Método de Asignación

 

MÉTODO DE ASIGNACIÓN Concepto: Estos problemas ocurren en muchos contextos de la administración. En general consisten en el problema para determinar la asignación óptima de objetos “indivisibles”, en el sentido de que ningún agente (objeto) se puede dividir entre varias tareas. La restricción importante, para cada agente, es que será designado a una solo una tarea. Es un problema de transporte balanceado en el que todas las propuestas y requerimientos son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de valores del problema de asignación se llama: matriz de valores.

Problema de asignación generalizado: Si suponemos que existen m trabajadores y cada uno de ellos tiene cierta cantidad de recursos disponibles y existen n tareas que deben llevarse a cabo, el problema de asignación generalizado puede plantearse de la siguiente manera:           

Sujeto a:                           

                               bj: Cantidad de recursos para el i-ésimo trabajador. rij: Recursos del trabajador i-ésimo necesarios para realizar la j-ésima tarea. Cij: Costo para que el trabajador i-ésimo lleve a cabo la j-ésima tarea. El primer conjunto de restricciones asegura que no se utilizan más recursos de los que están disponibles para cada trabajador; el segundo conjunto de restricciones afianza el hecho que cada uno de los trabajos lo lleva a cabo un solo trabajador trabajador..

Pasos:

· Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento mas pequeño en cada renglón de la matriz. Construya una nueva matriz, al restar de cada valor, el valor mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz (la matriz de veloreess reducidos) al restar r estar de cada costo el valor mínimo de su columna. · Paso 2.- Dibuje el mínimo némero de líneas (horizontales o verticales) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de valores reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.

 

  · Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2. Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas las propuestas y requerimientos son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. Como todas las propuestas y necesidades para el problema de asignación son números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.

Asignación Óptima: Cuando la asignación es óptima al menos debe haber una celda con un cero por cada fila y columna.

EJEMPLO (Equilibrado): En este tipo de problemas cada trabajo se asocia por completo a una máquina. La variable X ij toma los valores si se asigna la máquina i al trabajo j y 0, en caso contrario.

Función objetivo:

                                    Sujeto a: Restricciones de la máquina:

Restricciones del trabajo:

         

         

         

         

         

         

         

         

 

 

En una matriz de costes hallamos el mínimo mí nimo de cada fila.

 

Se resta el mínimo de cada fila.

 

Repetimos el procedimiento para las columnas.



   

AL menor de los números no cubiertos lo denominamos k (k=1).



Restamos k de los números no cubiertos y lo sumamos al os que estén cubiertos por dos líneas, y repito el







paso anterior.

   



Como n=4 dimensión de la matriz finaliza el algoritmo.



Ahora se escoge 4 ceros de manera que tenga un cero por fila y columna. Dichas celdas corresponden a las xij de valor unitario.

 

 

La compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de m mantenimiento antenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

Solución: Paso 1: Encontramos el menor elemento de cada columna co lumna y restarlo de la columna respectiva. - En la columna de la Máquina 1, el menor elemento es 6. - En la columna de la Máquina 2, el menor elemento es 4 - En la columna de la Máquina 3, el menor elemento es 3.

 

  Encontramos el menor elemento de cada fila en la matriz resultante y restarlo de la fila respectiva. - En la fila 1, el menor elemento es 2. - En la fila 2, el menor elemento es 0. - En la fila 3, el menor elemento es 0.

Paso 2: Hacemos las asignaciones iniciando por la fila que tenga menos ceros y tachando los ceros de las fila y columna donde hicimos la asignación.

Pude ver que solo hicimos dos asignaciones, pero debimos haber hecho tres, por lo que no logramos l ogramos la solución óptima y pasamos al paso 3.

 

  Marcamos con * las filas 1 y 2 y la columna 3. De acuerdo al algoritmo de Húngaro. Paso 4: El menor elemento de los no atravesados en la matriz es: 2 - Se lo restamos a todos los elementos de las filas no atravesadas. atravesadas. - Se lo sumamos a todos los elementos de las columnas atravesadas.

Hacemos nuevamente las asignaciones empezando empezando por las filas que tengan menos ceros.

El orden en que asignamos es el siguiente: - Primero asignamos el equipo 2 a la Máquina 3 y tachamos el cero que hay en la columna de la Máquina 3. - Segundo asignamos el Equipo 1 a la Máquina 1 y tachamos el cero que hay en la columna de la Máquina 1. - Tercero asignamos el Equipo 3 a la Máquina 1. Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17 unidades monetarias.

 

Ejercicio No Equilibrado Una constructora debe contratar obreros para realizar 4 trabajos. Existen 3 obreros disponibles para ejecutar dichas labores. El monto (en miles de pesos) cobrado por cada obrero para realizar cada trabajo se indica en el Cuadro 2.1.

El obrero 1 tiene disponibilidad para ejecutar solo un trabajo. Los obreros 2 y 3 pueden ejecutar hasta dos trabajos. Determine la asignacion que minimiza los costos de ejecutar los cuatro trabajos.

SOLUCION Como los obreros 2 y 3 pueden realizar hasta dos trabajos, repetiremos una vez las filas dos y tres. Ası, la matriz queda de 5 filas. Luego,  cuadramos la matriz agregando una columna ficticia. Los costos de dicha columna deben ser identicos para no generar preferencias, por simplicidad emplearemos el cero. Luego, la matriz de costos queda (las M indican asignacion imposible):

Valor menor

50

46

42

40

0

Restando por filas la matriz no cambia, pues en cada fila hay un cero. Restando el valor menor por columnas se obtiene y de esta nueva tabla vemos si se puede asignar , en este caso no se puede asignar todavía y seguimos con el siguiente paso:

 

Luego buscamos la mayor cantidad de filas donde existan 0 y columnas de 0 y colocamos una línea en lo posible se recomienda que no existan muchas líneas Determinamos el valor menor de los valores no marcados y procedemos a sumar a la intersección y restar a los no marcados

Con el valor menor y ya sumando y restando obtenemos lo siguiente:Se puede observar que no se puede asignar en la columna 3 y 4

Como no podemos asignar en la columna co lumna 3 o 4 volvemos a co colocar locar líneas donde existan ceros como se ve a continuación:

 

En este caso el valor minimo es el uno el cual se procede a realizar lo mismo que anteriormente dijimos sumamos a las intersecciones y restamos a los que no se encuentran marcados Y nos da la siguiente tabla

A continuación comenzamos a escoger en cada columna y fila un cero el cual no se repita ni en la columna ni en la fila la elección es arbitraria A continuación mostramos la asignación

Por lo tanto, la asignaci´on queda: Obrero 1 → Trabajo 4  Obrero 2 → Trabajo 1 y 3   Obrero 3 → Trabajo 2 

Buscando las otras asignaciones alternativas, se repite la misma soluci´on ´optima

 

Bibliografía:

  https://jrvargas.files.wordpress.com/2008/08/problemas-resueltos-de-asignacic3b3n-por-el-

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mc3a9todo-hungaro.pdf

  http://es.slideshare.net/anthoanaguilar/el-metodohungaro   http://problemadual.blogspot.com/2011/05/metodo-hungaro.html   http://gio.uniovi.es/documentos/asignaturas/descargas/Problemas_de_transporte_asignacion_

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  http://www.eici.ucm.cl/Academicos/R_Villarroel/descargas/investigacion_operaciones/Asignaci



on_y_Vendedor_Viajero.pdf