Método de cross hormigon armado

UNIVERSIDAD CATOLICA BOLIVIANA “SAN PABLO” FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERIA INGENIERIA CIVIL

HORMIGON ARMADO II DOCENTE: ING. MIGUEL MUÑOZ ESTUDIANTE: CHOQUE ARIAS RODNEY ALAIN

CALCULO DE MOMENTOS DE DOS TRAMOS CON INERCIA VARIABLE POR EL METODO DE CROSS

SECCION 1-1

SECCION 2-2

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SOLUCIÓN: Cálculo de cargas  Sección 1-1 Peso propio

25 �

=

Contrapiso

22 �

=

𝑚𝑚 3 𝐾𝐾𝐾𝐾

12 �

=

� (1.20𝑚𝑚)

= 0.24 �

𝑚𝑚 2

� (1.20𝑚𝑚)

=2.40 �

�

𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾

=1.056 �

� (0.03 × 1.20)[𝑚𝑚 2]

𝐾𝐾𝐾𝐾

2.00 �

Carga variable =

= 9.00 �

� (0.04 × 1.20)[𝑚𝑚 2]

𝑚𝑚 2 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚 3

𝐾𝐾𝐾𝐾

� (0.30 × 1.20)[𝑚𝑚 2]

𝑚𝑚 3 𝐾𝐾𝐾𝐾

0.20 �

Revestimiento = Revoque

𝐾𝐾𝐾𝐾

𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾

�

𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾

=0.432 �

𝑚𝑚

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

�

�

�

𝑔𝑔𝑘𝑘 = 10.73 �

Entonces determinar las cargas de diseño para la combinación de cargas: 𝑃𝑃𝑑𝑑 = 10.73 �

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

𝐾𝐾𝐾𝐾

0.9𝑔𝑔𝑘𝑘 = 10.73 �

 Sección 2-2 Peso propio

𝐾𝐾𝐾𝐾

� (1.5) + 2.40 � 𝑚𝑚

=

Revestimiento = Revoque

=

Carga variable =

� (1.6) = 19.94 � 𝐾𝐾𝐾𝐾

� (0.9) = 9.66 � 𝐾𝐾𝐾𝐾

=25 �

Contrapiso

𝑚𝑚

𝑚𝑚 3

𝑚𝑚

�

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

22 �

0.20 � 12 �

� (0.04 × 1.20)[𝑚𝑚 2]

𝑚𝑚 3 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚 2 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚 3

� (1.20𝑚𝑚)

𝑚𝑚 2

𝐾𝐾𝐾𝐾

= 3.24 �

� (1.20𝑚𝑚)

=2.40 �

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

�

𝑃𝑃𝑑𝑑 = 4.97 �

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

𝐾𝐾𝐾𝐾

� (1.5) + 2.40 � 𝐾𝐾𝐾𝐾

0.9𝑔𝑔𝑘𝑘 = 4.97 �

𝑚𝑚

𝑚𝑚

� (1.6) = 11.30 � 𝐾𝐾𝐾𝐾

� (0.9) = 4.47 �

𝑚𝑚

�

Cálculo de inercias  Sección 1-1 Calculo del baricentro: 0.30 = 0.15𝑚𝑚 𝑦𝑦� = 2 Calculo de la inercia en el centroide: 1.20 × 0.303 = 2.7 × 10−3 𝑚𝑚 4 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 12  Sección 2-2

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

�

𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾

�

�

𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾

=0.432 �

Entonces determinar las cargas de diseño para la combinación de cargas:

�

𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾

=1.056 �

= 0.24 �

� (0.03 × 1.20)[𝑚𝑚 2]

𝐾𝐾𝐾𝐾

2.00 �

𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑚𝑚

𝑞𝑞𝑘𝑘 = 2.40 �

�

� (0.30 × 1.20 − 2 × 0.48 × 0.24)[𝑚𝑚 2 ] 𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑚𝑚

𝑚𝑚

�

𝑔𝑔𝑘𝑘 = 4.97 � 𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑚𝑚

𝑞𝑞𝑘𝑘 = 2.40 �

𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑚𝑚

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Calculo del baricentro: 𝑦𝑦� =

(0.30 × 1.20)0.15 − (2 × 0.48 × 0.24)0.12 = 0.2033𝑚𝑚 (0.30 × 1.20) − (2 × 0.48 × 0.24)

Calculo de la inercia en el centroide: 𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼𝑥𝑥 = �

1.20 × 0.303 + (1.20 × 0.30)(0.2033 − 0.15)2 � 12 0.48 × 0.243 − 2� + (0.48 × 0.24)(0.2033 − 0.12)2 � = 1.018 × 10−3 𝑚𝑚 4 12

Calculo de la relación de inercias 𝐼𝐼2 𝐼𝐼1

=

2.7×10 −3

1.018 ×10−3

= 2.652

Cálculos de 𝝁𝝁𝒘𝒘 , rigidez (K) y el coeficiente de transmisión (𝛃𝛃) mediante los graficos GT5, GT7 y GT8  Tramo AB De la grafica GT8: 1 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 1𝑚𝑚 𝑏𝑏 = = 0.1428 7

Entonces:

De la grafica GT5: 𝐾𝐾𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6.2 𝐸𝐸𝐼𝐼1 /𝑙𝑙

𝐾𝐾𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6.2

𝐸𝐸𝐼𝐼1 𝑙𝑙

= 6.2

𝜇𝜇𝑤𝑤 = 0.0935 𝐸𝐸(1.018×10 −3 ) 7

De la grafica GT7:

𝐾𝐾𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9.016 × 10−4 𝐸𝐸 𝛽𝛽 = 0.6

 Tramo BC De la grafica GT8: 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 1𝑚𝑚

1

𝑏𝑏 = = 0.1667 6

Entonces:

De la grafica GT5: 𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6.45 𝐸𝐸𝐼𝐼1 /𝑙𝑙

𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6.45

𝐸𝐸𝐼𝐼1 𝑙𝑙

= 6.45

De la grafica GT7:

𝜇𝜇𝑤𝑤 = 0.094 𝐸𝐸(1.018×10−3 ) 6

𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵 = 1.094 × 10−3 𝐸𝐸 𝛽𝛽 = 0.61

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Calculo de factores de distribución 𝐾𝐾  𝐹𝐹𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 (el factor de distribución 1 se utiliza cuando la viga esta simplemente 𝐾𝐾𝐴𝐴𝐴𝐴 +0

apoyada)

 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐵𝐵𝐵𝐵 =  𝐹𝐹𝐹𝐹𝐵𝐵𝐵𝐵 =  𝐹𝐹𝐹𝐹𝐶𝐶𝐶𝐶 =

𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵 +𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵 +𝐾𝐾𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶 +0

= =

=1

9.016 ×10−4

9.016 ×10−4 +1.094×10 −3 1.094×10 −3 1.094×10 −3 +9.016 ×10−4

= 0.452 = 0.548

Combinación de cargas, determinación de momentos fijos y equilibrio de momentos mediante el método de Cross.  COMBINACION DE CARGAS 1 - tramo AB: Homogenizar las cargas de diseño a una uniformemente distribuida en cada tramo (W): 1.- Nótese en el tramo AB, que 2m de los 7m de la longitud de la viga, es losa maciza, por ello el factor que afecta a la carga PAB (sección 1-1) es de 2/7. 2.- Nótese en el tramo AB, que 5m de los 7m de la longitud de la viga, es losa alivianada o nervurada, por ello el factor que afecta a la carga PAB (sección 2-2) es de 5/7.

𝑊𝑊 = Calcular el momento fijo:

2 𝐾𝐾𝐾𝐾 5 𝐾𝐾𝐾𝐾 × 19.94 � � + × 11.30 � � 7 𝑚𝑚 7 𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑊𝑊 = 13.768 � � 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝑤𝑤 𝑙𝑙2 𝑊𝑊 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0.0935 (72 )13.768 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 63.081 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

- tramo BC: Homogenizar las cargas de diseño a una uniformemente distribuida en cada tramo (W): 1.- Nótese en el tramo AB, que 2m de los 6m de la longitud de la viga, es losa maciza, por ello el factor que afecta a la carga PAB (sección 1-1) es de 2/6. 2.- Nótese en el tramo AB, que 4m de los 6m de la longitud de la viga, es losa alivianada o nervurada, por ello el factor que afecta a la carga PAB (sección 2-2) es de 4/6.

𝑊𝑊 = Calcular el momento fijo:

2 𝐾𝐾𝐾𝐾 4 𝐾𝐾𝐾𝐾 × 19.94 � � + × 11.30 � � 6 𝑚𝑚 6 𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑊𝑊 = 14.18 � � 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝜇𝜇𝑤𝑤 𝑙𝑙2 𝑊𝑊 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.094(62 )14.18 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 47.985 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

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Ahora resolvemos la viga por medio del método de Cross: W= 13,768 (KN/m) W= 14,18 (KN/m)

A

B L=

7

AB β FD FEM D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D Ʃ

1 -63,081 63,081 -4,094 4,094 -2,326 2,326 -1,501 1,501 -0,853 0,853 -0,550 0,550 -0,313 0,313 -0,202 0,202 -0,115 0,115 -0,074 0,074 -0,042 0,042 -0,027 0,027 -0,015 0,015 -0,010 0,010 0 35,314 REACCION (KN) 35,314 MOMENTO x (m) MAXIMO Mmax(KNm)

C

m

L= BA

6

BC

0,6

m CB

0,61 0,452 0,548 63,081 -47,985 -6,823 -8,273 37,849 -29,271 -3,877 -4,701 2,456 3,078 -2,502 -3,033 1,396 1,749 -1,421 -1,723 0,901 1,129 -0,917 -1,112 0,512 0,641 -0,521 -0,632 0,330 0,414 -0,336 -0,408 0,188 0,235 -0,191 -0,232 0,121 0,152 -0,123 -0,149 0,069 0,086 -0,070 -0,085 0,044 0,056 -0,045 -0,055 0,025 0,032 -0,026 -0,031 0,016 0,020 -0,017 -0,020 0,009 0,012 -0,009 -0,011 90,117 -90,117 61,062 57,560 118,621 2,56 x (m) 45,289 Mmax(KNm)

1 47,985 -47,985 -5,046 5,046 -2,867 2,867 -1,850 1,850 -1,051 1,051 -0,678 0,678 -0,385 0,385 -0,249 0,249 -0,141 0,141 -0,091 0,091 -0,052 0,052 -0,033 0,033 -0,019 0,019 -0,012 0,012 0 27,520 27,520 4,06 26,706

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 COMBINACION DE CARGAS 2 -

tramo AB:

Homogenizar las cargas de diseño a una uniformemente distribuida en cada tramo (W): 𝑊𝑊 =

𝐾𝐾𝐾𝐾 5 𝐾𝐾𝐾𝐾 2 × 19.94 � � + × 11.30 � � 𝑚𝑚 7 𝑚𝑚 7

Calcular el momento fijo:

𝑊𝑊 = 13.768 �

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 -

𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑚𝑚

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝑤𝑤 𝑙𝑙2 𝑊𝑊 = 0.0935 (72 )13.768

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 63.081 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

tramo BC:

Homogenizar las cargas de diseño a una uniformemente distribuida en cada tramo (W): 𝑊𝑊 =

Calcular el momento fijo:

2 𝐾𝐾𝐾𝐾 4 𝐾𝐾𝐾𝐾 × 9.66 � � + × 4.47 � � 6 𝑚𝑚 6 𝑚𝑚 𝑊𝑊 = 6.20 �

𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑚𝑚

𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝜇𝜇𝑤𝑤 𝑙𝑙2 𝑊𝑊 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.094(62 )6.20 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 20.981 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

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Ahora resolvemos la viga por medio del método de Cross: W= 13,768 (KN/m) W=

A

(KN/m)

B L=

7

AB β FD FEM D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D Ʃ

6,20

1 -63,081 63,081 -11,418 11,418 -6,794 6,794 -4,186 4,186 -2,491 2,491 -1,535 1,535 -0,913 0,913 -0,563 0,563 -0,335 0,335 -0,206 0,206 -0,123 0,123 -0,076 0,076 -0,045 0,045 -0,028 0,028 0 38,151 REACCION (KN) 38,151 MOMENTO x (m) MAXIMO Mmax(KNm)

C

m

L= BA

6

m

BC

0,6

CB 0,61

0,452 0,548 63,081 -20,981 -19,029 -23,071 37,849 -12,798 -11,323 -13,728 6,851 8,585 -6,977 -8,458 4,076 5,108 -4,151 -5,033 2,512 3,147 -2,558 -3,101 1,494 1,873 -1,522 -1,845 0,921 1,154 -0,938 -1,137 0,548 0,687 -0,558 -0,677 0,338 0,423 -0,344 -0,417 0,201 0,252 -0,205 -0,248 0,124 0,155 -0,126 -0,153 0,074 0,092 -0,075 -0,091 0,045 0,057 -0,046 -0,056 0,027 0,034 -0,027 -0,033 70,261 -70,261 58,225 30,310 88,535 2,77 x (m) 52,857 Mmax(KNm)

1 20,981 -20,981 -14,073 14,073 -8,374 8,374 -5,160 5,160 -3,070 3,070 -1,892 1,892 -1,126 1,126 -0,694 0,694 -0,413 0,413 -0,254 0,254 -0,151 0,151 -0,093 0,093 -0,055 0,055 -0,034 0,034 0 6,890 6,890 4,89 3,828

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 COMBINACION DE CARGAS 3 -

tramo AB:

Homogenizar las cargas de diseño a una uniformemente distribuida en cada tramo (W): 2 𝐾𝐾𝐾𝐾 5 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑊𝑊 = × 9.66 � � + × 4.47 � � 7 𝑚𝑚 7 𝑚𝑚 Calcular el momento fijo:

𝑊𝑊 = 5.953 �

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 -

tramo BC:

𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑚𝑚

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝑤𝑤 𝑙𝑙2 𝑊𝑊 = 0.0935 (72 )5.953

𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 27.273 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

Homogenizar las cargas de diseño a una uniformemente distribuida en cada tramo (W): 2 𝐾𝐾𝐾𝐾 4 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑊𝑊 = × 19.94 � � + × 11.30 � � 6 𝑚𝑚 6 𝑚𝑚 Calcular el momento fijo:

𝑊𝑊 = 14.18 �

𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑚𝑚

𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝜇𝜇𝑤𝑤 𝑙𝑙2 𝑊𝑊 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.094(62 )14.18 𝑀𝑀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 47.985 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑚𝑚

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Ahora resolvemos la viga por medio del método de Cross: W= 5,953 (KN/m) W= 14,18 (KN/m)

A

B L=

7

AB β FD FEM D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D T D Ʃ

1 -27,273 27,273 5,617 -5,617 3,500 -3,500 2,059 -2,059 1,283 -1,283 0,755 -0,755 0,471 -0,471 0,277 -0,277 0,173 -0,173 0,101 -0,101 0,063 -0,063 0,037 -0,037 0,023 -0,023 0,014 -0,014 0 12,408 REACCION (KN) 12,408 MOMENTO x (m) MAXIMO Mmax(KNm)

C

m

L= BA

6

BC

0,6

m CB

0,61 0,452 0,548 27,273 -47,985 9,362 11,350 16,364 -29,271 5,834 7,073 -3,370 -4,223 3,432 4,161 -2,100 -2,632 2,139 2,593 -1,236 -1,548 1,258 1,526 -0,770 -0,965 0,784 0,951 -0,453 -0,568 0,461 0,559 -0,282 -0,354 0,288 0,349 -0,166 -0,208 0,169 0,205 -0,104 -0,130 0,105 0,128 -0,061 -0,076 0,062 0,075 -0,038 -0,048 0,039 0,047 -0,022 -0,028 0,023 0,028 -0,014 -0,017 0,014 0,017 58,991 -58,991 29,263 52,372 81,635 2,08 x (m) 12,932 Mmax(KNm)

1 47,985 -47,985 6,924 -6,924 4,315 -4,315 2,538 -2,538 1,582 -1,582 0,931 -0,931 0,580 -0,580 0,341 -0,341 0,213 -0,213 0,125 -0,125 0,078 -0,078 0,046 -0,046 0,029 -0,029 0,017 -0,017 0 32,708 32,708 3,69 37,723

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Diagrama de momentos:

A

B

C

6m

7m

100 -90 -80 -70 COMBINACION DE CARGAS 1

-60 -50

COMBINACION DE CARGAS 2

-40 -30

COMBINACION DE CARGAS 3

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60

100

M=-90.117 (KN m)

-90 -80 -70 DIAGRAMA ENVOLVENTE

-60 -50

DIAGRAMA DECALADO

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

M=37.723 (KN m)

50 60

M=52.857 (KN m)