial, ya que se puede  pasar de un dominio al de frecuencias, se puede deshacer esta transformación. En un sentido estricto, el método de Fourier se refiere al proceso de descomposición de una función original en una serie de componentes más simples. El uso de la transformada de Fourier está bien establecida en la literatura de la econometría, como Gallant(1984), Gallant y Souza (1991), y Becker, Enders y Hurn (2004), que normalmente utilizan una o dos componentes de la aproximación de Fourier para imitar el comportamiento de una función desconocida. Antes que estos autores, Farley y Hinich (1970, 1975) estudiaron el método de aproximación para funciones trigonométricas de frecuencias bien establecidas, en el contexto de una tendencia. En economía es conveniente, y común, hacer esta descomposición en series del tiempo, más precisamente descritas como secuencias temporales, para poder estudiar la variación de una variable económica en el tiempo, mostrando para que frecuencias dicha variable es activa. El método de Fourier se usa ampliamente en el estudio de Econometría y estudio de los mercados financieros. Este estudio es comúnmente usado en variables cíclicas, o que depende de una temporada determinada, como el PIB o el desempleo. El análisis de Fourier es utilizado para cuantificar la importancia de las frecuencias que afectaran a estas variables en el tiempo, así como la longitud de los ciclos o de las fases (expansión o recesión). Las oscilaciones que queremos estudiar son recurrentes en el tiempo, pero tienen distinta amplitud y duración.

Las economías modernas tienen oscilaciones en sus actividades económicas. Mientras que en algunos momentos las industrias crecen y el desempleo es bajo, en otras ocasiones estas industrias trabajan por debajo de la capacidad y el desempleo crece. Las raciones de este comportamiento suelen ser la inflación,  política monetaria...La combinación de estos movimientos es conocida como ciclos económicos. Generalmente en economía se trabaja con magnit udes que han sido medidas en el tiempo, para ciclos, puntuales, anuales, trimestrales… Un modelo esquemático de un ciclo económico, descrito por la función (), que describe el comportamiento de los ingresos agregados de un grupo de  personas. Esta función tiene carácter exponencial y puede ser descrita por la figura 1. Como se observa los periodos de crecimiento y decrecimiento duran distinto tiempo, se podría decir que esta función tiene una tendencia. Nos interesa saber eliminar la tendencia para que asi los periodos de crecimiento y decrecimiento sean iguales, además nos interesa que la función sea simétrica. La función una vez eliminada la tendencia viene dada por la figura 2. Es interesante estudiar los puntos en los que los periodos de crecimiento y decrecimiento acaban. Aquí hay una división de opiniones entre los analistas que desean medir estos puntos de cambio, entre observar la frecuencia y fase de la función original, o la función sin tendencia. Los ciclos económicos normalmente tienen frecuencias muy bajas, lo que hace muy difícil saber con precisión los  puntos de retorno de estos ciclos con precisión. De hecho los picos y valles de la función, suelen ser el producto de unas componentes de frecuencias altas que se mantienen en los datos después de un ajuste de temporada.

 Figura 1, representación de una función arbitraria Y(t), en este caso una exponencial de un coseno. Las líneas discontinuas representan la tendencia.

 Figura 2, una vez que eliminamos la tendencia podremos estudiar de manera más simplificada los ciclos económicos a partir de esta gráfica.

En algunas ocasiones, la complejidad de las funciones a estudiar hace que no se observe fácilmente todas las frecuencias de la serie. Esto implica que la prioridad subyacente de una serie no este implícita en la observación de la gráfica. Para ello introducimos el periodograma, que sería el reflejo de las señales que nos interesan. El periodograma puede definirse como el método no paramétrico de estimación de frecuencias en una serie. Un ejemplo del método de Fourier aplicado en economía seria, por ejemplo el gasto real de los hogares por trimestres en un determinado país o región. Por ejemplo si analizamos estos datos para el reino unido entre los años 1956-2005 y los representamos, obtenemos la gráfica de la Figura 3. Donde se ha trazado un ajuste lineal para poder observar la tendencia que presenta esta variable económica. Esta tendencia es positiva para periodos de tiempos largos, muchos años, porque si analizamos lo que pasa localmente podríamos obtener periodos de decrecimiento. Al analizar periodos largos de tiempo (50 años en este caso) se  puede observar la tendencia de la variable trimestral.

 Figura 1. El gasto real de los hogares trimestrales en el Reino unido desde 1956 hasta 2005. Con un ajuste lineal para observar la tendencia.

Ahora si analizamos las desviaciones residuales con respecto a la tendencia, como se muestra en la Figura 4. Interpolando una función a esta gráfica, mediante el método de Fourier resulta trivial obtener los periodos de crecimiento y decrecimiento, al estudiar su derivada se pueden obtener dichos puntos. Debido a la sencillez de derivadas de una serie de funciones trigonométricas se obtiene un fácil método para hallar los puntos de retorno. Esto es una representación gráfica del ciclo económico que afecta al gasto real de los hogares por trimestres en un determinado país.

 Figura 4. Las deviaciones residuales con respecto a la tendencia de la función anterior, y un ajuste mediante el método de Fourier en el que se ven los ciclos económicos.

En economía, se suele usar otro método aparte de la transformada de Fourier, llamado Transformada Hilbert-Huang (HHT), esta transformada es un método relativamente nuevo para descomponer señales en términos de componentes adaptativas y obteniendo las frecuencias de dichas componentes. Las transformaciones que se presentan por este método están pensadas para funciones no estacionarias y no lineales. Ya que el método de Fourier trabaja con funciones lineales, no es aplicable a todas las variables económicas. Muchas variables económicas no se pueden expresar de manera lineal, como por ejemp lo la función de producción Cobb-Douglas, que viene dada por:

 =   Donde Y es la producción total, K es la entrada de capital, A un factor de  productividad, y  y β son coeficientes. Como se observa esta función no es lineal, aunque se podrían tomar logaritmos para llegar a una forma lineal, tomaría más trabajo. No es el objetivo de este trabajo analizar más en detalle este método. En el estudio de las series temporales descritas, conviene eliminar componentes estacional, irregular y tendencial, para así trabajar con componentes putamente cíclicas, para ello se usan filtros. Un filtro es un operador matemático que  permite pasar de una serie   a otra serie  .El filtro se aplica mediante

convolucion de la serie original con un vector de coeficientes. El propósito de los filtros es la identificación explicita y obtención de determinados elementos, de interés para el análisis, a partir de la serie original  , como por ejemplo nos interesa sacar la tendencia, periodicidad y el ruido de una serie para su estudio. En el campo de la economía el filtro más conocido puede ser el filtro de HodrickPrescott, este filtro es una de las técnicas más usadas por los analistas para observar los ciclos de una serie, y poder calcular la tendencia de esta. El filtro de Hodrick-Prescott descompone la serie original en dos componentes, una como la tendencia y la otra como una serie cíclica. En conclusión sobre las aplicaciones del método de Fourier en economía, se  pueden obtener resultados muy amplios en todos los estudios sobre ciclos económicos, pero en ocasiones estos ciclos económicos están ocultos, es decir, no se ven en un primer estudio, y hay que aplicar otros métodos, como filtros,  para poder estudiarlos. Además de esto, como son ciclos muy largos comúnmente, no podemos hacer predicciones a corto plazo, debido a la imprecisión que obtendríamos al hacer cálculos, y las predicciones a largo plazo son imposibles, debido a que los mercados son imprevisibles, con una cantidad de variables que resultan casi imposibles de analizar. Pero el Metodo de Fourier resulta bastante eficiente para ver tendencias de las variables, y además  podremos saber si nos encontramos en, por ejemplo un estado de recesión. La fiabilidad del método de Fourier ser reduce a tener variables lineales, y a veces no presenciamos dichas variables, por lo que en vez de transformar la función a otra lineal, existen métodos para estudiarlas sin ningún cambio aparente, como la transformada Hilbert-Haung que es ampliamente usada.