Metodo de Diseno Directo hormigon

Hormigón II

Dr. David Wong Diaz

HORMIGON II

DISEÑO DE LOSA EN DOS DIRECCIONES APOYADA SOBRE VIGAS POR EL MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO La losa en dos direcciones de un edificio forma parte de un sistema de pisos de tres tableros  por lado, apoyado monolíticamente monol íticamente por vigas. Cada tablero tiene 18 1 8 pies (5.49 m) centro a centro en la dirección N-S y 24 pies (7.32 m) centro a centro en la dirección E-W, como se muestra en la Figura 1. La altura del claro entre pisos es de 16 pies. Las dimensiones de las vigas de apoyo y de las columnas son también mostradas en la la Figura 1. El edificio está está sujeto a cargas de gravedad gravedad solamente. Dado: Carga Viva = 135 psf. (6.40 kPa) MPa), concreto de peso normal.  ƒ’c = 4000 psi (27.6 MPa),  ƒy = 60,000 psi (414 MPa)

Diseñar el tablero interior y el tamaño y espaciado del refuerzo necesitado. Considerar el  peso del piso es de 14 psf en adición al peso propio de la losa. Asumir que βc > 2.5.

Donde βc es la relación del lado largo al lado corto de la columna.

16 × 16 plg. columna

12 plg.

12 plg. 18 pies

24 pies

Figura 1. Esquema del piso de un panel interior 1

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 Solución:  Paso 1: Revisión de la geometría para determinar si se puede usar el método de diseño directo. ACI 13.6.1. (a) Más de tres tableros en cada dirección (cumple con ACI 13.6.1.1) (b) Relación claro mayor / claro menor = 24/18 = 1.33 < 2 (cumple con la limitación del ACI 13.6.1.2. (c) Asumiendo un ancho de 7 plg. se calculan la carga muerta y la carga viva y se comparan para determinar que la carga viva no exceda 2 veces la carga muerta como lo exige el Código ACI 13.61.5.

γconcreto = wd

3

150 lb/pie

 = 14 + 7 × 1 ×150 = 101.5 psf. 12

2wd = 203 psf. wl = 135 psf < 2 wd Por lo antes comprobado, el método de diseño directo es aplicable.  Paso 2: Espesor mínimo de viga para control de defecciones. ACI 9.5.3.3 Se calcula las longitudes de los claros libres: l n (E – W) = 24 × 12 – 2 × 8 = 272 plg. l n (N –   S) = 18 ×12 - 2×8 = 200 plg. Se calcula β, que es la relación entre la longitud de la luz libre en la dirección larga y la correspondiente en la dirección corta.

β  =

272 plg. = 1.36 200 plg.

Las dimensiones de la viga se suponen 12 × 20 plg. y usando el valor tentativo dehƒ = 7  plg. la proyección efectiva del ala más allá de la cara de la viga es la menor de: 4hƒ  = 4 × 7 = 28 plg. ó

h - hƒ  = 20 – 7 = 13 plg.

En este caso gobierna h - hƒ = 13 plg. Por lo tanto b = 2 × 13 + 12 = 38 plg.

2

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Dr. David Wong Diaz y 38 plg. 7 plg. A 20 plg

A

13  plg ỹ 45º

x 12 plg.

Figura 2. Sección de viga Para calcular el espesor h de la losa por medio de las ecuaciones del ACI se debe calcular

αm que representa el valor promedio de α que es la relación entre la rigidez a flexión de la sección de una viga a la rigidez a flexión de una franja de losa limitada lateralmente por los ejes centrales de los tableros adyacentes en cada lado de la viga.

α=

EcbI b EcsIs

Donde Ecb = módulo de elasticidad del concreto de la viga. Ecs = módulo de elasticidad del concreto de la losa. I b = momento de inercia respecto al eje centroidal de la sección total de una viga, según se define en la sección 13.2.4. del Código ACI. Is = momento de inercia respecto al eje centroidal de la sección total de la losa. Localizando el eje centroidal de la sección mostrada en la Figura 2:

y=

Σ ỹA ΣA

=

[6.5×13×12] + [16.5×7×38] [13×12] + [38×7]

= 12.8 plg.

Se calculan los momentos de inercia I b e Is : I b =

Σ Ī-A-A

+

Σ Ady2

=

3

2

[(1/12×12×13 ) + (12×13×(12.8-6.5) )] 3

2

+ [(1/12×38×7 )+(38×7×(0.2+3.5) ] 4

I b  = 13,116.4 plg.

3

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3

Is = h /12 × el ancho de losa limitado lateralmente por el eje central del tablero adyacente a cada lado de la sección de las vigas mostrado en la Figura 1. 3

4

Is1 (N-S) = 7 × 24 × 12 = 8,232 plg. 12  3

4

Is2 (E-W) = 7 × 18 × 12 = 6,174 plg. 12

Los módulos de elasticidad para el concreto de la losa y el concreto de la viga son los mismos. Luego

α1 =

13,116.4 8232

α m= Para 0.2 <

αm

13,116.4 6174

α 2 =

= 1.59

1.59 × 2 + 2.12 × 2 4

= 2.12

= 1.86

< 2.0, el peralte mínimo según ACI 9.5.3.3.b, será de:

h =

┌  l n │0.8 + └  

ƒy 200,000

 ┐ │  ┘

> 5 plg.

36 + 5β (αm –  0.2)

Donde l n = longitud libre de la luz en la dirección larga, en pulg.

h =

┌ 60,000 ┐ 272 │0.8 + │ └ 200,000 ┘ 36 + 5 × 1.36 (1.86 –  0.2)

= 6.29 plg. > 5 plg..

El peralte mínimo para este caso resultó h = 6.29 plg. (16 cm.). Por lo tanto, para efectos de deflexión, usar h = 7 plg. (17.8 cm.)

4

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 Paso 3 al 5: Cálculo del momento estático. ACI 13.6.2 2

Para la losa de 7 plg de espesor más la carga del piso de 14 lb/pie , la carga muerta: 3

2

D = 7/12 pie × 150 lb/pie   + 14 lb/pie

= 88 psf + 14 psf = 102 psf.

La carga de diseño es: wu = 1.2D + 1.6L wu = 1.2×102 + 1.6×135 wu  = 338 psf E -W l n1 = 272 plg. = 22.7 pies  N -S l n2 = 200 plg. = 16.7 pies El valor de ln empleado para calcular el momento estático debe ser mayor de 0.65l1 según ACI 13.6.2.5: 0.65l1 = 15.6 pie

usar l n1 = 22.7 pies

0.65l2 = 11.7 pie

usar l n2  = 16.7 pies

(a) Dirección E -W M0

≥

2

wul 2l  n1 8

según ACI 13.6.2.2 2

M0  = 338 ×18.0×22.7 8

= 391,878 lb-pie

(532 kN-m)

Factores de distribución de momentos para tableros interiores de acuerdo a la sección 13.6.3.2 del Código ACI.

 – Mu =

0.65M0 = 0.65 × 391,878 = 254,720 lb-pie

+Mu = 0.35M0  = 0.35 × 391,878 = 137,157 lb-pie

(b) Dirección N-S 2

M0  = 338 ×24.0×16.7 8

= 282,794 lb-pie

(384 kN-m)

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Factores de distribución de momentos para tableros interiores de acuerdo a la sección 13.6.3.2 del Código ACI.

 – Mu =

0.65M0 = 0.65 × 282,794 = 183,816 lb-pie (249 kN-m)

+Mu = 0.35M0  = 0.35 × 282,794 = 98,978 lb-pie

(134 kN-m)

 Paso 5 al 7: Distribución de Momento en las franjas de columnas y en franjas intermedias.  ACI 13.6.4

(a) E -W: Razón de rigi dez (tramo largo) Para calcular los momentos de la franja de columna como porcentaje del momento total de la sección crítica se debe obtener los valores siguientes:

α=

EcbI b2 EcsIs2 

l 2 18 = = 0.75 l 1 24

=

13,116.4 6174

= 2.12

α

l 2 = 1.59 l 1

> 1.0

Los momentos en la franja de columna como porcentaje del momento total deben interpolarse linealmente, si es necesario, de las siguientes tabla que se encuentran el código ACI 13.6.4.1: -

-

Momentos Negativos interiores l 2 /l 1

0.5

1.0

2.0

(α1l 2 /l 1) = 0 (α1l 2 /l 1) ≥ 0

75

75

75

90

75

45

l 2 /l 1

0.5

1.0

2.0

(α1l 2 /l 1) = 0 (α1l 2 /l 1) ≥ 0

60

60

60

90

75

45

Momentos Positivos

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A partir de los coeficientes de momento factorizados para la franja de columna de un tablero interior, los factores para los momentos de la franja de columna en este tablero se interpolan linealmente de la siguiente manera:

-M:

0.75 +

0.9 –  0.75 0.5 0.25

= 0.83

+M:

0.75 +

0.9 –  0.75 0.5 0.25

= 0.83

=

13,116.4 8232

= 1.59

α

l 2 = 2.12 l 1

> 1.0

(b) N - S: Razón de rigidez

α=

EcbI b2 EcsIs2 

l 2 24 = = 1.33 l 1 18

Por lo tanto para obtener los factores de momento, en este caso, se usan las mismas tablas. Por interpolación lineal se obtiene:

-M:

0.75 - (0.75 –  0.45) 1 3

= 0.65

+M:

0.75 - (0.75 –  0.45) 1 3

= 0.65

Los momentos distribuidos son, entonces, evaluados usando los factores interpolados arriba, para producir la tabla de distribución de momentos (Tabla 1). Nótese de ésta tabla que la relación de rigidez de la losa con relación a las vigas de apoyo para la relación de claro en este ejemplo ha producido momentos en la mitad de la franja central en la dirección N-S, que son mayores que los momentos en la dirección E-W. 7

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Tabla 1. Tabla de Operaciones de Distribución de Momento

Franja de Columna

Dirección E-W l2/l1: 18/24 = 0.75 α1(l 2/l1): 2.12 × 0.75 = 1.59 Momento Momento Negativo Positivo

Dirección N-S 24/18 = 1.33

1.59 × 1.33 2.12 Momento Negativo

Momento Positivo

Mu (lb-pie)

254,720

137,157

183,816

92,978

Factor de distribución (%)

83

83

65

65

Momento total de diseño de franja de columna (lb-pie)

211,418

113,840

119,480

60,436

Momento de viga, 85%

179,705

96,764

101,558

51,371

Momento en la losa (lb-pie)

31,713

17,076

17,922

9,065

Momento total de diseño de franja central (lb-pie)

254,720 × 0.17 43,403

137,157 × 0.17 23,317

183,816 × 0.35 64,336

92,978 × 0.35 32,542

Verificando espesor de losa por capacidad a cortante: en la dirección larga E-W Según se exige en la sección 13.6.8.1 del código ACI:

α = 2.12 l 2 = 18 plg.

α

l 1 = 24 plg.

l 2 = 1.59 l 1

> 1.0

Como α >1.0 el cortante se transmitirá a las vigas perimetrales de la losa, de acuerdo con un área tributaria limitada por la línea de 45º que parte de la esquina del tablero y se une en la línea central paralela al lado largo del tablero. La mayor parte de las cargas se deben transportar en la dirección más corta, con el valor más grande en el paño del primer apoyo interior. El cortante factorizado que cubre el claro en la dirección corta en la franja de 12 pulgadas de ancho se puede tomar aproximadamente como:

V u  = 1.15

W ul n2 = 2

1.15 × 338.0 × (16.7 × 12) 2 × 12

= 3246 lb / pie de ancho

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En donde el valor de 1.15 es el factor de continuidad según las expresiones aproximadas de análisis que se incluyen en el ACI 8.3.3 para cortante en elementos finales en la acara del  primer apoyo interior. El peralte efectivo (d ) de la losa será: d  = h f   –  Recubrimiento –  ½ Diámetro de la barra d  = 7 –  0.75 –  0.25 = 6.0 plg. Según el código ACI la resistencia de diseño por cortante debe tomarse igual a V c, con  = 0.85 como es usual para cortante. Entonces el requisito básico es V u <

V c.

Según el código del ACI 11.3.1.1 para elementos sujetos a cortante y flexión:  ___ V c = (2 × √ f ´c b d  )  _____ V c = 0.85 × 2 × √ 4000 × 12 × 6 = 7741 lb. V u <

V c por lo tanto es seguro

 Paso 7 al 8: Acero de refuerzo para la losa El acero mínimo A s usando f  y = 60,000 psi, como la sección transversal de la tiene forma de T, se utiliza la ecuación  A s = (1.8 f’ c

 b  h) / fy = 0.0018  12  7 = 0.15 plg.2/12

 plg. de franja. Para barras No. 3, la separación entre las barras longitudinales será de s = 0.11/(0.15/12) = 8.8 plg. a los centros; usando barras No. 3 @ 8.5 plg. centro a centro. Los momentos para una franja de 12 pulgadas de ancho deben ser evaluados:

(a) Di rección E  –  W:  Franja de columna ( ¼ l 2 ) De la Tabla 1, (-)Mu = 31,713 lb-pie y (+)Mu = 17,076 lb-pie - Mn =

31,713 = 35,237 lb - pie  = 0.9

y

+Mn =

17,076  = 0.9

= 18,973 lb –  pie.

¼ l 1 = 0.25  24 pies = 6.0 pies ¼ l 2 = 0.25  18 pies = 4.5 pies ¼ l 2 < ¼ l 1 9

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Por esto la mitad de la franja de columna de 4.5 pies controla. El ancho neto de la losa en la franja de columna donde actúa el momento es 2  4.5 – 38 plg./12 = 5.83 pies.

-M unitario requerido por franja de 12 plg. =

35,237  12 = 72,529 lb-plg. 5.83

+M unitario requerido por franja de 12 plg. =

18,973  12 5.83

= 39,053 lb-plg.

 Franja central De la Tabla 1, (-)Mu = 43,403 lb-pie y (+)Mu = 23,317 lb-pie

- Mn =

43,403  = 0.9

= 48,226 lb-pie

y

+Mn =

23,317  = 0.9

= 25,908 lb-pie.

ancho de franja = 18 –  9.0 = 9.0 pies - M unitario requerido por franja de 12 plg. =

48,226  12 = 64,301 lb-plg. 9.0

+M unitario requerido por franja de 12 plg. =

25,908  12 = 34,544 lb-plg. 9.0

(b) Dirección N-S (tramo corto): De lo anteriormente calculado el ancho máximo  permitido de la mitad de la franja de columna = 4.5 pies.  Franja de columna Ancho neto de losa en la franja de columna donde actúa el momento = 2

 4.5 –  38/12 = 5.83 pies.

De la Tabla 1, (-)Mu = 17,922 lb-pie y (+)Mu = 9,056 lb-pie - Mn =

17,922 = 19,913 lb - pie  = 0.9

y

+Mn =

9,065  = 0.9

= 10,072 lb-pie.

- M unitario requerido por franja de 12 plg. =

19,913  12 5.83

+ M unitario requerido por franja de 12 plg. =

10,072  12 = 20,732 lb-plg. 5.83

= 40,988 lb-plg.

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 Franja central ancho de franja = 24 –  9.0 = 15.0 pies De la Tabla 1, (-)Mu = 64,336 lb-pie y (+)Mu = 32,542 lb-pie

- Mn =

64,336 = 71,484 lb - pie  = 0.9

y

+Mn =

32,542  = 0.9

= 36,158 lb-pie.

71,484  12 = 57.188 lb-plg. 15

- M unitario requerido por franja de 12 plg. =

36,158  12 = 28,926 lb-plg. 15

+ M unitario requerido por franja de 12 plg. =

 Paso 9: Selección del tamaño y separación del refuerzo El momento máximo unitario en la región en la región de momentos negativos de la franja de columna, en la dirección E -W   = 72,529 lb-plg por 12 plg de ancho de franja se calcula como sigue: Con la ecuación Mn =  A s f  y ( d  – a/2 ) 72,529 =  A s × 60,000 (

 A s =

≃

 0.9d )

72,529

2

60,000  0.9  6.0

= 0.22 plg

 Prueba de ajuste:

a=

 A s f  y 0.85 f’ cb

=

0.22  60,000 = 0.32 plg 0.85  4000  2

Por lo tanto: 72,529 =  A s  60,000 (6.0 –  0.32 / 2) 2

 As = 0.21 plg

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2

El acero por cada franja de 12 pulgadas de ancho es As = 0.21 plg . Probar con varillas del 2

 No. 4 (0.20 plg )  El espaciado: área de una varilla área necesaria por franja de 12 plg de ancho

 s =

=

0.20 0.21/12

= 11.43 plg. c-c

Por eso se usarán varillas del No. 4 a cada 11 plg. centro a centro. De igual manera se calcula el área de acero necesaria en cada dirección, tanto para la franja

N 

de columna como para la franja de vigas.

W 

Borde del edificio

c

½ franja de columna

  s   e    i   p    8    1

 S

de las col. exteriores arriba, del No 4 a 10 plg.

arriba, del No. 4 a 7.5 plg.

No. 4 a 8.5 plg

Abajo, No. 3 a 6 plg.

   l   a   r    t  .   n   s   e   e    C   i   p   a   9    j   n   a   r    F

E 

 No. 3 a 6 plg. Arriba, No. 3 a 6 plg.

Abajo, No. 3 a 6 plg. Arriba, No. 4 a 6 plg.

Arriba No. 3 a 6 plg.

  e    d   a   a    j   n   n   m   a   r    l   u    f   o    ½  c

4 pies 6 plg ½ franja de columna

Arriba No. 6 a 6 plg.

Franja Central 15 ies.

4 pies 6 plg ½ franja de columna

Figura 3. Distribución esquemática del acero de refuerzo.

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