Metodo de Aproximaciones Sucesivas

 

METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

El método de las aproximaciones sucesivas consiste en un método iterativo en el que se busca generar funciones convergent convergentes es bajo la curva original o la función original. Este método además va ligado del criterio de la convergencia que este busca la convergencia de una subfunción extraída de la función original por medio de iteraciones convergentes.

Ventajas del Método de las Aproximaciones Sucesivas 

intervalo que conteng contengaa la raíz, sino que que requiere un valor    No necesita un intervalo X aproximado a la raíz.



  Esta X puede obtenerse mediante métodos gráficos al detectar algún cambio de signo en la función.

Procedimiento Procedimient o para el Método de las Aproximacion Aproximaciones es Sucesivas 

  Se debe despejar la variable independiente de la ecuación esta nueva se le llamara ecuación de iteración () 



  Se debe sustituir a la aproximación a la raíz en la ecuación de Iteracion  para obtener nuestra nuestra nueva aproximación aproximación





Este método se repite hasta que se satifasga la tolerancia preestablecida   o mas bien converga los mas cercano a la raíz posible.

  Luego se debe establecer el criterio de convergencia, en el cual si las iteraciones convergen se debe seguir evaluando, cuando el criterio diverge entonces se para de evaluar valores.

 

Explicación del Método de las Aproximaciones Sucesivas

Dada la ecuación f  ecuación f (  x) x) = 0, el método de las aproximacion aproximaciones es sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, x equivalente, x= = g (  x), x), definida en la forma g  forma g ( x)=  x)= f ( x)+  x)+ x.  x. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x inicial  x0 y calculamos una nueva aproximación x aproximación x1= g (  xx0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores que si converge, tendrá como límite la solución del problema.

,

En la figura se representa la interpretación geom geométrica étrica del método. Partimos de un punto inicial x inicial x0 y calculamos y calculamos y =  = g   g (  xx0). La intersección de esta solución con la recta y recta y= = x  x nos  nos dará un nuevo valor x valor x1 más próximo a la solución final. Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el método sólo podrá converger si la derivada g  derivada g '( '( x)  x) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por y por  y= = x).  x). Un ejemplo de este caso se muestra en la figura . Esta condición, que a priori puede priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente. Para ello basta elegir la función función g   g (  x) x) del siguiente modo:

de forma que tomando un valor de adecuado, siempre podemos hacer que g  que  g ( x)  x) cumpla la condición de la derivada.

 

EJEMPLO:

Tenemos la función

 ( ) =   − 3  

En esta función es donde comenzaremos a evaluar valores.

Despejando la variable independiente de la ecuación anterior obtenemos:

+ =  () =

  3

 

Esta es nuestra ecuación de iteración.

Ahora derivando la ecuación de iteración obtenemos la ecuación de convergencia

′

| ()| =

 3

  < 1 

Resolveremos el ejemplo utilizando el software Excel. En donde mostraremos como funciona el método.

 

Armando la tabla con las respectiva formulas e iteraciones, evaluando en la función principal pr incipal obtenemos los siguientes valores.

Iteraciones

x

f( x)

0

0

1

1

0.1

0.805171

2

0.2

0.621403

3

0.3

0.449859

4

0.4

0.291825

5

0.5

0.148721

6

0.6

0.022119

7

0.7

- 0.08625

8

0.8

- 0.17446

9

0.9

-0 -0.2404

10

1

- 0.28172

11

1.1

- 0.29583

12

1.2

- 0.27988

13

1.3

-0 - 0.2307

14

1.4

-0 - 0.1448

15

1.5

- 0.01831

16

1.6

0.153032

EN ESTAS ITERACIONES PRESENTO CAMBIO DE SIGNO LA FUNCION LO QUE ESTO INDICA QUE ESTOS VALORES SON POSIBLES RAICES DE LA FUNCION.

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

0

0.2

0. 4

0. 6

0.8

1

1.2

1.4

1. 6

1. 8

-0.4

Observando el grafico podemos notar que los valores en donde corta el eje x en 0, es en llos os valores que presenta las iteraciones asi que podemos ver que si son las raíces de la función.

 

Luego de haber realizado el procedimiento anterior, procedemos a comprobar con el criterio de la convergencia. Rellenando la tabla con las distintas formula formulass y valores para comenzar a iterar debemos colocar nuestro valor de la raíz que en este caso fue 0.6, ese será nuestro valor de x inicial. ITERACION

 () < 1



 ()

ERROR

0

0.607372933

0.6

0.0221188

1

0.611867603

0.607372933

0.013484008

0.008634792

2

0.614623935

0.611867603

0.008268997

0.005215011

3

0.61632038

0.614623935

0.005089334

0.003179663

4

0.617366821

0.61632038

0.003139322

0.001950012

5

0.618013197

0.617366821

0.001939128

0.001200195

6

0.618412795

0.618013197

0.001198794

0.000740334

7

0.61865996

0.618412795

0.000741498

0.000457296

8

0.618812891

0.61865996

0.000458792

0.000282706

9

0.618907534

0.618812891

0.000283928

0.000174864

10

0.618966111

0.618907534

0.000175733

0.000108194

11

0.61900237

0.618966111

0.000108776

6.69572E-05

12

0.619024815

0.61900237

6.7334E-05

4.14423E-05

13

0.619038709

0.619024815

4.16819E- 05

2.56521E-05

14

0.61904731

0.619038709

2.58029E- 05

1.5879E-05

15

0.619052634

0.61904731

1.59733E- 05

9.8296E-06

16

0.61905593

0.619052634

9.88832E- 06

6.08495E-06

17

0.619057971

0.61905593

6.12143E- 06

3.76689E-06

18

0.619059234

0.619057971

3.78952E- 06

2.33191E-06

19

0.619060016

0.619059234

2.34594E- 06

1.44358E-06

20

0.6190605

0.619060016

1.45228E- 06

8.93662E-07

21

0.6190608

0.6190605

8.99049E- 07

5.5323E-07

22

0.619060985

0.6190608

5.56566E- 07

3.42483E-07

23

0.6190611

0.619060985

3.44548E- 07

2.12018E-07

24

0.619061171

0.6190611

2.13296E- 07

1.31252E-07

25

0.619061215

0.619061171

1.32044E- 07

8.12529E-08

26

0.619061242

0.619061215

8.17431E- 08

5.03005E-08

27

0.619061259

0.619061242

5.0604E-08

3.11391E-08

28

0.61906127

0.619061259

3.1327E-08

1.9277E-08

29

0.619061276

0.61906127

1.93933E- 08

1.19336E-08

30

0.61906128

0.619061276

1.20056E- 08

7.38766E-09

31

0.619061283

0.61906128

7.43223E- 09

4.57341E-09

32

0.619061284

0.619061283

4.601E-09

2.83122E-09

33

0.619061285

0.619061284

2.8483E-09

1.7527E-09

34

0.619061286

0.619061285

1.76327E- 09

1.08503E-09

35

0.619061286

0.619061286

1.09158E- 09

6.717E-10

36

0.619061286

0.619061286

6.75752E- 10

4.15823E-10

37

0.619061287

0.619061286

4.18332E- 10

2.5742E-10

38

0.619061287

0.619061287

2.58973E- 10

1.59359E-10

39

0.619061287

0.619061287

1.6032E-10

9.86526E-11

40

0.619061287

0.619061287

9.92479E- 11

6.10725E-11

 

Realizando iteraciones podemos darnos cuenta que el error va cada vez mas aproximándose a cero por lo que esto indica que si seguimos iterando cada vez mas se encontrara una divergencia divergencia en donde los valores x y f(x) llegaran a 0. 41

0.619061287

0.619061287

6.14406E-11

3.78073E-11

42

0.619061287

0.619061287

3.80356E-11

2.34051E-11

43

0.619061287

0.619061287

2.35463E-11

1.44893E-11

44

0.619061287

0.619061287

1.45766E-11

8.96971E-12

45

0.619061287

0.619061287

9.02389E-12

5.55267E-12

46

0.619061287

0.619061287

5.58642E-12

3.43747E-12

47

0.619061287

0.619061287

3.45857E-12

2.12785E-12

48

0.619061287

0.619061287

2.14095E-12

1.31761E-12

49

0.619061287

0.619061287

1.32538E-12

8.1557E-13

50

0.619061287

0.619061287

8.20455E-13

5.04929E-13

51

0.619061287

0.619061287

5.07816E-13

3.12639E-13

52

0.619061287

0.619061287

3.14415E-13

1.93401E-13

53

0.619061287

0.619061287

1.94733E-13

1.19682E-13

54

0.619061287

0.619061287

1.2057E-13

7.41629E-14

55

0.619061287

0.619061287

7.43849E-14

4.61853E-14

56

0.619061287

0.619061287

4.59632E-14

2.84217E-14

57

0.619061287

0.619061287

2.86438E-14

1.73195E-14

58

0.619061287

0.619061287

1.75415E-14

1.11022E-14

59

0.619061287

0.619061287

1.08802E-14

6.66134E-15

60

0.619061287

0.619061287

6.88338E-15

3.9968E-15

61

0.619061287

0.619061287

4.44089E-15

2.44249E-15

62

0.619061287

0.619061287

2.66454E-15

1.77636E-15

63

0.619061287

0.619061287

0

2.66454E-15

64

0.619061287

0.619061287

0

0

Despues de 64 iteraciones se logro la divergencia de la función. Donde estas fueron las ecuaciones utilizadas. ECU CUAC ACIO ION ND DE E IT ITE ERAC ACIO ION N

INFOGRAFIA 

ECU CUAC ACIO ION N A EVA VAL LUA UAR R

ECU CUAC ACIO ION ND DE E CO CONV NVE ERGE GENC NCIA IA

 

https://www.uv.es/~diaz/mn/node19.html   https://www.uv.es/~diaz/mn/node19.html

http://www.sc.eh http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisi u.es/sbweb/fisica_/numerico/raices ca_/numerico/raices/aproximaciones.h /aproximaciones.html tml