Método Das Cordas

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS CÁLCULO NUMÉRICO PROF.: PRO F.: PATRÍC PATRÍCIA IA TAV TAVARES  ___________________________________________________________  MÉTODO DAS CORDAS Seja a função   f  ( x )  contínua que tenha derivada segunda com sinais constante no intervalo [ a, b ] , sendo que  f  ( a ) ⋅  f  ( b ) < 0  e que existe somente um número ε  ∈ [ a, b ]  tal que  f  ( ε  ) = 0 .  f  ( a )  No mtodo das cordas, o intervalo  dividido em !artes !ro!orcionais " ra#ão − .  f  ( b ) $raficamente temos%

&igando'se os !ontos ( a,  f  ( a ) )  e ( b,  f  ( b ) )  atravs de um segmento de reta, determina'se so(re o eixo eixo dos

 x   o

!ont !onto o

 x

)

. *e!eti *e!etindo ndo'se 'se este !rocedime !rocedimento nto em relação relação aos !ontos !ontos ( x) ,  f  ( x) ) ) e

( b,  f  ( b ) ) , determinamos  x+  e assim sucessivamente at que  xr  )  tender !ara +

ε 

.

 Equação geral: geral: -odemos utili#ar a equação

 xn

+)

=

 xn

−

 f  ( xn )  f ( xn )  f ( c )

⋅

−

( xn c ) −

Sendo c  o !onto !onto extremo fixo/ do intervalo intervalo [ a, b ]  onde a função   f  ( x )  a!resenta o mesmo sinal da sua segunda derivada   f    ( x ) , ou seja,  f  ( c ) ⋅  f    ( c ) > 0 . ' 1 !onto fixo  a  ou b /  aquele que satisfa#  f  ( x ) ⋅  f    ( x ) > 0 . ' 2 a!roximação a!roximação sucessiva sucess iva  x  se fa# do lado da rai# ε  , onde o sinal da função   f  ( x )   o!osto ao sinal da derivada segunda   f    ( x ) . n

 Exemplo

3alcular a rai# da equação  f  ( x ) = + x +  sen ( x ) − )0  com casas decimais fa#endo arredondamento quando necessrio. +

 f ( +) = −),090:0  f ( a) ⋅ f ( b) < 0  f ( 4) = 8,)7))+ 

  f   ( x )   f    ( x )

=

7 x + cos( x )

=

7 −  sen( x )

∈≤ )0

−4

 no intervalo [ +,4] . 5tili#e 6

 f  ( +) = 4,090:0

manteve o sin al   f  ( 4) = 4,86888 

-onto fixo c

=

c %  f  ( 4) ⋅ f    ( 4) > 0

4

  f  ( c )

=   f  

 x0

+

=

( 4)

=

8,)7))+

k 

 f  ( xn )

 x

n

0 ) + 4 7

+ +,))8)6 +,)4;60 +,)4940 +,)49,:4

'),090:0 '0,):+98 '0,0+;6+ '7,0846+ × )0 ';,46)47 × )0

∈

−4 −7

' 0,))8)6 0,0)846 0,00+80 0,00074

 Exercícios

3alcular a rai# das equaçmetro em mm . ?etermine o valor do di>metro necessrio !ara su!ortar uma 7 +  !ressão de ),6 × )0  Kg  = mm sa(endo que esse di>metro !ertence ao intervalo [ 0.+,0.4] com 4 . 5tili#e ; casas decimais fa#endo arredondamento quando necessrio. ∈≤ )0 −

−

:. 2 função a( x ) = +,0+ x 6 − ),+8 x 7 + 4,0; x 4 − +,9+ x + − 6,;; x + ;,08  utili#ada num estudo do com!ortamento mec>nico dos materiais, re!resentando a( x )  o com!rimento da fissura e  x( > 0 )  uma fração do número de ciclos de !ro!agação.

-retende'se sa(er !ara que valores de  x  a velocidade de !ro!agação  nula. 5tili#e ; casas decimais fa#endo arredondamento quando necessrio e ∈≤ )0 4 . −