Metodo de Euler

 

Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Tema 4 Métodos de Aproximación Numérica Ejercicios resueltos IV.4-1  Usar el método de Euler para aproximar aproximar la solución del del P.V.I. dado en llos os puntos x = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 usando tamaño de p paso aso h = 0.1. x ü = - ïïï dx y    ï y (0) = 4 ï ïï dy

a)

ü ï = x + y ï ï dx    ï y (0) = 1 ï ï ï  dy 

b)

Solución

yn +1  = yn +  h  ⋅ f (x n , yn  )    x ü = - ïïï dx y  ï  y (0) = 4 ï ï ï dy

a)

x 0  =   0 

y 0  =   4

  x 1  =   0, 1  

  æ 0ö y1 = y 0 + h  ⋅ f (x 0 , y 0 )  = 4 + 0,  1 ⋅ çç  -  ÷÷ =  4   è 4ø

x 2  =   0, 2  

  æ 0, 1ö y2 = y1 + h  ⋅ f (x 1 , y1 )  = 4 + 0,  1 ⋅ çç  -   ÷÷ = 3, 9975   è 4 ø   ⋅

æ

  ⋅ç

0, 2 ö÷

x 3  =   0, 3  

y3 = y2 + h f (x 2 , y2 )  = 3, 9975 + 0, 1 èç  - 3,9975   ø÷ = 3, 9925  

x 4  =   0, 4  

y4 = y 3 + h  ⋅ f (x 3 , y 3 )  = 3, 9925 + 0,  1 ⋅ çç  -

x 5  =   0, 5  

y5 = y4 + h  ⋅ f (x 4 , y 4  ) = 3, 2411 + 0,  1 ⋅ çç  -

æ 0, 3 ö÷ ÷ = 3, 2411     èç 3,9925 ø÷

æ 0, 4 ö÷ ÷ = 3, 2288     èç 3,2411 ø÷

ü ï = x + y ï ï  dx   ï y (0) = 1 ï ï ï  dy 

b)

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA  Ana Isabel Allueva Pinilla

– José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 1

 

x 0  =   0 

y 0  =   1

  x 1  =   0,1  

y1 = y 0 + h  ⋅ f (x 0 , y 0 )  = 1 +  0,  1 ⋅ (0   + 1) =  1,1  

x 2  =   0, 2  

y2 = y1 + h  ⋅ f (x 1 , y1 )  = 1, 1  + 0,  1 ⋅ (0 , 1 + 1, 1) = 1, 22

    ⋅ 3

3

2

  ⋅ 2

2

x    =   0, 3  

y = y + h f (x  , y )  = 1, 22  + 0, 1 (0 , 2 + 1, 22) = 1, 36 362

x 4  =   0, 4  

y 4 = y 3 + h  ⋅ f (x 3 , y 3 )  = 1, 3 36 62  + 0,  1 ⋅ (0 , 3 + 1, 3 36 62) = 1, 5 52 282

 

  y5 = y 4 + h  ⋅ f (x 4 , y 4 )  = 1, 52 528 2 + 0,  1 ⋅ (0,  4 + 1, 52 5282) = 1, 72 72102

x 5  =   0, 5  

 

olución del P.V.I. dado en IV.4-2  Usar el método de Euler para aproximar la ssolución Tomar diferentes pasos, h = 1, 0.5, 0.25.

x = 1.

ü ï dx  = 1 + xsen xsen (xy )ï   ï ï y (0) = 0 ï ï  dy 

Solución

h=1 x 0  =   0 

y 0  =   0

  x 1  =   1 

y1 = y 0 + h  ⋅ f (x 0 , y 0 )  = 0  + 1  ⋅ (1   + 0) = 1  

h = 0.5 x 0   0    =   x 1  =   0, 5  

y 0  =   0 y1 = y 0 + h  ⋅ f (x 0 , y 0 )  = 0 +  0,  5 ⋅ (1   + 0) =  0, 5  

x 2  =   1  y2 = y1 + h  ⋅ f (x 1 , y1 ) = 0, 5 + 0,  5 ⋅ ( 1 + 0,  5 ⋅ sen (0 , 5 ⋅ 0, 5  )) = 1,06185  

h = 0.25 x 0  =   0 

y 0  =   0

  x 1  =   0,25  

y1 = y 0 + h  ⋅ f (x 0 , y 0 )  = 0 +  0, 2   + 0) = 0, 25     5 ⋅ (1

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA  Ana Isabel Allueva Pinilla

– José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 2

 

x 2  =   0, 5   y2 = y1 + h  ⋅ f (x 1 , y1 ) = 0, 25 + 0, 2   + 0, 2   5  ⋅ (1   5 ⋅ sen (0,  25 ⋅ 0, 2 5)) = 0,503904  

x 3  =   0,75   y 3 = y2 + h  ⋅ f (x 2 , y2 ) = 0, 5   + 0,  5 ⋅ sen (0,  5 ⋅ 0, 5 50 03904 + 0,  2 25 5 ⋅ (1 50 03 904)) = 0,785066

  x    =   1  4

y 4 = y 3 + h  ⋅ f (x 3 , y 3 ) = 0, 7 78 85066 + 0,  2 25   5 ⋅ (1  + 0,  7755 ⋅ sen (0,  75 75 ⋅ 0, 7 78 85 066)) = 1,1392

 

ta maño de paso h = 0.1 para aproximar IV.4-3 Usar el método de E uler mejorado con tamaño la solución del P.V.I. dado en los puntos x = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1 1.5. .5. ü dy  ï = x - y 2 ï ï dx    ï ï y (1) = 0 ï ï   

Solución

h  yn +1 = yn +     ⋅ éê f (x n  , yn ) + f (x n + h, yn + hf (x n , yn )  )ùú    û 2 ë x 0  =   1 

y 0  =   0

  x 1  =   1, 1  

y 1 =   0 +  0,  0 05 5 ⋅ éë1  + 1, 1 - 0.12 ùû = 0.1045  

x 2  =   1, 2  

  ⋅ éê1,  1 - (0, 10 y2 =   0, 0, 10 1045 + 0, 05 1045) + f  (1, 2; 2; 0, 0, 21 213408)ùú   2

ë

y 2 =   0, 0, 10 104 5 + 0,  05 05 ⋅ êé1,  1 - (0, 10 1045) + 1, 2 - (0, 21 213408) ùú 2

2

ë

x 3  =   1, 3  

û

û = 0,216677  

y3 =   0, 0, 21 216677 + 0, 05 0 216677)2 + f  (1, 3; 3; 0, 0, 331982)úûù     5 ⋅ êëé1,  2 - (0, 21 2 2 y 3 =   0, 0, 21 2166 77 + 0,  05 05 ⋅ éê1,  2 - (0, 21 216677) + 1, 3 - ( 0,331982) ùú = 0,333819  

ë

x 4  =   1, 4  

û

y4 =   0, 0, 33 333819 + 0, 05 333819) + f  (1, 4; 4; 0, 0, 452675)ùú     ⋅ éê1,  3 - (0, 333 2

ë

û

y 4 =   0, 0, 33 3338 19 + 0, 05 0 333819) + 1, 4 - ( 0,452675) ùú = 0,453002     5 ⋅ éê1,  3 - (0, 33 2

2

ë

x 5  =   1, 5  

y5 =   0, 0, 45 453002 + 0,  05 05 ⋅ êé1,  4 - (0, 45 453002) + f  (1, 5; 5; 0, 0,  46 46495)úù   2

ë û 2 2 y 5 =   0, 0, 45 4530 02 + 0, 05 0 453002) + 1, 5 - (0, 46 46495) úù = 0,465395     5 ⋅ êé1,  4 - (0, 45 ë û

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA  Ana Isabel Allueva Pinilla

û

– José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 3

 

IV.4-4 Usar el algoritmo de Euler mejorado para aproximar la solución del P.V.I. dado en x = 1 con tamaño de paso 0.25. ü dy  ï = 1 - y - y 3 ï ï dx    ï ï y (0) = 0 ï ï   

Solución

h  yn +1 = yn +     ⋅ éê f (x n  , yn ) + f (x n + h, yn + hf (x n , yn )  )ùú    û 2 ë x 0  =   0 

y 0  =   0

  x 1  =   0,25   y1 = 0 +

x 2  =   0, 5  

0,25  

2

⋅ [1   + f  (0, 25; 0, 25)  ] =

y2 = 0, 21 216797 +

y  = 0, 21 21679  7 +

ë

û

0,25 é   ⋅ 1   - 0, 21 216797 - 0, 21 216797 3 + f  (0, 5; 5; 0, 0,41005)ùû   ë 2

0,25 2

3 0, 1  25 ⋅ êé1  +   1 - 0, 25 - (0, 25) úù = 0,216797  

3

3

0, 21 216797 - 0, 21 216797 + 1 - 0, 0 ,41005 - 0,41005 ùû = 0.378549   - 0, 2  ⋅ ëé1

  x 3  =   0,75  

y 3 = 0, 37 378549 +

  9+ y 3 = 0, 37 37854

0,25  

2

0,25  

378549 - 0, 37 378549 ⋅ é1   - 0, 37

ë

2

0, 37 378549 - 0, 37 378549 ⋅ é1   - 0,

3

ë

3

75; 0, 0,52035)ûù   + f  (0, 75

0 ,52035 - 0,520353 ùû = 0,491794 + 1 - 0,

  x 4  =   1 

y 4 = 0, 49 491794 +

 4+ y 4 = 0, 49 49179

0,25  

2

491794 - 0, 49 491794 ⋅ é1   - 0, 49

ë

3

0,589109)ûù   + f  (1; 0,

0,25 é   ⋅ 1  ë - 0, 0, 49 491794 - 0, 49 491794 3 + 1 - 0 ,5 ,589109 - 0,5891093 ùû = 0,566257 2

 

IV.4-5 Determinar las fórmulas recursivas del método de Taylor de orden 2 para el P.V.I.  

dy 

ü ï = cos (x + y )ï ï

dx  y (0)  = p

 

ï ï ï ï 

Solución

h2

h p

yn +1  = yn + h  ⋅ f (x n , yn ) +   ⋅ f2 (x n  , yn ) +  +   ⋅ fp (x n , yn  )    2! p! Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA

 

 Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 4

 

 f2 (x  n , yn  ) =  y ¢¢ (x ) = ( cos (x + y ))¢ =  - (1 + y ¢) sen   (x + y ) =

 

= - (1 + cos (x + y )) se n (x + y ) = -sen (x + y ) - cos (x + y )sen (x + y ) 

yn +1  = yn   + h  ⋅ cos (x n + yn ) -

h 2 2!

(1 + cos (x

n

+ yn )) se n (x n + yn )  

 

método étodo de T Taylor aylor de orden 2 ccon on h = 0.25 para aproximar la solución IV.4-6  Usar el m del P.V.I. dado en x = 1. ü dy  ï = x + 1 - y ï ï dx    ï ï y (0) = 1 ï ï  Comparar esta aproximación con la solución verdadera, y = x + e -x   evaluada en x = 1.   ,

Solución 2

yn +1  = yn + h  ⋅ f (x n , yn ) + h   ⋅ f2 (x n , yn )    2!

 

 f2 (x  n , yn  ) =  y ¢¢ (x ) =   (x + 1 - y )¢ =   (1 - y ¢) = -x + y   x 0  =   0 

y 0  =   1

  x 1  =   0,25  

x 2  =   0, 5

y1 = y 0 + h  ⋅ f (x 0 , y 0 ) +   ⋅ f2 (x 0  , y 0 )  = 1, 03125   2! h 2

 

y2 = y1 + h  ⋅ f (x 1 , y1 ) + 2  ! ⋅ f2 (x 1  , y1 )  = 1, 11035

x 3  =   0,75  

x 4  =   1 

h 2

 

h 2

y 3 = y2 + h  ⋅ f (x 2 , y2 ) +   ⋅ f2 (x 2  , y2 )  = 1, 22684   2! h 2

y 4 = y 3 + h  ⋅ f (x 3 , y 3 ) +   ⋅ f2 (x 3  , y 3 )  = 1, 37253   2!

y = x + e -  x   y ( 1) = 1  + e -1  = 1, 36788  

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA  Ana Isabel Allueva Pinilla

– José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 5

 

método odo de R Runge-Kutta unge-Kutta de ccuarto uarto o orden rden co con n h = 0.25 para aproximar la IV.4-7  Usar el mét solución del P.V.I. dado en x = 1: ü dy  ï = 2y  - 6ï ï dx    ï ï y (0) = 1 ï ï   2x 

Comparar esta aproximación con la solución verdadera, y   = 3 - 2  e   evaluada en x = 1.  ,

  Solución

ïïü ï ï æ h k 1 ö÷ï ï k2 = h  ⋅ f çç x n + , yn   +   ÷÷ï è 2   2 øï ï   æ h k  öï k 3 = h  ⋅ f çç x n + , yn   +  2 ÷÷÷ï ï è 2   2 øï ï ï k 4 = h  ⋅ f ( x n + h, yn  + k 3  )  ï ïï  k1 = h  ⋅ f (x n , yn  )  

üï ï ï   1 = yn  +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 )ïï  ï 6 

x n +1 = x n  + h  yn +1

 

 

n =0

x 0  =   0 

y 0  =   1

n =1

x 1  =   0,25  

1 y1 = y 0 +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k3 + k 4 )  = -0, 296875   6 k1 = h  ⋅ f (x 0 , y 0  ) = - 1   ïïü

ï ï ï æ h k 1 ÷ö k2 = h  ⋅ f çç x 0 + , y 0  + ÷÷ = -1, 25  ï ïï è 2 2  ø ï   ï æ h k  ö ï k 3 = h  ⋅ f çç x 0 + , y 0  + 2 ÷÷÷ = -1, 31 25 ï   ï è 2 2  ø ï ï ï k 4 = h  ⋅ f ( x 0 + h, y 0 + k3 )  = -1, 65  625ï ï 

n =2

x 2  =   0, 5  

1 y2 = y1 +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k3 + k 4 )  = -2, 434692   6 k1 = h  ⋅ f (x 1 , y1  ) = - 1, 648437 5 ïïü

ï ï ï æ h k 1 ö÷ ï k2 = h  ⋅ f çç x 1 + , y1 +   = 2 , 0 6 0 5 5   ï ÷ ÷   ï è 2 2ø ï   ï æ h k  ö ï k3 = h  ⋅ f çç x 1 + , y1 +   2 ÷÷÷ = -2, 16  36 ï   ï è ø 2 2 ï ï k4 = h  ⋅ f ( x 1 + h, y1 + k 3 )  = -2, 73 02 ï ïï  n =3

x    =   0,75   3

1 y 3 = y2 +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k3 + k 4 )  = -5, 95875   6

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA  Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 6

 

üï ï ï ï ï æ h k 1 ö÷ ï = k2 = h  ⋅ f çç x 2 + , y2 +   3 , 3 9 6 6 8   ï ÷ ÷   ïï è 2 2ø   ï æ h k 2 ö÷ k3 = h  ⋅ f çç x 2 + , y2  + ÷÷ = -3, 56  65 ï ïï è 2 2  ø ï ï k4 = h  ⋅ f ( x 2 + h, y2 + k 3 )  = -4, 50 06 ï ïï  k1 = h  ⋅ f (x 2 , y2  ) = - 2, 71735  

n =4

1 y 4 = y 3 +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 )  = -11, 7679   6 üï k1 = h  ⋅ f (x 3 , y 3  ) = - 4, 47938   ï

x 4  =   1 

ï ï ï æ h k 1 ö÷ k2 = h  ⋅ f çç x 3 + , y 3  + ÷÷ = -5, 59 92 ï   ïï è 2 2  ø ï   ï æ h k  ö ï k 3 = h  ⋅ f çç x 3 + , y 3  + 2 ÷÷÷ = -5, 8792   ï   ï è ø 2 2 ï ï ï k 4 = h  ⋅ f ( x 3 + h, y 3 + k3 )  = -7, 41  89 ï ï 

2x 

y = 3 - 2e 

2

 y ( 1) =

3 - 2e =  -11, 7781  

IV.4-8 Usar el método de Rung Runge-Kutta e-Kutta de cuarto ord orden en con h = 0.25 para aproximar aproximar la solución del P.V.I. dado en x = 1. ü dy  ï = x + 1 - y ï ï dx    ï ï y (0) = 1 ï ï   

Solución

ïïü æ h k  öï ï k2 = h  ⋅ f çç x n + , yn   +  1 ÷÷÷ï   ï è 2 2 øï   æ h k 2 ö÷ï k 3 = h  ⋅ f çç x n + , yn   +   ÷÷ï ï è 2   2 øï ï ï ï k 4 = h  ⋅ f ( x n + h, yn  + k 3  )  ï ï  k1 = h  ⋅ f (x n , yn  )  

üï ï ï   1 = yn  +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 )ïï  ï 6 

x n +1 = x n  + h  yn +1

 

 

n =0

x 0  =   0 

y 0  =   1

n =1

x 1  =   0,25  

1 y1 = y 0 +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k3 + k4 )  = 1, 0288   6

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA  Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 7

 

ïïü ï ï ï æ h k 1 ö÷ ï k2 = h  ⋅ f çç x 0 + , y 0  + ÷÷ = 0, 03  125 ï  2 ø ïï è 2   ï æ h k 2 ö÷ k3 = h  ⋅ f çç x 0 + , y 0  + ÷÷ = 0, 02  734ï  2 ø ïï è 2 ï ï k4 = h  ⋅ f ( x 0 + h, y 0 + k 3 )  = 0, 05 566 ï ïï 

k1 = h  ⋅ f (x 0 , y 0  ) = 0

 

n =2

x 2  =   0, 5  

1 y2 = y1 +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k3 + k 4 )  = 1, 10654   6 k1 = h  ⋅ f (x 1 , y1  ) = 0, 05 ïü 05529   ï

ï ï ï æ h k 1 ö÷ ïï k2 = h  ⋅ f çç x 1 + , y1 +   = 0 , 0 7 9 6 3   ÷ ÷   ï è ø 2 2 ï   ï æ h k  ö ï k 3 = h  ⋅ f çç x 1 + , y1 +   2 ÷÷÷ = 0, 07  659ï   ï è 2 2ø ï ï k 4 = h  ⋅ f ( x 1 + h, y1 + k 3 )  = 0, 09 864 ï ïï  n =3

x 3  =   0,75  

y 3 = y2 + 1  ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k3 + k 4 )  = 1, 22238   6 üï k1 = h  ⋅ f (x 2 , y2  ) = 0, 09 098364  ï

ï ï ï æ h k 1 ÷ö ïï ç = k2 = h  ⋅ f ç x 2 + , y2 +   0 , 1 1 7 3 1 8   ÷ ÷   è ø 2 2 ïï    ï æ h k 2 ö÷ ïï = k3 = h  ⋅ f çç x 2 + , y 2 +   0 , 1 1 4 9 4 9   ÷ ÷   ïï è 2 2ø ï k4 = h  ⋅ f ( x 2 + h, y2 + k 3 )  = 0, 122  126 ï ïï  n =4

x 4  =   1 

1 y 4 = y 3 +   ⋅ (k  1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 )  = 1, 36789   6 k1 = h  ⋅ f (x 3 , y 3  ) = 0, 1319  

ïü ï ï ï æ h k 1 ÷ö ï k2 = h  ⋅ f çç x 3 + , y 3  + ÷÷ = 0, 14  666ï   ï è 2 2ø ï   ï æ h k  ö k3 = h  ⋅ f çç x 3 + , y 3  + 2 ÷÷÷ = 0, 14  482ï  2 ø ïïï è 2 ï ï k4 = h  ⋅ f ( x 3 + h, y 3 + k 3 )  = 0, 15 819 ï ï 

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA  Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 8