Metodo de Busqueda Fibonacci

Método de Búsqueda Fibonacci Este método determina el mínimo valor de una función f  función f  sobre  sobre un intervalo cerrado [C1, C2]. Esta función puede estar definida en un dominio más amplio, pero el método requiere que dicho intervalo de búsqueda sea definido.

Se asume que f   es  es unimodal.

El mínimo es determinado (al menos aproximadamente) mediante la evaluación en un cierto número de puntos. Se pretende definir una estrategia de búsqueda que seleccione la observación siguiente basada en los valores funcionales de las observaciones anteriores.

Esto se define según el siguiente problema:

Encontrar como seleccionar sucesivamente N  sucesivamente N  observaciones,  observaciones, sin contar con un conocimiento explícito de la función, de forma tal que podamos encontrar la más pequeña región de incertidumbre posible en donde se encuentre el mínimo.

Esta región de incertidumbre es determinada en cualquier caso por: las observaciones (sus valores funcionales) y la suposición de que f   es  es unimodal.

Luego que encontremos los valores funcionales en N  puntos dentro del intervalo cerrado [C1, C2]

c1 ≤ x1≤…≤ x N -1 -1≤ x N ≤ c2

La región de incertidumbre es el intervalo [ xk -1 donde x es  es el mínimo de los N los N puntos  puntos -1, xk +1 +1] donde x evaluados. En ese intervalo de encuentra el mínimo.

La estrategia para seleccionar sucesivamente observaciones para ob tener la región de incertidumbre más pequeña se describe a continuación:

    ;

es la amplitud inicial de la incertidumbre.

d kEs la amplitud de la región de incertidumbre luego de k  observaciones  

Si son realizadas N  observaciones se tiene que:

Donde

  (  )

 son los números de la secuencia Fibonacci generados por la relación:

    Donde     Donde cada número después de los dos primeros representa la suma de los dos precedentes. Procedimiento para la reducción de la sección de incertidumbre

1. Especificar N

 2. Calcular   3. Colocar simétricamente desde los extremos del intervalo inicial a distancia

  

, dos observaciones.

4. De acuerdo a donde se encuentre la muestra con menor valor funcional se determina la región de incertidumbre,

    

5. La tercera muestra es colocada simétricamente dentro de este n uevo intervalo con respecto a la observación ya incluida en el intervalo, de forma tal que la amplitud de la región de incertidumbre sea

  

Ejercicios

Con este ejemplo se trata de ver la capacidad operativa del método basado en los números de Fibonacci, para encontrar numéricamente el valor extremo de una función. Resolviendo analíticamente, el máximo de la función resulta en : 2

f(x) = 5.π .x –  x ? → f '(x) = 5.π - 2.x = 0 → x = 5.π /2 y tenemos : f(x) = f(5.π /2) = 61,685

La búsqueda de Fibonacci está basada en la sucesión de números enteros del mismo nombre:

Cuyos primeros términos son : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … Para resolver el problema, el primer paso es establecer el nú mero de iteraciones a realizar:

Por lo tanto, siguiendo la serie de los números de Fibonacci, deberemos realizar seis iteraciones para las que tenemos:

Si tomamos ahora:

y tenemos en cuenta que:

 podemos formar el siguiente cuadro:

i

ua

u b

uc

ud

f(uc)

f(ud)

1

0

20

7,618

12,380

61,629

41,200

2

0

12,380

4,761

7,618

52,118

61,629

3

4,761

12,380

7,618

9,522

61,629

58,903

4

4,761

9,522

6,665

7,618

60,271

61,629

5

6,665

9,522

7,618

8,570

61,629

61,672

6

6,665

8,570

7,618

7,618

61,629

61,629

Vemos entonces que podemos tomar como máximo el valor: u = 7,618 → f(u) = 61,629 Y este valor se diferencia del máximo teórico en: 61,685 –  61,629 = 0,056