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MÉTODO DE BAIRSTOW

Introducción En análisis numérico, el método de Bairstow es un método numérico de gran eficiencia para encontrar las raíces de un polinomio de coeficientes reales y grado arbitrario. El método fue descrito por primera vez en el sumario del libro Aerodinámica libro Aerodinámica aplicada, aplicada, escrito por Leonard Bairstow y publicado en el año 1920. D escr escr i pci ón del m é todo  to do  El método de Bairstow es un esquema iterativo para encontrar un factor cuadrático de un polinomio en cada aplicación sin que se tenga ningún conocimiento previo. Al aplicar varias veces el método de Bairstow a los polinomios reducidos, se pueden calcular todos los factores cuadráticos de un polinomio. Este método sigue, fundamentalmente, los siguientes pasos: i. Se da un valor inicial para la raíz  x t  . ii. Se divide el polinomio entre el factor  x t  . iii. Se determina si hay un residuo diferente de cero. Si no, el valor inicial es perfecto y la raíz es igual a t . Si existe un residuo, se ajusta el valor inicial en forma sistemática y se repite el  procedimiento hasta que el residuo residuo desaparezca y se localice la raíz. Una vez hecho esto, se repite el procedimiento totalmente, ahora con el cociente para localizar otra raíz. 



Por lo general, el método de Bairstow se basa en esta manera de proceder. P or consiguiente, depende del  proceso matemático de dividir un polinomio entre un factor. Recuerde de su estudios de álgebra que la división sintética implica la división del polinomio entre un factor  x  t  . Por ejemplo, el polinomio general:

 f  n ( x)  a0  a1 x  a2 x2  ...  an xn se divide entre el factor

 x

(1)

 t   para dar un segundo polinomio que es de un grado menor:  f  n 1 ( x)  b0  b1 x  b2 x2  ...  bn xn

1



(2)



con un residuo  R



b0 ,

donde los coeficientes se calculan por la relación de recurrencia bn



bi



an ai



bi 1t   para i



n



1  hasta

0

Observe que si t   es una raíz del polinomio original, el residuo b0  sería igual a cero. Para permitir la evaluación de raíces complejas, el método de Bairstow divide el polinomio entre un factor cuadrático  x2  –  rx  rx  –  s.  s. Si esto se hace con la ecuación (1), el resultado es un nuevo polinomio

 f  n 2 ( x)  b2  b3 x  ...  bn 1 xn 





3



bn xn



2

(3)

con un residuo  R



b1 ( x  r )  b0

(4)

Como con la división sintética normal, se utiliza una relación de recurrencia simple para realizar la división entre el factor cuadrático:

Notas de clase Métodos numéricos en ingeniería

 Francisco Javier García Acevedo bn



an

(5)

bn 1



an 1

bi

ai







rbn

rbi 1



(6)

sbi  2  para i



n



2  hasta

0

(7)

El factor cuadrático se introduce para permitir la determinación de las raíces complejas. Esto se relacio na con el hecho de que, si los coeficientes del polinomio original son reales, las raíces complejas se  presentan en pares conjugados. Si x2  –  rx  –  s es un divisor exacto del polinomio, las raíces complejas  pueden determinarse con la fórmula cuadrática. Así, el método se reduce a determinar los valores de r  y s que hacen que el factor cuadrático sea un divisor exacto. En otras palabras, se buscan los valores que hacen que el residuo sea igual a cero. La inspección de la ecuación (4) nos lleva a concluir que, para que el residuo sea cero, b0 y b1 deben ser cero. Como es improbable que los valores iniciales para ev aluarr  y s conduzcan a este resultado, debemos determinar una forma sistemática para modificar los valores iniciales, de tal forma que b0 y b1 tiendan a cero. Para lograrlo, el método de Bairstow usa una estrategia similar a la del método de Newton-Raphson. Como tanto b0 como b1 son funciones de r  y s, se pueden expandir usando una serie de Taylor, así: b1

b1 (r   r , s   s)  b1 

r  

b1

r 

b0 (r   r , s   s )  b0 

b0

 s

(8)

 s r  

r 

b0

 s

(9)

 s

donde los valores del lado derecho se evalúan en r  y s. Observe que se han despreciado los términos de segundo orden y de orden superior. Esto representa una suposición implícita de que  – r  y  –  s  son suficientemente pequeños para que los términos de orden superior puedan despreciarse. Otra manera de expresar esta suposición es que los valores iniciales son adecuadamente cercanos a los valores de r  y s en las raíces. Los incrementos, ∆r y ∆ s, necesarios para mejorar nuestros valores iniciales, se estiman igualando a cero las ecuaciones (8) y (9) para dar b1

r  

r  b0

b1  s

r  

r 

b0  s

 s  b1

(10)

 s  b0

(11)

Si las derivadas parciales de las b pueden determinarse, hay un sistema de dos ecua ciones que se resuelve simultáneamente para las dos incógnitas, ∆r  y ∆ s. Bairstow demostró que las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b en forma similar a como las b mismas fueron obtenidas: cn



bn

cn 1



ci

bi



(12)

bn 1 



rcn

rci 1



(13) sci  2  para i

[2]



n



2  hasta

1

(14)

Notas de clase Métodos numéricos en ingeniería

 Francisco Javier García Acevedo

donde ∂b0/∂r  = cl, ∂b0/∂ s = ∂b1/∂r  = c2 y ∂b1/∂ s = c3. Así, las derivadas parciales se obtienen por la división sintética de las b. Entonces, las derivadas parciales se sustituyen en las ecuaciones (10) y (11)  junto con las b para dar c2 r   c3 s  b1

(15)

c1r   c2  s  b0

(16)

Estas ecuaciones se resuelven para ∆r  y ∆ s, las cuales, a su vez, se emplean para mejorar los valores iniciales de r  y s. En cada paso, se estima un error aproximado en r  y s:  

ar 



r 

 100

(17)

 100

(18)

r 

 

as



 s  s

Cuando ambos errores estimados caen por debajo de un criterio especificado de terminación

 

a

, los

valores de las raíces se determinan mediante  x



r  

2

r 

 4 s

(19)

2

En este punto, existen tres posibilidades: 1. El cociente es un polinomio de tercer grado o mayor. En tal caso, el método de Bairstow se aplica al cociente para evaluar un nuevo valor de r y s. Los valores anteriores de r y s pueden servir como valores iniciales en esta aplicación. 2. El cociente es cuadrático. Aquí es posible evaluar directamente las dos raíces restantes con la ecuación (19). 3. El cociente es un polinomio de primer grado. En este caso, la raíz restante se evalúa simplemente como x = –   s/r .

Resumen 1. Determine los valores de bi empleando las ecuaciones (5) a (7). 2. Determine los valores de ci empleando las ecuaciones (12) a (14). 3. Se reemplazan los valores obtenidos en el paso 2 en las ecuaciones (15) y (16), y se resuelve el sistema para ∆r y ∆ s. 4. Se corrigen los valores r 0 y s0 adicionándoles los valores de ∆r y ∆ s respectivamente. 5. Se evalúan los errores empleando las ecuaciones (17) y (18). Si el valor de ambos errores es menor o igual al esperado, se procede al paso 6. Si no, se retorna al paso 1 con los nuevos valores de r  y s obtenidos en el paso 4. 6. Se evalúa x empleando los valores hallados en el paso 4 mediante la ecuación (19).

[3]

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 Francisco Javier García Acevedo

Ejemplo  Encuentre las raíces complejas del polinomio p( x) = 5 x3 –  3 x2 + x + 7 con r 0 = 1,5 y s0 = 0,5. Itere hasta un error |εa| ≤ 5%.  Iteración 1 Se aplican las ecuaciones (5) a (7) y (12) a (14) para calcular b3 = 5

b2 = 4,5

b1 = 10,25

b0 = 24,625

c3 = 5

c2 = 12

c1 = 30,75

Así, las ecuaciones simultáneas para encontrar ∆r y ∆ s son 12∆r  + 5∆ s = – 10,25 30,75∆r  + 12∆ s = – 24,625 al ser resueltas se encuentra que ∆r  =  –0,0128205 y ∆ s =  – 2,019231. Por lo tanto, nuestros valores iniciales se corrigen a r  = 1,5 –  0,0128205 = 1,487180  s = 0,5 –  2,019231= – 1,519231 y se evalúa el error aproximado con las ecuaciones (17) y (18)  

ar 



- 0,0128205 1,487180



100  0,862069%

 

as



2,019231 - 1,519231



100  132,911392 %

Vemos que |εa| es aún mayor al 5%. Por tal motivo, continuamos iterando.  Iteración 2 A continuación, se repiten los cálculos usando los valores revisados para r y s. Aplicando las ecuaciones (5) a (7) y (12) a (14) se obtiene b2 = 4,435897 b1 = 8,218277 × 10-4 b0 = 0,262070 c2 = 11,871795 c1 = 10,060158

b3 = 5

c3 = 5

Por lo tanto, se debe resolver el sistema de ecuaciones 11,871795∆r  + 5∆ s = – 8,218277 × 10-4 10,060158∆r  + 11,871795∆ s = – 0,262070 al tener la solución ∆r  = 0,0143492 y ∆ s = – 0,0342346, esta se utiliza para corregir la raíz estimada: r  = 1,487180 + 0,0143492 = 1,501529

 



0,955641%

 



2,203755%

ar 

 s = – 1,519231 –  0,0342346 = – 1,553465

as

Dado que ambos errores son menores al 5%, proce demos a evaluar las raíces utilizando la ecuación (19 ):  x



1,501529  1,501529 2  4(1,553465 ) 2 [4]



0,750764

 0,994896

i

Notas de clase Métodos numéricos en ingeniería

 Francisco Javier García Acevedo

Ejercicios 1. Encuentre dos raíces complejas de cada uno de los siguientes polinomios empleando el método de Bairstow, los valores de r 0 y s0 especificados y con un |εa| ≤ 5%. a.  p( x) = x4 –  13 x3 + 7 x2 –  1, r 0 = 0,9 y s0 = – 0,2. b.  p( x) = 10 x5 + 4 x2 + 6, r 0 = 1,5 y s0 = – 1. c.  p( x) = 1,2 x3 –  7,8 x2 + 6,6 x –  9, r 0 = 0,7 y s0 = – 2. 2. La impedancia es la medida de oposición que presenta un circuito a una corriente cuando se aplica una tensión. La impedancia extiende el concepto de resistencia a los circuitos de corriente alterna, y  posee tanto magnitud como fase, a diferencia de la resistencia, que sólo tiene magnitud. Por este motivo, esta puede representarse matemáticamente como el número complejo

   

 Z    Z  R  ( Z  L  Z C  )   R   L  

1    j , C   

(20)

donde  R [Ω] es la resistencia,  L [H] es la inductancia, C   [F] es la capacitancia y ω  [rad/s] es la frecuencia angular de la corriente alterna. [Note que, para el caso de circuitos de corriente alterna, se emplea la letra j en lugar de la letra i para representar la parte imaginaria de Z . Esto es una simple convención utilizada para evitar confusiones con la letra i, que es usualmente empleada para denotar corriente.] Suponga que f ( Z ) = Z 3 –  48 Z + 272 es una función de la impedancia de un circuito eléctrico para el cual L = 20 [mH] y ω = 500 [rad/s]. Para el caso en que f ( Z ) = 1, determine a. la resistencia del circuito; b. la capacitancia del circuito. : Considere r 0 = 9 y s0 = – 9, e itere hasta obtener |εa| ≤ 5%. Nota 

Respuestas 1. a.  x = 0,431837 ± 0,283343i, |εar | = 0,0366348%, |εas| = 0,0974110%, iteración 3. b.  x = 0,700712 ± 0,625026i, |εar | = 0,971701%, |εas| = 1,393077%, iteración 2. c.  x = 0,363868 ± 1,080240i, |εar | = 0,168505%, |εas| = 0,422241%, iteración 2. 2.  Z  = 4,432189 ± 3,306234 j, |εar | = 0,465323%, |εas| = 2,482889%, iteración 2. a.  R = 4,432189 [Ω]. b. C = 298,785467 [μF].

Bibliogr afía i. Chapra, Steven C. y Canale, Raymond P., Métodos numéricos para ingenieros, 5ta edición, México, 2007. ii.  Nakamura, Shoichiro, Métodos numéricos aplicados con software, 1ra edición, México, 1992.

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